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MOTI PIANI

Cosenza 2009-2010Cosenza 2009-2010

Ottavio SerraOttavio Serra

22

La velocità è tangente alla traiettoria

(P’ →P, s→t, (P’–P)/(t’-t)→vv

33

L’accelerazione punta verso l’interno

a(media)= (v’ –v)/(t’–t) = Δv/Δt

44

Decomponendo a secondo la tangente e la normale, si vede che aτ modifica il

modulo di v, an la direzione.

55

Se il modulo di v è costante, a è normale alla tangente, quindi a v; se poi il raggio di curvatura è costante, il moto è circolare.

66

T=2πr/v, f=1/T, ω=2π/T=2πf, α= ωt, v= ωr.

x=rcos(ωt), y=rsen(ωt);

Vx= –ωr.sen(ωt), Vy = ωr.cos(ωt).

L’accelerazione è radiale e punta al centro del cerchio: accelerazione centripeta.

Vedere fig.4 e la prossima fig.5

77

'v PP r v v vv r s r v

v r r r r r

88

Segue che a=v.ω e perciò anche

2 2 /a r v r

2

2

2

.cos( )

. ( ).

x

y

a r ta r

a r sen t

COMPONENTI:

99

Moto armonico.

E’ la proiezione su una retta (un diametro)

di un moto circolare uniforme. Detta x la retta, le equazioni sono:

2 2

.cos( )

. ( )

.cos( )

x r t

v r sen t

a r t x

1010

Forza elastica: F = -kx.

a= -(k/m)x 2a x

Perciò il moto è armonico con pulsazione

k

m

e periodo 2

mT

k

1111

Moto pendolare

1212

( )a gsen verss

( / )( )gsen s l verss

Se α è piccolo, senα =α (circa) e

( / )a g l s

1313

Il moto è approssimativamente armonico,

con periodo

2l

Tg

1414

Tensione del filo. Nel caso statico (mettere un chiodo in P), il modulo di T è T=mgcosα (vedi fig.6). Durante il moto il filo deve esercitare anche la forza centripeta e 2cos /T mg mv l Per determinare v applico la conservazione dell’energia (vedi la seguente fig.7)

1515

1616

2 / 2mgh mgy mv 0(1 cos ), (1 cos )h l y l

202 (cos cos )v gl

0cos 2 (cos cos )T mg mg

0(3cos 2cos )mg

1717

Si noti che il calcolo di v e di T (tensione) non è limitato alle piccole ocillazioni. Per es. se

0 90 La tensione del filo nel punto più basso O è il triplo del peso e se

0 180 ,T=5mg.

1818

Esercizi. 1) Al soffitto di un veicolo è sospeso un pendolo di massa m=200 grammi. In fase

di accelerazione il filo di sospensione forma un angolo di 20° con la verticale. Calcolare l’accelerazione del veicolo e la tensione del

filo (g = 9,8 m/s2).

1919

2) Una pallina di 300 grammi è appesa a una molla tenuta verticale che, allungata di tre centimetri, oscilla compiendo due oscillazioni al secondo. Calcolare la costante elastica della molla e la velocità massima della pallina.

2020

5. Moti centrali.

Un moto si dice centrale se la forza agente su una particella è diretta verso un punto fisso, eventualmente all’infinito. F = α(r).r . Il momento della forza è ( ) 0r F r r r

Il momento angolare è L r mv

La cui derivata temporale è ' ' ' ' ' ' 0L r mv r mv r mr r mv r mv r ma

2121

Dunque L è costante e il raggio vettore r=OP, essendo ortogonale ad L, descrive un’orbita piana. Velocità areale. L’elemento d’area ( fig. 8) è

1 1 1

2 2 2

LdA r dr r vdt dt

m

2222

Perciò la velocità areale è costante (per tutti i moti centrali, non solo per quelli newtoniani):

2

dA LA

dt m

2323

Energia. Il lavoro compiuto dalla forza F quando sposta il suo punto di applicazione da P0 a P1 è W=

indipendente dalla traiettoria. (i campi di forza centrale sono conservativi). Posto U(r)=-β(r), W=U(r0)-U(r1). U si chiama energia potenziale.

0 1 0 1( , ) ( , )

( ). ( ) . cos( )P P P P

F r ds r r ds

0 11 0( , )

( ) ( ) ( )P P

r rdr r r

2424

N.B. Ho chiamato ds il vettore che nella fig. 8 chiamavo dr, in modo che nell’ultimo integrale ho potuto porre dr=ds.cos(θ).

Siccome la variazione di energia cinetica è

1

0 1 0 1 0

2 21 0

( , ) ( , )

1 1.

2 2

v

P P P P v

ma vdt mvdv mvdv mv mv

0 1

1 0

( , )

( ).P P

K K F r ds

2525

Segue: K1-K0=W=U0-U1 : in un campo centrale la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale si mantiene costante nek tempo: K+U=E.

Osservazione. La forza d’attrito, essendo parallela (e discorde) con lo spostamento, non è conservativa. Si noti che non è una forza centrale; ma una forza può essere conservativa senza essere centrale.

2626

6. Campo newtoniano. E’ un campo centrale:

2

Mm rF G

r r

Perciò vale la seconda legge di Keplero. L’energia potenziale è

2( ).

GMm GMmU F r dr dr

r r

E vale la conservazione dell’energia:

2727

21

2

MmE mv G

r

Più difficile è dimostrare la prima legge di Keplero: le orbite sono ellissi. La terza legge si dimostra in modo elementare nel caso di orbite circolari, uguagliando la forza di Newton alla forza centripeta:

2828

22

2

GMm mv GMv

r r r

e detto T il periodo orbitale:

22

r rT r

v GM

2 2

3

4T

r GM

Sostituendo v nella formula dell’energia,si ha

2

GMmE

r

2929

In fisica elementare si trova che l’energia potenziale di gravità è U = mgh >0, mentre qui abbiamo U = -GMm/r <0. Come si concilia? Dipende dalla scelta del potenziale 0 di riferimento: livello del suolo o punto all’infinito; ma il lavoro, che solo ha significato fisico, non cambia.

3030

Se un sasso cade da quota h, il lavoro della gravità è W=mgh-0 = mgh. Ricordo ora che trascurando la rotazione della Terra, mg = GMm/R2, M massa, R raggio della Terra:

2

GMg

R

1 1( )

( )

GMm GMm GMW GMm m h

R h R R R h R R h

2

GMm h mghR

se h è trascurabile rispetto a R.

3131

Esercizi: a) Determina la massa della Tera, conoscendo R,g,G.

b) La massa del Sole.

c) Fino al 1969 era più difficile calcolare la massa della Luna; se non sai come si faceva, immagina un metodo semplice applicabile ora.

3232

Maree. La forza di marea è la differenza tra la forza di attrazione alla superficie e la forza di attrazione al centro della Terra da parte del corpo che la produce: Luna, Sole…

3333

Sia R il raggio della Terra, r la distanza Terra – Luna. In A:

2

2 2 2 2 3

2 2

( ) ( )Luna Luna

marea Luna Luna

GM GM Rr R RF GM GM

r R r r R r r

In B:

2

2 2 2 2 3

2 2

( ) ( )Luna Luna

marea Luna Luna

GM GM Rr R RF GM GM

r R r r R r r

Massa del Sole circa 27 milioni di massa lunare, ma distanza 400 volte maggiore e la sua forza di marea è meno della metà.

3434

7. Caduta nel centro di un campo centrale attrattivo. In un campo attrattivo si definisce velocità di fuga la velocità v taLe che E = ½ mv2 + U(r) = 0. Dunque vf = -2U/m. Se v<vf il moto è limitato e se L=0, la particella punta e cade nel centro di forza O. Ma se L≠0, sotto quale condizione la particella cade in O? Decomposta v nelle componenti radiale r’ e trasversa rθ’, si ha:

22 2 2 2 2

2 4

1 1 1( ) ( ) 0.( )

2 2 2

LE m r r U r mr E U r mr

m r

2

2.( ) 0

2

LE U r

mr

3535

(La grandezza 2

22

L

mrsi chiama energia potenziale centrifuga). Segue che

22 2( ) 0

2

Lr U r Er

m

Siccome2

2

L

m è una costamte >0,

r può 0 solo se U(r) –∞ come 1/rn con n>2 oppure come -α/r2 con α>L2/2m.

3636

Nel caso newtoniano U=-GMm/r, perciò la particella non può cadere nel centro O del campo. Come mai allora i meteoriti cadono sulla Terra? (o sulla Luna, ecc.?). Perché la Terra non è un punto, l’impatto avviene quando la traiettoria del meteorite lo porterebbe a una distanza dal centro della Terra minore del raggio.