Matemática B – Extensivo – V. 1 - .Com o valor do seno de α podemos encontrar o cos-seno e

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GABARITO

1Matemtica B

Matemtica B Extensivo V. 1

Exerccios

30 45 60

sen12

22

32

cos 32

22

12

tan 33

1 3

01) E

x2 + 42 = 52

x2 = 25 16 x2 = 9 x = 3

sen 30 = cateto opostohipotenusa

12

= 4y

y = 8

x + y = 3 + 8 = 11

02) 2 3 + 2 m

Seja O a origem no solo alinhado verticalmente com o basto. A medida OB ser a altura x da colina.

Importante observar que o tringulo AOC issceles

com as medidas AO = OC = 4 + x.

tg 30 = cateto oposto

cateto adjacente

3

3 =

xx4+

4 3 + x 3 = 3x

x 3 3x = 4 3

x 3 3 = 4 3

x = =

4 3

3 3

4 3

3 3

x = 4 3

3 3

3 3

3 3

12 3 129 3

12 3 129 3

++

=+

=+

.

x = 12 3 126+ = 2 3 + 2 m

03) 22 m

Seja x a medida entre o prdio maior e a base da escada que est apoiada. Tambm, seja y a medida da entre a base do prdio menor e a base da escada nele apoiada.

cos 60 = x20

12

= x20

2x = 20 x = 10

cos 45 = y

12 2

2

2 = y

12 2

2y = 12 4

y = 12 22.

= 12

y = 12

Distncia entre os prdios = 10 + 12 = 22 m

04) A

Seja QR = x

tg 30 = a bx+10

tg 60 = a bx

3

3 =

a bx+10

3 = a bx

x 3 10 3

3+

= a b x 3 = a b

x 3 10 33+

= x 3

x 3 + 10 3 = 3x 3

3x 3 x 3 = 10 3 3x x = 10 x = 5

x 3 = a b

a b = x 3

a b = 5 3

Mas o cateto a b multiplicado por 3 fica:

5 3 . 3 = 5 . 3 = 15 unidades

GABARITO

2 Matemtica B

05) B

Seja x a altura da parte do prdio (cateto oposto ao ngulo) em que se forma um tringulo retngulo.

Com o valor do seno de podemos encontrar o cos-seno e a tangente de utilizando a relao fundamen-tal sen2+cos2=1 e a frmula da tangente em

funo de seno e cosseno. Para sen=45

, inicialmen-

te calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ngulo.

sen2+cos2=1

45

2 + cos

2 = 1

1625

+ cos2 = 1

cos2 = 925

cos = 35

tg = sen cos

tg =

4535

= 45

. 53

= 43

tg = 43

Tangente de em funo dos catetos:

tg = x8 4,

43

= x8 4,

x = 11,2

Logo, x + a l tura da casa = a l tura do pr-dio=11,2+4,8=16

06) A

F

B

A

x cateto oposto

600

cateto adjacente

30o

H

Seja x a altura da montanha.

tg 30 = cateto oposto

cateto adjacente

tg 30 = x

600

3

3 =

x600

3x = 600 3

x = 600 3

3 x = 200 3 m

07) A

Altura da rampa=15cm+15cm=30cm=0,3m=ca-teto oposto ao ngulo de 30.

x = comprimento da rampa.

sen 3 = 0 3,x

0,05 = 0 3,x

x = 0 30 05,,

x = 6 m

08) E

tg 30 = x

y80+

3

3 =

xy80+

tg 60 = xy

3 = xy

x = y 3

3

3 =

xy80+

3

3 = y

y3

80+

80 + y = 3 3

3

y

3y y = 80 y = 40

x = y 3

x = 40 3 x = 69,2

Altura do prdio igual a x mais a altura da pessoa, que 1,80m. Logo, x+1,80=69,2+1,8071m.

GABARITO

3Matemtica B

09) C

cos45=1000x

2

2 =

1000x

x = 1000 2 1414 m

10) A

13) 100 m

Observe que a h (altura) a mesma medida do cateto adjacente no tringulo:

45

45

h

h

Logo, com relao:

h

200 m

60

30

sen = cateto opostohipotenusa

sen 30 = h

200

12

= h

200 h = 100 m

14) 75

Seja F o ponto de interceptao do segmento AC no

segmento DE. Observe ainda que o ngulo DF^

A mede 30 fazendo com que esse tringulo seja issceles. Seja

x=DF=AE:

cos 60 = 10

2L

12

= 10

2L L2 = 20

tg 60 = H10

3 = 12

H = 10 3

sen 30 = HL1

12

= 10 3

1L

L1 = 20 3

L 34,6

L1 + L2 = 20 + 34,6 L1 + L2 54,6 m

11) C

tg 60 = x18,

3 = x18,

x = 1,8 3 x 3,1

12) D

Conforme os dados do exerccio, podemos montar o esquema da figura abaixo. Para calcular a distncia AD=x, basta aplicar o teorema de Pitgoras.

C

6

B

8 x

DA

8

x

x

x2 = 62 + (8 x)2

x2 = 36 + 64 16x + x2

16x = 100

x = 254

tg 30 = x50

3

3 =

x50

x = 50 33

DF = 50 33

FA = 50 33

cos 30 = x

50 33

32

= x

50 33

2x = 50 3 3

3.

2x = 50 33.

2x = 50 x = 25

Portanto, AB = 50 + 25 = 75

GABARITO

4 Matemtica B

15) h = d tg tgtg tg. ( ) . ( )( ) ( )

Seja x a distncia entre o ponto B e o pinheiro.

tg () = hd x+

d + x = h

tg ( )

x = h

tg ( ) d

tg () = hx

x = h

tg ( )

htg ( )

d = h

tg ( )

h

tg ( )

htg ( )

= d

h 1 1tg tg( ) ( )

= d

h tg tgtg tg( ) ( )( ) . ( )

= d

h = d

tg tgtg tg( ) ( )( ) . ( )

h = d tg tgtg tg. ( ) . ( )( ) ( )

16) C

Observe que a hipotenusa do tringulo destacado 2,5m

Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo destacado para obter y:

2,52 = 1,52 + y2

y2 = 6,25 2,25 = 4,00 y = 2 m

17) D

3 tg = 4 tg

tg = 43tg

tg = hPT

hPT

= 43tg

tg = 34

hPT

tg = hPT10

hPT10

= 34

hPT

h 10 = 34h

4h 40 = 3 h h = 40 m

Outra soluo:

Observe que:

OnguloCD^

A de 120 (90 + 30) OnguloAC

^

D de 30 OnguloDCde30

O ACD issceles; logo, CD DA= = 50

sen30=AE50

12

= AE50

AE = 25.

Logo, AB = 25 + 50 = 75

Seja z = y + x 3,92 = 1,52 + z2

z2 = 12,96 z = 3,6 x + y = 3,6 x + 2 = 3,6 x = 1,6

GABARITO

5Matemtica B

18) 6 + 4 3 m

8 m

60

cabo

y

y + 4

4

y + 4

z

x

10

sen 60 = x8

32

= x8

x = 4 3

cos 60 = y8

12

= y8

y = 4 y + 4 = 4 + 4 = 8 102 = 82 + z2

z2 = 36 z = 6

Altura do poste: x + z = 4 3 + 6 = 6 + 4 3 m

19) C

Seja h a altura da torre e x a distncia entre a torre e o ponto de observao no qual se formou um ngulo tal que tg = 3 3:

20) a) PQ = 4 3dm

sen = ( )1313

b) 90 e 120 voltas

a)

A

P Q

B7 dm

2 dm3 dm

r

Seja x a distncia entre P e Q:

x2 + 12 = 72

x2 = 49 1 x2 = 48

x = 4 3

PQ = 4 3 dm

Seno do ngulo BPQ ():

No tringulo BPQ, a distncia PB=hipotenusa=y

y2 = 22 + (4 3)2

y2 = 4 + 48 y2 = 52

y = 2 13 dm

sen = cateto opostohipotenusa

sen = 22 3

= 1

13 .

13

13 =

1313

sen = 1313

= 3

rad = 60

tg 60 = hx4+

3 = hx4+

4 3 + x 3 = h

x 3 = h 4 3

tg = hx

x 3 = h3

x 3 = h 4 3

x 3 = h3

h 4 3 = hx

h h3

= 4 3

23h = 4 3

h = 6 3

GABARITO

6 Matemtica B

b) O ngulo da roda maior descreve um ngulo de 60. Des-sa forma a distncia percorrida pela bicicleta numa volta

completa da roda maior (360) 60360

o

D=60360

o

2r=dm

Comprimento da circunferncia menor C2 = 2r C2=4dm

C2=22dm Seja o ngulo descrito pelos raios da roda menor e

observando a relao envolvendo o comprimento da cir-cunferncia menor e a distncia percorrida pela bicicleta:

D C

o

=360

2

=

3604

o

= 90o

Comprimento da circunferncia maior C1=2r=C1=6,

A relao entre os comprimentos C1 e C2 CC

1

2

= 64

=

= 32

= 1,5

Isso significa que quando a roda maior d uma volta completa, a roda menor d 1,5 volta. Nessas condi-es, para 80voltas da roda maior, a roda menor dar 1,5x80=120voltas

21) 11,5 metros

Sendo L1 = 30 cm e L2 = 20 cm:

2 1

10 m

1,5 m

h 1,5

x

22) D

x = OA0

sen 30 = 1x

12

= 1x

x = 2

ngulo0 = 60 y = A0 A2

cos 60 = y1

y = 12

= 0,5

OA2 = 2 0,5 = 1,5 z = A2 A3

sen 30 = z15,

12

= z15,

z = 152,

=

322

= 34

23) C

Seja x o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaixo.

x

30

60

30

20 cm

tg 30 = 20x

3

3 = 20

x x = 20 3 cm

Cada deg