GABARITO

1Matemática B

Matemática B – Extensivo – V. 1

Exercícios

30° 45° 60°

sen12

22

32

cos 32

22

12

tan 33

1 3

01) E

x2 + 42 = 52

x2 = 25 – 16 x2 = 9 x = 3

sen 30° = cateto opostohipotenusa

12

= 4y

y = 8

x + y = 3 + 8 = 11

02) 2 3 + 2 m

Seja O a origem no solo alinhado verticalmente com o bastão. A medida OB será a altura x da colina.

Importante observar que o triângulo AOC é isósceles

com as medidas AO = OC = 4 + x.

tg 30° = cateto oposto

cateto adjacente

3

3 =

xx4+

4 3 + x 3 = 3x

x 3 – 3x = –4 3

x 3 – 3 = –4 3

x = −−=−

4 3

3 3

4 3

3 3

x = 4 3

3 3

3 3

3 3

12 3 129 3

12 3 129 3−

++

=+−

=+−

.

x = 12 3 126+ = 2 3 + 2 m

03) 22 m

Seja x a medida entre o prédio maior e a base da escada que está apoiada. Também, seja y a medida da entre a base do prédio menor e a base da escada nele apoiada.

cos 60° = x20

12

= x20

2x = 20 x = 10

cos 45° = y

12 2

2

2 = y

12 2

2y = 12 4

y = 12 22.

= 12

y = 12

Distância entre os prédios = 10 + 12 = 22 m

04) A

Seja QR = x

tg 30° = a bx+10

tg 60° = a bx

3

3 =

a bx+10

3 = a bx

x 3 10 3

3+

= a b x 3 = a b

⇒ x 3 10 33+

= x 3

x 3 + 10 3 = 3x 3

3x 3 – x 3 = 10 3 3x – x = 10 x = 5

x 3 = a b

a b = x 3

a b = 5 3

Mas o cateto a b multiplicado por 3 fica:

5 3 . 3 = 5 . 3 = 15 unidades

GABARITO

2 Matemática B

05) B

Seja x a altura da parte do prédio (cateto oposto ao ângulo α) em que se forma um triângulo retângulo.

Com o valor do seno de α podemos encontrar o cos-seno e a tangente de α utilizando a relação fundamen-tal sen2 α + cos2 α = 1 e a fórmula da tangente em

função de seno e cosseno. Para sen α = 45

, inicialmen-

te calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ângulo.

sen2 α + cos2 α = 1

45

2 + cos2 α = 1

1625

+ cos2 α = 1

cos2 α = 925

cos α = 35

tg α = sen ααcos

tg α =

4535

= 45

. 53

= 43

tg α = 43

Tangente de α em função dos catetos:

tg α = x8 4,

43

= x8 4,

x = 11,2

Logo, x   +  a l tura da casa  =  a l tura do pré-dio = 11,2 + 4,8 = 16

06) A

F

B

A

x cateto oposto

600

cateto adjacente

30o

H

Seja x a altura da montanha.

tg 30° = cateto oposto

cateto adjacente

tg 30° = x

600

3

3 =

x600

3x = 600 3

x = 600 3

3 x = 200 3 m

07) A

Altura da rampa = 15 cm + 15 cm = 30 cm = 0,3 m = ca-teto oposto ao ângulo de 30°.

x = comprimento da rampa.

sen 3° = 0 3,x

0,05 = 0 3,x

x = 0 30 05,,

x = 6 m

08) E

tg 30° = x

y80+

3

3 =

xy80+

tg 60° = xy

3 = xy

x = y 3

3

3 =

xy80+

3

3 = y

y3

80+

80 + y = 3 3

3

y

3y – y = 80 y = 40

x = y 3

x = 40 3 x = 69,2

Altura do prédio é igual a x mais a altura da pessoa, que é 1,80 m. Logo, x + 1,80 = 69,2 + 1,80 ≈ 71 m.

GABARITO

3Matemática B

09) C

cos 45° = 1000x

2

2 =

1000x

x = 1000 2 ≈ 1414 m

10) A

13) 100 m

Observe que a h (altura) é a mesma medida do cateto adjacente no triângulo:

45°

45°

h

h

Logo, com relação:

h

200 m

60°

30°

sen θ = cateto opostohipotenusa

sen 30° = h

200

12

= h

200 h = 100 m

14) 75

Seja F o ponto de interceptação do segmento AC no

segmento DE. Observe ainda que o ângulo DF^

A mede 30° fazendo com que esse triângulo seja isósceles. Seja

x = DF = AE:

cos 60° = 10

2L

12

= 10

2L L2 = 20

tg 60° = H10

3 = 12

H = 10 3

sen 30° = HL1

12

= 10 3

1L

L1 = 20 3

L ≈ 34,6

L1 + L2 = 20 + 34,6 L1 + L2 ≈ 54,6 m

11) C

tg 60° = x18,

3 = x18,

x = 1,8 3 x ≈ 3,1

12) D

Conforme os dados do exercício, podemos montar o esquema da figura abaixo. Para calcular a distância AD = x, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

C

6

B

8 – x

DA

8

x

x

x2 = 62 + (8 – x)2

x2 = 36 + 64 – 16x + x2

16x = 100

x = 254

tg 30° = x50

3

3 =

x50

x = 50 33

DF = 50 33

⇒ FA = 50 33

cos 30° = x

50 33

32

= x

50 33

2x = 50 3 3

3.

2x = 50 33.

2x = 50 x = 25

Portanto, AB = 50 + 25 = 75

GABARITO

4 Matemática B

15) h = d tg tgtg tg. ( ) . ( )( ) ( )

α ββ α−

Seja x a distância entre o ponto B e o pinheiro.

tg (α) = hd x+

d + x = h

tg ( )α

x = h

tg ( )α – d

tg (α) = hx

x = h

tg ( )β

⇒ h

tg ( )α – d =

htg ( )β

h

tg ( )α –

htg ( )β

= d

h 1 1tg tg( ) ( )α β

−

= d

h tg tgtg tg( ) ( )( ) . ( )β αα β−

= d

h = d

tg tgtg tg( ) ( )( ) . ( )β αα β−

h = d tg tgtg tg. ( ) . ( )( ) ( )

α ββ α−

16) C

Observe que a hipotenusa do triângulo destacado é 2,5 m

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado para obter y:

2,52 = 1,52 + y2

y2 = 6,25 – 2,25 = 4,00 y = 2 m

17) D

3 tg α = 4 tg β

tg α = 43tg β

tg α = hPT

hPT

= 43tg β

tg β = 34

hPT

tg β = hPT−10

hPT−10

= 34

hPT

h – 10 = 34h

4h – 40 = 3 h h = 40 m

Outra solução:

Observe que:

• OânguloCD^

A é de 120° (90° + 30°)• OânguloAC

^

D é de 30°• OânguloDÂCéde30°

• OΔ ACD é isósceles; logo, CD DA= = 50

• sen30°=AE50

⇒ 12

= AE50

⇒ AE = 25.

Logo, AB = 25 + 50 = 75

Seja z = y + x 3,92 = 1,52 + z2

z2 = 12,96 z = 3,6 x + y = 3,6 x + 2 = 3,6 x = 1,6

GABARITO

5Matemática B

18) 6 + 4 3 m

8 m

60°

cabo

y

y + 4

4

y + 4

z

x

10

sen 60° = x8

32

= x8

x = 4 3

cos 60° = y8

12

= y8

y = 4 y + 4 = 4 + 4 = 8 102 = 82 + z2

z2 = 36 z = 6

Altura do poste: x + z = 4 3 + 6 = 6 + 4 3 m

19) C

Seja h a altura da torre e x a distância entre a torre e o ponto de observação no qual se formou um ângulo β

tal que tg β = 3 3:

20) a) PQ = 4 3 dm

sen α = ( )1313

b) 90° e 120 voltas

a)

A

P Q

B7 dm

2 dm3 dm

rα

Seja x a distância entre P e Q:

x2 + 12 = 72

x2 = 49 – 1 x2 = 48

x = 4 3

PQ = 4 3 dm

Seno do ângulo BPQ (α):

No triângulo BPQ, a distância PB = hipotenusa = y

y2 = 22 + (4 3)2

y2 = 4 + 48 y2 = 52

y = 2 13 dm

sen α = cateto opostohipotenusa

sen α = 2

2 3 =

1

13 .

13

13 =

1313

sen α = 1313

α = π3

rad = 60°

tg 60° = hx4+

3 = hx4+

4 3 + x 3 = h

x 3 = h – 4 3

tg β = hx

x 3 = h3

x 3 = h – 4 3

x 3 = h3

h – 4 3 = hx

h – h3

= 4 3

23h = 4 3

h = 6 3

GABARITO

6 Matemática B

b) O ângulo da roda maior descreve um ângulo de 60°. Des-sa forma a distância percorrida pela bicicleta numa volta

completa da roda maior (360°) é 60360

o

D = 60360

o

 2πr = πdm

Comprimento da circunferência menor C2  =  2πr → C2 = 4π dm

C2 = 2π2 dm Seja α o ângulo descrito pelos raios da roda menor e

observando a relação envolvendo o comprimento da cir-cunferência menor e a distância percorrida pela bicicleta:

αD C

o

=360

2

απ π=

3604

o

α = 90o

Comprimento da circunferência maior C1 = 2πr = C1 = 6π,

A relação entre os comprimentos C1 e C2 é CC

1

2

= 64

ππ

=

= 32

= 1,5

Isso significa que quando a roda maior dá uma volta completa, a roda menor dá 1,5  volta. Nessas condi-ções, para 80 voltas da roda maior, a roda menor dará 1,5 x 80 = 120 voltas

21) 11,5 metros

Sendo L1 = 30 cm e L2 = 20 cm:

�2 �1

10 m

1,5 m

h – 1,5

x

22) D

x = OA0

sen 30° = 1x

12

= 1x

x = 2

ÂnguloÂ0 = 60° y = A0 A2

cos 60° = y1

y = 12

= 0,5

OA2 = 2 – 0,5 = 1,5 z = A2 A3

sen 30° = z15,

12

= z15,

z = 152,

=

322

= 34

23) C

Seja x o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaixo.

x

30°

60°

30°

20 cm

tg 30° = 20x

3

3 = 20

x x = 20 3 cm

Cada degrau mede 20 3 cm de comprimento. Como o comprimento horizontal da escada é de

280 3 cm, então, para calcular a quantidade de degraus, basta dividir o comprimento da escada pelo comprimento do degrau.

280 3

20 3

cm

cm = 14 degraus

tg α = 1030

= 13

tg α = h

x−15,

→ 13

= h

x−15,

x = 3h – 4,5 –i

tg β = 1020

= 12

tg β = hx−−1510,

→ 12

= hx−−1510,

x – 10 = 2h – 3 x = 2h + 7 –ii

Juntando i e ii, temos:

3h – 4,5 = 2h + 7 3h – 2h = 7 + 4,5 h = 11,5 m

GABARITO

7Matemática B

24) D

Considere x = BE:

cos 16° = 3 84,x

0,96 = 3 84,x

x = 3 840 96,,

= 4 m

Como o comprimento do telhado é de 4  m, e esse comprimento deve ser formado por duas ecotelhas com 2,20 m cada uma, portanto 2,2 + 2,2 = 4,4 m. Logo, o transpasse será de 40 cm.

25) D

Seja x = AD e y = DO:

27) 31

01. Correto. 42 = 22 + 32 – 2 . 2 . 3 cos B 16 = 4 + 9 – 12 cos B 12 cos B = 13 – 16

cos B = −14

02. Correto. 32 = 22 + 42 – 2 . 2 . 4 cos A 9 = 4 + 16 – 16 cos A 16 cos A = 20 – 9

cos A = 1116

04. Correto. 22 = 32 + 42 – 2 . 3 . 4 cos C 4 = 9 + 16 – 24 cos C 24 cos C = 25 – 4

cos C = 78

sen2 C + cos2 C = 1 sen2 C = 1 – cos2 C

sen2 C = 1 – 78

2

sen2 C = 1564

sen C = 158

08. Correto. sen2 B + cos2 B = 1 sen2 B = 1 – cos2 B

sen2 B = 1 – −14

2

sen2 B = 1516

sen B = 154

16. Correto.

O triângulo ABC é obtusângulo, pois cos B = −14

⇒

90° < B < 180°.

sen 60° = xr

32

= xr

x = 32r

AD = 32r

32

2r

+ y2 = r2

y2 = r2 – 34

2r

y = r2

DB = r – r2

= r2

BE = DO = r2

CE = r – 32r

AD + DB + BE + CE = 32r +

r2

+ r2

+ r – 32r

AD + DB + BE + CE = 22r + r

AD + DB + BE + CE = 2r

26) B

B = 180 – 75 – 45 = 60° x = Distância do ponto A ao ponto C

845 60sen

xseno o

=

8

22

32

=x

x 22

8 32

=

x 22

2 8 3

2 2

8 3

2= =

.

x = 8 3

2

2

2.

x = 4 6

GABARITO

8 Matemática B

28) A

Observe que o ângulo 75° = 45° + 30°. Com os dados o triângulo fica.

C

BAc = 2

b

a

45°

60° 75°

Para calcular os lados a fim de obter o perímetro, neces-sitaremos calcular o valor do seno de 75°. Utilizaremos o seno de arco duplo:

sen (a + b) = sen (a) cos (b) + cos (a) sen (b) sen 75° = sen (45° + 30°) sen a + b = sen a cos b + cos a sen b sen 45° + 30° = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30°

sen 45° + 30° = 2

2 .

32

+ 2

2 . 12

sen 45° + 30° = 64

+ 24

sen 45° + 30° = 6 24+

sen 75° = 6 24+

245 60sen

aseno o

=

2

22

32

=a

2 . 32

= a 22

a 2 = 2 3

a = 6

29) C

A

CB8

46

O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior lado. Com a lei dos cossenos podemos calcular o cosseno de A:

82 = 42 + 62 – 2 . 4 . 6 . cos A 48 cos A = 52 – 64

cos A = −

14

sen2 A + cos2 A = 1

sen2 A + −

14

2

= 1

sen2 A = 1 – 116

sen2 A = 1516

sen A = 154

30) 15 m

C = 180° – 60° – 75° = 45°

3045 60sen

xseno o

=

30

22

32

=x

30 . 32

= x2

2

x = 30 3

2 .

2

2

x = 15 6

245 75sen

bseno o

=

2

22

6 24

=+b

b 22

26 24

=+

b 2 46 24

=+

b 2 = 6 + 2

b = 6 2

2

+

b = 6

2 +

2

2

b = 3 + 1

Perímetro: P = a + b + c

P = 2 + 3 + 1 + 6

P = 3 + 3 + 6 cm

Seja y a altura do edifício CD.

tg 30° = y

15 6

3

3 = y

15 6

y = 15 6 3

3

y = 5 18 m

Agora, dividindo o resultado por 2:

5 18

2 = 5 9 = 15 m

GABARITO

9Matemática B

31) B

630

8sen sen Bo

=

612

8=

sen B

6 sen B = 82

6 sen B = 4

sen B = 23

32) C

Esse triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Sem perda de generalidade considere o triângulo:

2 2

1

12 = 22 + 22 – 2 . 2 . 2 cos β 8 cos β = 8 – 1

cos β = 78

22 = 22 + 12 – 2 . 2 . 1 cos α 4 cos α = 5 – 4

cos α = 14

Logo, os cossenos desses ângulos são: 14

, 14

e 78

.

33) 12

A Bx + 1

y

x

C

x + 2

cos B = 35

sen2 B + cos2 B = 1

sen2 B + 35

2 = 1

sen2 B = 1 – 925

sen2 B = 1625

sen B = 45

Pela lei dos cossenos: x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2 – 2(x + 1) . (x + 2) cos B

x2 = x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 – 2(x2 + 2x + x + 2)35

0 = x2 + 6x + 5 – (2x2 + 4x + 2x + 4)35

5 30 25 6 12 6 12

5

2 2x x x x x+ + − − − − = 0

–x2 + 12x + 13 = 0 ou

x2 – 12x – 13 = 0 x

x1

2

13

1

=

=−

Não serve.

Logo, os lados do triângulo são 13, 14 e 15. Agora basta calcular a altura y.

sen B = y

13 2+

45

= y15

y = 15 45.

y = 12

34) D

Observe que ABD = 60 + 90 = 150°. Com a lei dos cossenos para cos 150° = –cos 30° e x = AD:

x2 = 32 + 42 – 2 . 3 . 4 (–cos 30°)

x2 = 9 + 16 + 24 . 32

x2 = 25 + 12 3

x = 25 12 3+

GABARITO

10 Matemática B

35) A

C

N

PA

20°

200 m

50°

B

3003 m

200 m

130°

20°

70°90°

50°

150°

B

Com o ângulo ABC = 150°, podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância

x = AC e cos 150° = –cos 30°.

x2 = 300 32 + 2002 – 2 . 300 3 . 200 cos B

x2 = 90000 . 3 + 40000 – 120000 3 . −

32

x2 = 270000 + 40000 + 60000 . 3 x2 = 490000 x = 700 m

36) E

PS^

Q = 60° PQ

^

S = 30° Seja PS = x:

tg 30° = x

3

3

3 =

x

3 x = 1 PS = 1

RS = 12 – x RS = 11

Aplicando a lei dos senos com sen (120°) = sen (60°) no triângulo QRS:

11 14760sen sen oα

=

11 147

32

sen α=

11 147

12

3sen α= .

QS = y

y2 = 12 + 32

y2 = 1 + 3 y = 2 QS = 2

QR = z

z2 = 122 + 32

z2 = 144 + 3

z = 147

QR = 147

112

1473sen α

=

11sen α

= 2 49

11sen α

= 2 . 7

11sen α

= 1114

37) 2 km

OÂP=120° BAP = 60° AP

^

B = 45°

AP = y

AB = x

3 3

120 30+

=sen

yseno o

3 3

32

12

+=

y

y 32

3 32

=+

y 3 = 3 + 3

y = 3 3

3

3

3

3 3 33

+=

+.

y = 3 + 1

x

sen seno o453 175

=+

Pelo exercício 28, sen 75° = 6 24+

x

22

3 1

6 24

=++

x = 22

3 11

4

6 2. .

++

x = 6 22

4

6 2

++

.

x = 2 AB = 2 km

GABARITO

11Matemática B

38) B

MB

BN

=

=

1212

No triângulo MBN dispomos da medida dos três lados. Dessa forma podemos utilizar a lei dos cossenos no ângulo B:

144

2

= 12

2 +

12

2 –2

12

.

12

cos B

78

= 14

+ 14

– 24

cos B

78

= 24

– cos B2

cos B2

= 12

– 78

cos B2

= –38

cos B = –34

A = 180 – B

cos A = cos(180° – B) = 34

Com a Lei dos cossenos em DAM: Seja, x = DM

x2 = 12

2 + 12 – 2 .

12

. 1 cos A

x2 = 14

+ 1 – 34

x2 = 1 4 3

4+ −

x2 = 24

x = 2

2

39) B

A

C

D

B

h

105°

50 m

30°

60°

90°

30°

Considere primeiramente o triângulo ABC, com B = 45° e x = BC:

x

sen seno o305045

=

x12

50

22

=

2

2x =

502

x = 25 2

Agora, basta calcular a altura h do triângulo retângulo BDC.

sen 30° = h

25 2

12

= h

25 2

2h = 25 2

h = 12,5 2 m

40) E

O ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo do triângulo, nesse caso calculemos o cosseno relativo ao lado x + 2:

(x + 2)2 = x2 + (x + 1)2 – 2x (x + 1) cos α (2x2 + 2x)cos α = x2 + x2 + 2x + 1 – x2 – 4x – 4 (2x2 + 2x) cos α = x2 – 2x – 3

cos α = x x

x x

2

2

2 32 2− −+( )

cos α = ( ) .( )( )

x xx x+ −

+1 3

2 1

cos α = ( )x

x−32

GABARITO

12 Matemática B

41) B

É necessário calcular os lados x e y do triângulo:

60°

8 m

yx

Com perímetro medindo 20 m, x + y + 8 = 20 x + y = 12 y = 12 – x y2 = (12 – x)2 (1)

Lei dos cossenos com lado y: y2 = x2 + 82 – 16x cos 60°

y2 = x2 + 64 – 16x . 12

y2 = x2 + 64 – 8x (2)

Utilizando a equação (1) em (2): x2 + 64 – 8x = (12 – x)2

x2 + 64 – 8x = 144 – 24x + x2

8x + 24x = 144 – 64 16x = 80 x = 5 m

x + y = 12 5 + y = 12 y = 7 m

42) A

Seja x = AB = BC e pela lei dos cossenos em 30°,

( 3 – 1)2 = x2 + x2 – 2x2 cos 30°

( 3 – 1)2 = 2x2 – 2x . 32

2x2 – x2 3 = 3 – 2 3 + 1

x2 2 – 3 = 4 – 2 3

x2 2 – 3 = 2 2 – 3

x2 = 2 2 3

2 3

−−

x2 = 2

x = 2

Para cálculo da área, vamos utilizar a fórmula:

Área = AB BC sen o. . 30

2

Área = 2 2

12

2

. .

Área = 2

12

2

.

Área = 12

43) B

A

5

5

4 D

B

C

4

O

3

No triângulo retângulo BOC, onde B é o ponto médio

de CD, temos:

• sen(OC^

B) = OB

OC ⇒

13

= OB4

⇒ OB = 43

• (OB)2 + (BC)2 = (OC)2 ⇒ 43

2 + (BC)2 = 42 ⇒

⇒ (BC)2 = 1289

⇒ BC = 8 23

A área S do Δ OCD é:

S = CD OB.

2 = BC . OB =

8 23

. 43

= 32 29

GABARITO

13Matemática B

44) B

Utilizaremos uma fórmula da bissetriz (triângulo)

Bissetriz (A) = AC AB

AC AB

.

+ . 2 cos

A2

Seja x = AB

2 = 3

3xx+

. 2 cos 90245

o

o

�

Obs.: cos 45° = 2

2

2 = 3

3xx+

. 2 2

2

1 = 3

3xx+

. 1

3x = 3 + x

x = 32

46) A

Seja x = AB → AC = 3x

322 = x2 + (3x)2 – 2 . x . 3x . cos α

32 = x2 + 9x – 6x2 . 13

32 = x2 + 9x2 – 2x2

32 = 8x2

x = 2

Então, AB é um inteiro par! Com a lei dos cossenos em β que é o ângulo oposto

ao lado x:

22 = 62 + 322 – 2 . 6 . 32 . cos β

4 = 36 + 32 – 12 . 4 . 2 . cos β 48 2 . cos β = 64

cos β = 64

48 2

cos β = 4

3 2 .

2

2

cos β = 4 23 2.

cos β = 2 23

≈ 0,942809

O cosseno é uma função decrescente no primeiro

quadrante, e como 0,94 >  12

, podemos concluir que o

ângulo β < 30°.

47) B

No triângulo BAD com a lei dos cossenos: DB2 = 132 + 462 – 2 . 13 . 46 . cos 120° DB2 = 169 + 2116 – 1196 cos 120°

DB2 = 2285 + 1196 . 12

DB2 = 2285 + 598 DB2 = 2883

DB = 2883

DB = 961 3.

DB = 31 3

Como m(AB^

C) + m(AD^

C) = 90° + 90° = 180° e AB^

C e AD^

C são ambos ângulos retos, o quadrilátero ABCD é inscritível em uma circuferência de diâmetro AC. Logo, AC é igual ao dobro do raio R da circunferência circuns-crita ao triângulo ABD.

Assim, pela lei dos senos:

AC = 2R = BDsen BÂD

= 31 3120sen o

= 31 3

32

= 62

Agora, basta utilizar o te-orema de Pitágoras para calcular a hipotenusa BC:

BC2 = AC2 + AB2

BC2 = 32 + 32

2

BC2 = 9 + 94

BC2 = 454

BC = 454

BC = 3 52

45) C

(a + b + c)(a + b – c) = 3ab a2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ac + bc – c2 = 3ab a2 + 2ab + b2 – c2 = 3ab Isolando c: a2 + 2ab + b2 – c = 3ab c2 = a2 + 2ab + b2 – 3ab c2 = a2 + b2 – ab (A)

Mas pela lei dos cossenos em C: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C (B) Fazendo (A) = (B): a2 + b2 – 2ab cos C = a2 – ab + b2

–2ab cos C = a2 – ab + b2 – a2 – b –2ab cos C = –ab

cos C = abab2

cos C = 12

Logo, C = 60°

GABARITO

14 Matemática B

48) D

A

B

C

b

a

c

Pela lei dos senos, temos que a

senb

senc

senα β γ= = ,

ou ainda escrevendo a mesma lei de forma diferente,

sensen

αγ

= ac

= 1 ⇒ a = c

sensen

αβ

= ab

= 35

⇒ b = 53a

ou b = 53c

a + b + c = 44

c + 53c + c = 44

2c + 53c = 44

c = 3 . 4411

c = 12 Como a = c, a = 12 a + b + c = 44 12 + b + 12 = 44 b = 20

Maior lado, b = 20.

49) D

Seja b o lado oposto ao vértice B. Pela lei dos cossenos: 42 = b2 + 12 – 2 . b . 1 cos x 16 = b2 + 1 – 2b cos x b2 – 2b cos x – 15 = 0 Com a fórmula de Báscara:

b = −− ± − −( cos ) ( cos ) . . ( )

.

2 2 4 1 15

2 1

2x x

b = + ± +2 4 60

2

2cos cosx x

b = 2 4 15

2

2cos (cos )x x± +

b = 2 2 15

2

2cos cosx x± +

b = cos x ± cos2 15x+ Interessante que até aqui já dispomos de um resultado

válido, no entanto aplicando a igualdade fundamental da trigonometria:

cos

cos

2 2

2 2

1

1

x sen x

x sen x

+ =

= −

b = cos x ± 1 152− +sen x

b = cos x ± 16 2−sen x

50) B

Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência e que determina um arco com o mesmo comprimento que o raio dessa circunferência.

51) E

1 cm

1 rad

A

B

O 1 rad (1 cm)

O é o centro da circunferência de raio AO = OB. Como o comprimento de arco menor AB é 1  cm, o

perímetro em cm é igual: 2π .1 – 1 + 1 + 1 = 2π + 1

52) C

sen (x) = 1213

sen2 x + cos2 x = 1

1213

2 + cos2 x = 1

cos2 x = 1 – 144169

cos2 x = 25169

cos x = 513

Resposta: −53

, pois está

no segundo quadrante.

GABARITO

15Matemática B

53) A

sen (x) = −45

, 32π

< x < 2π

tg x = ? sen2 x + cos2 x = 1

cos2 x = 1 – −

45

2

cos2 x = 1 – 1625

cos x = 35

tg (x) = sen x

x( )

cos ( ).=

−=−4

553

43

tg (x) = −43

54) A

cos α = 35

sen2 x + cos2 x = 1

sen2 x + 35

2 = 1

sen2 x = 1 – 925

sen2 x = 1625

sen x = 45

tg x = sen x

x( )

cos ( ).= =

45

53

43

tg x = 43

55) E

Dividimos 4555° por 360°, e analisamos o resto da divisão  =  235°. Esse é o ângulo equivalente e está no terceiro quadrante, e seu ângulo côngruo é 4555° – 360° = 4195°.

56) A

sen (x) = 2m – 3 0 < 2m – 3 < 1 3 < 2m > 1 + 3 3 < 2m < 4

32

< m < 2

57) 13

sen (x) = –1

y = 37 23

37 2 13

37 23

−=

− −=

+sen x( ) ( ) = 13

y = 13

58) C

θ π π∈

2

,

cos θ = 3 1

4m−

–1 < 3 1

4m−

< 0

–4 < 3m –1 < 0 –4 + 1 < 3m < 1 –3 < 3m < 1

–1 < m < 13

59) C

–1 < 2k – 1 < 0 –1 + 1 < 2k < 1 0 < 2k < 1

0 < k < 12

60) A

seno cosseno

tangente cotangente

sen α < 0 e cos α < 0 → α ∈ 3° Q cos β < 0 e tg β < 0 → β ∈ 2° Q sen γ > 0 e cotg γ > 0 → γ ∈ 1° Q

GABARITO

16 Matemática B

61) C

31

1,57

3,14

I. sen 1 < sen 3 (falso)II. cos 1 < cos 3 (falso)III. cos 1< sen 1 (verdadeiro)

62) zero

sen seno o40 320 13

243 157

23+

−

. log

π Temos que: sen 320° = –sen 40°

Então, sen seno o40 40 13

243 157

23−−

. log

π =

0 13

243 157

23. log

−

π

= 0

243 157

23

−

π

= 023 = 0

63) V – F – V – V – V – V – V

Verdadeira. sen2 x + cos2 x = 1. Relação fundamental Falsa. sen x2 = sen2 x sen(x . x) ≠ sen x . sen x Verdadeira. sen x2 = (sen x)2

Verdadeira. cos 3 < 0

3

Verdadeira. sen 17° = cos 73° sen (x) = cos (90° – x) Verdadeira. sen2 20° + sen2 70° = 1 sen 70° = cos 20° Relação fundamental Verdadeira. tg 40° . tg 50° = 1

Considere: sen

sen

o o

o o

40 50

40 50

==

cos

cos,

sen sensen

seno

o

o

o

o

o

o

o

4040

5050

5050

5050cos

.cos

cos.cos

= = 1

64) E

Alternativa falsa.

cos x < 0 e tg x < 0, então π2

< x < 32π

π2

< x < π

65) D

CAB = 2360

πrao

CAB = 2 60

360π . . a

o

a ≈ 120°

cos 120° = –cos 60° = −12

66) D

Da letra A à R teremos 18 cadeiras.

Move-se 56

de uma volta.

18 . 56

= 15 → P

67) C

I. Falso. cos(–x) = –cos(x)

II. Verdadeiro. cos(π2

– x) = sen (x)

III. Verdadeiro. cos (π – x) + cos (x) = 0 –cos (x) + cos (x) = 0

GABARITO

17Matemática B

68) A

sen α = cos β, então α = π2

– β

I. Verdadeiro. α + β = π2

+ 2kπ

π2

– β + β = π2

+ 2kπ

II. Verdadeiro. sen2 α + sen2 β = 1

sen α = sen (π2

– β) = cos β

cos2 β + sen2 β = 1III. Falso. sen (–α) = cos (–β)

69) 12

01. Falso. sen 315° = –sen 45°

sen 74π = –sen

π4

02. Falso. π→→

180

1

o

x 3,14x = 180 x ≈ 57,32°04. Verdadeiro. 1h20min min = 4 . 30° = 120° horas = 30° + 10° = 40° 120° – 40° = 80°08. Verdadeiro. 2r = 28 L = 12 cm R = 14 cm 12 = 14 . a

a = 1214

= 67

< 1

16. Falso. 13 45 2

p.d.p = 54π

rad

70) C

Dados um triângulo de lados a, b e c; a relação entre a medida da mediana relativa à hipotenusa:

m2 = 24

2 2 2( )b c a+ − , como o triângulo é retângulo, e a

a hipotenusa, logo:

m2 = 2

4

2 2a a−

m2 = a2

4 → triângulo proposto m2 = bc

bc = a2

4

ab

aa

= 1

4 → (cos α)(cos β) = 1

4 Mas α, β são ângulos complementares, pois o triângulo

é retângulo. sen α = cos β.

(cos α)(cos β) = 14

→ 2(cos α)(cos β) = 12

→ sen(2 α)

= 12

sen2 (2 α) + cos2 (2 α) = 1

14

+ cos2 (2 α) = 1 → cos(2 α) = 32

A resposta negativa não tem validade, pois o ângulo está no primeiro quadrante.

Usando a relação trigonométrica: cos2 (α) = 1 22

+ cos ( )α :

cos2 (α) =

132

2

+

cos2 (α) =

2 32

2

+

cos2 (α) = 2 3

4+

cos (α) = 2 34+

71) C

π = 3,14 N + 1 = ?

N < 2 3 140 8. ,,

= 7,85

Logo, o maior valor de N é 7. Com isso, 7 . 0,8 + a = 2π 5,6 + a = 2 . 3,14 a = 0,68

72) B

Maria Restaurante

Lanchonete

= =

= =

5 212

56

4 212

46

.

.

π π

π π

R R

R R

Carmem

Restaurante

Lanchonete

=

= + =+

=+

2

2 112

6126

R

RR R Rπ π( )

GABARITO

18 Matemática B

Sérgio

Restaurante

Lanchonete

= + =+

=+

= +

2 2212

12 26

12 26

2 12

RR R R R

R

.( )

.

π π π

ππ π πR R R R12

126

126

=+

=+

( )

I. Correta.II. Correta.III. Correta.

73) 9600 km.

L = 2360π αR

o =

2 90360πR

= 2 3 64004

. . = 9600

L = 9600 km