Post on 05-Feb-2018
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
ALEJANDRO TERÁN C.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
2
MODELO M/G/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
3
MODELO M/G/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ =
P0 = 1 - = 1 - ρ
Lq = =
L = Lq + = Lq + ρ
Wq =
W = Wq +
PW = = ρ
µλ
µλ
)/1(2)/( + 222
µλ−µλσλ
)1(2
222
ρ−ρ+σλ
µλ
λqL
µ1
µλ
ρ < 1
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
4
EJEMPLO
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,
RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO
EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓNNORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 60 CLIENTES/HORA), CON DESVIACIÓN
ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
5
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
ρ = =µλ
0.75/1 = 0.75ρ < 1
µλP0 = 1 - = 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25
µλL = Lq + = Lq + ρ = 5.625 + 0.75 = 6.375
)/1(2)/( + 222
µλ−µλσλ
)1(2
222
ρ−ρ+σλLq = = = [(0.75)2(2)2 + (0.75/1)2]/[2(0.25)]
= 5.625
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
6
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
Wq = =λqL 5.625/0.75 = 7.5 MINUTOS
µ1W = Wq + = 7.5 + 1 = 8.5 MINUTOS
µλPW = = ρ = 0.75
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
7
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMG1Cl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
8
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMG1Cl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
9
MODELO M/D/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
10
MODELO M/D/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ =
P0 = 1 - = 1 - ρ
Lq = =
L = Lq + = Lq + ρ
Wq =
W = Wq +
PW = = ρ
µλ
µλ
)/1(2)/( 2
µλ−µλ
)1(2
2
ρ−ρ
µλ
λqL
µ1
µλ
ρ < 1
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
11
EJEMPLO
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,
RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO
EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA(CAPACIDAD DEL SERVICIO: 60 CLIENTES/HORA).
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
12
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
ρ = =µλ
0.75/1 = 0.75ρ < 1
µλP0 = 1 - = 1 - ρ = 0.75/1 = 0.75
µλL = Lq + = Lq + ρ = 1.125 + 0.75
= 1.875
)/1(2)/( 2
µλ−µλ
)1(2
2
ρ−ρLq = = = (0.75)2/[2(0.25)]
= 1.125
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
13
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
Wq = =λqL
= 1.125/0.75
= 1.5 MINUTOS
µ1W = Wq + = 1.5 + 1
= 2.5 MINUTOS
µλPW = = ρ = 0.75
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
14
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMD1Cl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
15
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMD1Cl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
16
MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA POR BLOQUEO
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• K SERVIDORES (/k).
• DISCIPLINA FIFO.
SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
17
MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
Pj = ( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
j
!i/
!j//
PK = ( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
k
!i/
!k//
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L = (1 - PK)µλ
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
18
EJEMPLO
EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS.
LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA TASA DE 12 LLAMADAS/HORA.
EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6 CLIENTES/HORA.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
19
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 12 LLAMADAS/HORA.
µ = 6 LLAMADAS/HORA.
K = 3 SERVIDORES.
λ/µ = 12/6 = 2
( )∑=
µλK
0i
i
!i/
= 20/0! + 21/1! + 22/2! + 23/3!
= 19/3 = 6.3333
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
20
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
λ = 12
µ = 6
λ/µ =2
K = 3
Pj = ( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
j
!i/
!j//
P0 =
P1 =
P2 =
P3 =
(20/0!)/(19/3) = 3/19 = 0.15785
(21/1!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
(22/2!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
(23/3!)/(19/3) = 4/19 = 0.210526
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
21
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
P3 = = 4/19 = 0.210526( )
( )∑=
µλ
µλk
0i
i
3
!i/
!3//
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS λ = 12
µ = 6
λ/µ =2
K = 3
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L = (1 - PK)µλ = (2)(1 - 4/19) = 30/19 = 1.578947
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
22
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
23
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
24
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMGKBloqCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
25
MODELO M/M/1 CON POBLACIÓN FINITA DE CLIENTES
(MACHINE REPAIR PROBLEM)
SISTEMA M/M/1 CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS.
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
26
MODELO M/M/1/N: MEDIDAS DE DESEMPEÑOP0 =
Lq =
L = Lq + (1 - P0)
Wq =
W = Wq +
Pn =
( )λ−LNLq
µ1
( )∑=
µλ
−
N
0n
n
!nN!N
1
( )0P1N −λµ+λ
−
( ) 0
nP
!nN!N
µλ
−
ρ < 1
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
27
EJEMPLO
UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE LOS
EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE 20
HORAS.
PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE
MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA.
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
28
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
P0 = =
( )∑=
µλ
−
N
0n
n
!nN!N
1(1/2.06392) = 0.4845
( )∑=
µλ
−
N
0n
n
!nN!N
= (6!/6!)(0.1)0 + (6!/5!)(0.1)1 + (6!/4!)(0.1)2 + (6!/3!)(0.1)3
+ (6!/2!)(0.1)4 + (6!/1!)(0.1)5 + (6!/0!)(0.1)6
= 2.06392
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
29
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
P0 = 0.484515
Lq = =
L = Lq + (1 - P0) =
( )0P1N −λµ+λ
− = 6 - [(0.05+0.5)/0.05](1 - 0.0484515)
= 0.329664 MÁQUINAS
= 0.329664 + (1 - 0.0484515)
= 0.844159 MÁQUINAS
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
30
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
P0 = 0.484515
Wq = =
W = Wq + =
( )λ−LNLq
µ1
(0.329664)/[(6-0.844159)(0.05)]
= 1.279044 HORAS
1.279044 + 1/0.5
= 3.279044 HORAS
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
31
EJEMPLO(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N = 6
P0 = 0.484515
Pn = = ( ) 0
nP
!nN!N
µλ
− [6!/(6-n)!](0.1)n(0.484515)
N Pn0 0.4845149041 0.2907089422 0.1453544713 0.0581417884 0.0174425375 0.0034885076 0.000348851
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
32
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
33
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
34
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls
TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS
35
EJEMPLO(CONTINUACIÓN) ColasMM1NCl.xls