MODELOS DE SISTEMAS

Modelos matemáticos

Leis físicas fundamentais

•Equações de conservação•Equações constitutivas

Sistemas•Mecânicos•Elétricos•Térmicos•Fluidos

Equações de Conservação

Conservação da quantidade de movimento linear

[ ]∑ = mvdtdF ∑ =− 0

dtdvmFpara m=const.

Conservação da quantidade de movimento angular

[ ]∑ = ωJdtdT ∑ =− 0

dtdJT ω

Equações de Conservação

Conservação da carga elétrica (Lei de Kirchoff)

∑ ==dtdeC

dtdQinó ∑ =− 0

dtdeCinó

Conservação da massa

[ ]∑ =− 0Vdtdm ρ&[ ]∑ +== ρρρ &&& VVV

dtdm

Equações de Conservação

Conservação da energia

∑ ∑

++−

+++−=

++ s

ssse

eeevcvc

vc

gZVhmgZVhmWQmzmVmudtd

222

222

&&&&

Equação de Bernoulli

sem troca de calor,trabalho ouarmazenamentode energia

anteconstZgVP=++

2

2

ρ

Equações Constitutivas

Leis físicas fundamentais que regem o comportamentode um elemento de um sistema

Exemplos

•Massa•Mola•Amortecedor

•Resistor•Capacitor•Indutor

Sistemas Mecânicos Mola

xkF =

Sistemas Mecânicos Amortecedor

dtdxcF =vcF =

Sistemas Mecânicos Massa

amF =

( )2

2

dtxdm

dtdtdxdm

dtdvmamF ====

Sistemas Mecânicos em Rotação

Mola torcional θkT =

dtdccT θω ==Amortecedor rotativo

Inércia( )

2

2

dtdJ

dtdtddJ

dtdJJT θθωα ====

Construindo um Modelo para umSistema Mecânico

∑ == 2

2

dtxdm

dtdvmFeConservação da quantidade

de movimento linear

ramortecedomolaeFFFF −−=∑

Somatório de forçasaplicadas à massa m cvkxFFe −−=∑

2

2

dtxdmcvkxF =−− Fkx

dtdxc

dtxdm =++2

2

mk

n =ωFreqüência angular natural

( )mkc

2=ζRazão de amortecimento

kFx

dtdx

dtxd

nn

=++ωζ

ω21

2

2

2

Sistemas Mecânicos de Rotação

2

2

dtdJckT θωθ =−− Tk

dtdc

dtdJ =++ θθθ

2

2

Jk

n =ωFreqüência angular natural

( )Jkc

2=ζRazão de amortecimento

kT

dtd

dtd

nn

=++ θθωζθ

ω21

2

2

2

Exemplos de Sistemas Mecânicos

Exemplos de Sistemas Mecânicos

xkxkFforçasdeSomatório 21 −−= 2

2

dtxdmforçasdeSomatório =

xkxkFdtxdm 212

2

−−=

( ) Fxkkdtxdm =++ 212

2

Portanto:

( ) ( )232121 xxkxxkforçasdeSomatório −−−=

Este somatório de forças provoca umaAceleração na massa. Assim

( ) ( )2321212

2

1 xxkxxkdtxdm −−−=

A força que causa a distensão na molainferior é F ( )121 xxkF −=

( ) Fxxkdtxdm =−+ 2322

2

1

( ) 02323

2

2 =−+ xxkdtxdm

Exemplo de Sistema MecânicoSuspensão de automóvel

Exercício p/ próxima aula:

Formulação matemática do exemplo.(Eq. Diferencial)

Exemplo de Sistema MecânicoSuspensão de automóvel