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TEMA 4 ACTUACIONES INTEGRALES
4.1 Actuaciones integrales en crucero
Hipotesis de crucero:— vuelo casi estacionario: aceleraciones despreciables (V ≈ 0, γ ≈ 0),— angulo de trayectoria muy pequeno: γ ¿ 1, Wγ ¿ D.
Ecuaciones del vuelo de crucero (vuelo simetrico en un plano vertical):
dx
dt= V
dh
dt= V γ
0 = T (h, V, π) − D(h, V, L)
0 = L − W
dW
dt= −cE(h, V, π)T (h, V, π)
(4.1)
En este problema se tienen 2 grados de libertad matematicos.
Se van a anlizar 2 actuaciones integrales: alcance y autonomıa para una carga de combustibledada. Las ecuaciones que permiten calcularlas son las siguientes:
dx
dW=
−V
cED(h, V,W )dt
dW=
−1cED(h, V,W )
(4.2)
donde se ha tomado W como variable independiente y se han utilizado las ecuaciones T = D,L = W .
Lımites de integracion:— la distancia recorrida varıa desde xi = 0 hasta el alcance xf ;— el tiempo de vuelo varıa desde ti = 0 hasta la autonomıa θf ;— el peso del avion varıa desde Wi hasta Wf = Wi − WF , siendo WF la carga de combustible.
Se van a considerar tres leyes de pilotaje:1) h=const y V =const.2) h=const y CL=const.3) V =const y CL=const.
4.1.1 Alcance.
La ecuacion que permite calcular el alcance es (ecuacion 4.2):
dx
dW=
−V
cED(h, V,W )(4.3)
41
4.1.1.1 Alcance en vuelo horizontal con V =const
Ahora se tiene un grado de libertad. En el modelo ISJ se tiene cE=const (por ser h=const).
Variables adimensionales:
µ =W
Wi, θ =
t · cE
Emax, ξ =
x · cE
EmaxVRi
, v =V
VRi
(4.4)
siendo VRila velocidad que minimiza la resistencia para la altitud ρ y el peso Wi, que viene dada por
VRi=
√2Wi
ρS
(k
CD0
)1/4
(4.5)
La resistencia viene dada por
D =Wi
2Emax
(v2 +
µ2
v2
)(4.6)
Ecuacion adimensional:dξ
dµ=
−2v3
v4 + µ2(4.7)
Lımites de integracion:— la distancia adimensional varıa desde ξi = 0 hasta ξf ;
— el peso del avion adimensional varıa desde µi=1 hasta µf = 1 − ζ, siendo ζ =WF
Wila carga de
combustible adimensional.
Para integrar esta ecuacion es necesario conocer v(µ), correspondiente al grado de libertad ma-tematico que queda libre.
Al ser V = const, se tiene v=const. La integracion de la ecuacion (4.7) da lugar al siguiente resultado:
ξf = 2v arctan[
v2ζ
v4 + (1 − ζ)
](4.8)
Optimizacion. Alcance maximo.
dξf
dv= 0 ⇒ v|(ξf )max
⇒ (ξf )max = fn(ζ) (4.9)
Variables dimensionales.
Alcance maximo
(xf )max =Emax
cE(ρ)
√2Wi
ρS
(k
CD0
)1/4
fn(ζ) (4.10)
Empuje requerido (el empuje requerido debe ser inferior al empuje maximo disponible)
T = D =12ρV 2SCD0 + k
W 2
12ρV 2S
(4.11)
El empuje disminuye a lo largo de la trayectoria.
42
4.1.1.2 Alcance en vuelo horizontal con CL=const
A partir de las expresiones W =12ρV 2SCL y Wi =
12ρV 2
RiSCLopt
se obtiene
v = c√
µ (4.12)
siendo
c =
√CLopt
CL= const (4.13)
La ecuacion (4.7) queda pues de la siguiente forma:
dξ
dµ=
−2c3
c4 + 11√
µ(4.14)
cuya integracion da lugar al siguiente resultado:
ξf =4c3
1 + c4
(1 −
√1 − ζ
)(4.15)
Optimizacion. Alcance maximo.
dξf
dc= 0 ⇒ c|(ξf )max
= 31/4
(ξf )max = 33/4(1 −
√1 − ζ
)CL|(ξf )max
=1√3CLopt
(4.16)
Variables dimensionales.
Alcance maximo
(xf )max =Emax
cE(ρ)
√2Wi
ρS
(k
CD0
)1/4
33/4(1 −
√1 − ζ
)(4.17)
Empuje requerido (el empuje requerido debe ser inferior al empuje maximo disponible)
T = WCD
CL∼ W (4.18)
(al ser CL= const, tambien se tiene CD=const en el modelo ISJ).
T |(xf )max=
2√3
W
Emax(4.19)
Velocidad de vuelo
V =
√2W
ρSCL∼
√W (4.20)
El empuje y la velocidad disminuyen a lo largo de la trayectoria.
43
Comparacion de ambos programas de vuelo.
(xf )αmax
(xf )Vmax
=33/4
(1 −
√1 − ζ
)fn(ζ)
> 1 (4.21)
4.1.1.3 Alcance en vuelo con V =const y CL=const
En este caso h no es constante, sino que varıa a lo largo del crucero. En efecto, a partir de ladefinicion de CL y de la ecuacion L = W se tiene
W =12ρV 2SCL (4.22)
que indica que la altitud aumenta a medida que el peso del avion disminuye (por ser V y CL constantes):se tiene un cruise climb.
Hipotesis adicional: En el estudio del cruise climb se supone cE=const.
Cambio de altitud.
El cambio de altitud del cruise climb se obtiene como sigue. Se considera una carga de combustibledada. A partir de la ecuacion (4.22) se tiene
W
ρ=
Wi
ρi=
Wf
ρf(4.23)
es decir
ρf
ρi=
Wf
Wi= 1 − ζ (4.24)
Esta expresion define el cambio de altitud hf − hi.Los valores de altitud inicial y final del cruise climb vienen dados por
ρi =2Wi
V 2SCL⇒ hi
ρf =2Wf
V 2SCL⇒ hf
(4.25)
Las variaciones de altitud son muy pequenas comparadas con el alcance del avion, lo que da lugar aγ ¿ 1, justificando las aproximaciones realizadas.
Ejercicio: comprobar que en la estratosfera el cambio de altitud viene dado por
hf − hi =RgΘ11
gln
11 − ζ
(4.26)
Alcance.
A partir de las definiciones de CL y CD y de la ecuacion L = W se tiene
D = WCD
CL(4.27)
44
Ası pues, como V, cE , CL y CD son constantes (en el modelo ISJ se tiene CD=const al ser CL= const)
xf = − V
cE
CL
CD
∫ Wf
Wi
dW
W=
V
cE
CL
CDln
Wi
Wf(4.28)
y tambien
xf =V
cE
CL
CDln
11 − ζ
(4.29)
Esta expresion recibe el nombre de formula de Breguet (Breguet range equation).
Optimizacion.
El valor de CL que hace que el alcance sea maximo, para una carga de combustible dada, es el quehace que la eficiencia aerodinamica E = CL/CD sea maxima, esto es, el CL optimo CLopt
=√
CD0/k.El alcance maximo viene dado por
(xf )max =V Emax
cEln
11 − ζ
(4.30)
Cruise climb con altitud inicial dada.
Si se fija la altitud inicial del cruise climb (ρi), V y CL dejan de ser independientes, estandorelacionados por
12ρiV
2SCL = Wi (4.31)
es decir, se tiene
V =
√2Wi
ρiSCL(4.32)
El coeficiente de sustentacion que maximiza el alcance es ahora
CL|(xf )max=
√CD0
3k(4.33)
siendo
(xf )max =Emax
cE(ρi)
√2Wi
ρiS
(k
CD0
)1/4 33/4
2ln
11 − ζ
(4.34)
Comparacion de los programas de vuelo.
En la figura 4.1 se representa una comparacion entre el cruise climb y los dos casos de crucerohorizontal, en el supuesto en que el cruise climb se inicie a la altitud a la que tienen lugar los cruceroshorizontales.
Comparado con el crucero horizontal de CL constante, se tiene
(xf )V,αmax
(xf )h,αmax
=ln
11 − ζ
2(1 −
√1 − ζ
) > 1 (4.35)
Por ejemplo, para ζ=0.35 se tiene (xf )V,αmax=1.11 (xf )h,α
max, es decir un incremento en alcance maximodel 11%.
45
Figura 4.1: Comparacion de programas de vuelo
4.1.1.4 Diagrama alcance-carga de pago.
Figura 4.2: Diagrama alcance-carga de pago
46
El diagrama alcance-carga de pago permite analizar la influencia de la carga de pago en el alcancemaximo que puede obtenerse (ver figura 4.2).
4.1.2 Autonomıa.
La ecuacion que permite calcular la autonomıa es (ecuacion 4.2):
dt
dW=
−1cED(h, V,W )
(4.36)
4.1.2.1 Autonomıa en vuelo horizontal con V =const.
Utilizando las variables adimensionales (4.4) se tiene la siguiente ecuacion adimensional:
dθ
dµ=
−2v2
v4 + µ2(4.37)
Lımites de integracion:— el tiempo adimensional varıa desde θi = 0 hasta θf ;— el peso del avion adimensional varıa desde µi=1 hasta µf = 1 − ζ.
Para integrar estas ecuacion es necesario conocer v(µ), correspondiente al grado de libertad ma-tematico que queda libre.
Al ser V = const, se tiene v=const. La integracion de la ecuacion (4.37) da lugar al siguienteresultado:
Autonomıa
θf = 2arctan[
v2ζ
v4 + (1 − ζ)
](4.38)
Optimizacion. Autonomıa maxima.
dθf
dv= 0 ⇒ v|(θf )max
= (1 − ζ)1/4
(θf )max = 2arctan(
ζ
2√
1 − ζ
) (4.39)
Variables dimensionales.
Autonomıa maxima
(tf )max =2Emax
cE(ρ)arctan
(ζ
2√
1 − ζ
)(4.40)
Al igual que en el caso del alcance, el empuje requerido viene dado por
T = D =12ρV 2SCD0 + k
W 2
12ρV 2S
(4.41)
disminuyendo a lo largo de la trayectoria.
47
4.1.2.2 Autonomıa en vuelo horizontal con CL=const.
Analogamente al caso del alcance, en funcion de la variable c =√
CLopt
CL= const definida en la
Seccion 4.1.1.2, la ecuacion (4.37) queda de la siguiente forma:
dθ
dµ=
−2c2
c4 + 11µ
(4.42)
cuya integracion da lugar al siguiente resultado:
θf =2c2
1 + c4ln
(1
1 − ζ
)(4.43)
Optimizacion. Autonomıa maxima.
dθf
dc= 0 ⇒ c|(θf )max
= 1
(θf )max = ln(
11 − ζ
)CL|(θf )max
= CLopt
(4.44)
Variables dimensionales.
Autonomıa maxima
(tf )max =Emax
cE(ρ)ln
(1
1 − ζ
)(4.45)
Empuje requerido (el empuje requerido debe ser inferior al empuje maximo disponible)
T = WCD
CL∼ W (4.46)
(al ser CL= const, tambien se tiene CD=const en el modelo ISJ).
T |(tf )max=
W
Emax(4.47)
Velocidad de vuelo
V =
√2W
ρSCL∼
√W (4.48)
El empuje y la velocidad disminuyen a lo largo de la trayectoria.
Comparacion de ambos programas de vuelo.
Autonomıa
(tf )αmax
(tf )Vmax
=ln
(1
1 − ζ
)2 arctan
(ζ
2√
1 − ζ
) > 1 (4.49)
48
4.1.2.3 Autonomıa en vuelo con V =const y CL=const
Como ya se ha visto en la Seccion 4.1.1.3, en este caso se tiene un cruise climb. El cambio de altitudviene dado por las ecuaciones (4.25 ).
Analogamente al caso del alcance, con la hipotesis cE = const, se obtiene el siguiente resultadopara la autonomıa
tf =1cE
CL
CDln
11 − ζ
(4.50)
Notese que se verifica xf = V tf .
Optimizacion.
El valor de CL que hace que la autonomıa sea maxima, para una carga de combustible dada, es el quehace que la eficiencia aerodinamica E = CL/CD sea maxima, esto es, el CL optimo CLopt
=√
CD0/k.La autonomıa maxima viene dada por
(tf )max =Emax
cEln
11 − ζ
(4.51)
Cruise climb con altitud inicial dada.
Si se fija la altitud inicial del cruise climb (ρi), a partir de la ecuacion (4.51) se tiene
(tf )max =Emax
cE(ρi)ln
11 − ζ
(4.52)
(Aunque V y CL ya no son independientes, como se vio en la Seccion 4.1.1.3, la autonomıa maximano se ve afectada por este resultado.)
4.1.3 Costes operacionales
Las trayectorias de vuelo en general se definen de forma que sean optimas respecto de algundeterminado criterio, por ejemplo, trayectorias de mınimo consumo de combustible, mınimo coste,mınimo impacto ambiental, etc. Para minimizar el coste, las aerolıneas definen el Direct OperatingCost (DOC), que es igual a la suma del coste de combustible y el coste del tiempo de vuelo. En lapractica, para definir el coste, las aerolıneas consideran un parametro llamado Cost Index (CI) querepresenta el cociente del coste unitario del tiempo de vuelo y del coste unitario del combustible. Lasaerolıneas miden estos costes en $/hr y cents/lb, con valores representativos en el entorno 0-100 (siestos costes se miden en unidades de $/s y $/kg, las unidades del CI son kg/s). El caso particularCI=0 corresponde a mınimo consumo de combustible. Ası pues, se puede definir el DOC como
DOC = mF + CI tf (4.53)
siendo mF = mi −mf la masa de combustible consumido y tf el tiempo de vuelo. Notese que con estadefinicion el DOC se mide en kg.
49
4.1.4 Efecto del viento
El viento afecta de forma importante a las actuaciones integrales del avion en crucero. En estecurso se va a considerar un viento horizontal constante contenido en el plano de vuelo. Si el vientova en la direccion de vuelo del avion se tiene un viento de cola, siendo Vg = V + Vw; y si va en ladireccion contraria se tiene un viento de cara, siendo entonces Vg = V − Vw.
Se puede demostrar que para el caso de un viento horizontal constante la unica ecuacion que cambiaen el sistema de ecuaciones (4.1) es la ecuacion cinematica segun el eje x, siendo ahora
dx
dt= Vg = V ± Vw (4.54)
y por tanto cambia tanto el alcance como la autonomıa (para una carga de combustible dada).En el caso de un avion que tiene que recorrer una distancia determinada, se tiene que los vientos
de cara hacen que el tiempo de vuelo y el consumo de combustible sean mayores que cuando no hayviento, y, por otro lado, que los vientos de cola hacen que dichos parametros sean menores. Un ejemplode este comportamiento se tiene en el caso de la corriente de aire conocida como jet stream, corrienteque va de oeste a este, y tiene lugar a altitudes proximas a la tropopausa.
4.2 Aceleracion en vuelo horizontal
Se va a analizar ahora un segmento de aceleracion horizontal en el que se impone el empuje. Elavion acelera desde una velocidad inicial Vi hasta una velocidad final Vf . El empuje disponible parael modelo ISJ viene dado por
T = T0(π)(
ρ
ρ0
)x
(4.55)
En general, durante la aceleracion se consume poco combustible, por lo que se va a hacer la hipotesissimplificadora de que el peso del avion durante la aceleracion es constante (W ≈const).
Las ecuaciones del movimiento son ahora
dx
dt= V
dV
dt=
g
W(T − D)
L = W
(4.56)
Para acelerar el avion se requiere T > D.De la ecuacion L = W se deduce
V 2CL = const (4.57)
relacion que indica que conforme el avion se acelera, el angulo de ataque disminuye.Si se toma V como variable independiente se tiene
dx
dV=
W
g
V
T − D
dt
dV=
W
g
1T − D
L = W
(4.58)
Variables adimensionales:
v =V
VR, θ =
gt
VREmax, ξ =
gx
V 2REmax
, z =TEmax
W(4.59)
50
La resistencia viene dada por
D =W
2Emax
(v2 +
1v2
)(4.60)
Ecuaciones adimensionales:
dξ
dv=
−2v3
v4 − 2zv2 + 1dθ
dv=
−2v2
v4 − 2zv2 + 1
(4.61)
La integracion de estas ecuaciones proporciona la distancia recorrida y el tiempo empleado en laaceleracion, esto es
xa =V 2
REmax
g
∫ vf
vi
−2v3dv
v4 − 2zv2 + 1
ta =VREmax
g
∫ vf
vi
−2v2dv
v4 − 2zv2 + 1
(4.62)
Se puede demostrar que tanto xa como ta aumentan al aumentar la altitud de vuelo y el peso delavion.
Ejercicio.
Un avion con turborreactor tiene una relacion empuje/peso al nivel del mar T0/W=0.4 (para unvalor dado de π) y una carga alar W/S=5000 N/m2. La polar viene dada por CD=0.015+0.042C2
L.
El avion acelera desde una velocidad inicial Vi=100 m/s hasta una velocidad final Vf=250 m/s, aaltitud constante. La densidad del aire es ρ/ρ0=0.5 (la altitud es de unos 7000 m).
Se pide: Calcular la distancia necesaria xa y el tiempo necesario ta.
Solucion: xa=14148 m, ta=80.9 s.
4.2.1 Desaceleracion en vuelo horizontal
La desaceleracion del avion se efectua con empuje mınimo. En este curso se considera T = 0, o loque es equivalente z = 0. Se tiene pues
xa =V 2
REmax
g
∫ vf
vi
−2v3dv
v4 + 1
ta =VREmax
g
∫ vf
vi
−2v2dv
v4 + 1
(4.63)
Ejercicio.
El mismo avion del ejercicio anterior desacelera desde una velocidad inicial Vi=250 m/s hasta unavelocidad final Vf=100 m/s, a la misma altitud.
Se pide: Calcular la distancia necesaria xa y el tiempo necesario ta.
Solucion: xa=48158 m, ta=275 s.
51
4.3 Actuaciones integrales en planeo
Se considera el planeo desde una altitud inicial hi hasta una altitud final hf < hi, ambos valoresconocidos.
Hipotesis. Ecuaciones.
Hipotesis de planeo:— empuje nulo (T = 0),— peso constante (W =const),— angulo de trayectoria muy pequeno: γ ¿ 1,— aceleracion normal a la trayectoria despreciable (γ ≈ 0).
Ecuaciones del vuelo de planeo (vuelo simetrico en un plano vertical):
dx
dt= V
dh
dt= V γ
W
g
dV
dt= −D(h, V, L) − Wγ
0 = L − W
(4.64)
En este problema se tiene 1 grado de libertad matematico.
Se van a considerar tres leyes de pilotaje:1) CL=const.2) V =const.3) Ve=const.
4.3.1 Planeo con CL=const
Al ser CL= const, tambien se tiene CD=const en el modelo ISJ, y en consecuencia
E =CL
CD=
L
D=
W
D= const (4.65)
Velocidad de vuelo.A partir de la ecuacion L = W =
12ρV 2SCL se obtiene la velocidad de vuelo V (h)
V =Vref√
CL
1√σ
(4.66)
siendo
Vref =
√2W
ρ0S, σ =
ρ
ρ0(4.67)
donde ρ0 es la densidad ISA al nivel del mar.Notese que el avion se desacelera en el planeo, como consecuencia del aumento de la densidad.
52
Angulo de descenso.El angulo de descenso γd(h) se define como γd = −γ, y se obtiene a partir de las ecuaciones (4.64)
γd =1E
(1 +
12g
dV 2
dh
)−1
(4.68)
donde se ha utilizado la relacion
dV
dt=
12
dV 2
dhγ (4.69)
y utilizando ahora la velocidad de vuelo dada por la ecuacion (4.66) se tiene
γd =1E
(1 −
V 2ref
2gCL
1σ2
dσ
dh
)−1
(4.70)
Velocidad de descenso.La velocidad de descenso Vd(h) se define como Vd = −V γ = V γd, y se obtiene a partir de las
ecuaciones (4.66, 4.70)
Vd =Vref
E√
CL
1√σ
(1 −
V 2ref
2gCL
1σ2
dσ
dh
)−1
(4.71)
Distancia horizontal recorrida.Tomando h como variable independiente, se tiene
xf = −∫ hf
hi
1γd(h)
dh = E
[(hi − hf ) +
V 2ref
2gCL
(1σi
− 1σf
)]= E
[(hi − hf ) +
V 2i − V 2
f
2g
](4.72)
Esta expresion relaciona la distancia horizontal recorrida con la perdida de energıas potencial y cineticadurante el planeo.
Tiempo de planeo.Tomando h como variable independiente, se tiene
tf = −∫ hf
hi
1Vd(h)
dh =E√
CL
Vref
∫ hf
hi
(−√
σ) dh +EVref
g√
CL
(1
√σi
− 1√
σf
)=
E√
CL
Vref
∫ hf
hi
(−√
σ) dh + EVi − Vf
g
(4.73)
4.3.1.1 Planeo estacionario con CL=const
Ahora se introduce la simplificacion V ≈ 0. Las ecuaciones (4.64) se reducen a
dx
dt= V
dh
dt= V γ
D(h, V, L) + Wγ = 0
L = W
(4.74)
53
Velocidad de vuelo.La velocidad de vuelo sigue definida por la ecuacion (4.66).
Angulo de descenso.
γd = −γ =1E
= const (4.75)
Velocidad de descenso.
Vd = V (h)γd =Vref
E√
CL
1√σ
(4.76)
Distancia horizontal recorrida.
xf = E(hi − hf ) (4.77)
Tiempo de planeo.
tf =E√
CL
Vref
∫ hf
hi
(−√
σ) dh (4.78)
Optimizacion.
Distancia horizontal maxima. La distancia horizontal maxima se tiene para E maxima
(xf )max = Emax(hi − hf ) (4.79)
siendo ademasCL|(xf )max
= CLopt(4.80)
Esta condicion de vuelo se correspone con el flattest glide.
Tiempo de planeo maximo. El tiempo de planeo maximo se tiene para E√
CL maxima
(tf )max =33/4
2Emax
√CLopt
Vref
∫ hf
hi
(−√
σ) dh (4.81)
siendo ademasCL|(tf )max
=√
3CLopt(4.82)
Esta condicion de vuelo se correspone con el slowest sink.
4.3.2 Planeo con V =const
Al ser V =const se tiene una condicion de planeo estacionario. Las ecuaciones del movimiento sonlas ecuaciones (4.74).
En funcion de la variable adimensional
v =V
VR0
, VR0 =
√2W
ρ0S
(k
CD0
)1/4
(4.83)
se tiene
D =W
2Emax
(σv2 +
1σv2
)(4.84)
54
Angulo de descenso.El angulo de descenso γd(h) viene dado por
γd = −γ =D(h, V,W )
W=
12Emax
(σv2 +
1σv2
)(4.85)
Velocidad de descenso.La velocidad de descenso Vd(h) viene dada por
Vd = V γd = VR0
12Emax
(σv3 +
1σv
)(4.86)
Distancia horizontal recorrida y tiempo de vuelo.Tomando h como variable independiente se tiene que la distancia horizontal recorrida y el tiempo
de vuelo vienen dados por
xf =∫ hf
hi
− 1γd(h)
dh = −2Emax
∫ hf
hi
σv2
σ2v4 + 1dh
tf =∫ hf
hi
− 1Vd(h)
dh = −2Emax
VR0
∫ hf
hi
σv
σ2v4 + 1dh =
xf
V
(4.87)
4.3.3 Planeo con Ve=const
A partir de la definicion de velocidad equivalente (ρV 2 = ρ0V2e ), se obtiene la siguiente ley para la
velocidad de vuelo V (h)
V = Ve1√σ
(4.88)
A partir de la ecuacion L = W =12ρV 2SCL =
12ρ0V
2e SCL se obtiene que el planeo con Ve=const
es un planeo con CL=const. Por tanto, todo el analisis desarrollado en la Seccion 4.3.1 es aplicableaquı sin mas que hacer √
CL =Vref
Ve(4.89)
4.3.4 Continuous Descent Approach
El objetivo del Continuous Descent Approach (CDA) es descender y desacelerar de forma continua,de manera que se minimice el impacto tanto economico como ambiental, manteniendo el empuje tanpequeno como sea posible durante el mayor tiempo posible.
55
4.4 Actuaciones integrales en subida
Se considera una subida desde una altitud inicial hi hasta una altitud final hf > hi, ambos valoresconocidos.
Hipotesis. Ecuaciones.
Hipotesis:— peso constante (W =const),— angulo de trayectoria muy pequeno: γ ¿ 1,— aceleracion normal a la trayectoria despreciable (γ ≈ 0).La hipotesis W =const permite simplificar el problema. La ecuacion de la masa queda desacoplada
del resto, por lo que el consumo de combustible durante la subida puede calcularse de forma aproximadaa posteriori.
Ecuaciones del vuelo de subida (vuelo simetrico en un plano vertical):
dx
dt= V
dh
dt= V γ
W
g
dV
dt= T − D(h, V, L) − Wγ
0 = L − W
(4.90)
En este problema se tienen 2 grados de libertad matematicos.
Ley de pilotaje. De entre las multiples posibilidades que se tienen para cerrar los 2 grados delibertad matematicos del problema, en este curso se eligen las 2 ligaduras de vuelo siguientes:
— 1) T = T (h) conocido. En el modelo ISJ esta ligadura es consecuencia de hacer π =const.— 2) V = V (h) conocido. Esta ley de velocidades es consecuencia de hacer, por ejemplo, M =const,
CAS =const, Ve =const, CL =const, o tambien puede representar una ley optima de velocidadesobtenida por algun otro medio.
4.4.1 Subida no estacionaria
Angulo de subida.El angulo de subida γ(h) se obtiene a partir de las ecuaciones (4.90)
γ =T − D
W
(1 +
12g
dV 2
dh
)−1
(4.91)
donde se ha utilizado la relaciondV
dt= V
dV
dhγ (4.92)
El termino T − D se llama exceso de empuje, y el termino 1 +12g
dV 2
dhse llama factor de aceleracion.
Velocidad de subida.La velocidad de subida Vc(h) se define como Vc = V γ, y se obtiene a partir de la ecuacion (4.91)
Vc =V (T − D)
W
(1 +
12g
dV 2
dh
)−1
(4.93)
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El termino V (T − D) se llama exceso de potencia.
Distancia horizontal recorrida, tiempo de subida y consumo de combustible.Tomando h como variable independiente, se tiene
xc =∫ hf
hi
1γ(h)
dh (4.94)
tc =∫ hf
hi
1Vc(h)
dh (4.95)
WFc=
∫ hf
hi
cE(h)T (h)Vc(h)
dh (4.96)
4.4.2 Subida casi estacionaria
Ahora se introduce la simplificacion V ≈ 0. Las ecuaciones (4.90) se reducen a
dx
dt= V
dh
dt= V γ
T (h) − D(h, V, L) − Wγ = 0
L = W
(4.97)
Las expresiones para el angulo de subida y la velocidad de subida se reducen a
γ =T (h) − D(h, V,W )
W
Vc = V (h)T (h) − D(h, V,W )
W
(4.98)
Variables adimensionales.En funcion de las variables adimensionales v(h) y z(h) definidas por
v =V
VR, z =
TEmax
W(4.99)
se tiene
γ =1
Emax
[z − 1
2
(v2 +
1v2
)](4.100)
Vc
VR=
1Emax
v
[z − 1
2
(v2 +
1v2
)](4.101)
Para el modelo ISJ se tiene
z = z0σx , cE = cE0σ
y , z0 =T0(π)Emax
W, cE0 = const (4.102)
La distancia horizontal recorrida, el tiempo de subida y el consumo de combustible vienen dadospor
xc = Emax
∫ hf
hi
[z0σ
x − 12
(v2 +
1v2
)]−1
dh (4.103)
57
tc =Emax
VR0
∫ hf
hi
√σ
v
[z0σ
x − 12
(v2 +
1v2
)]−1
dh (4.104)
WFc=
WcE0z0
VR0
∫ hf
hi
σx+y+1/2
v
[z0σ
x − 12
(v2 +
1v2
)]−1
dh (4.105)
Subida con CL =constEn este caso la ley de velocidades es
V =
√2W
ρSCL(4.106)
y la ley de velocidades adimensional es
v =
√CLopt
CL= const (4.107)
Subida con Ve =constEn este caso la ley de velocidades es
V = Ve
√ρ0
ρ(4.108)
y la ley de velocidades adimensional es
v =Ve
VR0
= const (4.109)
4.4.3 Subida CAS/Mach
La subida CAS/Mach utilizada habitualmente por los aviones comerciales esta formada por 2segmentos:
— 1) segmento con CAS=const, que define una ley de velocidades V = VC(h).— 2) segmento con M=const, que define una ley de velocidades V = VM (h).El cambio de un segmento a otro se produce a la altitud de transicion, que viene definida por
la ecuacionVC(h) = VM (h) (4.110)
Optimizacion. La optimizacion de la subida CAS/Mach consiste en encontrar los valores deCAS y M que minimizan o maximizan un determinado objetivo, por ejemplo, mınimo consumo decombustible.
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