Minimum Spanning TreeAlgoritmos de Prim e Kruskal

Fernando Lobo

Algoritmos e Estrutura de Dados II

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Algoritmo de Prim

I Inicialmente A = ∅

I Mantemos V − A numa fila com prioridade Q.

I A chave de cada no na fila indica o custo mınimo de juntaresse no a um qualquer no de A.

I Quando o algoritmo termina, a fila Q esta vazia. A MST A edada por:

A = {(v , v .π) : v ∈ V − {s}}

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Pseudocodigo

MST-Prim(G ,w , s)

for each u ∈ G .Vu.key = ∞u.π = nil

s.key = 0Q = G .Vwhile Q 6= ∅

u = Extract-Min(Q)for each v ∈ G .Adj [u]

if v ∈ Q and w(u, v) < v .keyv .π = uv .key = w(u, v)

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Exemplo

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Inicializacao

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1a iteracao do ciclo while

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2a iteracao do ciclo while

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3a iteracao do ciclo while

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4a iteracao do ciclo while

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5a iteracao do ciclo while

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6a iteracao do ciclo while

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7a iteracao do ciclo while

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Complexidade do Algoritmo de Prim

I Depende da implementacao da fila com prioridade.

I Se implementarmos com um heap binario:

I Inicializacao → Build-Heap → O(V )

I Ciclo while e executado |V | vezes.

I |V | Extract-Mins → O(V lg V )

I No maximo, |E | Decrease-Keys → O(E lg V )

I Total = O(V lg V + E lg V ) = O(E lg V )

I A verificacao if v ∈ Q pode ser obtida em tempo constante semantivermos um bit vector com indicacao dos nos que estaoem Q.

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Complexidade do Algoritmo de Prim

I E possıvel obter uma complexidade melhor se usarmos heapsde Fibonacci para implementar a fila.(Nao demos estes heaps, mas se tiverem curiosidade poder lero capıtulo do vosso livro que fala sobre eles.)

I Consegue-se fazer com que |E | Decrease-Keys tenhacomplexidade O(E ), amortizado.=⇒ TPrim = O(V lg V + E )

I E um ganho substancial para grafos esparsos.

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Algoritmo de Kruskal

I Inicialmente A = ∅. No final A sera uma MST.

I Ordenamos os arcos do grafo por ordem crescente de peso.

I Percorre-se a lista ordenada dos arcos, um a um, eadicionamos o arco a A desde que nao produza ciclo.

I Ao contrario do algoritmo de Prim, o algoritmo de Kruskalmantem ums floresta. Inicialmente a floresta tem |V | arvores,uma para cada no. No final, a floresta so tem uma arvore quee uma Minimum Spanning Tree.

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Exemplo: Inicializacao

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Iteracao 1

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Iteracao 2

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Iteracao 3

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Iteracao 4

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Iteracao 5

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Iteracao 6

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Iteracao 7, 8, 9, 10

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Evolucao da floresta de arvores

Inicializacao

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Iteracao 1

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Iteracao 2

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Iteracao 3

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Iteracao 4

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Iteracao 5

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Iteracao 6

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Iteracao 7, 8, 9, 10

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Implementacao do Algoritmo de Kruskal

I Necessitamos de uma estrutura de dados que permita manterdinamicamente uma floresta de arvores.

I Inicialmente temos |V | arvores.

I A cada passo do algoritmo juntamos duas arvores e ficamoscom menos uma arvore na floresta.

I Na realidade, nao e necessario manter explicitamente asarvores.

I Basta manter os nos que cada arvore contem.

I Nota: As arvores sao disjuntas. Um no e elemento de uma euma so arvore.

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Implementacao do Algoritmo de Kruskal

I O que necessitamos e de uma estrutura de dados para manteruma coleccao S de conjuntos disjuntos.

I Essa estrutura de dados tem o nome UNION-FIND (vamosestuda-la em detalhe na proxima aula).

I Suporta estas operacoes: Make-Set(x), Find-Set(x) eUnion(x , y)

I Make-Set(x): cria {x} e acrescenta-o a S .

I Find-Set(x): retorna um identificador do conjunto quecontem x .

I Union(x , y): faz a uniao do conjunto que contem x com oconjunto que contem y e acrescenta-o a S , eliminado osconjuntos originais que continham x e y .

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Pseudocodigo

MST-Kruskal(G ,w)

A = ∅for each v ∈ G .V

Make-Set(v)sort G .E in ascending order of weight wfor each (u, v) ∈ G .E , taken in ascending order of weight

if Find-Set(u) 6= Find-Set(v)A = A ∪ {(u, v)}Union(u, v)

return A

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Complexidade do Algoritmo de Kruskal

I Primeiro ciclo for: O(V ) Make-Sets

I Ordenar E : O(E lg E )

I Segundo ciclo for: O(E ) Find-Sets e UnionsNa realidade so fazemos O(V ) Unions. Porque?

I A complexidade vai depender da dorma como se implementa aestrutura de dados UNON-FIND.

I Mas e possıvel obter uma complexidade de O(E lg V ).Veremos como na proxima aula.

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