Distribuciones tipo fase - dpye.iimas.unam.mx · PDF fileDefinición Definimos i= (i...

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  • Distribuciones tipo fase

    Mogens Bladt3 de octubre de 2017

    IIMAS-UNAM

  • TeoremaSean X PHp(,S) y Y PHq(,T ) independientes.Entonces

    X + Y PHp+q

    ((,0),

    (S s

    0 T

    )).

    TeoremaSea X PHp(,S), Y PHq(,T ), y

    U ={X con probabilidad 1Y con probabilidad 2

    ,

    donde 1 + 2 = 1. Entonces U PHp+q(,W ) donde

    = (1, 2), W =(S 00 T

    ).

    1

  • Demostracin de la convolucin

    t

    Zt

    123

    pp+ 1p+ 2p+ 3

    p+ qp+ q + 1

    absorption

    X X + Y

    2

  • Cadena multidimensionales

    Sean {Xi(n)}nN, i = 1, . . . , N , cadenas de Markov con espaciode estado finito Ei y matrices de transicin P i = {pi:k,`}k,`Ei .

    Formamos el proceso (tiempo discreto) multidimensional{Y (n)}nN como

    Y (n) = (X1(n), . . . , XN (n)).

    Su espacio de estado sera E = E1 E2 EN y es unacadena de Markov.

    Probabilidades de transicion estan dadas por

    P(Y (n+1) = (j1, . . . , jN ) | Y (n) = (i1, . . . , iN )) = p1:i1,j1p2:i2,j2 pN :iN ,jN .

    Ordenando el espacio de estado E1 En y considerandocomo un espacio E N, entonces se podra indexar matricesetc. segun E. 3

  • DefinicinDefinimos

    i = (i1, . . . , iN )`< (j1, . . . , jN ) = j

    si existe un nmero 1 m N tal que im < jm y ik = jk parak = 1, . . . ,m 1, y se dice que i es mas pequeos que j en elorden lexicographico.

    El orden lexicographico es esencialmente como funciona nuestresistema de numeros.

    Para n procesos con nmero de estados d1, ..., dn, decidimos quehay dn numeros unitarios, dn1 nmeros decimos, dn2numeros miles etc.

    Compara e.g. (1, 1, 4, 5) con (1, 1, 3, 6). Entonces es comonumeros: 1145 > 1136.

    4

  • TeoremaSi E = E1 E2 EN esta ordenada lexicographicamente,entonces la matrz de transicin de {Y (n)}nN P esta dadopor

    P = P 1 P 2 PN ,

    donde denota el producto Kronecker definido por

    AB = {aijB},

    donde A = {aij} y B = {bij}.

    Unas reglas basicas:

    (A+B)C = AC +B C,A (B +C) = AB +AC,(AB)C = A (B C).

    5

  • Teorema (Producto mixta)

    (AB)(C D) = (AC BD)

    Dem: Sigue directo de

    [ai1B ai2B ainB]

    c1jD

    c2jD...

    cnjD

    =(

    k

    aikckj

    )BD

    = (AC)ijBD.

    Si A and B son invertibles, entonces

    (AB) = A1 B1.

    6

  • TeoremaSi A y B tienen eigenvalores i, i = 1, ...,m, y j, j = 1, .., r,con eigenvectores xi y yi, entonces los eigenvalores de ABson ij, i = 1, ...,m, j = 1, ..., r, con eigenvectores xi yj.

    Dem: Sigue de

    (AB)(xi yj) = (Axi) (Byj)= (ixi) (jyj)= ij(xi yj).

    El determinante de una matrz es el producto de suseigenvalores, implicando

    det(AB) = (11)(12) (mr1)(mr)= m1 m2 mmr1r2 rr= det(A)rdet(B)m. 7

  • La traza:

    tr(AB) = tr(a11B) + tr(a22B) + + tr(ammB)= (a11 + a22 + amm)tr(B)= tr(A)tr(B).

    Definicin (Suma Kroncker)Sea A de mm y B de r r. Entonces su suma KroneckerAB esta definido por

    AB = A Ir + Im B,

    donde In denota la matrz de identidad de dimensin n n.

    Si i y xi son los eigenvalores y eigenvectors de A y B be j yyj los de B, entonces AB tienen eigenvalores i + j ,i = 1, ...,m, j = 1, ..., r, con eigenvectores xi yj .

    8

  • Para ver esto, usando el producto mixto,

    (AB)(xi yj) = (A Ir + Im B)(xi yj)= (A Ir)(xi yj) + (Im B)(xi yj)= (Axi yj) + (xi Byj)= i(xi yj) + j(xi yj)= (i + j)(xi yj).

    La siguiente propiedad es de mucha importancia:

    Teorema

    exp(AB) = exp(A) exp(B).

    9

  • Dem: 1. A Ir y Im B son comutativos por el productomixto.

    Entonces

    exp(AB) = exp(A Ir) exp(Im B).

    Entonces suficiente demostrar que exp(A Ir) = exp(A) Ir yexp(Im B) = Ir exp(B).

    exp(Im B) = Ir exp(B) es inmediato ya que es la matrzdiagonal con bloques B.

    Por producto mixto, (A Ir)n = An Ir, y luego

    exp(A Ir) =n=0

    1n! (A Ir)

    n =n=0

    1n! (A

    n Ir)

    =( n=0

    1n!A

    n Ir

    )= exp(A) Ir. 10

  • Procesos multidimensionales

    X1(t)

    X2(t)

    t

    t

    Y (t)

    t

    1

    1

    2

    2

    3

    (3, 2)

    (3, 1)

    (2, 2)

    (2, 1)

    (1, 2)

    (1, 1)

    Figura 1: Joint process of two Markov jump processes with theresulting state space lexicographically ordered.

    11

  • Sean {X1t }t0 y {X2t }t0 procesos de Markov de saltosindependientes con espacios de estado E1,E2 y matrices deintensidad = {ij}i,jE1 y = {ij}i,jE2 .

    Entonces el proceso {Yt}t0 definido por

    Yt = (X1t , X2t )

    es Markov con espacio de estado E = E1 E2.

    Sigue directo de la independencia.

    Transiciones ya no pueden pasar simultaneamente como en elcaso discreto, donde transicones eran como pijqk`, y ordenandoel espacio de estado lexicographicamente, resulto la matrz detransicion P Q.

    12

  • En el caso continuo, ordenando E1 E2 lexicographicamente, lamatrz de intensidad sera:

    = I + I

    =

    0 00 0...

    ............

    ...0 0

    +

    11I 12I 1d1I21I 22I 2d1I...

    ......

    .........

    ...d11I d12I d1d1I

    =

    + 11I 12I 1d1I21I + 22I 2d1I...

    ............

    ...d11I d12I + d1d1I

    ,

    13

  • TeoremaSean X1 y X2 independientes con Xi PH(i,Si), i = 1, 2. Entonces

    mn(X1, X2) PH (1 2,S1 S2)

    y

    max(X1, X2) PH

    (1 2, 0, 0) , S1 S2 I s2 s1 I0 S1 0

    0 0 S2

    .

    Dem: Es (casi) inmediato.

    14

  • Recompensas

    Sea PHp(,T ) con {Xt}t0 proceso subyacente.

    Sea r = (r(1), . . . , r(p)) Rp+.

    DefinaY =

    0r(Xt)dt,

    Se refieren a los valores r(i) como recompensas (rewards), y Yes la recomensa total obtenido antes que absorcin.

    Si r(i) = 1 para todo i, entonces Y = .

    Si todo r(i) > 0, entonces

    Y PHp(,1(r)T ),

    donde(r) = diag(r(1), r(2), ..., r(p)).

    15

  • Si algunas r(i) = 0, entonces la situacin es un poco mscomplicado.

    Defina S+ = {i {1, 2, . . . , p} : r(i) > 0} yS0 = {i {1, 2, . . . , p} : r(i) = 0}.

    Entonces S+ S0 = {1, 2, . . . , p}.

    Sea Q = {qij}i,j=1,...,p, donde

    qij = tijtii, i 6= j, qii = 0,

    son las probabilidades de transicin de la cadena incluida{Xn}nN que corresponde a {Xt}t0. Sea qi = 1

    pj=1 qij y

    q = {qi}i=1,...,p.

    Entonces la matrz de transicin Q de {Xn}nN es

    Q =(Q q

    0 1

    ).

    16

  • Reacomoda los estados para poder escribir a Q como

    Q =(Q++ Q+0

    Q0+ Q00

    ).

    y aq = (q+, q0).

    Solo estados en S+ contribuye a Y .

    Defina la cadena de Markov incluida {Xn}nN sobreS = S+ {p+ 1} por Xn = XMn , donde Mn es la visitanmero n de la candena {Xn}nN a los estados S.

    Sea P la matrz de transicin de {Xn}n0, que tiene la forma

    P =(P p

    0 1

    )donde p satisface

    p = e Pe.

    17

  • Para i, j S+ tendremos

    pij = q++ij +kS0

    q+0ik

    n=0

    `S0

    (q00)(n)k` q0+`j .

    En forma matricial:

    P = Q+++Q+0n=0

    (Q00

    )nQ0+ = Q+++Q+0

    (I Q00

    )1Q0+.

    Notamos que opuesto a cadenas incluidas convencionales,transiciones i i son posibles para {Xn}n0.

    Escribe = (+,0).

    Entonces la distribucin inicial de {Xn}n0, esta dado por

    = + + 0(I Q00)1Q0+.

    Exists la possibilidad que iniciando desde un estado i S0, queel proceso {Xt}t0 nunca ira a un estado en S+ antes queabsorcin.

    18

  • Este genera un atomo en 0 de tamao d+1 = 1e.

    Este completamente especifica a {Xn}n0.

    La construccin del proceso de Markov correspondiente{Xt }t0 es simple desde la cadena incluida {Xn}n0,

    =(T t

    0 0

    ),

    dondetij =

    tiir(i)pij

    yti =

    tiir(i)pi.

    Un problema potencial occurre cuando hay saltos de i a i locual ocurre con probablidad pii.

    Los removemos (thinning) y terminamos con una intensidadtotal del estado i de tiir(i)(1 pii). 19

  • TeoremaY es una mezcla entre un atomo en 0 de tamao d+1 y unadistribucin tipo fase PHd(,T ), donde d = |S+|, T = {tij},t = (t1, . . . , td),

    tij = tiir(i)pij i 6= j,

    ti = tiir(i)pi,

    con P = {pij}, p = (p1, . . . , pd),

    P = Q++ +Q+0(I Q00

    )1Q0+,

    y p = e Pe, y distribucin inicial dado por

    = + + 0(I Q00)1Q0+

    con el defecto d+1 = 1e.20

  • Ejemplo

    Considere la matrz de intensidad (crediticio)0,05922 0,05922 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,000000,00715 0,08838 0,08123 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,000000,00000 0,02335 0,07879 0,05137 0,00407 0,00000 0,00000 0,000000,00102 0,00000 0,04632 0,09380 0,04455 0,00103 0,00000 0,000880,00000 0,00000 0,00179 0,11820 0,18089 0,05629 0,00000 0,004610,00000 0,00000 0,00315 0,00532 0,08396 0,21928 0,05587 0,070980,00000 0,00000 0,00000 0,00974 0,00000 0,07557 0,46511 0,379800,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

    La matrz de subintensidad T que consiste en el primer 7 7es el generador del tiempo hasta absorcin.

    Si la distribcin inicial es de ei, i = 1, ..., 7, entoncesi PH7(ei,T ) son variables aleatorias que mide el tiempohasta default de una emprese con calificacin i.

    21

  • Ejemplo

    Cual es la distribucin del tiempo total que una empresa Aaa sequeda en los estados Aaa,Aa o A antes que default?

    Defina recompensas r(i), i = 1, ..., 7, donde

    r(i) ={

    1 i = 1, 2, 30 i = 4, 5, 6, 7

    Entonces S+ = {1, 2, 3} y S0 = {4, 5, 6, 7}. La matrz incluida es0,00000000 1,0000000 0,000000000 0,00000000 0,0000000 0,00000000 0,00000000,08090066 0,0000000 0,919099344 0,00000000 0,0000000 0,00000000 0,00000000,00000000 0,29