Complementi di Analisi Matematica

Corso interno della Scuola Galileiana, AA 2007/08

Paolo Guiotto

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Indice

1 Complementi sui numeri reali 1

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Come costruire√α? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Costruzione di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Approssimazione degli irrazionali con i razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Limite inferiore e superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Complementi sulle serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.4 Serie reali a termini di segno costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.21 Convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.26 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.29 Riordino dei termini di una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Somme generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.2 Definizione e prime proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7.8 Sommabilita di funzioni reali a segno costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.13 Sommabilita di funzioni reali/complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7.21 Scambio di ordine in una somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.36 Teoremi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Convergenza uniforme 39

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.8 Convergenza uniforme per serie di funzioni e convergenza totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Teoremi di passaggio al limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1 Convergenza uniforme e continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.7 Convergenza uniforme e integrabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.14 Convergenza uniforme e derivabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Approssimazione di una funzione continua con polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Funzioni Speciali 53

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.6 Irrazionalita di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.10 Esponenziale complesso ed esponenziale reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.15 Sviluppi del binomio e del logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 Funzione Gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1 Notizie storiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.2 Definizione della funzione Gamma e prime proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.7 Formula di Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.9 Formule dei complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii

iv

3.4.18 Formula di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.21 Rappresentazione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.24 Applicazioni della rappresentazione al calcolo di integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.25 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Alcuni interessanti problemi 794.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Cenni alla funzione Zeta di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.6 Legame con la Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 Il problema della sposa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 Il teorema del limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5 Limite semiclassico in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.1 Il problema fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5.2 Principio della fase stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Capitolo 1

Complementi sui numeri reali

1.1 Introduzione

L’intera Analisi Matematica si fonda sulla struttura dei numeri reali. A differenza delle strutture numericheelementari quali i numeri naturali N, gli interi relativi Z ed i razionali Q che si costruiscono per via puramentealgebrica, i numeri reali richiedono la presenza di una struttura molto piu profonda e geometrica o, piucorrettamente, topologica. La comprensione di questo fatto ha richiesto molto tempo ed e compiutamenteavvenuta solo alla fine dell’800 grazie ai lavori contemporanei di Dedekind e Cantor. E utile ricordareche una buona parte di strumenti dell’analisi matematica moderna (il calcolo differenziale ed integrale, leserie numeriche e di funzioni, le equazioni differenziali, etc.) erano stati introdotti molto prima, creandouna situazione simile a quella di un grattacielo le cui fondamenta poggiano sulla sabbia. D’altra parte lanecessita di avere chiarezza sulla struttura di appoggio dell’analisi si faceva sempre piu urgente a causadell’accumularsi di una serie di situazioni paradossali che cominciavano a minare l’intero edificio. In questocapitolo, dopo una breve sezione di premessa, esporremo la costruzione di Cantor dei reali. E sicuramenteun argomento non facile da cui iniziare, ma e senz’altro molto stimolante per comprendere bene le difficoltache si incontrano in matematica quando si introduce un ente totalmente nuovo.

I numeri reali nascono cosı come fondati indissolubilmente sul concetto di limite e l’intera Analisi Ma-tematica e una sorta di immenso ”tema con variazioni”, dove il tema e appunto il concetto di limite. Nellaparte restante del capitolo analizzeremo alcune di queste variazioni con particolare attenzione all’operazionedi somma infinita. Qui daremo per noto il concetto di limite di una successione mentre rapidamente introdur-remo le serie numeriche, rimandando per la teoria standard ai corsi di Analisi ordinari. Le serie sono il giustopreambolo per definire le somme generalizzate ed illustrare alcuni interessanti problemi quali l’estensione delleproprieta ordinarie delle somme finite. Nel corso dell’intero capitolo utilizzeremo sporadicamente qualchefatto noto sul calcolo differenziale.

1.2 Come costruire√

α?

Uno dei fatti che evidenziano l’”incompletezza” dei numeri razionali gia noto agli antichi riguarda il problemadel calcolo di

√2, numero non razionale. Ragioni pratiche portano ad ammetterne l’esistenza (basta costruire

un quadrato di lato unitario ed in tal caso, come noto dal teorema di Pitagora, la lunghezza della diagonale hacome valore numerico proprio

√2). L’idea e allora quella di costruire un metodo numerico di approssimazione

di tale numero con numeri razionali. Un semplice algoritmo ci viene indicato dal cosiddetto metodo delletangenti dovuto a Newton. Vediamo come funziona (o richiamiamone il funzionamento per chi lo conoscegia): e data una certa funzione f : [a, b] −→ R il cui grafico taglia l’asse delle ascisse in qualche puntoξ ∈ [a, b] che si vuole determinare, il quale altro non e che uno zero di f , cioe f(ξ) = 0. Supponiamo che la

1

2

funzione sia regolare (diciamo almeno derivabile) in ogni punto di [a, b] e che sia anche convessa (che nel casoattuale significa che il grafico della funzione sta ”sopra” ad ogni tangente al grafico stesso). Prendiamo unpunto x0 e tracciamo la tangente al grafico nel punto (x0, f(x0)), cioe la retta y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0).Essa interseca l’asse delle ascisse nel punto x1 = x0 − f(x0)

f ′(x0). Graficamente si vede x1 e piu ”vicino” a ξ di

quanto non lo sia x0.

Nello specifico sia f(x) = x2 − α. Chiaramente uno zero per f e un valore ξ tale che ξ2 − α = 0 cioe taleche ξ2 = α, ovvero una radice del numero α. Proviamo ad applicare il metodo precedente a questo caso:abbiamo che

f ′(x0) = 2x0, =⇒ x1 = x0 −x2

0 − α

2x0=

12

(x0 +

α

x0

).

Sia dunque x0 tale che x20 > α e definiamo ricorsivamente la successione

xn+1 :=12

(xn +

α

xn

), n ∈ N.

Mostriamo induttivamente che x2n > α per ogni n ∈ N. Per n = 0 cio e vero. Ammesso che sia vero per un

certo n abbiamo che

x2n+1 − α =

14

(x2

n + 2α +α2

x2n

)− α =

14

(x2

n − α +α

x2n

(α− x2n))

=x2

n − α

4

(1− α

x2n

)> 0.

Dunque anche x2n+1 > α. Osserviamo ora un fatto interessante:

xn+1 − xn =12

(xn +

α

xn

)− 1

2

(xn−1 +

α

xn−1

)=

12(xn − xn−1)

(1− α

xnxn−1

),

ed essendo

xnxn−1 =12

(xn−1 +

α

xn−1

)xn−1 =

12(x2

n−1 + α)

>2α

2= α,

se ne deduce che|xn+1 − xn| 6

12|xn − xn−1|, ∀n > 1,

da cui, ancora,

|xn+1 − xn| 612n|x1 − x0|, ∀n > 1.

Dunque le distanze tra due elementi successivi della successione si dimezzano (almeno), il che fa pensare cheper n grande i punti della successione debbano essere molto vicini tra loro. In effetti

|xn+k − xn| 6k−1∑j=0

|xn+j+1 − xn+j | 6k−1∑j=0

12n+j

|x1 − x0| =|x1 − x0|

2n

k−1∑j=0

12j

6|x1 − x0|

2n.

3

In particolare sembra naturale affermare che (xn) ⊂ Q goda della seguente proprieta:

∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃N(ε) ∈ N : |xn − xm| 6 ε, ∀n, m > N(ε). (1.2.1)

Questa importante proprieta prende il nome di proprieta di Cauchy. L’idea di Cantor e quella di definire inumeri reali utilizzando successioni di Cauchy. Naturalmente due successioni che si stringono su se stessepossono anche definire uno stesso punto ed anzi, in genere ci saranno infinite successioni di razionali perdefinire lo stesso punto. Quindi l’idea non e tanto di identificare un ”numero reale” con una particolaresuccessione di Cauchy, quanto quella di chiamare ”numero reale” l’intera classe di successioni soddisfacentila (1.2.1) tali che prese due di queste, diciamo (xn) ed (yn), risulti che (xn − yn) sia ”infinitesima”.

1.3 Costruzione di RIn questa sezione costruiremo i numeri reali, seguendo Hewitt & Stromberg [2]. Cio significa che dimostreremoil seguente

Teorema 1.3.1 (Esistenza di R). Esiste un insieme R ⊃ Q nel quale sono definite un’operazione di somma(indicata con +), un’operazione di prodotto (indicata con ·) ed una relazione d’ordine (indicata con <,che definisce a sua volta il simbolo di >: per convenzione a > b ⇐⇒ b < a) aventi le seguenti proprieta:

• Commutativita della somma : a + b = b + a,∀a, b ∈ R

• Associativita della somma : a + (b + c) = (a + b) + c, ∀a, b, c ∈ R

• Elemento neutro per la somma : a + 0 = a,∀a ∈ R

• Elemento inverso per la somma : ∀a ∈ R ∃!b ∈ R t.c. a + b = 0. Il numero b si dice opposto dia, si scrive −a e l’operazione a + (−b) si chiama sottrazione e si indica brevemente con a− b.

• Commutativita del prodotto : ab = ba,∀a, b ∈ R

• Associativita del prodotto : a(bc) = (ab)c,∀a, b, c ∈ R

• Elemento neutro per il prodotto : a1 = a,∀a ∈ R

• Elemento inverso per il prodotto : ∀a ∈ R\{0} ∃!b ∈ R t.c. ab = 1. Il numero b si dicereciproco di a, si scrive 1

a e l’operazione a 1b si chiama divisione e si indica brevemente con a

b .

• Distributivita del prodotto rispetto alla somma : a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ R

• Ordinamento totale : Se a, b ∈ R e a 6= b allora a < b oppure b < a.

• Transitivita dell’ordinamento : Se a < b e b < c allora a < c

• Invarianza dell’ordinamento rispetto alla somma : Se a < b allora a + c < b + c,∀c ∈ R.

• Invarianza dell’ordinamento rispetto al prodotto : Se a < b e c > 0 allora ac < bc mentre sec < 0 allora bc < ac.

Le proprieta della relazione di ordine < valgono, opportunamente adattate, anche per la relazione d’ordinedebole, definita col simbolo 6: a 6 b se a < b oppure a = b. Vale infine

• Esistenza dell’estremo inferiore : per ogni insieme A ⊂ R non vuoto ed inferiormente limitato(cioe tale per cui esista un numero m ∈ R avente la proprieta che m 6 a, ∀a ∈ A) esiste il migliorminorante, cioe un numero α ∈ R tale che

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i) α 6 a, ∀a ∈ A.ii) ∀β > α, ∃a ∈ A tale che α 6 a < β.

Il numero α si dice estremo inferiore di A e si scrive α := inf A.

Partiremo assumendo l’esistenza dei soli numeri razionali, il cui insieme come al solito verra indicato con Q.Seguendo quanto anticipato alla fine del paragrafo precedente, introduciamo la seguente

Definizione 1.3.2. Diciamo che (qn) e di Cauchy in Q se

∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃N(ε) ∈ N, : |qn − qm| 6 ε, ∀n, m > N(ε). (1.3.1)

Consideriamo l’insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali,

CQ := {(qn) ⊂ Q : (qn) e di Cauchy in Q}.

Come si e detto, l’idea e quella di chiamare numero reale una famiglia di successioni di Cauchy che si”stringono” intorno allo stesso numero. Il modo corretto di introdurre questo concetto e dato dalla

Definizione 1.3.3. Siano (pn), (qn) ∈ CQ. Diciamo che

(pn) ∼ (qn), se (pn − qn) e infinitesima in Q,

cioe se∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃N(ε) ∈ N, : |pn − qn| 6 ε, ∀n > N(ε).

Anzitutto

Proposizione 1.3.4. ∼ e una relazione di equivalenza.Dim. — Esercizio.

Per identificare successioni equivalenti occorre introdurre l’insieme quoziente. Definiamo:

R := Q/ ∼ .

Indichiamo con [(qn)] la classe di equivalenza contenente la successione (qn) e d’ora in poi chiameremo numerireali gli elementi di R. Introduciamo anzitutto le operazioni algebriche su R:

Proposizione 1.3.5 (somma, prodotto in R). Siano x, y ∈ R, x = [(pn)], y = [(qn)] e

x + y := [(pn + qn)], xy := [(pnqn)].

Allora tali definizioni sono ben poste e verificano le proprieta commutativa, associativa e distributiva disomma e prodotto.Dim. — E anzitutto semplice verificare che (pn + qn), (pnqn) ∈ CQ se (pn), (qn) ∈ CQ (esercizio!). Vediamo chela somma e ben posta (discorso simile per il prodotto). Bisogna verificare che se x = [(rn)] ed y = [(sn)] allora[(rn + sn)] = [(pn + qn)]. Questo accade se e solo se (rn + sn) ∼ (pn + qn) ovvero se ((rn + sn)− (pn + qn)) einfinitesima. Ma essendo

(rn + sn)− (pn + qn) = (rn − pn) + (sn − qn),

e (rn) ∼ (pn), (sn) ∼ (qn) la conclusione e immediata. La verifica delle proprieta associativa, commutativa edistributiva e diretta conseguenza delle analoghe proprieta su Q e la lasciamo per esercizio. A titolo di esempioproviamo l’associativita della somma:

x+ (y + z) = [(pn)] + ([(qn)] + [(rn)]) = [(pn)] + [(qn + rn)] = [(pn + (qn + rn))]

= [((pn + qn) + rn))] = ([(pn)] + [(qn)]) + [(rn)] = (x+ y) + z.

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Chiaramente l’elemento neutro per la somma sara la classe di equivalenza [(0)] dove con (0) intendiamo lasuccessione costantemente nulla (ovviamente e di Cauchy in Q e con 0 intendiamo lo zero di Q). Similmentela classe [(1)] e l’unita di R.

Proposizione 1.3.6. [(0)] e [(1)] sono rispettivamente elemento neutro per somma e prodotto.Dim. — Esercizio.

Di conseguenza

Proposizione 1.3.7. Se x = [(pn)] ∈ R allora −x := [(−pn)] e l’opposto di x rispetto alla somma.Dim. — Esercizio.

Qualche problema in piu nasce con il reciproco di un elemento x 6= 0. Infatti, se x = [(pn)] non e possibileporre immediatamente 1

x :=[(

1pn

)]poiche bisogna accertarsi che effettivamente

(1

pn

)sia ben definita e di

Cauchy in Q. In particolare sembra naturale che se x 6= 0, x = [(pn)] allora pn debba essere definitivamenteben discosta da 0 (di Q). Questo e un punto tecnico, facilmente superabile del resto:

Lemma 1.3.8. Sia (pn) ∈ CQ, (pn) 6∼ (0). Allora esiste ε > 0, ε ∈ Q ed N(ε) tale che almeno una delleseguenti proprieta e vera:

pn > ε, ∀n > N(ε), oppure pn 6 −ε, ∀n > N(ε).

Dim. — Poiche (pn) 6∼ (0) abbiamo che (pn) non e infinitesima. Pertanto esiste ε > 0, ε ∈ Q, tale che |pn| > εper infiniti indici n. Ma allora pn > ε o pn 6 −ε per infiniti indici. Supponiamo, ad esempio, che pn > ε per infinitiindici, cioe che esista una (nk) ⊂ N, (nk) ↗ strettamente, tale che pnk > ε. Ora, siccome (pn) e di Cauchy, troviamoN( ε

2) tale che

|pn − pm| 6ε

2, ∀n,m > N

� ε2

�.

Ma allora, per n > N( ε2) abbiamo che, preso k tale che anche nk > N( ε

2) (tale nk esiste in virtu del fatto che nk ↗

stretta),

pn = pn − pnk + pnk > − ε2

+ ε =ε

2.

Non e adesso difficile mostrare che

Proposizione 1.3.9. Sia x = [(pn)] ∈ R, x 6= 0. Allora ( 1pn

) ∈ CQ e [( 1pn

)] e il reciproco di x rispetto allamoltiplicazione (1).Dim. — Esercizio.

Il lemma 1.3.8 ci da la chiave per definire anche l’ordine. Infatti:

Proposizione 1.3.10. Sia x ∈ R, x 6= 0, x = [(pn)]. Se (pn) e definitivamente > ε (in Q) per qualche ε > 0allora diciamo che x > 0, alrimenti che x < 0. Diciamo poi che x > y se x− y > 0. Allora la relazione cosıintrodotta e una relazione d’ordine totale e verifica le proprieta transitiva e di invarianza rispetto a sommae prodotto.Dim. — Anzitutto la definizione e ben posta. Se infatti x = [(pn)] = [(qn)] con pn > ε definitivamente (peresempio), allora e facile mostrare che anche qn > ε

2definitivamente. Vediamolo: sappiamo che

pn > ε, ∀n > N(ε).

1Ovviamente la successione e ben definita per n > N(ε) seguendo il lemma precedente. Per i primi N(ε) termini si puoporre 1

pn= 1 e non cambia niente.

6

Inoltre (pn) ∼ (qn), cioe (pn − qn) e infinitesima. Ma allora |pn − qn| 6 ε2

per n > N(ε). Pertanto

qn = pn − qn + pn > − ε2

+ ε =ε

2, ∀n > max{N(ε), N(ε)}.

Vediamo adesso che l’ordine e totale (le altre sono lasciate per esercizio). Siano x 6= y. Allora x− y 6= 0 per cui, peril lemma 1.3.8 e la definizione data x− y > 0 oppure x− y < 0. Ma questo vuol proprio dire che x > y oppure x < ysecondo la definizione data.

Tra tutti i numeri reali ci sono i razionali. Ora, chiaramente questa affermazione merita una precisazione,perche formalmente Q 6⊂ R (essendo queste entita diverse). Tuttavia possiamo identificare in manieranaturale una ”copia” di Q in R introducendo la funzione

i : Q −→ R, i(q) := [(q)],

dove (q) e la successione costantemente uguale a q (ovviamente e un elemento di CQ). Il senso dell’identificazionesuddetta e fornito dalla

Proposizione 1.3.11. La funzione i e un isomorfismo di Q (come corpo algebrico) nella sua immagine checonserva l’ordine. In altre parole, i e una biiezione tra Q e i(Q) tale che i(p+q) = i(p)+i(q), i(pq) = i(p)i(q),per ogni p, q ∈ Q e p < q se e solo se i(p) < i(q).Dim. — Chiaramente i e ben posta e conserva somme, prodotti e relazione d’ordine (facile esercizio). Vediamo chee iniettiva: i(p) = i(q) se e solo se [(p)] = [(q)], cioe (p − q) e infinitesima. Ma essendo costante non puo che esserenulla (esercizio!). Dunque p = q.

Veniamo adesso alla completezza di R. Naturalmente, su R e indotta la metrica euclidea, basata sulladefinizione di modulo il quale, a sua volta, dipende solo dalla relazione d’ordine. In altre parole: il modulo| · | verifica le ordinarie proprieta del modulo di un numero reale (positivita, annullamento,omogeneita e disuguaglianza triangolare).

Conviene anche fare la seguente osservazione: siano x, y ∈ R, x = [(pn)], y = [(qn)]. Allora x − y =[(pn−qn)]. Tenuto conto che |z| = z se z > 0 mentre |z| = −z se z < 0, avremo che |x−y| = x−y = [(pn−qn)]se (pn−qn) e definitivamente > ε per qualche ε > 0, altrimenti |x−y| = −(x−y) = [(qn−pn)] se pn−qn 6 −εper qualche ε > 0. Ne deduciamo che

|x− y| = [|pn − qn|],

com’e naturale che sia del resto. Cio ci permette di dimostrare che, a posteriori, l’idea iniziale che unasuccessione (pn) ∈ CQ identifica esattamente il numero x = [(pn)] nel senso che pn −→ x. Precisamente:

Lemma 1.3.12. Sia x = [(pn)] ed xn il numero reale individuato dalla successione costantemente uguale apn. Allora

xn −→ x.

In altre parole: i(pn) −→ x.Dim. — Chiamiamo qnk := pn, per ogni k ∈ N, di modo che (qnk ) ∈ CQ e xn = [(qnk )]. Occorre provare che

∀ε > 0, ε ∈ R, ∃N(ε) ∈ N, : |xn − x| 6 ε, ∀n > N(ε).

Sia ε = [(εn)] > 0. Allora, dal lemma 1.3.8 segue che esistono α ∈ Q, α > 0 ed M(ε) ∈ N tali che εn > α per ognin > M(ε). Ora, per quanto osservato nelle premesse

|xn − x| = [(|qnk − pk|)] = [(|pn − pk|)].

Siccome (pn) ∈ CQ esistera N(α) ≡ N(ε) ∈ N tale che

|pn − pk| 6α

2, ∀n, k > M.

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Ma allora εk − |pn − pk| > εk − α2> α

2, per ogni k > max{N,M} ed n > N . Per definizione, pertanto,

0 < [(εk − |pn − pk|)] = ε− |xn − x|, ∀n > M, =⇒ |xn − x| 6 ε, ∀n > N,

che e proprio cio che si voleva.

A questo punto possiamo dare senso alla nozione di successione di Cauchy anche per le successioni di elementidi R: diremo che (xn) ⊂ R e una successione di Cauchy se

∀ε > 0, ε ∈ R, ∃N(ε) ∈ N, : |xn − xm| 6 ε, ∀n, m > N(ε).

Siamo ora pronti per il

Teorema 1.3.13 (completezza di R). R e completo rispetto alla metrica euclidea, cioe: ogni successione(xn) ⊂ R di Cauchy e convergente in R.Alla dimostrazione del teorema premettiamo il seguente

Lemma 1.3.14. Sia (xn) ⊂ R una successione di Cauchy per la quale ∃(xnk ) ⊂ (xn) convergente in R. Allora (xn)converge allo stesso limite di (xnk ).Dim. Lemma — Si tratta semplicemente di combinare le due ipotesi. Da un lato (xn) soddisfa la proprieta diCauchy, per cui,

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, : |xn − xm| 6 ε, ∀n,m > N(ε).

Dall’altro, supponiamo che xnk −→ x, cioe che

∀ε > 0, ∃K(ε) ∈ N, : |xnk − x| 6 ε, ∀k > K(ε).

Siccome la successione di indici nk e strettamente crescente, troviamo sicuramente un k > K(ε) tale che nk > N(ε).Ma allora, se n > nk avremo che, per la proprieta di Cauchy, |xn−xn

k| 6 ε, e per la convergenza della sottosuccessione

|xnk− x| 6 ε. Ma allora, per la disuguaglianza triangolare,

|xn − x| 6 |xn − xnk|+ |xn

k− x| 6 ε+ ε = 2ε, ∀n > nk.

Dim. — Sia (xn) ⊂ R una successione di Cauchy. Cio significa che

∀ε > 0, (ε ∈ R), ∃N(ε), : |xn − xm| 6 ε, ∀n,m > N(ε). (1.3.2)

In virtu del lemma 1.3.14 basta mostrare che (xn) ammette una sottosuccessione convergente. A tal fine osserviamoche se (xn) fosse formata solo da un numero finito di elementi distinti sarebbe semplice mostrare che almeno unelemento deve ripetersi infinite volte e quindi sarebbe possibile estrarre una sottosuccessione costante. Se invece (xn)contiene un’infinita di elementi distinti possiamo dire che esiste (xnk ) ⊂ (xn) tale che xnk 6= xnh per h 6= k. Perbrevita indichiamo sempre con (xn) tale sottosuccessione. Ora detta αn := |xn+1 − xn| > 0 si vede immediatamenteche dalla (1.3.2) segue che αn −→ 0. Sia poi xn = [(pnk )] (dove (pnk ) ∈ CQ). Per il lemma 1.3.12 abbiamo che pnk −→ xnper k −→ +∞: allora esiste k(n) tale che

|pnk(n) − xn| < αn.

Chiamiamo adesso x := [(pnk(n))]. Mostriamo che effettivamente x ∈ R (cioe che (pnk(n)) ∈ CQ) e che xn −→ x pern −→ +∞.i) (pnk(n)) ∈ CQ. Infatti(2)

|pmk(m) − pnk(n)| 6 |pmk(m) − xm|+ |xm − xn|+ |xn − pnk(n)| 6 αn + αm + |xm − xn|

= |xn+1 − xn|+ |xm+1 − xm|+ |xm − xn|.

2Ad essere formali si dovrebbe scrivere

|pmk(m) − pnk(n)| (in Q) = |i(pmk(m))− i(pnk(n))| (in R)

e poi proseguire.

8

Ora: sia ε ∈ Q, ε > 0. Denotando sempre con ε3

= i( ε3) = [( ε

3)] allora ε

3> 0 (in R) ed allora, per la proprieta di

Cauchy troviamo N( ε3) tale che vale la (1.3.2): ne segue che se n,m > N( ε

3) allora

|pmk(m) − pnk(n)| 6ε

3+ε

3+ε

3= ε.

ii) xn −→ x. Osserviamo che

|xn − x| 6 |xn − pnk(n)|+ |pnk(n) − x| 6 αn + |pnk(n) − x| 6 ε+ |pnk(n) − x|, ∀n > N(ε).

Ma per il lemma 1.3.12 pnk(n) −→ x. Dunque, fissato ε > 0 esistera un N(ε) ∈ N tale che |pnk(n) − x| 6 ε per ogni

n > N(ε). Dunque|xn − x| 6 2ε, ∀n > max{N(ε), N(ε)},

e questo conclude la dimostrazione.

Dimostreremo ora che R e archimedeo e, infine, che gli insiemi inferiormente limitati ammettono estremoinferiore. Con cio sara terminata la dimostrazione dell’esistenza di R come corpo ordinato di numeri soddi-sfacente l’assioma dell’estremo inferiore.

Teorema 1.3.15. R e archimedeo, ovvero per ogni x > 0 esiste n ∈ N tale che nx > 1.Dim. — Sia x = [(pk)] > 0: per il lemma 1.3.8 esiste ε ∈ Q ed K ∈ N tali che

pk > ε, ∀k > K.

Ora: ε = mn

e possiamo assumere m,n > 0; pertanto npk > m da cui facilmente nx > m > 1.

Abbiamo infine

Teorema 1.3.16. Sia A ⊂ R inferiormente limitato. Allora esiste inf A.Dim. — Per ipotesi esiste m ∈ R tale che m 6 a per ogni a ∈ A. Se m ∈ A abbiamo finito, altrimenti consideriamoi due intervalli [m, a0+m

2] e [a0+m

2, a0] dove a0 e un qualunque elemento di A fissato. Prendiamo quello piu a sinistra

che contiene punti di A e chiamiamo m1 il suo estremo sinistro. Osserviamo che

m1 6 a, ∀a ∈ A, |m1 −m| 6 |a0 −m|2

.

Iterando la procedura costuiamo una successione (mn) ⊂ R tale che

mn 6 a, ∀a ∈ A, |mn −mn−1| 6|a0 −m|

2n.

Mostriamo che (mn) e di Cauchy. Infatti: se k > h abbiamo che

|mk −mh| 6k−1Xj=h

|mj+1 −mj | 6k−1Xj=h

|a0 −m|2j

=|a0 −m|

2h

k−h−1Xj=0

�1

2

�j.

Ricordiamo ora la formula notevolekXj=0

λj =1− λj+1

1− λ, ∀λ 6= 1.

AlloraPk−h−1j=0

�12

�j=

1−( 12 )k−h12

6 2, per cui

|mk −mh| 6|a0 −m|

2h−1=:

C

2h.

Ora: sia ε > 0: abbiamo che C2h

6 ε se 2h > Cε. A questo punto abbiamo bisogno del

9

Lemma 1.3.17 (Prima disuguaglianza di Bernoulli). Sia a > 0. Allora

(a+ b)n > an + nan−1b, ∀b > 0, ∀n ∈ N. (1.3.3)

Dim. Lemma — Applichiamo la formula del binomio di Newton:

(a+ b)n =

nXk=0

�nk

�an−kbk = an + nan−1b+

nXk=2

�nk

�an−kbk > an + nan−1b,

essendo b > 0.

Ma allora, 2h = (1 + 1)h > 1 + h, per cui se 1 + h > Cε, ovvero h > C

ε− 1 siamo a posto. L’esistenza di tale h e

garantita dalla proprieta archimedea di R provata nel teorema precedente. Ne segue facilmente ora che (mn) e diCauchy. Dunque esiste m := limn→+∞mn. Affermiamo che m = inf A. Anzitutto, essendo

mn 6 a, ∀a ∈ A, perm. sgn=⇒ m 6 a, ∀a ∈ A,

cioe m e un minorante. Mostriamo infine che e il miglior minorante. Ricordiamo a tal proposito che, per costruzione,nell’intervallo [mn,mn + |a0−m|

2n] cadono punti di A: esiste cioe an ∈ A tale che

mn 6 an 6 mn +|a0 −m|

2n, ∀n ∈ N.

Sia allora β > m: basta provare che esiste n tale che

mn +|a0 −m|

2n6 β,

ed il gioco e fatto. Sicuramente, poiche mn −→ m si trova N tale che |mn − m| 6 |β−m|2

per ogni n > N . Inparticolare

mn 6 m+|β −m|

2=m+ β

2.

Se adesso troviamo n > N tale che anche |a0−m0|2n

6 |β−m|2

siamo a posto. Ma questo equivale a trovare n tale che2n > γ > 0 e di nuovo questo segue facilmente dalla disuguaglianza di Bernoulli.

La dimostrazione e finalmente terminata!

1.4 Approssimazione degli irrazionali con i razionali

Una nota proprieta dei numeri reali e quella della densita dei razionali nei reali, ovvero che per ogni coppiadi numeri reali x < y esiste un razionale r ∈ Q tale che x < r < y. Una formulazione equivalente e:

∀x ∈ R, ∀ε > 0, ∃r ∈ Q : |x− r| 6 ε.

Vogliamo ora affrontare il seguente problema: quanto ”bene” e possibile approssimare un reale con unrazionale? Naturalmente la questione e interessante se x e un numero irrazionale. Un primo bel risultato intale direzione e il seguente:

Teorema 1.4.1. Per ogni numero irrazionale x esistono infinite coppie p, q ∈ Z, q 6= 0 tali che∣∣∣∣x− p

q

∣∣∣∣ 6 1q2

.

Dim. — Esistenza di una coppia: Fissiamo q ∈ N, q > 0 ed osserviamo che i q + 1 numeri

x− [x], 2x− [2x], . . . qx− [qx], (q + 1)x− [(q + 1)x] ∈]0, 1[

10

sono tutti distinti. Infatti, se cosı non fosse, cioee se per h 6= k si avesse hx− [hx] = kx− [kx] allora x = [kx]−[hx]k−h ∈ Q.

Ora: se dividiamo quindi ]0, 1[ in q parti ne segue che (principio della piccionaia) almeno una parte ne deve conteneredue dei numeri precedenti. In pratica osserviamo che

[0, 1[=

�0,

1

q

�∪�1

q,2

q

�∪ . . . ∪

�q − 1

q, 1

�.

Di conseguenza

∃1 6 h < k 6 q + 1, : |(hx− [hx])− (kx− [kx])| < 1

q.

Se q > 2 allora, posto q := k − h e p := [qx] la precedente si traduce subito in

|qx− p| = |qx− [qx]| ≤ 1

q, =⇒

����x− p

q

���� 61

qq6

1

q2

essendo q > q.Esistenza di infinite coppie: Dunque si e dimostrata l’esistenza di almeno una coppia. Ora vediamo che ce nesono in realta infinite. Se cosı non fosse, se cioe esistessero solo un numero finito di coppie (pj , qj) tali che����x− pj

qj

���� 61

q2j, j = 1, . . . , N.

Sia ε := minj=1,...,N

n���x− pjqj

���o > 0 (essendo x irrazionale). Per la proprieta di Archimede troviamo q > 0 tale che1q< ε. Ma allora, per quanto visto nella prima parte, troviamo (p, q) tali che����x− p

q

���� 61

qq6

1

q< ε,

che contraddice quanto supposto sopra.

Il teorema appena dimostrato e senz’altro un risultato molto importante ed utile in una serie di circostanze(ved. per esempio la prossima sezione). Apre naturalmente due questioni:

• il teorema non fornisce un metodo costruttivo per le frazioni pq , quindi e poco utile sul piano pratico

(ed invece sarebbe molto utile avere una procedura di costruzione di buone approssimazioni di numeriirrazionali);

• si puo fare di meglio? cioe, e possibile avere un grado di approssimazione migliore di 1q2 dove q e il

denominatore della frazione che approssima?

La risposta al primo problema e la rappresentazione di un numero reale x attraverso una frazione continua.L’idea e tutto sommato semplice. Dato x sia a0 := [x]. Allora

0 < x− [x] = x− a0 < 1.

Potremmo quindi cercare di individuare un intero a1 di modo tale che a0+ 1a1

sia un’approssimazione miglioredi a0 per x. L’a1 ideale e tale che x = a0 + 1

a1ovvero a1 = 1

x−a0. Il migliore intero che si avvicina a tale

scelta e allora

a1 :=[

1x− a0

].

Il prossimo passo e cercare un a2 ∈ N\{0} tale che a0 + 1a1+

1a2

sia, a sua volta, un’approssimazione migliore

delle precedenti. Ancora l’ideale sarebbe che

x = a0 +1

a1 + 1a2

, ⇐⇒ a2 =1

ξ1 − [ξ1], dove ξ1 =

1x− a0

.

11

L’intero migliore possibile (per difetto) sara dunque a2 :=[

1ξ1−a1

]. L’idea e ora quella di iterare il procedi-

mento, cioe costruiamo ricorsivamente

a0 := [x], ξ0 := x, an+1 :=[

1ξn − an

], ξn+1 :=

1ξn − an

, n > 0.

Esercizio 1.4.2. Dimostrare che se x e irrazionale le quantita suddette sono tutte ben definite per ogni k.

Formiamo cosı la successione

xn := a0 +1

a1 + 1

a2+.. .

+ 1an−1+

1an

=: [a0, a1, . . . , an] .

E chiaro che, per definizione degli stessi ξn, allora

Proposizione 1.4.3.x = [a0, . . . , an−1, ξn], ∀n ∈ N.

Dim. — Esercizio (procedere per induzione).

E naturale attendersi che xn −→ x ed effettivamente vedremo che e cosı. Prima facciamo qualche osservazionedi preparazione: anzitutto

[a0, . . . , an] = a0 +1

[a1, . . . , an]=a0[a1, . . . , an] + 1

[a1, . . . , an]=a0

�a1 + 1

[a2,...,an]

�+ 1

[a1, . . . , an]

=(a0a1 + 1)[a2, . . . , an] + 1

[a1, . . . , an][a2, . . . , an]=:

b1[a2, . . . , an] + c1[a1, . . . , an][a2, . . . , an]

=b1�a2 + 1

[a3,...,an]

�+ c1

[a1, . . . , an][a2, . . . , an]

=(b1a2 + c1)[a3, . . . , an] + b1

[a1, . . . , an][a2, . . . , an][a3, . . . , an]=

b2[a3, . . . , an] + c2[a1, . . . , an][a2, . . . , an][a3, . . . , an]

...

=bn−1an + cn−1

[a1, . . . , an][a2, . . . , an] · · · [an−1, an]an.

dove, naturalmente, cn−1 = bn−2 purche poniamo per definizione b−1 = 1 e b0 = a0. Dunque:

[a0, . . . , an] =bn−1an + bn−2

[a1, . . . , an][a2, . . . , an] · · · [an−1, an]an=:

bn

. . ., b−1 = 1, b0 = a0, ∀n > 0. (1.4.1)

Ma allora

[a1, . . . , an] =bn−1an−1 + bn−2

[a2, . . . , an][a3, . . . , an] · · · [an−1, an]an=:

bn

. . ., b0 = 1, b1 = a1, ∀n > 1,

da cui, infine

[a0, . . . , an] =bn

bn

, ∀n > 1, (1.4.2)

dove i numeri (interi) bn e bn sono costruiti con le regole di cui sopra.

12

Esercizio 1.4.4. La successione dei denominatori (bn) e strettamente crescente.

Teorema 1.4.5. Sia [a0, . . . , an] =: bnbn

. Si ha che:

i) x2n (x2n+1) sono approssimazioni per difetto (eccesso) di x, nel senso che

x2n < x < x2n+1, ∀n ∈ N.

ii) x2n ↗ e x2n+1 ↘.

iii) ∣∣∣∣x− bn

bn

∣∣∣∣ 6 1bnbn+1

.

Dim. — i) Per induzione: per costruzione x0 = [a0] = a0 = [x] < x mentre x1 = a0 + 1a1

dove a1 =h

1x−a0

i<

1x−a0

+ 1. Pertanto

x1 > a0 +1

x− a0+ 1 = [x] + 1 +

1

x− a0> x+

1

x− a0> x.

Supponiamo ora che la conclusione sia vera per un certo n nel senso che per ogni y ∈ R\Q, detta ([b0, . . . , bn]) lasequenza di frazioni continue costruite a partire da y risulti [b0, . . . , b2n] < y < [b0, . . . , b2n+1]. Allora, osservato che

x2(n+1) = [a0, . . . , a2n, a2n+1, a2n+2] = a0 +1

[a1, . . . , a2n+2]

e che [a1, . . . , an] altro non e che la sequenza di frazioni continue del numero y := 1x−a0

∈ R\Q allora

x2(n+1) < a0 +11

x−a0

= x,

e similmente si trova che x2(n+1)+1 > x.ii) Esercizio.iii) Osserviamo che

xn+1 − xn = [a0, . . . , an+1]− [a0, . . . , an] =1

[a1, . . . , an+1]− 1

[a1, . . . , an]=

[a1, . . . , an]− [a1, . . . , an+1]

[a1, . . . , an+1][a1, . . . , an]

=[a2, . . . , an]− [a2, . . . , an+1]

[a1, . . . , an+1][a1, . . . , an]=

[a3, . . . , an+1]− [a3, . . . , an]

[a1, . . . , an+1][a2, . . . , an+1][a1, . . . , an][a2, . . . , an]...

=(−1)n

[a1, . . . , an+1][a2, . . . , an+1] · · · [an, an+1]an+1[a1, . . . , an][a2, . . . , an] · · · an

Ma dalle (1.4.1) e (1.4.2) si ha che

[a1, . . . , an][a2, . . . , an] · · · an =bnxn

= bn,

da cui

xn+1 − xn =(−1)n

bnbn+1

.

Da questa la conclusione e immediata.

Diamo un breve cenno alla seconda questione posta sopra, rimandando al bellissimo libro di Niven [5] perulteriori approfondimenti. Un bel risultato che si basa essenzialmente sull’approssimazione con frazionicontinue e il

13

Teorema 1.4.6 (Hurwitz, 1891). Per ogni numero irrazionale x esistono infinite coppie p, q ∈ Z, q 6= 0 taliche ∣∣∣∣x− p

q

∣∣∣∣ 6 1√5q2

.

La costante 1√5

e ottimale nel senso che esistono numeri razionali x per i quali non esistono infiniti razionali

tali che∣∣∣x− p

q

∣∣∣ 6 1cq2 dove c >

√5.

Esercizio 1.4.7. Un esempio di numero di cui si parla nella seconda parte del teorema precedente e ilnumero

√5+12 . Provare che effettivamente e cosı.

1.5 Limite inferiore e superiore

Ricordiamo che se (xn) ⊂ R, diciamo che limn→+∞ xn = ` se vale la proprieta seguente:

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, : |xn − `| 6 ε, ∀n > N(ε).

In generale, naturalmente, una successione puo non convergere e quindi l’operazione di limite non esseredefinita. E tuttavia possibile, sfruttando l’ordinamento, definire due operazioni generalizzate di limite chehanno sempre senso e sono utili in numerose applicazioni (nonche coincidere con quella di limite nei casi incui questi esista). Prima di procedere e ond’evitare fastidiose distinzioni di volta in volta, introduciamo lanozione di retta reale estesa. Formalmente e l’insieme R := R ∪ {−∞,+∞}, dove −∞ e +∞ sono duenuovi elementi. Estendiamo alcune operazioni. Per esempio:

−∞ < x < +∞, ∀x ∈ R,

−∞± x = −∞, +∞± x = +∞, ∀x ∈ R,(−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) + (+∞) = +∞,(−∞)− (+∞) = −∞, (+∞)− (−∞) = +∞.

Non sono invece definite le operazioni (dette anche forme indeterminate)

(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞).

Siamo ora pronti per la

Definizione 1.5.1. Sia (xn) ⊂ R. Consideriamo le successioni (ξn), (ηn) ⊂ R definite rispettivamente da

ξn := inf{xj : j ≥ n}, ηn := sup{xj : j ≥ n}.

Chiaramente ξn ↗ e ηn ↘ per cui esistono, come noto, limn→+∞ ξn e limn→+∞ ηn. Si pone

lim infn→+∞

xn := limn→+∞

ξn = supn

infj≥n

xj , lim supn→+∞

xn := limn→+∞

ηn = infn

supj≥n

xj .

Esempio 1.5.2. Se per esempio xn = (−1)n allora

αn = inf{(−1)j : j ≥ n} = −1, βn = sup{(−1)j : j ≥ n} = 1,

da cui lim infn xn = −1 e lim supn xn = 1.

Esercizio 1.5.3. Dimostrare la seguente caratterizzazione di lim infn xn = ` ∈ R:

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N : `− ε 6 xn, ∀n > N(ε), e xn 6 ` + ε per infiniti indici n.

Dare una caratterizzazione simile anche per il lim supn xn. Fornire caratterizzazioni analoghe nei casilim infn xn = −∞ e lim supn xn = +∞.

14

Vediamo ora qualche altro esempio interessante ma meno banale.

Esempio 1.5.4.lim inf

n

(√n− [

√n])

= 0, lim supn

(√n− [

√n])

= 1.

Infatti: osserviamo anzitutto che√n+ 1 −

√n = 1√

n+1+√n−→ 0. Fissato 0 < ε < 1 allora si trova N = N(ε) tale

che 0 <√n+ 1−

√n < ε per ogni n > N . Sia ora, fissato k ∈ N

nk := min{h ∈ N :√h > k}.

In particolare:√nk − 1 < k 6

√nk. Non solo: ovviamente nk ↗ +∞. Osserviamo poi che se nk > N + 1 allora

essendo anche√nk −

√nk − 1 < ε < 1 ne segue che, a maggior ragione

√nk − k < ε < 1 e dunque k = [

√nk]. In

particolare0 6

√nk − [

√nk] =

√nk − k ≤ ε, ∀nk > N + 1.

Da cio segue subito che lim infn = 0. Quanto al limite superiore basta a questo punto osservare che√nk+1 − 1− [

√nk+1 − 1] =

√nk+1 − 1− k =

√nk+1 +

�√nk+1 − 1−√nk+1

�− k

=�√nk+1 − (k + 1)

�+ 1−

�√nk+1 −

√nk+1 − 1

�> 1− ε, ∀nk > N + 1.

Esercizio 1.5.5. Calcolare lim infn / lim supn (log n− [log n]).

Esercizio 1.5.6. Calcolare lim infn / lim supn cos n.

Le seguenti proprieta sono molto semplici e naturali:

Proposizione 1.5.7. Se ∃ limn→+∞ xn =: ` ∈ R allora

lim infn

xn = lim supn

xn = limn

xn.

Viceversa: se lim infn xn = lim supn xn = ` ∈ R allora ∃ limn xn = `.Dim. — Ci limitiamo al caso ` ∈ R lasciando il caso ` = ±∞ come esercizio al lettore. Supponiamo anzitutto che∃ limn xn = ` ∈ R: allora, per definizione, preso ε > 0 si trova N(ε) ∈ N tale che

`− ε 6 xn 6 `+ ε, ∀n > N(ε), =⇒ `− ε 6 infj>n

xj 6 supj>n

xj 6 `+ ε, ∀n > N(ε).

Ma questo significa proprio che lim infn xn = limn infj>n xj = ` e similmente che lim supn xn = limn supj>n xj = `.Viceversa: supponiamo che lim infn xn = lim supn xn = ` ∈ R. Fissato ε > 0 troviamo allora N1(ε), N2(ε) ∈ N taliche

`− ε 6 infj>n xj 6 `+ ε, ∀n > N1(ε),

`− ε 6 supj>n xj 6 `+ ε, ∀n > N2(ε),=⇒ `−ε 6 inf

j>nxj 6 sup

j>nxj 6 `+ε, ∀n > N(ε) := max{N1(ε), N2(ε)}.

Pertanto, a maggior ragione,`− ε 6 xn 6 `+ ε, ∀n > N(ε),

che significa proprio (vista l’arbitrarieta di ε) che ∃ limn xn = `.

Esercizio 1.5.8. Sia (xn) ⊂ R. Provare che lim infn xn 6 lim supn xn.

Esercizio 1.5.9. Siano (xn), (yn) ⊂ R. Mostrare che, purche non vi siano forme indeterminate,

lim infn

(xn + yn) > lim infn

xn + lim infn

yn, lim supn

(xn + yn) 6 lim supn

xn + lim supn

yn.

Provare con degli esempi che puo valere il segno stretto di disuguaglianza.

15

Citiamo infine una semplice proposizione che e spesso utile per abbreviare dei ragionamenti intorno ai limiti:

Proposizione 1.5.10. Se (xn) ⊂ R+ e lim supn xn = 0 allora esiste limn xn = 0.Dim. — Esercizio.

Esercizio 1.5.11. Siano (xn), (yn) ⊂ R tali che ∃ limn xn ∈]0,+∞[. Allora

lim supn

(xnyn) =(limn

xn

)(lim sup

nyn

).

Esercizio 1.5.12. Sia (qn) una numerazione dei razionali di [0, 1], cioe qn 6= qm per n 6= m e {qn : n ∈N} = Q ∩ [0, 1]. Quanto valgono lim infn qn e lim supn qn?

1.6 Complementi sulle serie numeriche

Sia (an) ⊂ C una successione di numeri complessi. Fin dall’antichita, ancor prima di porre il problema deilimiti di successioni, si e posto il problema di dare un senso ad una somma di un’infinita di numeri, ovverodi dare un senso al simbolo

∞∑n=0

an. (1.6.1)

Naturalmente non si tratta di un’operazione elementare visto che noi siamo in grado di sommare solo duenumeri tra loro e di conseguenza, attraverso un uso ripetuto della proprieta associativa della somma, unnumero finito qualunque di numeri, ma non un numero infinito. Sappiamo cioe calcolare

Sn :=n∑

k=0

ak = a0 + a1 + . . . + an, ∀n ∈ N.

Chiaramente tanto piu n cresce tanti piu termini vengono sommati nella somma parziale Sn. L’idea naturalee allora quella di definire la (1.6.1) come limite della successione (Sn) delle somme parziali:

Definizione 1.6.1. Sia (an) ⊂ C. Si chiama serie numerica associata alla successione (an) la successionedelle somme parziali (Sn), dove Sn :=

∑nk=0 ak. Si dice che la serie e convergente se ∃ limn→+∞ Sn =:

S ∈ C. In tal caso il numero s prende il nome di somma della serie. Altrimenti diciamo che la serie enon convergente.

Formalmente, dunque, il problema della convergenza o meno di una serie e ricondotto al problema di con-vergenza o meno di una successione numerica (quella delle somme parziali della serie stessa). Purtroppoin generale e estremamente difficile e raro riuscire a calcolare formule ridotte per i numeri sn. Un esempionotevole in cui cio e possibile e il seguente:

Esempio 1.6.2 (Serie geometrica). Sia q ∈ C (detto ragione della serie). Allora

∞∑n=0

qn converge ⇐⇒ |q| < 1.

Infatti, calcolando la somma parziale

Sn =

nXk=0

qk = 1 + q + q2 + . . .+ qn =1− qn+1

1− q,

16

se q 6= 1, in virtu dell’identita facilmente dimostrabile

(1− qn+1) = (1− q)(1 + q + q2 + . . .+ qn).

Dunque

Sn =

8><>:

1−qn+1

1−q , q 6= 1,

n+ 1, q = 1,

da cui facilmente la conclusione.

Esempio 1.6.3 (Serie di Mengoli). Consideriamo la∞∑

n=1

1n(n + 1)

.

Si osserva subito che

Sn =

nXk=1

1

k(k + 1)=

nXk=1

�1

k− 1

k + 1

�=

�1− 1

2

�+

�1

2− 1

3

�+ . . .+

�1

n− 1

n+ 1

�= 1− 1

n+ 1−→ 1.

Notiamo che il ragionamento si puo ripetere per una serie del tipo∑∞

n=0(bn − bn+1) (serie telescopica).

1.6.4 Serie reali a termini di segno costante

In genere il calcolo di una somma parziale e tutt’altro che semplice. Per esempio, una piccola modifica deltermine generale della serie di Mengoli trasforma il problema in un problema difficilissimo: nel caso dellaserie

∞∑n=1

1n2

,

non c’e modo di calcolare Sn esprimendo il risultato in termini di un numero prefissato di operazioni su n.Si puo tuttavia osservare che sicuramente Sn+1 > Sn perche Sn+1 = Sn + an ed an > 0 per ogni n. Dunque(Sn)↗ per cui sicuramente, per ben noti teoremi, ammette limite finito od infinito pari a sup{Sn : n ∈ N}.Abbiamo di fatto dimostrato la

Proposizione 1.6.5. Una serie a termini positivi e convergente oppure divergente a +∞.

Idem per le serie a termini negativi (con opportuno adeguamento). Dunque le serie a termini di segnocostante convergono o divergono. Per dirimere definitivamente la questione basta allora qualcosa di moltomeno: se per esempio, nel caso delle serie a termini positivi, si riesce a dimostrare che (Sn) e superiormentelimitata, cioe che esiste M ≥ 0 tale che Sn ≤ M per ogni n ∈ N allora si ha che la serie e convergente.Basta quindi una ”stima” di sn e, di conseguenza, una stima degli an. Questo e il succo dell’importante

Teorema 1.6.6 (del confronto). Siano (an), (bn) ⊂ R+ = [0,+∞[ tali che an 6 bn per ogni n ∈ N (bastaanche solo definitivamente, cioe per n > N per qualche N ∈ N). Allora:

∞∑n=0

bn converge, =⇒∞∑

n=0

an converge.

Dim.— Infatti: essendoPn an serie a termini > 0 si ha che, in virtu della proposizione precedente, essa e convergente

oppure diverge a +∞. Inoltre osserviamo che, in virtu dell’ipotesi,

Sn :=

nXk=0

ak 6nXk=0

bk =: Sn 6 supnSn =: S ≡

∞Xn=0

bn ∈ R.

17

Ma allora (Sn) e superiormente limitata, per cui non puo essere che Sn −→ +∞, da cui la conclusione.

La serie∑

n bn del teorema del confronto si dice maggiorante della∑

n an. Trovare una maggioranteconvergente della serie proposta sopra e abbastanza semplice se osserviamo che

1n2

=1

n · n≤ 1

(n− 1)n, ∀n ≥ 2,

per cui di fatto la serie e controllata da una serie di Mengoli e di conseguenza converge. Possiamo anchesubito mostrare che

∞∑n=1

1nα

converge ∀α ≥ 2.

Infatti, se α > 2 abbiamo che 1nα < 1

n2 e quindi applicando il confronto otteniamo la conclusione. Ma se peresempio volessimo discutere cosa succede per α < 2 come dovremmo fare? Il caso α = 1 e molto importante:

Esempio 1.6.7 (Serie armonica). La seguente serie e divergente:

∞∑n=1

1n

.

Lo vediamo con un ingegnoso artificio dovuto a Cauchy. Consideriamo la somma parziale S2n :

S2n =

2nXk=1

1

k= 1 +

1

2+

�1

3+

1

4

�+

�1

5+ . . .+

1

8

�+ . . .+

�1

2n−1 + 1+ . . .+

1

2n

�

> 1 +1

2+

�1

4+

1

4

�+

�1

8+ . . .+

1

8

�+ . . .+

�1

2n+ . . .+

1

2n

�= 1 +

n

2,

da cui le Sn non possono essere limitate e dunque la serie armonica diverge. Osserviamo che seguendo la stessa idea

S2n =

2nXk=1

1

k= 1 +

�1

2+

1

3

�+

�1

4+ . . .+

1

7

�+ . . .+

�1

2n−1+ . . .+

1

2n − 1

�+

1

2n

< 1 +

�1

2+

1

2

�+

�1

4+ . . .+

1

4

�+ . . .+

�1

2n−1+ . . .+

1

2n−1

�+

1

2n= 1 + (n− 1) +

1

2n,

cioe

1 +n

2< S2n < n+

1

2n, ∀n ≥ 1, ⇐⇒ 1 +

log k

2 log 2< Sk <

log k

log 2+

1

k, ∀k = 2n.

Qui log e il logaritmo naturale in base e. Osserviamo che log 2 < 1 < 2 log 2 come si verifica facilmente. E naturaleallora confrontare Sn per n generico (e non piu una potenza di 2) con logn e chiedersi anzitutto se Sn ∼ logn o, piufortemente, se

∃ limn→+∞

(Sn − logn) = γ ∈ R. (costante di Eulero–Mascheroni)

Effettivamente abbiamo che

Sn − logn =

nXk=1

1

k−n−1Xk=1

(log(k + 1)− log k) =1

n+

n−1Xk=1

�1

k− log

�1 +

1

k

��.

Un’applicazione del calcolo differenziale mostra che(3)

3La cosa puo essere dedotta da proprieta elementari del logaritmo. Qui non andiamo troppo per il sottile perche ci interessaarrivare rapidamente al risultato. Ovviamente da cio di cui stiamo parlando non dipende il seguito (ond’evitare circoli viziosi). . .

18

Lemma 1.6.8.

0 6 x− log(1 + x) 6x2

2, ∀x > 0.

Dim. — Infatti: presa ϕ(x) := x− log(1 + x) si ha ϕ(0) = 0 e ϕ′(x) = 1− 11+x

> 0 per x > 0. Ne segue che ϕ↗ e

quindi la prima disuguaglianza e verificata. Presa poi ψ(x) := x− x2

2− log(1 + x) si ha ancora ψ(0) = 0 mentre

ψ′(x) = 1− x− 1

1 + x=

1 + x− x(1 + x)− 1

1 + x= − x2

1 + x< 0,

da cui ψ ↘ e cio comporta la seconda disuguaglianza.

Ma allora

0 61

k− log

�1 +

1

k

�6

1

2k2.

Da cio segue che esiste

limn→+∞

n−1Xk=1

�1

k− log

�1 +

1

k

��=: γ.

In particolare dunque si ha

nXk=1

1

k= logn+ γ + εn, εn −→ 0. (formula di Eulero–Mascheroni) (1.6.2)

E a tutt’oggi un problema aperto stabilire se γ sia razionale o meno!

Quanto visto nell’esempio precedente ha una versione generale nel

Teorema 1.6.9 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia (an) ⊂ R+ tale che (an)↘. Allora

∞∑n=0

an converge ⇐⇒∞∑

n=0

2na2n converge.

Dim. — Esercizio: detta Sn la somma parziale della prima serie e Sn quella della seconda, dimostrare che valgonole disuguaglianze

1

2Sn ≤ S2n ≤ Sn,

quindi concludere.

Esercizio 1.6.10. Generalizzare il criterio di condensazione sostituendo al numero 2 un intero k ∈ N k > 2.

Esempio 1.6.11 (serie armonica generalizzata).

∞∑n=1

1nα

converge ⇐⇒ α > 1.

Infatti, poiche an := 1nα

↘ 0, per il criterio di condensazione la serie converge se e solo se converge la serie

∞Xn=1

2na2n =

∞Xn=1

2n1

(2n)α=

∞Xn=1

�21−α�n ,

serie geometrica di ragione q = 21−α convergente, quindi, se e solo se q < 1 (in questo caso q > 0), cioe se e solo se1− α < 0, ovvero α > 1.

19

Esercizio 1.6.12. Al variare di α, β > 0 discutere la convergenza delle seguenti serie

∞∑n=2

1nα(log n)β

,∞∑

n=3

1nα(log(log n))β

,∞∑

n=3

1n(log n)α(log(log n))β

.

Esercizio 1.6.13. Sia (an) la successione cosı definita:

an =

1n , se n non contiene la cifra 9,

0, altrimenti.

Stabilire se la serie∑

n an converge.

Corollari del criterio del confronto

Il criterio del confronto e dunque spesso l’unico strumento a disposizione per discutere la convergenza di unaserie numerica a termini di segno costante. Esso ha alcuni corollari importanti che, di fatto, ne costituisconocasi particolari.

Corollario 1.6.14 (Confronto asintotico). Siano (an), (bn) ⊂]0,+∞[ tali che an ∼ bn (cioe, lo ricordiamo,limn

bnan

= 1). Allora la serie∑

n an converge se e solo se converge la serie∑

n bn.Dim. — Esercizio: osservare che e, definitivamente, 1

26 bn

an6 2. . .

I seguenti noti corollari sono di fatto applicazioni del criterio del confronto tra una serie generica ed unaserie geometrica:

Corollario 1.6.15 (Criterio della radice). Sia (an) ⊂ R+ e sia

λ := lim supn

n√

an ∈ [0,+∞].

Allora:

• se λ < 1 la serie∑

n an e convergente;

• se λ > 1 la serie∑

n an e divergente a +∞ (e lim supn an = +∞).

Dim. — E semplice ed impiega solo la caratterizzazione dell’esercizio 1.5.3 del limite superiore: supponiamo cheλ < 1 e fissiamo ε > 0 di modo tale che q := λ+ ε < 1. Per la caratterizzazione 1.5.3 si ha allora che esiste N(ε) ∈ Ntale che

n√an 6 λ+ ε = q, ∀n > N(ε), ⇐⇒ an 6 qn, ∀n > N(ε).

Ma allora la conclusione segue dal criterio del confronto. Il caso λ > 1 e lasciato per esercizio.

Osservazione 1.6.16 (Importante!). Se λ = 1 il criterio non fornisce alcuna indicazione. Basta considerarei casi delle serie

∑n

1n (divergente) e

∑n

1n2 (convergente). In entrambi i casi λ = 1 (esercizio).

Similmente si ha il

Corollario 1.6.17 (Criterio del rapporto). Sia (an) ⊂]0,+∞[. Allora:

• se lim supnan+1an

< 1 la serie∑

n an e convergente;

• se lim infnan+1an

> 1 la serie∑

n an e divergente a +∞ (e limn an = +∞).

20

Negli altri casi il criterio non fornisce indicazioni.Dim. — Esercizio.

Notiamo che in entrambi i casi si vuole confrontare una serie data con una serie geometrica. Il criterio delrapporto e piu debole di quello della radice:

Esercizio 1.6.18. Sia (an) ⊂]0,+∞[. Mostrare che valgono le relazioni

lim supn

n√

an 6 lim supn

an+1

an, lim inf

n

n√

an > lim infn

an+1

an.

Il fatto che il criterio della radice sia piu forte di quello del rapporto e confermato dal seguente esempio:

Esercizio 1.6.19. Discutere la convergenza della serie∑

n an dove

an :=

12k

, n = 2k,

13k

, n = 2k + 1.

Esercizio 1.6.20. Sia (an) ⊂]0,+∞[ e sia limnan+1an

= 1. Mostrare che se

lim supn

n

(an+1

an− 1)

< −1,

allora∑

n an converge. (sugg.: detto −1− α con α > 0 il lim supn sia bn := C

n1+α2

; calcolare lim supn di cui sopra

con (bn) in luogo di (an) e dedurre che deve esistere C di modo tale che an 6 bn. . . )

1.6.21 Convergenza assoluta

Per le serie di numeri reali a segno non costante ovvero per le serie a termini complessi lo studio dellaconvergenza si complica notevolmente. E elementare mostrare che vale la

Proposizione 1.6.22 (Condizione necessaria di convergenza). Sia (an) ⊂ C. Condizione necessaria diconvergenza per la serie

∑n an e che an −→ 0.

Dim. — Infatti basta osservare che posto al solito Sn :=Pnk=0 ak, allora an = Sn−Sn−1 −→ 0 se Sn −→ S ∈ C.

Ovviamente come risulta dalla serie armonica∑∞

n=11n tale condizione e tutt’altro che sufficiente. Un modo

naturale di ricondurre una serie di numeri complessi ad una serie a termini di segno costante e quello diconsiderare la serie

∑n |an|: il risultato fondamentale in tal senso e il

Teorema 1.6.23. Se∑

n |an| converge allora converge anche∑

n an.Dim. — La relativamente semplice dimostrazione utilizza la completezza dei numeri reali/complessi, cioe il fattoche successioni di Cauchy sono convergenti. Infatti: sia Sn :=

Pnk=0 ak. Osserviamo che, se n > m per esempio,

|Sn − Sm| =

�����nX

k=m+1

ak

����� 6nX

k=m+1

|ak| = Sn − Sm,

dove naturalmente Sn :=Pnk=0 |ak|. Ma allora, se (Sn) e convergente gode anche della proprieta di Cauchy, per cui

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N : 0 6 Sn − Sm 6 ε, ∀n > m > N(ε), =⇒ |Sn − Sm| 6 ε, ∀n > m > N(ε).

Dunque anche (Sn) gode della proprieta di Cauchy da cui la conclusione.

21

Definizione 1.6.24. Si dice che la serie∑

n an e assolutamente convergente se∑

n |an| converge.

Osservazione 1.6.25. Va da se che la convergenza assoluta non e condizione necessaria di convergenza.Un esempio e dato dalla serie

P∞n=1

(−1)n+1

n, chiaramente non assolutamente convergente. Tuttavia e convergente

come si vede da un calcolo elementare: se consideriamo la somma parziale S2n avremo

S2n =

2nXk=1

(−1)k+1

k=

�1− 1

2

�+

�1

3− 1

4

�+ . . .+

�1

2n− 1− 1

2n

�=

nXk=1

�1

2k − 1− 1

2k

�=

nXk=1

1

2k(2k − 1)

da cui risulta che S2n > 0 ed e anche una successione crescente. Inoltre, sempre per la stessa relazione,

S2n 6 1 +

nXk=2

1

2k(2k − 2)= 1 +

1

4

n−1Xk=1

1

k(k + 1)6 1 +

1

4,

da cui segue che S2n −→ S ∈ [0, 54]. D’altra parte S2n+1 = S2n + 1

2n+1−→ S da cui, come facilmente si vede,

Sn −→ S. Utilizzando la formula di Eulero–Mascheroni (1.6.2) possiamo calcolare il valore esatto di S. Infatti:

S2n =

nXk=1

�1

2k − 1− 1

2k

�=

nXk=1

1

2k − 1+

nXk=1

1

2k− 2

nXk=1

1

2k=

2nXk=1

1

k−

nXk=1

1

k

= log(2n) + γ + ε2n − (logn+ γ + εn) = log 2 + ε2n − εn −→ log 2.

1.6.26 Serie di potenze

Una classe di serie particolarmente importanti e costituita dalle cosiddette serie di potenze, vale a dire seriedel tipo

∞∑n=0

cn(z − z0)n,

dove (cn) ⊂ C e z, z0 ∈ C; z0 si dice centro della serie. Chiameremo insieme di convergenza l’insieme S degliz ∈ C nei quali la serie suddetta converge. Naturalmente una serie di potenze converge sempre nel centropoiche tutti i termini (ad eccezione, al piu, del primo) sono nulli.

Pensata come funzione della variabile z, le serie di potenze rappresentano una generalizzazione naturaledei polinomi e costituiscono quindi la prima classe di funzioni non totalmente elementari (rispetto allacomplessita ”computazionale”) che e interessante studiare. E importante osservare che fin dai suoi inizil’Analisi operava quasi esclusivamente con funzioni di questo tipo. Il motivo e che, come vedremo, le piuimportanti funzioni speciali dell’Analisi (esponenziali, trigonometriche, etc.) sono funzioni di questo tipo.

Andiamo allora a studiare la convergenza assoluta. Il risultato importante e il

Teorema 1.6.27 (Cauchy–Hadamard). Sia

R :=1

lim supn |cn|1n

∈ [0,+∞].

Allora

i) se R = 0 la serie∑

n cn(z − z0)n se e solo se z = z0;

ii) se R = +∞ la serie∑

n cn(z − z0)n converge assolutamente per ogni z ∈ C;

iii) se 0 < R < +∞ la serie∑

n cn(z−z0)n converge assolutamente per ogni z tale che |z−z0| < R mentrenon converge per alcun z tale che |z − z0| > R.

22

Il numero R viene detto raggio di convergenza della serie.Dim. — Applichiamo il criterio della radice per lo studio della convergenza assoluta, cioe alla serie

∞Xn=0

|cn||z − z0|n =:

∞Xn=0

an.

A tal fine dobbiamo calcolare

lim supn

a1nn = lim sup

n|cn|

1n |z − z0| =

|z − z0|R

, dove R :=1

lim supn |cn|1n

.

Abbiamo tre casi:

• Se lim supn |cn|1n = +∞ (cioe per R = 0) si ha che lim supn a

1nn = +∞ per ogni z 6= z0 per cui la serie non e

assolutamente convergente ed essendo (ved. il teorema 1.6.17) lim supn an = +∞ non e verificata nemmenola condizione necessaria per cui non si ha che cn(z − z0)

n −→ 0: dunque la serie di potenze non converge peralcun z 6= z0.

• Se lim supn |cn|1n = 0 allora lim supn a

1nn = 0 per ogni z ∈ C, per cui la serie di potenze e assolutamente

convergente per ogni z ∈ C (sempre in virtu del criterio della radice 1.6.17).

• Se 0 < lim supn |cn|1n < +∞ allora abbiamo che

– se |z − z0| < R allora lim supn a1nn < 1 per cui la serie di potenze e assolutamente convergente;

– se |z − z0| > R allora lim supn a1nn > 1 ed anche lim supn an = +∞, per cui non e verificata la condizione

necessaria di convergenza (poiche in questo caso cn(z−z0)n 6−→ 0) e dunque la serie non e convergente.

Si noti che il teorema non dice nulla circa la convergenza della serie per gli z tali che |z − z0| = R (nel caso0 < R < +∞), problema che in genere e molto delicato da discutere. Naturalmente, scegliendo di applicareil criterio del rapporto avremo un risultato simile. Noi qui lo enunciamo in una forma un po’ piu restrittivasebbene utile:

Proposizione 1.6.28. Sia (cn) ⊂ C\{0}. Allora il limite (se esiste)

limn

|cn||cn+1|

coincide col raggio di convergenza della serie di potenze∑

n cn(z − z0)n.Dim. — Esercizio.

1.6.29 Riordino dei termini di una serie

Nella definizione di somma di una serie numerica i numeri di una certa successione (an) vengono sommatiseguendo l’”ordine” imposto dall’indice n. Chiaramente, se si pensa all’ordinaria somma, la scelta dell’ordineappare del tutto arbitraria. Nei numeri reali/complessi la proprieta commutativa assicura che anche inver-tendo l’ordine dei termini il risultato non cambia. Con le serie cio non e piu vero in generale ed, anzi sipossono ottenere risultati ”disastrosi”.

Esempio 1.6.30 (Importante!). Come visto sopra la serieP∞n=1

(−1)n+1

ne convergente. Riordiniamo i termini

(conservando la ”posizione” tra quelli positivi e tra quelli negativi) alternando due termini positivi con uno negativo.In altre parole consideriamo la serie

1 +1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+

1

9+

1

11− 1

6+ . . .

23

Non e difficile scrivere in modo sintetico la somma parziale di un certo numero di gruppi a tre termini, cioe della S3n:

S3n =

nXk=1

�1

4k − 3+

1

4k − 1− 1

2k

�.

Non e difficile mostrare che, come suggeriscono i primi termini, tutti i termini di questa somma sono positivi poiche

1

4k − 3+

1

4k − 1− 1

2k=

2k(4k − 1) + 2k(4k − 3)− (4k − 3)(4k − 1)

2k(4k − 3)(4k − 1)=−8k − (−16k + 3)

2k(4k − 3)(4k − 1)=

8k − 3

2k(4k − 3)(4k − 1)> 0,

per ogni k > 1. Dunque S3n ↗ S 6 +∞. D’altra parte, essendo

8k − 3

2k(4k − 3)(4k − 1)∼ 8k

32k3=

1

3k2,

la seriePk

8k−32k(4k−3)(4k−1)

converge per confronto asintotico, dunque S ∈ R. Ora anche (S3n+1) e (S3n+2) sono

convergenti essendo uguali a S3n+termini infinitesimi, ed hanno lo stesso limite S. Ma allora Sn −→ S. Affermiamo

adesso che S 6= S =P∞n=1

(−1)n+1

n(cosı che si sara mostrato che riordinando i termini la somma e cambiata!).

Ricordiamo anzitutto che (ved. osservazione 1.6.25),

S =

∞Xk=1

�1

2k − 1− 1

2k

�. (1.6.3)

In maniera del tutto simile si ha che

S =

∞Xk=1

�1

4k − 3− 1

4k − 2+

1

4k − 1− 1

4k

�. (1.6.4)

Moltiplicando la (1.6.3) per 12

e sommando quanto ottenuto alla (1.6.4) si ottiene

3

2S =

∞Xk=1

�1

4k − 2− 1

4k+

1

4k − 3− 1

4k − 2+

1

4k − 1− 1

4k

�=

∞Xk=1

�1

4k − 3+

1

4k − 1− 1

2k

�= S.

Facciamo qui notare che la situazione puo essere resa ancora piu bizzarra. Consideriamo infatti un riordino dei

termini della serieP∞n=1

(−1)n+1

nin cui, fissati due interi p, q > 0 sommiamo prima p termini positivi e poi q negativi

e cosı via. In altre parole formiamo la serie

Sp,q = 1 +1

3+

1

5+ . . .+

1

2p+ 1− 1

2− 1

4− . . .− 1

2q+

1

2p+ 3+ . . .− 1

2q + 2− . . .

Fissato n ∈ N, la somma parziale dei primi n(p+ q) termini della serie precedente e data data

Sp,qn(p+q) =

npXk=1

1

2k + 1−

nqXk=1

1

2k.

Ricordando la formula di Eulero–Mascheroni (1.6.2) abbiamo

nqXk=1

1

2k=

1

2(log(nq) + γ − εnq) ,

enpXk=1

1

2k + 1=

npXk=1

�1

2k + 1+

1

2k− 1

2k

�=

2np+1Xj=1

1

j− 1

2

npXk=1

1

k

!

= log(2np+ 1) + γ + ε2np+1 −1

2log(np)− 1

2γ − 1

2εnp.

24

Allora

Sp,qn(p+q) =1

2log(2np+ 1)2 + γ + ε2np+1 −

1

2log(np)− 1

2γ − 1

2εnp −

1

2(log(nq) + γ − εnq)

=1

2log

(2np+ 1)2

n2pq+ εn

dove naturalmente εn −→ 0. Da cio segue subito che

limn→+∞

Sp,qn(p+q) =1

2log

4p

q= log 2 + log

p

q.

E facile ora concludere che l’intera serie converge al valore log 2 + log pq

(esercizio). E interessante osservare che,essendo p, q arbitrari, pur di sceglierli opportunamente si puo far convergere Sp,q a ”quasi tutti” i numeri reali:questo anticipa di fatto il teorema di Riemann.

Nell’esempio precedente, che illustra moltissime cose, si e ripetutamente utilizzata una proprieta che puoessere dimostrata in generale e che lasciamo qui come utile esercizio per il lettore:

Esercizio 1.6.31. Sia (an) ⊂ C, (nk) ⊂ N strettamente crescente. Se an −→ 0 e

Snk :=nk∑j=1

aj −→ S ∈ C,

allora∑∞

j=1 aj = S.

Dunque la questione e: data una serie∑

n an di numeri reali/complessi convergente, e considerato un riordinoσ degli indici, cioe considerata una biiezione σ : N −→ N, cosa si puo dire sulla convergenza della serie

∞∑n=0

aσ(n) ?

Teorema 1.6.32. Se la serie∑

n an e assolutamente convergente allora anche ogni serie riordinata∑

n aσ(n),dove σ : N −→ N e assolutamente convergente ed ha la stessa somma.Dim. — Sia Sn :=

Pnk=0 |aσ(k)| ed Sn :=

Pnk=0 ak. Mostriamo che Sn − Sn −→ 0. Siccome

Pn |an| converge

verifica la proprieta di Cauchy, cioe

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N :

µXκ=ν+1

|aκ| 6 ε, ∀ν, µ > N(ε).

Ora siaM(ε) := max{σ−1(1), . . . , σ−1(N(ε))}.

Osserviamo che se k > M(ε), allora σ(k) > N(ε), poiche altrimenti k = σ−1(σ(k)) ∈ σ−1 ({1, . . . , N(ε)}) e dunquek 6 M(ε). Pertanto, se n > max{M(ε), N(ε)} allora

Sn =

nXk=0

aσ(k) =

M(ε)Xk=0

aσ(k) +

nXk=M(ε)+1

aσ(k) =

N(ε)Xh=0

ah +

nXk=M(ε)+1

aσ(k).

Pertanto

|Sn − Sn| 6

������nX

h=N(ε)+1

ah

������+������

nXk=M(ε)+1

aσ(k)

������ 6 ε+ ε = 2ε,

da cui la conclusione.

25

Le cose vanno ben diversamente se si rimuove la richiesta della convergenza assoluta, come gia anticipatonell’esempio:

Teorema 1.6.33 (Riemann). Sia∑

n an una serie numerica reale convergente ma non assolutamente con-vergente. Presi allora due numeri arbitrari α 6 β in R ∪ {±∞} esiste una biiezione σ : N ←→ N tale che,posto

Sn :=n∑

k=0

aσ(k),

alloralim inf

nSn = α, lim sup

nSn = β.

Osservazione 1.6.34. In particolare: e possibile riordinare opportunamente i termini per far convergere laserie a qualsiasi somma!

Dim. — L’idea e abbastanza semplice anche se un po’ macchinosa da realizzare: si tratta costruire il riordinodei termini sommando piu termini positivi e piu termini negativi alla volta di modo tale che con le somme parzialiottenute sommando i termini positivi superiamo la soglia β mentre con le successive scendiamo sotto la soglia α.

A tal fine definiamo a+n := max{an, 0}, a−n := max{−an, 0}, rispettivamente detti parte positiva e parte negativa

di an. Si noti che:

a+n , a

−n > 0, a+

n + a−n = |an|, a+n − a−n = an, ∀n ∈ N.

Inoltre, ovviamente, an = a+n se an > 0 mentre an = −a−n se an 6 0.

Osserviamo anzitutto che le seriePn a

+n e

Pn a

−n sono divergenti a +∞. Se infatti, per esempio,

Pn a

+n fosse

convergente allora, essendo, a−n = a+n −an e

Pn an convergente per ipotesi, allora anche

Pn a

−n sarebbe convergente.

Ma allora anchePn |an| sarebbe convergente, il che contraddice l’ipotesi.

Siano ora α 6 β, α, β ∈ R e formiamo le somme parziali

nXk=0

a+k .

Sia n1 ∈ N il piu piccolo n tale chePnk=0 a

+k > β (tale n1 chiaramente esiste visto che

Pn a

+n = +∞). Sia poi m1 ∈ N

il piu piccolo intero n ∈ N tale chen1Xk=0

a+k −

nXk=0

a−k 6 α.

Nuovamente, l’esistenza di m1 e garantita dal fatto chePn a

−n = +∞). Ora troviamo similmente n2 > n1ed m2 > m1

tali chen1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2Xk=n1+1

a+k > β,

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2Xk=n1+1

a+k −

m2Xk=m1+1

a−k 6 α.

Osserviamo che essendo n1 < n2 e m1 < m2 i primi indici per cui valgono le precedenti si ha anche

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2−1Xk=n1+1

a+k 6 β,

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2Xk=n1+1

a+k −

m2−1Xk=m1+1

a−k > α,

da cui

β 6n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2Xk=n1+1

a+k =

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2−1Xk=n1+1

a+k + a+

n2 6 β + a+n2 ,

e

α >n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2Xk=n1+1

a+k −

m2Xk=m1+1

a−k =

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k +

n2Xk=n1+1

a+k −

m2−1Xk=m1+1

a−k − a−m2 > α− a−m2 .

26

E chiaro che iterando il procedimento costruiamo due successioni n1 < n2 < n3 < . . . e m1 < m2 < m3 < . . . tali che

β 6 Si :=

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k + . . .+

niXk=ni−1+1

a+k 6 β + a+

ni ,

α− a−mi 6 si :=

n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k + . . .+

niXk=ni−1+1

a+k −

miXk=mi−1+1

a−k 6 α,

(1.6.5)

E chiaro che ora si intravede la conclusione. Anzitutto Si ed si sono somme parziali di un opportuno riordino dellaserie

Pn an (invitiamo il lettore pignolo a verificarlo!). Inoltre, essendo

Pn an convergente si ha che (condizione

necessaria di convergenza), an −→ 0. Ma allora, a maggior ragione, ani , ami −→ 0. Cio significa che Si −→ β mentresi −→ α. Inoltre, sempre per costruzione degli indici ni ed mi si ha che

si−1 6n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k + . . .+

jXk=ni−1+1

a+k 6 Si, ∀ j : ni−1 + 1 6 j 6 ni

si 6n1Xk=0

a+k −

m1Xk=0

a−k + . . .+

niXk=ni−1+1

a+k −

jXk=mi−1+1

a−k 6 Si, ∀ j : mi−1 + 1 6 j 6 mi,

da cui, finalmente, la conclusione e evidente.

Esercizio 1.6.35. Terminare la dimostrazione precedente nel caso in cui uno od entrambi tra α e β siainfinito.

1.7 Somme generalizzate

1.7.1 Introduzione

Nel paragrafo precedente si e richiamata la nozione di serie numerica definita come

∞∑k=0

fk := limn→+∞

n∑k=0

fk,

ammesso che questo limite esista finito. Questo modo di sommare i numeri (fk) sebbene apparentementenaturale risulta invece poco naturale quando si cerca di estendere le proprieta ordinarie delle somme finitealle somme infinite. Per esempio si e visto, col teorema di Riemann, che se non c’e la convergenza assoluta(ovvero, se

∑k |fk| e divergente) allora si puo ”riordinare” la somma in modo da ottenere qualsiasi numero!

Questo fatto mette in evidenza che in genere il fatto che seguiamo l’ordinamento dei naturali nel sommaretermini e essenziale, cioe se cambiassimo ordinamento non sarebbe piu garantita la convergenza e tantomenoallo stesso valore. Cosı se vogliamo che sia garantita anche la commutativita dobbiamo dare una definizionedi sommabilita piu restrittiva. In secondo luogo ed in connessione con l’osservazione precedente vi e spessol’esigenza di dare senso a somme su insiemi privi di ordinamento: che senso naturale dovrebbe avere lasomma ∑

n,m∈Nfn,m ?

Ed inoltre, quand’anche avesse un senso, quand’e che sara possibile scrivere∑n,m∈N

fn,m =∑n∈N

∑m∈N

fn,m =∑m∈N

∑n∈N

fn,m,

27

e quindi, per esempio, scambiare l’ordine di due somme? Se ci si pensa cio e vero sulle somme finite proprioperche valgono le proprieta commutativa ed associativa. E esattamente questo genere di questioni chevogliamo ora studiare.

1.7.2 Definizione e prime proprieta

Sia allora X un insieme qualunque. Indichiamo con CX l’insieme di tutte le funzioni da X in C e con P(X)l’insieme delle parti di X. Se S ⊂ X (ovvero S ∈ P(X)) e finito, diciamo S = {s1, . . . , sn} definiamo

∑k∈S

fk ≡∑S

f :=n∑

k=1

fsk .

Per la proprieta commutativa della somma (finita) tale definizione non dipende dall’enumerazione deglielementi di S. Chiameremo Pfin (X) la famiglia dei sottoinsiemi di X finiti.

Prendendo spunto dalla definizione originaria di somma di una serie numerica, la seguente definizione edel tutto naturale:

Definizione 1.7.3 (funzione sommabile). Sia f ∈ CX . Diciamo che f e sommabile su X e scriviamo∑X

f = s ∈ C,

se

∀ε > 0, ∃Sε ∈ Pfin (X) , :

∣∣∣∣∣∑S

f − s

∣∣∣∣∣ ≤ ε, ∀S ∈ Pfin (X) , S ⊃ Sε.

L’insieme delle funzioni sommabili su X si indica col simbolo `1(X).

Esercizio 1.7.4. Stabilire se e sommabile su X = N\{0} la funzione f(n) := (−1)n+1

n .

A breve vedremo che legame c’e tra questa nozione di sommabilita e l’ordinaria definizione per le serienumeriche. Premettiamo subito alcune semplici osservazioni:

Proposizione 1.7.5. f ∈ `1(X) se e solo se Re(f), Im(f) ∈ `1(X). Inoltre vale la formula∑X

f =∑X

Re(f) + i∑X

Im(f).

Dim. — Supponiamo f ∈ `1(X) e sia s =PX f = a+ ib. Allora, per ogni ε > 0, esiste Sε ∈ Pfin (X) tale che

ε ≥

�����XS

f − s

����� =����� X

S

Re(f)− a

!+ i

XS

Im(f)− b

!����� , ∀S ⊃ Sε.

Ma allora, essendo |α+ iβ| =pα2 + β2, immediatamente�����XS

Re(f)− a

����� ≤ ε,

�����XS

Im(f)− b

����� ≤ ε, ∀S ⊃ Sε,

e questo significa subito la conclusione. D’altra parte siano Re(f), Im(f) ∈ `1(X) e siano a, b ∈ R le rispettive somme.Fissato ε > 0 troviamo Sε, Tε ∈ Pfin (X) tali che�����

XS

Re(f)− a

����� ≤ ε, ∀S ⊃ Sε,

�����XS

Im(f)− b

����� ≤ ε, ∀S ⊃ Tε.

28

Sia allora Uε := Sε ∪ Tε chiaramente in Pfin (X). Se S ⊃ Uε = Sε ∪ Tε ne segue che�����XS

f − (a+ ib)

����� ≤�����XS

Re(f)− a

�����+�����XS

Im(f)− b

����� ≤ 2ε.

Notiamo alcune proprieta elementari, la cui dimostrazione e lasciata come esercizio (basta seguire le definizioni):

Proposizione 1.7.6. Valgono le proprieta seguenti:

i) Se Y ⊂ X e f > 0 (cioe f(x) > 0 per ogni x ∈ X), se f ∈ `1(X) allora f ∈ `1(Y ).

ii) Se f, g ∈ `1(X) allora f + g ∈ `1(X) e∑

X(f + g) =∑

X f +∑

X g.

iii) Se f ∈ `1(X) e λ ∈ C allora λf ∈ `1(X) e∑

X λf = λ∑

X f .

Dim. — Esercizio.

Esercizio 1.7.7. Provare che la i) della proposizione precedente e falsa se si rimuove la restrizione f > 0.(sugg.: pensare all’esercizio precedente. . . )

1.7.8 Sommabilita di funzioni reali a segno costante

Seguendo la traccia di quanto visto per le serie studiamo piu da vicino il problema della sommabilita difunzioni f ∈ RX

± , cioe delle f : X −→ R± dove, come al solito, R+ := [0,+∞[ e R− :=] −∞, 0]. Poichei ragionamenti sono del tutto simili ci limiteremo qui al caso f ∈ RX

+ invitando il lettore a enunciare edimostrare le apposite varianti per il caso in cui f ∈ RX

− .

Proposizione 1.7.9. Sia f ∈ RX+ . Allora∑

X

f = supS∈Pfin(X)

∑S

f,

nel senso che la somma esiste finita se e solo se la quantita a secondo membro e finita.Dim. — Sia s := supS∈Pfin(X)

PS f . Abbiamo due possibilita: s ∈ R+ ovvero s = +∞. Se s ∈ R+ allora, per la

proprieta caratteristica dell’estremo superiore, si ha che

∀ε > 0, ∃Sε ∈ Pfin (X) : s− ε <XSε

f 6 s.

Osserviamo che, essendo f > 0,

∀S ⊃ Sε, S ∈ Pfin (X) , s− ε <XSε

f 6XS

f 6 s.

Ma allora �����XS

f − s

����� 6 ε, ∀S ⊃ Sε, S ∈ Pfin (X) ,

dalla quale si deduce che s =PX f . Il caso s = +∞ e lasciato come esercizio.

Denoteremo con `+1 (X) := {f ∈ `1(X) : f > 0} la classe delle funzioni sommabili > 0. Osserviamoche, com’e naturale attendersi, per le somme di funzioni positive (o negative) la sommabilita non dipendedall’ordine con cui si eseguono le somme:

29

Proposizione 1.7.10. Sia σ : Y −→ X una biiezione. Allora

f ∈ `+1 (X), ⇐⇒ f ◦ σ ∈ `+1 (Y ).

In tal caso∑

X f =∑

Y f ◦ σ.Dim. — Infatti basta osservare che σ induce una biiezione tra Pfin (X) e Pfin (Y ) per cui

supT∈Pfin(Y )

XT

f ◦ σ = supσ(T )∈Pfin(X)

Xσ(T )

f = supS∈Pfin(X)

XS

f.

Esercizio 1.7.11. Sia X := {pq ∈ Q∩]0, 1[ : p, q ∈ N, q 6= 0, q, p privi di divisori comuni}. Dimostrare che

∑X

1q3∈ R,

∑X

1q2

= +∞.

(Dare per buono il fatto che la sommaPp∈P

1p, dove P e l’insieme dei numeri primi, e infinita. . . )

Come gia per le serie un criterio spesso importante e il

Proposizione 1.7.12 (Criterio del confronto). Siano f, g ∈ RX+ tali che

i) f 6 g (ovvero f(x) 6 g(x) per ogni x ∈ X);

ii) g ∈ `+1 (X).

Alloraf ∈ `+1 (X) e

∑X

f 6∑X

g.

Dim. — Esercizio.

Naturalmente criteri quali confronto asintotico e simili non hanno un senso preciso su un generico insiemeX.

1.7.13 Sommabilita di funzioni reali/complesse

Passiamo ora al caso di f ∈ RX . Come gia nel caso delle serie e naturale considerare la cosiddetta convergenzaassoluta, cioe l’esistenza della somma

∑X |f |. Ora, e questo costituisce un’indicazione ulteriore del fatto

che la nozione di sommabilita e piu restrittiva di quella di convergenza di una serie, nel caso in questionesommabilita e sommabilita assoluta sono equivalenti. Prima di mostrare questo fatto ricordiamo alcunecomode notazioni gia introdotte nel teorema di Riemann.

Definizione 1.7.14. Dato un numero reale α chiamiamo

α+ := max{α, 0}, (parte positiva), α− := min{−α, 0}, (parte negativa).

Si ha che α+ + α− = |α| e α+ − α− = α.

Data f ∈ RX chiameremo f+ ∈ RX la funzione tale che f+(x) := f(x)+, ∀x ∈ X e similmente faremo conf−.

30

Proposizione 1.7.15. Sia f ∈ RX . Allora

f ∈ `1(X), ⇐⇒ |f | ∈ `+1 (X).

Dim. — =⇒ Mostriamo anzitutto che f+, f− ∈ `+1 (X), dopodiche la conclusione seguira immediatamente dal fattoche, essendo

|f | = f+ + f−, =⇒XX

|f | =XX

f+ +XX

f− < +∞.

Fissiamo allora ε = 1: poiche f ∈ `1(X), detta s =PX f troviamo un insieme S1 ∈ Pfin (X) tale che�����

XS

f − s

����� 6 1, ∀S ⊃ S1.

Supponiamo allora per assurdo che, per esempio,PX f

+ = +∞. Chiaramente deve aversi chePX\S1

f+ = +∞essendo ovviamente

PS1f+ ∈ R+. Allora per ogni K > 0 troviamo almeno un PK ∈ Pfin (X\S1) tale che

XPK

f+ > K.

Chiaramente, visto che f+(x) = 0 se f(x) 6 0 possiamo tranquillamente assumere che f+(x) > 0 per ogni x ∈ PK .Ma allora, preso S := S1 ∪ PK ⊃ S1 e S ∈ Pfin (X) si ha

1 >

������X

S1∪PK

f − s

������ =������XS1

f +XPK

f − s

������ >

������XPK

f

������−�����XS1

f − s

����� =XPK

f − 1 > K − 1,

e a questo punto basta prendere K > 2 per ottenere una contraddizione.⇐= Basta osservare che 0 6 f+, f− 6 |f | per cui, per il teorema del confronto, f+, f− ∈ `+1 (X). Ma allora anchef = f+ − f− ∈ `1(X) da cui la conclusione.

Naturalmente il risultato precedente si estende al caso delle funzioni complesse:

Esercizio 1.7.16. Mostrare che se f ∈ CX allora f ∈ `1(X) se e solo se |f | ∈ `1(X).

Di conseguenza abbiamo il

Corollario 1.7.17. Una successione (fn) ⊂ C e sommabile su N se e solo se la sua serie e assolutamenteconvergente. In altre parole:

f ∈ `1(N), ⇐⇒∞∑

n=0

|fn| < +∞.

Dim. — Esercizio.

Una domanda che puo sorgere spontanea e: con l’operazione di somma generalizzata siamo quindi veramentein grado di sommare quantita anche non numerabili di numeri diversi da zero? La risposta e negativa: se f esommabile solo per un’infinita al piu numerabile di x ∈ X si ha f(x) 6= 0. Per vedere questo fatto osserviamoche vale la

Proposizione 1.7.18 (Disuguaglianza di Cebishev). Sia f ∈ `1(X) e λ > 0. Allora l’insieme {x ∈ X :|f(x)| > λ} e finito e si ha che

Card ({x ∈ X : |f(x)| > λ}) ≡ Card ({|f | > λ}) 61λ

∑X

|f |.

31

Dim. — Informalmente l’idea e semplice:

Card ({|f | > λ}) =X

x∈{|f |>Λ}

1|f(x)|>λ, ⇐⇒ 16 |f(x)|

λ

6X

x∈{|f |>Λ}

|f(x)|λ

61

λ

XX

|f |. (1.7.1)

L’unico punto da giustificare e il primo passaggio in realta. Osserviamo a tal fine che posto Y := {|f | > Λ} e g := χSla funzione indicatrice di S (cioe χS(x) = 1 se e solo se x ∈ S) si ha che

PS 1 =

PX χS e chiaramente (esercizio)

χS ∈ `1(X) se e solo se S e finito.

Corollario 1.7.19. Se f ∈ `1(X) allora {x ∈ X : f(x) 6= 0} e finito o al piu numerabile.Dim. — Basta osservare che

{x ∈ X : f(x) 6= 0} =[n∈N

�x ∈ X : |f(x)| > 1

n

�≡[n∈N

�|f | > 1

n

�,

e, per quanto visto nella proposizione precedente,�|f | > 1

n

e finito.

Esercizio 1.7.20. Estendere alle somme di termini qualunque la proposizione 1.7.10: se σ : Y −→ X ebiiezione allora

f ∈ `1(X), ⇐⇒ f ◦ σ ∈ `1(Y ).

In tal caso∑

X f =∑

Y f ◦ σ.

1.7.21 Scambio di ordine in una somma

Come gia anticipato nell’introduzione spesso sarebbe utile avere un certo ”grado di liberta” sul modo dieffettuare le somme, specie quando si tratta di somme di funzioni di piu variabili.

Esempio 1.7.22. Supponiamo di voler discutere l’esistenza o meno della sommaX(m,n)∈N2, m≥2, n≥2

1

mn.

Sarebbe comodo (per ovvi limiti computazionali nostri) prendere in considerazione una delle due somme iterate

∞Xm=2

∞Xn=2

1

mn,

∞Xn=2

∞Xm=2

1

mn.

Notiamo che rispetto alla prima e facile fare calcoli espliciti: infatti si tratta prima di tutto di sommare una seriegeometrica di ragione 0 < 1

m< 1,

∞Xn=2

1

mn=

∞Xn=2

�1

m

�n=

∞Xn=0

�1

m

�n− 1− 1

m=

1

1− 1m

− 1− 1

m=m2 −m(m− 1)− (m− 1)

m(m− 1)=

1

m(m− 1),

da cui∞Xm=2

∞Xn=2

1

mn=

∞Xm=2

1

m(m− 1)= 1.

Ma possiamo effettivamente affermare, cosa del tutto non banale, cheP

(m,n)∈N2, m≥2, n≥21mn

= 1 ed anche cheP∞n=2

P∞m=2

1mn

= 1? (si noti, in particolare, che quest’ultima e ben difficilmente calcolabile).

Naturalmente la definizione di sommabilita data e a tal punto buona che la domanda posta nell’esempioprecedente ha risposta affermativa. Il caso di cui sopra discendera dalla cosiddetta formula di somma perblocchi che ora illustriamo. Premettiamo la seguente

32

Definizione 1.7.23. Dato un insieme X, una famiglia {Xi}i∈I di suoi sottoinsiemi non vuoti e a due adue disgiunti si dice una partizione di X se

X =⋃i∈I

Xi.

Scriveremo: X =⊔

i Xi.

Teorema 1.7.24. Sia X un insieme ed {Xi}i∈I una sua partizione, f ∈ RX+ . Allora∑

X

f =∑

I

∑Xi

f, (1.7.2)

con il significato che ciascuno dei due membri e finito se e solo se e finito l’altro.Dim. — Ricordiamo che in virtu della proposizione 1.7.9 si ha cheX

X

f = supS∈Pfin(X)

XS

f.

Fissiamo S ∈ Pfin (X) e poniamo Si := Xi ∩S. Siccome gli {Xi} formano una partizione di X solo un numero finitodi Si e non vuoto, diciamo Si1 , . . . , Sin e S =

Fnk=1 Sik . Ma allora

XS

f =

nXk=1

XSik

f ≤nXk=1

XXik

f ≤Xi

XXi

f,

essendo f ≥ 0 (al piu il secondo membro vale +∞). Cio mostra che

s :=XX

f 6X

I

XXi

f =: s.

D’altra parte: sempre per la proposizione 1.7.9 si ha cheXI

XXi

f = supI∈Pfin(I)

Xi∈I

XXi

f.

Supponiamo per assurdo che s < s (in particolare, in ogni caso, s ∈ R+). Per definizione di estremo superioretroviamo I = {i1, . . . , in} ∈ Pfin (I) tale che

s <

nXk=1

XXik

f.

Osserviamo che deve esserePXik

f < +∞ per ogni k = 1, . . . , n poiche altrimenti, se cio non accade per un certo k

si avrebbe che XX

f ≥XXik

f = +∞, =⇒ s = +∞,

che contraddice la premessa. Sia ora ε > 0 un numero tale chePnk=1

PXik

f − s > ε. Sempre in virtu della

proposizione 1.7.9 e la definizione di estremo superiore abbiamo che

∀k = 1, . . . , n ∃Sk ∈ Pfin (Xik ) , :XSk

f >XXik

f − ε

n,

da cuinXk=1

XSk

f >

nXk=1

XXik

f − ε > s.

33

D’altra parte preso S :=Fnk=1 Sk ∈ Pfin (X) si ha

s =XX

f >XS

f =

nXk=1

XSk

f > s,

che appunto e impossibile.

Corollario 1.7.25 (teorema di Tonelli, caso discreto). Siano X, Y insiemi ed f ∈ RX×Y+ (ovvero: f :

X × Y −→ [0,+∞[). Allora ∑(x,y)∈X×Y

f(x, y) =∑x∈X

∑y∈Y

f(x, y) =∑y∈Y

∑x∈X

f(x, y), (1.7.3)

e ciascuna e finita se e solo se lo sono le altre.Dim. — Basta usare le partizioni

X × Y =Gx∈X

{x} × Y =Gy∈Y

X × {y}.

La potenza della formula (1.7.2) e che puo essere utilizzata molto liberamente per sommare in modo oppor-tuno.

Esempio 1.7.26. Stabilire per quali α > 0 e convergente la somma∑(n,m)∈N2\{(0,0)}

1(n + m)α

.

Conviene impostare la somma rispetto alla quantita n+m. A tal fine possiamo osservare che

N2\{(0, 0)} =

∞Gk=1

{(n, k − n) : n = 0, . . . , k}.

Pertanto la somma in questione esiste se e solo se esiste la somma

Xk∈N\{0}

kXn=0

1

kα=

∞Xk=1

k + 1

kα.

Essendo k+1kα

∼ 1kα−1 si ha che quest’ultima serie converge, per confronto asintotico, se e solo se α − 1 > 1 cioe per

α > 2. Dunque la somma proposta e convergente se e solo se α > 2.

Esercizio 1.7.27. Stabilire la sommabilita della funzione f(n, m) := 1(n!)m sugli insiemi (N\{0, 1})2 e

(N\{0})2.

Esercizio 1.7.28. Sia X := Z2\D dove D sono le diagonali, cioe D := {(n, m) ∈ Z2 : n = ±m}. Studiarela sommabilita su X della funzione f(n, m) := 1

(n2−m2)2 .

Passiamo ora al caso generale di una funzione a valori complessi.

34

Teorema 1.7.29 (formula di somma per blocchi). Sia X un insieme ed {Xi}i∈I una sua partizione. Allora

f ∈ `1(X), ⇐⇒ f ∈ `1(Xi), ∀i ∈ I e i 7−→∑Xi

f ∈ `1(I).

In tal caso ∑X

f =∑

I

∑Xi

f.

Dim. — Basta ricordare che f e sommabile se e solo se lo sono parte reale ed immaginaria (ved. proposizione1.7.5) e cio riconduce al caso reale, dal quale si ha che una funzione e sommabile se e solo se lo e il suo modulo(ved. proposizione 1.7.15) e quindi parti positive e negative. Questo riconduce al teorema 1.7.24: completare tutti idettagli per esercizio.

Corollario 1.7.30 (di Fubini, caso discreto). Siano X, Y insiemi. Allora

f ∈ `1(X × Y ), ⇐⇒

f(x, ·) ∈ `1(Y ), ∀x ∈ X, e y 7−→∑X

f(x, y) ∈ `1(Y ),

m

f(·, y) ∈ `1(X), ∀y ∈ Y, e x 7−→∑Y

f(x, y) ∈ `1(X).

In tal caso si ha ∑(x,y)∈X×Y

f(x, y) =∑x∈X

∑y∈Y

f(x, y) =∑y∈Y

∑x∈X

f(x, y). (1.7.4)

Dim. — Esercizio.

Osservazione 1.7.31. E importante comprendere bene il significato pratico del teorema di Fubini: sealmeno una tra le somme ∑

x∈X

∑y∈Y

|f(x, y)|,∑y∈Y

∑x∈X

|f(x, y)|,

e finita, allora lo e anche l’altra cosı come la somma∑

(x,y)∈X×Y |f(x, y)| e vale la (1.7.4).

Esercizio 1.7.32. Stabilire se si puo applicare il teorema di Fubini alla funzione f : N2 −→ R definita da

f(n, m) :=

0, n < m,−1, n = m,2m−n, n > m.

Esercizio 1.7.33. E vero o falso che

∑n∈N

∑m∈N

(m− n)(m + n− 1)!2n+mn!m!

=∑m∈N

∑n∈N

(m− n)(m + n− 1)!2n+mn!m!

?

35

Un’altra importante applicazione della formula di somma per blocchi e la cosiddetta formula del prodottosecondo Cauchy di due serie. Il problema origina dal seguente: consideriamo due serie di potenze

∑n anzn e∑

n bnzn (per comodita assumiamo che siano centrate in z0 = 0C). Se fossero polinomi sappiamo che il loroprodotto e un polinomio ed, in particolare, il coefficiente del termine di grado n e

cn = a0bn + a1bn−1 + . . . + anb0 =n∑

k=0

akbn−k.

La domanda e: si puo affermare che(∑n

anzn

)(∑n

bnzn

)=∑

n

cnzn

nel caso generale delle serie di potenze? Notiamo che cio equivale ad affermare, posto αn := anzn, βn := bnzn

che (∑n

αn

)(∑n

βn

)=∑

n

γn, γn =n∑

k=0

αkβn−k. (1.7.5)

La (1.7.5) si dice formula del prodotto secondo Cauchy delle serie∑

n αn e∑

n βn. Mostreremo ora che valese le due serie sono assolutamente convergenti come conseguenza diretta della formula di somma per blocchi.

Corollario 1.7.34 (formula del prodotto secondo Cauchy). Siano f ∈ `1(X) e g ∈ `1(Y ) e si ponga

f ⊗ g : X × Y −→ C, (f ⊗ g) (x, y) := f(x)g(y), (x, y) ∈ X × Y.

Allora f ⊗ g ∈ `1(X × Y ) e ∑X×Y

f ⊗ g =

(∑X

f

)(∑Y

g

).

In particolare: se∑

n αn e∑

n βn sono assolutamente convergenti vale la (1.7.5).Dim. — Osserviamo anzitutto che

XX

XY

|f ⊗ g| =XX

XY

|f(x)g(y)| =XX

|f(x)|

XY

|g(y)|

!=

XX

|f |

! XY

|g|

!.

Dunque f ⊗ g ∈ `1(X × Y ). La conclusione ora segue perche, per il teorema di Tonelli, la formula precedente valeanche senza i moduli. Infine l’applicazione alla formula di Cauchy: preso X = Y = N abbiamo X

n

αn

! Xn

βn

!=

X(n,m)∈N×N

αnβm.

Ora basta applicare la formula di somma per blocchi come nell’esempio 1.7.26:

X(n,m)∈N×N

αnβm =

∞Xn=0

X(h,k)∈N2 : k+h=n

αkβh =

∞Xn=0

nXk=0

αkβn−k.

Osservazione 1.7.35. Facciamo notare che la formula del prodotto secondo Cauchy di due serie vale anchenell’ipotesi meno restrittiva in cui una sola delle due serie converga assolutamente e l’altra solo semplice-mente. Invitiamo il lettore a trovare una dimostrazione (per via diretta), altrimenti la si puo trovare suRudin [6].

36

1.7.36 Teoremi limite

La versatilita della nozione di sommabilita risulta in modo chiaro anche dalla validita di alcuni risultatiimportanti di ”passaggio al limite sotto il segno di somma”. Con cio intendiamo il seguente problema: sia(fn) una successione di funzioni su X a valori complessi, cioe

fn : X −→ C, n ∈ N.

Supponiamo che∀x ∈ X, fn(x) −→ f(x), f : X −→ C.

La questione e se si puo affermare che allora anche∑X

fn −→∑X

f, ovvero limn

∑X

fn =∑X

(limn

fn

)?

Naturalmente questo fatto e vero se X e finito poiche in tal caso e la proprieta di additivita del limite disuccessioni. Se X e infinito puo sorgere piu di qualche dubbio ed in effetti e semplice trovare un controesempio:

Esempio 1.7.37. Sia X = N ed fn ∈ RX+ definita come

fn(x) =

8<:

1n, x = n, . . . , 2n,

0, altrimenti.

Fissato x ∈ X = N e preso n > x si ha ovviamente fn(x) = 0 da cui limn fn(x) = 0 per ogni x ∈ X. PertantoPX (limn fn) = 0. D’altra parte X

X

fn =

2nXk=n

1

n= 1.

Ci sono tuttavia due importanti teoremi, che rivestono grande importanza nelle applicazioni, i quali, sottocondizioni abbastanza deboli assicurano che somma e limite siano scambiabili.

Teorema 1.7.38 (convergenza monotona, caso discreto). Sia (fn) ⊂ RX+ una successione di funzioni tali

che(0 6) fn(x) 6 fn+1(x), ∀x ∈ X, ∀n ∈ N.

Alloralimn

∑X

fn =∑X

(limn

fn

),

(eventualmente cio si traduce in un’identita del tipo +∞ = +∞).Dim. — Osserviamo anzitutto che per ogni x ∈ X la successione (fn(x)) e monotona crescente e dunque, perun noto teorema, ammette limite (eventualmente = +∞). Sia dunque f(x) := limn fn(x), x ∈ X. Analogamente,essendo fn 6 fn+1 su X si ha anche che la successione

�PX fn

�⊂ [0,+∞] e crescente e quindi anch’essa ammette

limite. Notiamo ancora che essendo fn 6 f su X si haXX

fn 6XX

f, =⇒ α := limn

XX

fn 6XX

f.

Resta da mostrare che vale il segno =. Supponiamo per assurdo che α <PX f . Cio significa che α < +∞ particolare.

Allora, in virtu della proposizione 1.7.9 troviamo un S ∈ Pfin (X) tale che

α <XS

f.

37

Ma siccome, ovviamente essendo S finito XS

fn −→XS

f, n −→ +∞,

deve aversi che esiste un N ∈ N tale che

α <XS

fN 6 supS∈Pfin(X)

XS

fN =XX

fN 6 limn

XX

fn = α,

che e assurdo.

Esercizio 1.7.39. E vero o falso che il teorema della convergenza monotona continua a valere se si sostituiscel’ipotesi 0 6 fn 6 fn+1 su X per ogni n ∈ N con l’ipotesi 0 6 fn+1 6 fn su X per ogni n ∈ N? Dimostrarloin caso affermativo oppure esibire un controesempio. Nal caso in cui fosse falso, quali eventuali ulterioriipotesi lo rendono vero?

Esercizio 1.7.40 (Lemma di Fatou, caso discreto). Sia (fn) ⊂ RX+ . Mostrare che allora vale sempre la

disuguaglianza ∑X

(lim infn

fn) 6 lim infn

∑X

fn.

(sugg.: ricondursi al teorema della convergenza monotona).

Nel caso generale delle funzioni a valori complessi vale il

Teorema 1.7.41 (della convergenza dominata, caso discreto). Sia (fn) ⊂ CX tale che

i) ∃ limn fn(x) per ogni x ∈ X;

ii) esiste una g ∈ `+1 (X) tale che |fn| 6 g su X.

Alloralimn

∑X

fn =∑X

(limn

fn

).

Dim. — Esercizio: applicare opportunamente il Lemma di Fatou di cui all’esercizio precedente.

38

Capitolo 2

Convergenza uniforme

2.1 Introduzione

In questo capitolo introduciamo la nozione di convergenza uniforme, connessa allo studio del problema dellaconvergenza di successioni e serie di funzioni. Oltre che ad un interesse intrinseco nello studio di questo tipodi problema, vi e il fatto che, cosı come molti numeri reali importanti, molte funzioni speciali dell’Analisivengono definite attraverso operazioni di limite a partire da funzioni elementari. L’esempio piu rilevante ecostituito dalle serie di potenze, gia introdotte nel capitolo precedente. Queste serie possono essere infattipensate come la generalizzazione piu naturale della classe delle funzioni elementari, i polinomi. In effettigran parte delle funzioni notevoli dell’analisi sono rappresentabili opportunamente sotto questa forma ed,invero, questo e proprio un modo di introdurle rigorosamente, come verra mostrato nel prossimo capitolo.

La nozione piu semplice e naturale di convergenza e la cosiddetta convergenza puntuale, nella quale sidice che fn −→ f se fn(x) −→ f(x) per ogni x ∈ X (dove X e un dominio comune alle fn). Il problemaprincipale di questa nozione e che non ”conserva” proprieta interessanti possedute dalle fn. Per esempio sivorrebbe che se le fn sono continue/derivabili anche la f lo fosse (si pensi al caso delle serie di potenze, limitidi somme finite di monomi, cioe limite di polinomi che sono funzioni continue, derivabili, etc.), ma con lasola convergenza puntuale cio non e garantito. In tal senso la convergenza uniforme e allora la nozione diconvergenza piu a ”buon mercato” che permette di stabilire questo tipo di risultati.

In parte del capitolo utilizzeremo alcuni fatti (richiamati velocemente quando utilizzati) relativi al calcolodifferenziale ed integrale.

2.2 Definizione ed esempi

Sia X ⊂ C un insieme ed (fn) una successione di funzioni a valori complessi, cioe fn : X −→ C per ognin ∈ N. In breve scriviamo (fn) ⊂ CX . Volendo introdurre una nozione di convergenza per la successione(fn) abbiamo varie possibilita. La piu semplice e naturale e quella della

Definizione 2.2.1 (convergenza puntuale). Sia (fn) ⊂ CX . Diciamo che (fn) converge puntualmentesu X ad f ∈ CX se

limn

fn(x) = f(x), ∀x ∈ X.

La definizione precedente e molto debole e di fatto poco interessante perche conserva raramente le buoneproprieta degli elementi della successione. Per esempio: se tutte le fn sono continue non e detto che f lo sia.

39

40

Esempio 2.2.2. Sia fn : [0, 1] −→ R, fn(x) := xn. Osserviamo che

fn(x) = xn −→

8<:

0, x ∈ [0, 1[,

1, x = 1.=: f(x).

Dunque (fn) converge puntualmente ad f su [0, 1], le fn ∈ C([0, 1]) mentre f /∈ C([0, 1]).

Se si vuole che venga conservata la continuita e chiaro che bisognera chiedere molto di piu che la convergenzapuntuale. Il concetto che meglio aderisce a questa richiesta e il seguente:

Definizione 2.2.3 (convergenza uniforme). Sia X ⊂ C un insieme ed (fn) ⊂ CX . Diciamo che (fn)

converge uniformemente ad f ∈ CX (e scriviamo fn∞,X−→ f) se

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, : |fn(x)− f(x)| 6 ε, ∀x ∈ X, ∀n > N(ε). (2.2.1)

Osservazione 2.2.4. Chiaramente se fn∞,X−→ f allora (fn) converge ad f puntualmente, nel senso che

fn(x) −→ f(x) per ogni x ∈ X. In genere la convergenza uniforme e pero piu forte della convergenzapuntuale: un semplice esempio e fornito dalla successione vista sopra. Infatti, se fn

∞,[0,1]−→ f si dovrebbe avere che,per ε < 1, esiste un N(ε) tale che

|xn − f(x)| 6 ε, ∀x ∈ [0, 1], ∀n > N, ⇐⇒ supx∈[0,1]

|xn − f(x)| ≤ ε, ∀n > N.

Ma, chiaramente, supx∈[0,1] |xn − f(x)| = supx∈[0,1[ |xn − 0| = 1.

Nell’osservazione precedente si e di fatto introdotta una comoda notazione:

Definizione 2.2.5. Sia f ∈ CX . Si pone

‖f‖∞,X := supx∈X|f(x)| 6 +∞.

Con questa notazione la definizione di convergenza uniforme puo essere riscritta nel seguente modo:

fn∞,X−→ f, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, : ‖fn − f‖∞,X 6 ε, ∀n > N(ε). (2.2.2)

Si notera senz’altro come con questa scrittura la nozione si convergenza uniforme assomigli (formalmente)molto alla convergenza delle ordinarie successioni numeriche, dove il modulo e sostituito dalla quantita‖ · ‖∞,X che viene detta norma uniforme. E un facile esercizio verificare che effettivamente la normauniforme gode di proprieta del tutto simili a quelle del modulo:

Proposizione 2.2.6. Valgono le proprieta seguenti:

i) (positivita) ‖f‖∞,X > 0, ∀f ∈ CX ;

ii) (annullamento) ‖f‖∞,X = 0 se e solo se f ≡ 0;

iii) (omogeneita) se ‖f‖∞,X < +∞ allora ‖λf‖∞,X = |λ|‖f‖∞,X , per ogni λ ∈ C;

iv) (disuguaglianza triangolare) se ‖f‖∞,X , ‖g‖∞,X < +∞ allora ‖f + g‖∞,X 6 ‖f‖∞,X + ‖g‖∞,X .

Dim. — Esercizio.

41

Un caso particolarmente importante e quello in cui restringiamo la norma uniforme alle funzioni continuedefinite su un insieme X chiuso e limitato del piano complesso (o di R nel caso reale): per il teoremadi Weierstrass allora ‖f‖∞,X < +∞ per ogni f ∈ C(X; C) e quindi su tale insieme di funzioni (che piupropriamente viene detto spazio) la norma uniforme funziona esattamente come il modulo per i numerireali o complessi.

Esercizio 2.2.7. Siano fn∞,X−→ f e gn

∞,X−→ g con fn e gn limitata su X per ogni n ∈ N (ovvero

‖fn‖∞,X , ‖gn‖∞,X < +∞ per ogni n ∈ N). Mostrare che allora fngn∞,X−→ fg. Mostrare che l’ipotesi di

limitatezza e essenziale.

2.2.8 Convergenza uniforme per serie di funzioni e convergenza totale

Consideriamo ora una successione (fn) ⊂ CX . Possiamo formare la successione delle somme parziali (oridotte)

Sn(x) :=n∑

k=0

fk(x).

Definizione 2.2.9. Si dice che la serie di funzioni∑

n fn converge uniformemente se converge uniforme-mente la successione (Sn) delle sue somme parziali. In tal caso, detta S ∈ CX il limite della (Sn), S prendeil nome di somma della serie e si scrive

S =∑

n

fn.

Se in linea di principio la convergenza uniforme di una serie di funzioni e ricondotta alla convergenza uniformedella successione delle sue somme parziali (o ridotte), come gia per le serie numeriche non essendo semplice (oin genere impossibile) calcolare Sn esplicitamente e utile disporre di qualche criterio sufficiente per stabilire laconvergenza. Il piu semplice e noto (che ricorda un po’ la convergenza assoluta nel caso delle serie numeriche)e il

Teorema 2.2.10 (criterio di Weierstrass o di convergenza totale). Se la serie (numerica)∑n

‖fn‖∞,X (2.2.3)

e convergente (in particolare si assume implicitamente che ‖fn‖∞,X < +∞ per ogni n ∈ N) allora la∑

n fn

e uniformemente convergente. Nel caso in cui valga la (2.2.3) si dice che la serie∑

n fn e totalmenteconvergente.Dim. — La dimostrazione ricalca l’idea del teorema 1.6.23, e cioe che una successione di Cauchy rispetto alla normauniforme (vedremo tra un istante cosa cio significhi ma il lettore avra gia intuito) e uniformemente convergente.Dunque, primaditutto osserviamo che, se per esempio n > m

‖Sn − Sm‖∞,X =

nX

k=m+1

fk

∞,X

(dis. triang.)

6nX

k=m+1

‖fk‖∞,X .

In virtu dell’ipotesi la serie numericaPk ‖fk‖∞,X gode della proprieta di Cauchy, da cui si ha che

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, :

nXk=m+1

‖fk‖∞,X 6 ε, ∀n > m > N(ε).

Ma allora

supx∈X

|Sn(x)− Sm(x)| = ‖Sn − Sm‖∞,X 6 ε, ∀n > m > N(ε), ⇐⇒ |Sn(x)− Sm(x)| 6 ε, ∀x ∈ X, ∀n > m > N(ε).

42

Dunque, per ogni x ∈ X si ha che la successione (numerica) (Sn(x)) ⊂ C e di Cauchy e di conseguenza converge,cioe esiste limn Sn(x) =: S(x) per ogni x ∈ X. Dalla precedente passando al limite in n e tenendo conto di quantoappena detto, segue allora che

|S(x)− Sm(x)| 6 ε, ∀x ∈ X, ∀m > N(ε).

Ma questo vuol dire esattamente Sn∞,X−→ S.

Per esempio abbiamo allora che

Corollario 2.2.11. Una serie di potenze∑

n cn(z − z0)n avente raggio di convergenza R > 0 convergetotalmente (e quindi uniformemente) in ogni disco centrato in z0 ed avente raggio r < R.Dim. — Infatti: chiamiamo B(z0, r] := {z ∈ C : |z − z0| 6 r} dove r < R. AlloraX

n

‖cn(]− z0)n‖∞,B(z0,r]

=Xn

|cn| ‖(]− z0)n‖∞,B(z0,r]

=Xn

|cn|rn =Xn

|cnrn|,

la quale e convergente essendoPn cnw

n assolutamente convergente per ogni w ∈ C tale che |w| < R (ved. il teoremadi Cauchy–Hadamard 1.6.27). La conclusione segue ora dal criterio di Weierstrass.

Esercizio 2.2.12. La funzione ζ di Riemann e definita, per x ∈ R, x > 1 dalla formula

ζ(x) :=∞∑

n=1

1nx

.

Mostrare che ζ ∈ C(]1,+∞[; R).

Esercizio 2.2.13. Estendere la proprieta di Cauchy ad una generica successione (fn) ⊂ CX tale che fn∞,X−→

f . Mostrare cioe che

∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N, : ‖fn − fm‖∞,X 6 ε, ∀n, m > N(ε). (2.2.4)

L’esercizio precedente ci permette di proseguire l’analogia esistente tra R e C([a, b]; R) come strutture ”topo-logiche”:

Proposizione 2.2.14. Lo spazio C([a, b]; R) e completo rispetto alla norma uniforme, cioe ogni successionedi Cauchy rispetto alla norma uniforme e convergente ad un elemento di C([a, b]; R).Dim. — Esercizio.

2.3 Teoremi di passaggio al limite

Uno dei problemi ricorrenti in analisi e quello di stabilire se ed in che modo certe proprieta possedute daglielementi di una successione di funzioni ”passino” al limite. In questa sezione in particolare mostriamo trefondamentali proprieta della convergenza uniforme.

2.3.1 Convergenza uniforme e continuita

La prima questione e la seguente: supponiamo che (fn) ⊂ C(X; C), con X ⊂ C, sia tale che fn∞,X−→ f ; si puo

dire che f ∈ C(X; C) (cioe che la proprieta di continuita si ”preserva” per passaggio al limite uniforme)?Invece di rispondere direttamente alla questione ci complicheremo un po’ la vita rispondendo ad una questione

43

piu generale dalla quale discendera immediatamente la risposta al quesito precedente. A tal proposito cheuno dei modi per stabilire se vale la proprieta precedente consiste nello stabilire se e vero che

limx→x0

limn→+∞

fn(x) = limn→+∞

limx→x0

fn(x).

Infatti a sinistra, se fn∞,X−→ f avremmo in realta limx→x0 f(x); a destra, se fn e continua, limn→+∞ fn(x0) =

f(x0). Il problema di invertire l’ordine di due operazioni di limite e assai ricorrente come si e visto con lesomme infinite ed in seguito ne vedremo diverse applicazioni. Osserviamo anzitutto che la sola convergenzapuntuale non e sufficiente a garantire l’operazione:

Esempio 2.3.2. Sia fn(x) := xn con x ∈ X = [0, 1] con l’usuale metrica euclidea. Sappiamo gia che

fn(x) −→

8<:

0, x ∈ [0, 1[,

1, x = 1.

D’altra partelimx→1−

limn→+∞

fn(x) = limx→1−

0 = 0, limn→+∞

limx→1−

fn(x) = limn→+∞

1 = 1.

D’altra parte la convergenza uniforme garantisce che lo scambio sia possibile:

Teorema 2.3.3 (dello scambio dei limiti). Sia fn∞,X−→ f , x0 punto di accumulazione per X. Supponiamo

che∀n ∈ N, ∃ lim

x→x0fn(x) = αn ∈ C.

Allora:

i) ∃ limn→+∞ αn =: α ∈ C;

ii) ∃ limx→x0 f(x) = α.

In particolare, quindi, vale la formula

limx→x0

limn→+∞

fn(x) = limn→+∞

limx→x0

fn(x).

Dim. — Primo passo: dim. della i) Proveremo che la successione (αn) e di Cauchy. A tal fine ricordiamo che,

siccome fn∞,X−→ f , allora per la (2.2.4) (fn) e uniformemente di Cauchy, cioe

∀ε > 0, ∃N(ε), : |fn(x)− fm(x)| 6 ε, ∀n,m > N(ε), ∀x ∈ X.

Fissati n,m > N(ε) e passando nella precedente al limite per x −→ x0 si ottiene

|αn − αm| 6 ε, ∀n,m > N(ε),

che e la proprieta di Cauchy.Dim. di ii) Sia dunque α := limn αn. Affermiamo che limx→x0 f(x) = α. Il ragionamento e un classico argomentodi approssimazione: sia ε > 0 fissato ed N(ε) tale che valgano simultanemente

|fn(x)− f(x)| 6 ε, ∀n > N(ε), ∀x ∈ X, |αn − α| 6 ε, ∀n > N(ε).

Fissiamo N := N(ε). Allora

|f(x)− α| 6 |f(x)− fN (x)|+ |fN (x)− αN |+ |αN − α| 6 2ε+ |fN (x)− αN |.

Essendo poi αN = limx→x0 fN (x), esiste un δ(ε) > 0 tale che

|fN (x)− αN | 6 ε, ∀x ∈ X : 0 < |x− x0| 6 δ(ε).

Dunque |f(x)− α| 6 3ε per ogni x ∈ X tale che 0 < |x− x0| 6 δ(ε).

44

Esercizio 2.3.4. Sia (fn) ⊂ C(X; C), x ∈ X ed (xn) ⊂ X tale che xn −→ x. Mostrare che se fn∞,X−→ f al-

lora limn fn(xn) = f(x). Supponiamo che la proprieta precedente valga per ogni successione (xn) convergente

ad un qualche x ∈ X: si puo affermare che fn∞,X−→ f?

Corollario 2.3.5. Siano (fn) ⊂ C(X; C), (X, d) spazio metrico tali che fn∞,X−→ f . Allora f ∈ C(X; C).

Analogamente, se∑

n fn converge uniformemente ad S su X allora S ∈ C(X; C). In particolare le serie dipotenze sono funzioni continue all’interno del disco di convergenza, cioe nell’insieme B(z0, R[:= {z ∈ C :|z − z0| < R}.Dim. — Immediata.

Osservazione 2.3.6. Il teorema dello scambio dei limiti ha l’utile applicazione di fornire un criterio di nonconvergenza uniforme: se x0 e un punto di accumulazione per X in cui non vale la proprieta di scambiodei limiti allora la successione non puo convergere uniformemente in X. Per esempio: la successione (xn) nonconverge uniformemente su [0, 1[.

E utile esplicitare ulteriormente una conseguenza del teorema 2.3.3. Consideriamo una serie di potenze chesenza perdere generalita supponiamo centrata in z0 = 0,

∑n cnzn avente un raggio di convergenza R > 0

(eventualmente infinito). In particolare consideriamo un resto

rn(z) :=∞∑

k=n+1

ckzk.

Osserviamo che rn(z) = o(zn) per z −→ 0. Infatti: se z 6= 0

rn(z)zn

=1zn

∞∑k=n+1

ckzk =∞∑

k=n+1

ckzn−k =∞∑

k=1

cn+kzk.

Questa e una nuova serie di potenze che ha lo stesso raggio di convergenza R della serie iniziale. Infatti

lim supk|cn+k|

1k = lim sup

k

(|cn+k|

1n+k

)n+kk

= lim supk

(|ck|

1k

) kk−n

Siccome lim supk |ck|1k = R e facile mostrare che anche il limite precedente vale R (esercizio). Pertanto la

serie∑

k cn+kzk converge totalmente in ogni disco B(0, r] con r < R. Di conseguenza si puo scrivere

limz→0

rn(z)zn

= limz→0

∞∑k=1

cn+kzk =∞∑

k=1

(limz→0

cn+kzk)

= 0.

Possiamo pertanto sempre scrivere

∞∑k=0

ckzk =n∑

k=0

ckzk + o(zn), |z| < R, ∀n ∈ N, (2.3.1)

e questo sara molto utile nel seguito per le funzioni elementari perche permette di risolvere molto rapidamenteuna serie di questioni inerenti il comportamento asintotico della somma di una serie di potenze in prossimitadel proprio centro.

45

2.3.7 Convergenza uniforme e integrabilita

Ricordiamo qui che se una funzione f ∈ C([a, b]; R) e allora ben definito l’integrale di Riemann∫ b

a

f(ξ) dξ.

Le principali proprieta che ci serve richiamare sull’integrale di Riemann e che verranno utilizzate in questasezione sono due. Anzitutto la linearita:

se f, g ∈ C([a, b]; R), =⇒∫ b

a

(αf(ξ) + βg(ξ)) dξ = α

∫ b

a

f(ξ) dξ + β

∫ b

a

g(ξ) dξ, ∀α, β ∈ R.

In secondo luogo la cosiddetta monotonia:

se f, g ∈ C([a, b]; R) e f 6 g su [a, b], =⇒∫ b

a

f(ξ) dξ 6∫ b

a

g(ξ) dξ.

Da quest’ultima, osservato che −|f | 6 f 6 |f | su [a, b] segue in particolare la disuguaglianza triangolare:

se f ∈ C([a, b]; R), =⇒

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(ξ) dξ

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

|f(ξ)| dξ.

In un certo senso la funzione (o meglio, il funzionale) f 7−→∫ b

af(ξ) dξ e continua da C([a, b]; R) rispetto alla

convergenza uniforme. E questo il contenuto del

Teorema 2.3.8. Sia (fn) ⊂ C([a, b]; R) uniformemente convergente ad f (che quindi appartiene a C([a, b]; R)in virtu del corollario 2.3.5). Allora

∃ limn

∫ b

a

fn(ξ) dξ =∫ b

a

f(ξ) dξ.

Dim. — E semplicissima: basta osservare che����Z b

a

fn(ξ) dξ −Z b

a

f(ξ) dξ

���� =

����Z b

a

(fn(ξ)− f(ξ)) dξ

���� 6Z b

a

|fn(ξ)− f(ξ)| dξ 6Z b

a

‖fn − f‖∞,[a,b] dξ

= (b− a)‖fn − f‖∞,[a,b] −→ 0.

Scriviamo anche la versione per le serie:

Corollario 2.3.9. Sia (fn) ⊂ C([a, b]; R) tale che∑

n fn sia uniformemente convergente ad S. Allora∫ b

a

∑n

fn(ξ) dξ =∑

n

∫ b

a

fn(ξ) dξ.

Dim. — Evidente.

Osservazione 2.3.10. Facciamo notare che il teorema 2.3.8 vale in ipotesi piu generali nella forma seguente:se una successione di funzioni integrabili secondo Riemann(1) (fn) ⊂ R[a,b] converge uniformemente ad unaf , allora f e integrabile secondo Riemann e vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale.

1Per la nozione di integrabilita secondo Riemann si rimanda al corso di Analisi Matematica. Le funzioni continue verificanotale condizione, la quale pero ammette la possibilita che la funzione ammetta un certo numero e tipo di discontinuita.

46

Il passaggio al limite sotto il segno di integrale diventa piu complesso se l’intervallo di integrazione e illimitato.A tal fine ricordiamo che se f ∈ C([a,+∞[) si dice che e integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[ se

∃ limR→+∞

∫ R

a

f(x) dx =:∫ +∞

a

f(x) dx.

Ricordiamo qui qualche semplice proprieta (del tutto naturale) degli integrali generalizzati. Anzitutto valel’usuale proprieta di decomposizione, nel senso che se f ∈ C([a,+∞[; R) e integrabile in senso generalizzatoe b > a allora ∫ +∞

a

f(x) dx =∫ b

a

f(x) dx +∫ +∞

b

f(x) dx,

con cio intendendo implicitamente che dalle ipotesi segue che f e integrabile in senso generalizzato anche su[b, +∞[. Da questa (che segue dalla definizione e dalle ordinarie proprieta dell’integrale di Riemann) si hasubito anche che

limR→+∞

∫ +∞

R

f(x) dx = 0.

Questa proprieta di fatto non e altro che la traduzione della nota proprieta delle serie convergenti per lequali il resto n−esimo e infinitesimo al tendere di n a +∞. L’analogia con le serie e confermata anchedal cosiddetto teorema del confronto che qui enunciamo direttamente nella forma seguente: se |f | 6 g,f, g ∈ C([a,+∞[; R) (ovviamente g > 0) e g e integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[ allora lo e anchef .

Infine ricordiamo anche la generalizzazione della disuguaglianza triangolare: se f ∈ C([a,+∞[; R) e taleche |f | sia integrabile in senso generalizzato allora, per il criterio del confronto, lo e anche f e vale∣∣∣∣∫ +∞

a

f(x) dx

∣∣∣∣ 6 ∫ +∞

a

|f(x)| dx.

Torniamo ora al problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Anzitutto osserviamo che se

(fn) ⊂ C([a,+∞[; R) e fn∞,[a,+∞[−→ f allora in genere non e possibile affermare che

limn

∫ +∞

a

fn(x) dx =∫ +∞

a

f(x) dx.

Esempio 2.3.11. Sia

fn(x) =

8>><>>:

0, x 6 n, x > 2n,√n(x− n), n 6 x 6 n+ 1

n,

1√n, n+ 1

n6 x 6 2n− 1

n,

−√n(x− 2n+ 1

n) + 1√

n, 2n− 1

n6 x 6 2n.

Chiaramente (fn) ⊂ C([0,+∞[) e fn∞,[0,+∞[−→ 0 =: f . Dunque

R +∞0

f(x) dx = 0. D’altra parte

Z +∞

0

fn(x) dx =

Z 2n

n

fn(x) dx =1

n· 1√

n+

�2n− 2

n

�· 1√

n−→ +∞.

Pertanto occorre qualche condizione supplementare per garantire il passaggio al limite. Una condizionesemplice (che ricorda un po’ il meccanismo della convergenza dominata della sezione 1.7.36) e la seguente:

47

Proposizione 2.3.12. Sia (fn) ⊂ C([a,+∞[; R), fn∞,[a,+∞[−→ f (in particolare, dunque, f ∈ C([a,+∞[; R).

Supponiamo che esista una funzione g ∈ C([a,+∞[; R+) integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[ taleche

|fn(x)| 6 g(x), ∀x ∈ [a,+∞[.

Allora ogni fn ed f e integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[ e vale

limn

∫ +∞

a

fn(x) dx =∫ +∞

a

f(x) dx.

Dim. — L’integrabilita delle fn e di f segue dal criterio del confronto. Cio premesso, notiamo che, in virtu delteorema 2.3.8 si ha che Z R

a

fn(x) dx −→Z R

a

f(x) dx, ∀R > a.

Ora: ����Z +∞

a

fn −Z +∞

a

f

���� 6

����Z R

a

fn −Z R

a

f

����+����Z +∞

R

fn

����+����Z +∞

R

f

���� 6

����Z R

a

fn −Z R

a

f

����+ 2

Z +∞

R

|g|,

da cui

lim supn

����Z +∞

a

fn −Z +∞

a

f

���� 6 2

Z +∞

R

|g|, ∀R > a.

SiccomeR +∞R

|g| −→ 0 per R −→ +∞ ne segue subito che lim supn

���R +∞a

fn −R +∞a

f��� 6 0 da cui la conclusione.

Osservazione 2.3.13. Per la variante con le serie basta avere una maggiorazione della somma parzialen−esima del tipo |Sn(x)| 6 g(x).

2.3.14 Convergenza uniforme e derivabilita

Diverso e il caso del passaggio al limite uniforme della derivabilita.

Esempio 2.3.15. Consideriamo su X = R la successione fn(x) := 1n

sin(nx). Chiaramente fn∞,R−→ 0 essendo

‖fn‖∞,R = 1n−→ 0. E chiaramente fn ∈ C∞(R; R). D’altra parte f ′n(x) = cos(nx) che, salvo i punti x = 2kπ con

k ∈ Z non e nemmeno puntualmente convergente.

Il fatto curioso e che la situazione puo essere terribilmente complicata, come mostra il celebre esempiodi Weierstrass di una successione di funzioni continue e derivabili uniformemente convergente ed in cui lafunzione limite non ha la derivata in nessun punto:

Teorema 2.3.16 (Weierstrass, 1875). Siano a ∈ N un numero dispari e 0 < b < 1 tali che ab > 1 + 32π.

Allora la serie∞∑

n=0

bn cos(anπx),

converge totalmente ad una funzione che risulta non derivabile in ogni x ∈ R.Dim. — E elementare ma molto tecnica, rimandiamo il lettore interessato a Hewitt & Stromberg [2], teorema 17.7pag. 258.

48

Vale comunque una versione un po’ articolata di passaggio al limite uniforme della derivata. Qui ci limiteremoad una dimostrazione in un caso con ipotesi molto buone (piu che sufficiente per i nostri scopi). A talfine ci serve richiamare un’ulteriore risultato della teoria dell’integrazione secondo Riemann (per la cuidimostrazione si rimanda al corso di Analisi Matematica). Per poterlo enunciare ricordiamo che si pone, perf ∈ C([a, b]; R) ∫ a

b

f(ξ) dξ := −∫ b

a

f(ξ) dξ.

Teorema 2.3.17 (fondamentale del Calcolo integrale). Sia f ∈ C([a, b]; R), x0 ∈ [a, b] ed Fx0(x) :=∫ x

x0f(ξ) dξ (che prende il nome di funzione integrale associata a g). Allora Fx0 ∈ C1([a, b]; R) e vale la

formula

F ′x0

(x) =(∫ x

x0

f(ξ) dξ

)′= f(x), ∀x ∈ [a, b].

In particolare: se f ∈ C1([a, b]; R) (cioe f, f ′ ∈ C([a, b]; R)) allora vale la formula

f(b)− f(a) =∫ b

a

f ′(ξ) dξ.

Siamo ora pronti per il

Teorema 2.3.18. Siano (fn) ⊂ C1([a, b]; C) tali che:

i) f ′n∞,[a,b]−→ g;

ii) (fn(x)) converge in almeno un punto x0 ∈ [a, b].

Allora (fn) converge uniformemente ad una funzione f ∈ C1([a, b]; R) e f ′ = g.Dim. — Primo passo: (fn) converge puntualmente. Fissiamo x ∈ [x0, b]. Allora, essendo fn ∈ C1([x0, x]; R)per la formula fondamentale del calcolo integrale si ha

fn(x) = fn(x0) +

Z x

x0

f ′n(ξ) dξ.

In virtu delle ipotesi chiaramente f ′n∞,[x0,x]−→ g per cui, per il teorema 2.3.8 si ha che

fn(x) −→ `+

Z x

x0

g(ξ) dξ, ∀x ∈ [x0, b],

(dove ` := limn fn(x0)). Per x ∈ [a, x0] basta applicare la formula fondamentale del calcolo integrale su [x, x0] e siottiene

fn(x) = fn(x0)−Z x0

x

f ′n(ξ) dξ

e poi procedere come sopra. In ogni caso risulta che

fn(x) −→ f(x) :=

8>>><>>>:

`+

Z x

x0

g(ξ) dξ, ∀x ∈ [x0, b],

`−Z x0

x

g(ξ) dξ, ∀x ∈ [a, x0].

= `+

Z x

x0

g(ξ) dξ, ∀x ∈ [a, b].

Secondo passo: fn∞,[a,b]−→ f . Infatti: se per esempio x ∈ [x0, b] allora

f(x)− fn(x) =

�`+

Z x

x0

g(ξ) dξ

�−�fn(x0) +

Z x

x0

f ′n(ξ) dξ

�= (`− fn(x0)) +

Z x

x0

�g(ξ)− f ′n(ξ)

�dξ,

49

da cui, prendendo i moduli,

|f(x)− fn(x)| 6 |`− fn(x0)|+����Z x

x0

�g(ξ)− f ′n(ξ)

�dξ

���� 6 |`− fn(x0)|+Z x

x0

��g(ξ)− f ′n(ξ)�� dξ

6 |`− fn(x0)|+Z x

x0

g − f ′n ∞,[a,b] dξ 6 |`− fn(x0)|+

g − f ′n ∞,[a,b] (b− a).

La stessa maggiorazione si vede facilmente che vale anche per x ∈ [a, x0]. Ma allora

‖f − fn‖∞,[a,b] 6 |`− fn(x0)|+ g − f ′n

∞,[a,b] (b− a) −→ 0, n −→ +∞.

Terzo passo: f ′ = g. Segue immediatamente dal teorema fondamentale del calcolo integrale osservato chef(x) = `+

R xx0g(ξ) dξ.

Osservazione 2.3.19. Notiamo che l’ipotesi di convergenza puntuale in almeno un punto e essenziale: peresempio, se prendiamo fn(x) := (−1)n allora chiaramente fn non converge puntualmente in nessun punto mentref ′n(x) ≡ 0.

Per comodita enunciamo la versione per le serie:

Corollario 2.3.20. Se (fn) ⊂ C1([a, b]; R) e∑

n f ′n converge uniformemente su [a, b] e∑

n fn(x0) convergeper almeno un x0 ∈ [a, b] allora la serie

∑n fn converge uniformemente su [a, b] e vale la relazione(∑

n

fn

)′=∑

n

f ′n.

Dim. — Evidente.

Il corollario ha un’applicazione automatica immediata alle serie di potenze reali. Per semplicita (non e affattorestrittivo) centriamo tutto nell’origine:

Corollario 2.3.21. Sia (cn) ⊂ R e la serie∑

n cnxn avente raggio R > 0. Allora la serie e derivabiletermine a termine in ]−R,R[ e vale( ∞∑

n=0

cnxn

)′=

∞∑n=1

ncnxn−1 =∞∑

n=0

(n + 1)cn+1xn.

In particolare: detta S la somma della serie essa risulta di classe C∞(] − R,R[) (derivabile un numeroarbitrario di volte) e vale la formula

S(k)(x) =∞∑

n=0

(n + k)(n + k − 1) · · · (n + 1)cn+kxn.

Dim. — Chiaramente la seriePn cnx

n converge puntualmente in ] − R,R[ (ed anche uniformemente in ogniintervallo compatto ivi contenuto). Consideriamo la serie delle derivate

Xn

ncnxn−1 =

∞Xn=0

(n+ 1)cn+1xn.

Osserviamo che

lim supn

|(n+ 1)cn+1|1n = lim sup

n|n+ 1|

1n

�|cn+1|

1n+1

�n+1n.

Essendo limn |n+ 1|1n = 1 e applicando l’esercizio 1.5.11 e facile dedurre che il limite precedente vale R. Dunque la

serie delle derivate converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in ]−R,R[, da cui la conclusionein virtu del corollario 2.3.20.

50

2.4 Approssimazione di una funzione continua con polinomi

Terminiamo questo breve capitolo con un classico risultato di approssimazione dovuto originariamente aWeierstrass il quale afferma che ogni funzione reale di variabile reale continua su un intervallo compatto[a, b] e approssimata uniformemente da un polinomio. Proponiamo la dimostrazione dovuta a Bernstein cheha il vantaggio di indicare esplicitamente una semplice formula di approssimazione:

Teorema 2.4.1 (Bernstein, 1912). Sia f ∈ C([0, 1]; R) e

pn(x) :=n∑

k=0

f

(k

n

)(nk

)xk(1− x)n−k, (polinomi di Bernstein).

Allora pn∞,[0,1]−→ f .

Dim. — Osserviamo anzitutto che, in virtu della formula del binomio di Newton,

nXk=0

�nk

�xk(1− x)n−k = (x+ (1− x))n = 1, ∀x ∈ [0, 1],

per cui possiamo scrivere

f(x)− pn(x) = f(x)

nXk=0

�nk

�xk(1− x)n−k −

nXk=0

f

�k

n

��nk

�xk(1− x)n−k

=

nXk=0

�f(x)− f

�k

n

���nk

�xk(1− x)n−k,

da cui

|f(x)− pn(x)| 6nXk=0

����f(x)− f

�k

n

������nk

�xk(1− x)n−k, ∀x ∈ [0, 1].

Vogliamo ora dare una stima uniforme del secondo membro. L’idea e che per i k ∈ {0, . . . , n} tali che kn∼ x la

quantita δn(x) :=��f(x)− f

�kn

��� e piccola. Fissiamo εn > 0 (che verra mandato a zero) e scriviamo

nXk=0

δn(x)

�nk

�xk(1− x)n−k =

Xk : |x− k

n|6εn

δn(x)

�nk

�xk(1− x)n−k +

Xk : |x− k

n|>εn

δn(x)

�nk

�xk(1− x)n−k.

(2.4.1)Osserviamo che

0 6X

k : |x− kn|6εn

δn(x)

�nk

�xk(1− x)n−k 6 sup

y : |y−x|6εn|f(x)− f(y)|

Xk : |x− k

n|6εn

�nk

�xk(1− x)n−k

6 supy : |y−x|6εn |f(x)− f(y)|.

Abbiamo ora bisogno del seguente classico risultato sulle funzioni continue:

Teorema 2.4.2 (Heine–Cantor). Una funzione f ∈ C([a, b]; R) e uniformemente continua su [a, b], cioe

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, : |f(x)− f(y)| 6 ε, ∀x, y ∈ [a, b] : |x− y| 6 δ(ε).

(in altre parole, il δ(ε) non dipende dal punto x).Dim. — Infatti: supponiamo per assurdo sia falsa: esiste quindi un ε > 0 per il quale non esiste δ(ε), ovvero

∀δ > 0, ∃xδ, yδ ∈ [a, b] : |xδ − yδ| 6 δ, ma |f(xδ)− f(yδ)| > ε.

51

Prendiamo δ = 1n. Si costruiscono due successioni (xn), (yn) ⊂ [a, b] tali che |xn−yn| 6 1

nmentre |f(xn)−f(yn)| > ε.

Per il teorema di Bolzano–Weierstrass esiste (xnk ) ⊂ (xn) tale che xnk −→ ξ ∈ [a, b]. Siccome poi (ynk ) ⊂ [a, b],sempre per il teorema di Bolzano–Weierstrass esiste una (ynkh ) tale che ynkh −→ η ∈ [a, b]. Chiaramente xnkh −→ ξ.Pertanto, in virtu della continuita di f nei punti ξ, η ∈ [a, b] avremo

f(xnkh ) −→ f(ξ), f(ynkh ) −→ f(η) e |f(ξ)− f(η)| = limh

���f(xnkh )− f(ynkh )��� > ε.

D’altra parte

|xnkh − ynkh | 61

nkh−→ 0, =⇒ ξ = η,

che e impossibile.

Da questo segue subito che se εn ↘ 0 allora, per n > N(ε) si avra 0 6 εn 6 δ(ε), per cui

supy : |y−x|6εn

|f(x)− f(y)| 6 ε, ∀n > N(ε).

In altre parole il primo addendo della (2.4.1) e 6 ε per ogni n > N(ε). Mostriamo ora che possiamo scegliereopportunamente εn di modo tale che anche il secondo addendo vada a zero. Anzitutto

0 6X

k : |x− kn|>εn

δn(x)

�nk

�xk(1− x)n−k 6 2‖f‖∞,[a,b]

Xk : |x− k

n|>εn

�nk

�xk(1− x)n−k.

Qui utilizziamo lo stesso artificio (importante) della disuguaglianza di Cebishev (1.7.1):

Xk : |x− k

n|>εn

�nk

�xk(1− x)n−k 6

Xk : 1<

|x− kn|

εn

1 ·�nk

�xk(1− x)n−k 6

Xk : 1<

|x− kn|

εn

��x− kn

��2ε2n

·�nk

�xk(1− x)n−k

61

ε2n

nXk=0

�x− k

n

�2�nk

�xk(1− x)n−k

(2.4.2)

Quest’ultima somma puo essere facilmente calcolata: infatti, sviluppando il quadrato�x− k

n

�2= x2 + k2

n2 − 2x kn

abbiamo

Pnk=0 x

2

�nk

�xk(1− x)n−k = x2,

Pnk=0 2x k

n

�nk

�xk(1− x)n−k = 2x

Pnk=1

kn

n!k!(n−k)!x

k(1− x)n−k = 2xPnk=1

(n−1)!(k−1)!(n−k)!x

k(1− x)n−k

= 2x2Pnk=1

�n− 1k − 1

�xk−1(1− x)(n−1)−(k−1) = 2x2Pn−1

k=0

�n− 1k

�xk(1− x)(n−1)−k = 2x2,

Pnk=0

k2

n2

�nk

�xk(1− x)n−k = 1

n

Pnk=1 k

(n−1)!(k−1)!(n−k)!x

k(1− x)n−k

= 1n

Pnk=2(k − 1) (n−1)!

(k−1)!(n−k)!xk(1− x)n−k + 1

n

Pnk=1

(n−1)!(k−1)!(n−k)!x

k(1− x)n−k

= n−1nx2Pn

k=2(n−2)!

(k−2)!(n−k)!xk−2(1− x)n−k + x

n= n−1

nx2 + x

n.

PertantonXk=0

�x− k

n

�2�nk

�xk(1− x)n−k = x2 − 2x2 +

n− 1

nx2 +

x

n=

1

nx(1− x).

52

Tornando alla (2.4.2) abbiamo allora che

0 6X

k : |x− kn|>εn

�nk

�xk(1− x)n−k 6

1

nε2nx(1− x) 6

1

4nε2n−→ 0, (2.4.3)

purche εn = o�

1√n

�. In conclusione

|f(x)− pn(x)| 6 ε+‖f‖∞,[0,1]

2nε2n6 2ε, ∀x ∈ [0, 1], (2.4.4)

pur di prendere n > N(ε).

Capitolo 3

Funzioni Speciali

3.1 Introduzione

In questo capitolo introduciamo alcune importanti funzioni dell’Analisi: esponenziali, logaritmi, funzionitrigonometriche e funzione Gamma di Eulero. Lo studente avra gia incontrato alcune di queste funzioni(ed in parte le abbiamo gia utilizzate nei capitoli precedenti) nei corsi delle scuole superiori. In alcuni casi,come per le funzioni trigonometriche ad esempio, la definizione e data per via geometrica. Tuttavia questoe un modo di introdurre tali funzioni che, da un punto di vista formale, e del tutto insoddisfacente rispettoall’analisi, nel senso che non appare evidente come la sua esistenza derivi dalla struttura dei numeri reali. Vie inoltre il problema di dare a queste funzioni anche una veste piu ”numerica”, nel senso di legarle a formuledi calcolo che possano rivelarsi utili per il calcolo numerico. E per questo motivo che e importante trovareuna ”solida” strada attraverso la quale far entrare tali funzioni nell’alveo della matematica.

Vi sono molti modi equivalenti per introdurre tali funzioni, modi che impiegano maggiori o minoriconoscenze di analisi secondo una meta–regola per cui piu raffinata e la matematica a disposizione ”meno”fatica si fa per costruire tali funzioni. Noi qui sceglieremo una strada abbastanza equilibrata rispetto allamatematica impiegata (che sostanzialmente si basa su serie e successioni numeriche reali e complesse). Visono costruzioni ancora piu ”elementari” (per esempio ved. cap. 6 del libro di Prodi, Analisi Matematica,Boringhieri) o costruzioni piu sofisticate che impiegano il calcolo integrale e differenziale.

Il punto di partenza sara la funzione esponenziale di variabile complessa. Di fatto le funzioni trigono-metriche sono costruite tutte a partire da questa.

3.2 Funzione esponenziale

Uno dei piu importanti limiti notevoli dell’analisi e la definizione della cosiddetta costante di Nepero, vale adire del numero reale e definito come

∃ limn→+∞

(1 +

1n

)n

=: e ∈]2, 3[. (3.2.1)

Estendiamo anzitutto questo risultato provando che

Teorema 3.2.1 (Eulero, 1748).

∃ limn→+∞

(1 +

z

n

)n

=∞∑

n=0

zn

n!, ∀z ∈ C. (3.2.2)

53

54

Dim. — Osserviamo preliminarmente che la serie a secondo membro ha raggio di convergenza R = +∞. Infatti inquesto caso possiamo applicare direttamente la versione della proposizione 1.6.28 per calcolare il raggio di convergenza:

R = limn

|cn||cn+1|

= limn

1n!1

(n+1)!

= limn

(n+ 1) = +∞.

Inoltre, per la formula del binomio di Newton

�1 +

z

n

�n=

nXk=0

�nk

�zk

nk=

nXk=0

n(n− 1) · · · (n− k + 1)

nkzk

k!=

nXk=0

�1− 1

n

��1− 2

n

�· · ·�

1− k − 1

n

�zk

k!. (3.2.3)

Allora, detta Sn(z) :=Pnk=0

zk

k!abbiamo che

���Sn(z)−�1 +

z

n

�n��� =

�����nXk=0

�1−

�1− 1

n

��1− 2

n

�· · ·�

1− k − 1

n

��zk

k!

�����6

nXk=0

����1−�

1− 1

n

��1− 2

n

�· · ·�

1− k − 1

n

����� |z|kk! .Ma evidentemente, essendo 0 <

�1− 1

n

� �1− 2

n

�· · ·�1− k−1

n

�< 1 si avra anche����1−

�1− 1

n

��1− 2

n

�· · ·�

1− k − 1

n

����� < 1, ∀k = 0, . . . , n.

Ora: fissiamo un certo N e sia n > N (N verra imposto in seguito). Abbiamo allora che che

���Sn(z)−�1 +

z

n

�n��� 6NXk=0

����1−�

1− 1

n

��1− 2

n

�· · ·�

1− k − 1

n

����� |z|kk! +

nXk=N+1

|z|k

k!. (3.2.4)

Siamo ora pronti per determinare N . Fissiamo un arbitrario ε > 0. Siccome la serie converge si ha che possiamotrovare un N(ε, z) tale che

0 6nX

k=N+1

|z|k

k!= Sn(|z|)− SN (|z|) 6 ε, ∀n > N(ε, z).

Ma allora, dalla (3.2.4) abbiamo che

lim supn

���Sn(z)−�1 +

z

n

�n��� 6 lim supn

NXk=0

����1−�

1− 1

n

��1− 2

n

�· · ·�

1− k − 1

n

����� |z|kk! + ε = ε.

Essendo ε arbitrario ne segue che

lim supn

���Sn(z)−�1 +

z

n

�n��� = 0,

da cui la conclusione.

In particolare si ha il

Corollario 3.2.2.

e =∞∑

k=0

1k!∈]2, 3[. (3.2.5)

Dim. — Bisogna solo provare che e ∈]2, 3[. Osservato che, k! = 1 · 2 · 3 · · · (k − 1)k > 1 · 2 · 2 · · · 2 · 2 = 2k−1 perk > 2, abbiamo

e = 1 + 1 +

∞Xk=2

1

k!< 2 +

∞Xk=2

1

2k−1= 2 +

∞Xk=1

1

2k6 1 +

∞Xk=0

�1

2

�k= 1 +

1

1− 12

= 3.

55

La (3.2.2) e il punto di partenza per la definizione dell’esponenziale di variabile complessa.

Definizione 3.2.3 (Esponenziale complesso). Si pone

exp(z) :=∞∑

n=0

zn

n!, ∀z ∈ C.

Esercizio 3.2.4. Adattare opportunamente la dimostrazione precedente per mostrare che in realta la conver-genza e uniformemente sugli insiemi del tipo |z| 6 R per ogni R > 0 (ovvero sui dischi del piano complesso).

Esercizio 3.2.5. Sia (zn) ⊂ C tale che zn −→ z ∈ C. Mostrare che

∃ limn

(1 +

zn

n

)n

= exp(z).

3.2.6 Irrazionalita di e

La (3.2.5) e di fondamentale importanza. Anzitutto costituisce una validissima formula di calcolo numericoper il numero e. La differenza fondamentale con la (3.2.1) (anch’essa formula elementare di calcolo per e) eche ci fornisce subito una stima elementare dell’errore commesso nel sostituire e con

∑Nk=0

1k! . Questo conto

e di fatto gia stato fatto nella dimostrazione iniziale ma puo essere ulteriormente raffinato:

0 6 e−n∑

k=0

1k!

=∞∑

k=n+1

1k!

=1

(n + 1)!

1 +∞∑

j=2

1(n + j)(n + j − 1) · · · (n + 2)

61

(n + 1)!

∞∑j=0

1(n + 2)j

=1

(n + 1)!1

1− 1n+2

=1

(n + 1)!n + 2n + 1

61

n!n

essendo n+2(n+1)2 < 1

n come facilmente si vede. La bonta di questa stima risiede nel fatto che 1n!n −→ 0 molto

”rapidamente”. Per esempio, per una stima di e a meno di un errore pari ad una parte su 10000, bastatrovare n (il piu piccolo possibile) di modo tale che

1n!n

61

10000, ⇐⇒ n!n > 10000, ⇐⇒ n > 7.

Quindi basta calcolare∑7

k=01k! . In secondo luogo ci permette di dimostrare che

Teorema 3.2.7 (Eulero, 1737). e e un numero irrazionale.Dim. — Supponiamo, per assurdo, che e = p

qcon p, q ∈ N\{0} primi tra loro. Ma allora

q!

p

q−

qXk=0

1

k!

!∈ N,

e, d’altra parte

q!

p

q−

qXk=0

1

k!

!= q!

e−

qXk=0

1

k!

!6 q!

1

q!q=

1

q,

che implica q 6 1 e quindi q = 1. Ma allora e ∈ N e sappiamo gia che e ∈]2, 3[.

Il teorema precedente afferma che non esistono p, q ∈ N\{0} tali che e = pq , ovvero qe − p = 0. In altri

termini e non e soluzione di alcuna equazione di primo grado ax + b = 0 a coefficienti interi (o razionali). Epossibile dimostrare che e non risolve nessuna equazione di tipo algebrico a coefficienti interi, cioe che nonesiste un polinomio p ∈ N[x] tale che p(e) = 0 (teorema di Hermite). Questo tipo di numeri vengono dettiirrazionali non algebrici o, con un linguaggio piu suggestivo, trascendenti.

56

Esercizio 3.2.8. Dimostrare che non esistono p, q, r ∈ Q tali che e sia soluzione dell’equazione px2+qx+r =0. (sugg.: per assurdo, se fosse possibile, si avrebbe pe+ re−1 = −q ovvero ae+ be−1 = 1 per certi a, b ∈ Q; adessodedurre dalle (3.2.1) e (3.2.2) che

e−1 =

∞Xk=0

(−1)k

k!,

e poi cercare di ragionare in modo simile al teorema 3.2.7. . . ).

Esercizio 3.2.9.∃ lim

n(n!e− [n!e]) ?

3.2.10 Esponenziale complesso ed esponenziale reale

Si e gia osservato la serie esponenziale abbia raggio di convergenza infinito (cioe converge in tutto il pianocomplesso). Mostriamo ora che la funzione exp gode delle stesse proprieta algebriche dell’esponenziale reale.

Proposizione 3.2.11. Valgono le seguenti proprieta:

i) exp ∈ C∞(C) e exp′ = exp.

ii) exp(0) = 1;

iii) exp(z + w) = exp(z) exp(w), ∀z, w ∈ C;

iv) exp(z) = exp(−z), ∀z ∈ C;

Dim. — i) La derivabilita su R segue immediatamente dal corollario 2.3.21. In questo caso e facilissimo mostrarein realta la derivabilita su tutto C. Naturalmente, per definizione,

exp′(z) := limh→0

exp(z + h)− exp(z)

h,

purche tale limite esista (in C). A tal fine osserviamo che

exp(z + h)− exp(z)

h=

exp(z) exp(h)− exp(z)

h= exp(z)

exp(h)− 1

h= exp(z)

∞Xn=1

hn−1

n!= exp(z)

∞Xn=0

hn

(n+ 1)!.

Quest’ultima e una serie di potenze (in h) che, come si vede immediatamente, ha raggio di convergenza +∞. Dunquesi puo scambiare l’operazione di limite con quella di somma e si ottiene di conseguenza che

limh→0

exp(z + h)− exp(z)

h= exp(z)

∞Xn=0

limh→0

hn

(n+ 1)!= exp(z).

ii) Evidente.iii) Siccome exp(z) ed exp(w) sono serie assolutamente convergenti possiamo applicare la formula del prodottosecondo Cauchy: ne risulta che

exp(z) exp(w) =

Xn

zn

n!

! Xn

wn

n!

!=

∞Xn=0

nXk=0

zk

k!

wn−k

(n− k)!

!=

∞Xn=0

nXk=0

�nk

�zkwn−k

!1

n!

=

∞Xn=0

1

n!(z + w)n.

iv) Evidente.

Naturalmente ci aspettiamo che

57

Teorema 3.2.12.exp(x) = ex, ∀x ∈ R.

Dim. — Chiaramente exp(1) =P∞n=0

1n!

= e. Pertanto, se p ∈ N si ha che

exp(p) = exp(1 + . . .+ 1) = exp(1)p = ep.

Questa si estende subito ad ogni p ∈ Z: se infatti p < 0 allora

exp(p) = exp(−(−p)) = exp(−p)−1 = (e−p)−1 = ep.

Vediamo ora che si estende anche a tutti i razionali, cioe che vale

exp

�p

q

�= e

pq , ∀p, q ∈ Z, q 6= 0.

Possiamo sempre assumere q > 0. Basta allora osservare che la precedente equivale ad affermare che ep = exp( pq)q.

Ma

exp

�p

q

�q= exp

�qp

q

�= exp(p) = ep.

Sinora il discorso e stato puramente algebrico. Adesso entrano in gioco proprieta ulteriori dell’esponenziale. Ricor-diamo infatti che per definizione di potenza ad esponente reale si ha che

ex = inf

�epq :

p

q∈ Q, p

q> x

�= inf

�exp

�p

q

�:p

q∈ Q, p

q> x

�.

Vogliamo mostrare che quest’ultima quantita e proprio exp(x). A tal fine osserviamo che e immediato verificarela crescenza di exp almeno su [1,+∞[. Dunque: se x > 1 si ha che, per un noto teorema sui limiti delle funzionimonotone,

inf

�exp

�p

q

�:p

q∈ Q, p

q> x

�= limy→x+, y∈Q

exp(y) = exp(x),

essendo, in particolare, exp ∈ C([1,+∞[). Dunque

exp(x) = ex, ∀x > 1.

Il caso generale segue ora facilmente: se x < 1 allora troviamo un n ∈ N tale che n+ x > 1 da cui

exp(x) = exp(x+ n− n) = exp(x+ n) exp(−n) = ex+ne−n = ex.

Esercizio 3.2.13 (equazione di Cauchy). Mostrare che esiste un’unica funzione ϕ : R −→ R+ continua taleche

ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R, ϕ(1) = a > 0.

Segnaliamo infine alcune utili proprieta dell’esponenziale reale di frequente utilizzo

Teorema 3.2.14. Valgono le seguenti disuguaglianze:

i) ex > 1 + x, ∀x ∈ R (e vale il segno = se e solo se x = 0).

ii) ex < 11−x , ∀x < 1.

iii) ex > xn

n! , ∀x > 0: in particolare xn �+∞ ex.

58

Dim. — i) La disuguaglianza e evidente per x 6 −1 visto che in tal caso 1 + x 6 0 < ex (e vale, anzi, con segnostretto. Anche per x > 0 e evidente (e vale con segno stretto per x > 0) essendo

ex =

∞Xn=0

xn

n!= 1 + x+

∞Xn=2

xn

n!> 1 + x, ∀x > 0.

Per x = 0 vale come identita. Resta il caso −1 < x < 0. Si tratta allora di mostrare che

∞Xn=2

xn

n!= x2

∞Xn=0

xn

(n+ 2)!> 0, ⇐⇒ 1

2+

∞Xn=1

xn

(n+ 2)!> 0.

Essendo xn > −1 per ogni n si ha che

∞Xn=1

xn

(n+ 2)!= −

∞Xn=1

1

(n+ 2)!= 1 + 1 +

1

2−

∞Xn=0

1

n!=

5

2− e,

da cui facilmente la conclusione.

ii) Dalla i) si deduce che e−x > 1− x da cui, per x < 1, la conclusione.

iii) Evidente.

3.2.15 Sviluppi del binomio e del logaritmo

Come noto, se n ∈ N vale la formula del binomio di Newton

(1 + x)n =n∑

k=0

(nk

)xk,

dove(

nk

)= n!

k!(n−k)! = n(n−1)···(n−k+1)k! . Vogliamo anzitutto estendere la formula suddetta al caso di un

esponente n reale. Naturalmente se n ∈ R molto della formula precedente perde di significato; per esempio:cosa vuol dire n!? Vedremo che la funzione Gamma sara proprio la soluzione a questo problema. In ogni casoal momento, utilizzando la seconda uguaglianza scritta poch’anzi, possiamo agilmente superare l’ostacolodella definizione del coefficiente binomiale:

Definizione 3.2.16. Sia α ∈ R. Si pone(αk

):=

α(α− 1) · · · (α− k + 1)k!

, k ∈ N, k > 2.

Si pone inoltre(

α0

)= 1,

(α1

)= α.

Per quanto osservato sopra, nel caso in cui α ∈ N il precedente coefficiente coincide con quello usuale per

k 6 α. Invece, se k > α e immediato osservare che(

αk

)= 0. Ora dimostreremo il seguente

Teorema 3.2.17 (Newton).

(1 + x)α =∞∑

k=0

(αk

)xk, ∀x ∈ R, : |x| < 1. (3.2.6)

59

Dim. — Anzitutto la formula e vera (in realta per ogni x ∈ R) se α ∈ N come facilmente si vede. Il resto delladimostrazione procedera come nella dimostrazione del teorema 3.2.12: definiremo

Φ(α) :=

∞Xk=0

�αk

�xk,

(dove |x| < 1 funge da ”parametro”). Si e gia detto che Φ(n) = (1 + x)n per ogni n ∈ N. Quindi si provera cheΨ(q) = (1 + x)q per ogni q ∈ Q ed infine la si estendera per α ∈ R.Primo passo: buona definizione di Φ. Osservato che Φ e definita come una serie di potenze in x e sufficienteosservare che, in virtu della proposizione 1.6.28, essendo

limk

�����αk

����������

αk + 1

�����= lim

k

|α||α− 1| · · · |α− k + 1|k!

(k + 1)!

|α||α− 1| · · · |α− k| = limk

k + 1

|α− k| = 1,

da cui segue che il raggio di convergenza e pari ad 1.Secondo passo: Φ(α + β) = Φ(α)Φ(β) per ogni α, β ∈ R. Per la formula del prodotto secondo Cauchy (1.7.5)abbiamo che

Φ(α)Φ(β) =

∞Xk=0

kXh=0

�αh

��β

k − h

�!xk.

Rimane da provare allora chePkh=0

�αh

��β

k − h

�=

�α+ βk

�(cosı come accade con gli ordinari coefficienti

binomiali). Questo e lasciato per esercizio (procedere per induzione).Terzo passo: Φ(q) = (1 + x)q per ogni q ∈ Q e |x| < 1. Infatti: si e gia osservato che Φ(n) = (1 + x)n per ognin ∈ N. Sia q = m

ncon m,n > 0. Allora

Φ�mn

�= (1 + x)

mn , ⇐⇒ Φ

�mn

�n= (1 + x)m.

Ma, per il passo precedente, Φ�mn

�n= Φ

�n · m

n

�= Φ(m) = (1 + x)m. Se q < 0 allora basta osservare che

Φ(q)Φ(−q) = Φ(0) = 1 per cui Φ(−q),Φ(q) 6= 0 e

Φ(q) =1

Φ(−q) =1

(1 + x)−q= (1 + x)q.

Quarto passo: Φ ∈ C(R). Questa e una bella applicazione di alcuni risultati mostrati nei capitoli precedenti. Inuna sola parola Φ ∈ C(R) perche e di fatto una serie di potenze in α convergente su tutto R. Per vedere cio occorrepermutare opportunamente i termini della serie binomiale di modo da sommare nelle potenze di α e non in quelle dix. A tal fine osserviamo che����

�αk

�xk���� 6

|α|(|α|+ 1) · · · (|α|+ k + 1)

k!|x|k =

�|α|+ k + 1

k

�|x|k.

Ora: considerata la seriePk

�|α|+ k + 1

k

�|x|k si vede facilmente (stessa verifica di cui sopra) che essa converge

per ogni α ∈ R e per ogni x tale che |x| < 1. Inoltre, detto pk(α) =Pkj=0 cj,kα

j =

�αk

�xk da quanto detto si

ha chePk

Pkj=0 |cj,k||α|

j e convergente (sempre per α ∈ R e |x| < 1): dunque, per il teorema di Fubini (corollario1.7.30), si possono permutare le somme ed ottenere che

Φ(α) =

∞Xk=0

kXj=0

cj,kαj =

∞Xj=0

0@ ∞Xk=j

cj,k

1Aαj , ∀α ∈ R, |x| < 1.

Da questo la conclusione e evidente per le proprieta note delle serie di potenze.

60

Conclusione: Se α ∈ R e, per esempio, x > 0, allora (1 + x)• ↗ (proprieta delle potenze) ed inoltre(1)

(1 + x)α = inf {(1 + x)q : q ∈ Q, q > α} = inf {Φ(q) : q ∈ Q, q > α} = limq→α+

Φ(q) = Φ(α).

Nella dimostrazione del teorema e emerso che di fatto (1 + x)α puo essere sviluppato in serie di potenze inα. Cio e rilevante per il calcolo dello sviluppo del logaritmo. Infatti osserviamo che

(1 + x)α = eα log(1+x) =∞∑

k=0

(α log(1 + x))k

k!= 1 + α log(1 + x) + o(α). (3.2.7)

D’altro canto

(1 + x)α =∞∑

k=0

(αk

)xk = 1 + αx +

∞∑k=2

α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)xk

k!.

Vediamo ora l’espressione del termine generale della somma precedente con particolare attenzione ai terminidi primo grado in α. L’unica possibilita e che nel prodotto si prenda α dal primo fattore (non c’e scelta!) e−1,−2, . . . ,−(k − 1) da tutti gli altri. Dunque

α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)xk

k!= α(−1)(−2) · · · (−(k − 1))

xk

k!+ ok(α) = (−1)k−1 xk

kα + o(α).

Di conseguenza, visto che possiamo riordinare a piacere i termini della serie,

(1 + x)α = 1 + α

(x +

∞∑k=2

(−1)k−1 xk

k

)+ o(α) = 1 + α

∞∑k=1

(−1)k−1 xk

k+ o(α). (3.2.8)

Dunque, eguagliando le (3.2.7) e (3.2.8) si ottiene

log(1 + x) =∞∑

k=1

(−1)k−1 xk

k, ∀x : |x| < 1. (3.2.9)

Esercizio 3.2.18. Dimostrare che

0 6 x− log(1 + x) 6x2

2, ∀x ∈ [0, 1[.

3.3 Funzioni trigonometriche

Nel seguito torneremo ad usare la notazione

ez = exp(z),

con l’ovvia considerazione che per z ∈ R ambo i membri hanno senso e sono uguali, mentre nel caso incui z ∈ C\R il primo e definito attraverso il secondo. Dalla funzione esponenziale nascono le funzionitrigonometriche:

Definizione 3.3.1 (sin, cos). Sono definite le funzioni cos, sin : R −→ R attraverso le formule

cos x := Re(eix), sinx := Im(eix), x ∈ R.

1La monotonia di Φ segue dal fatto che Φ e continua e coincide con una funzione monotona sui razionali (che sono densi inR).

61

Vediamo subito alcune semplici proprieta algebriche delle funzioni cos e sin:

Proposizione 3.3.2. Valgono le seguenti proprieta:

i) (identita fondamentale della trigonometria): (cos x)2 + (sinx)2 = 1, ∀x ∈ R.

ii) | cos x| 6 1 e | sinx| 6 1 per ogni x ∈ R.

iii) cos 0 = 1, sin 0 = 0.

iv) cos(−x) = cos x e sin(−x) = − sinx per ogni x ∈ R.

v) (formule di addizione) cos(x + y) = cos x cos y − sinx sin y e sin(x + y) = sinx cos y + cos x sin y,∀x, y ∈ R.

vi) (formule di prostaferesi)

sinx− sin y = 2 sinx− y

2cos

x + y

2, cos x− cos y = −2 sin

x + y

2sin

x− y

2, ∀x, y ∈ R.

Dim. — i) Infatti:(cosx)2 + (sinx)2 = |eix|2 = eixeix = eixe−ix = e0 = 1.

ii) Segue direttamente da i).iii) Immediata.iv) Segue dalla definizione:

cos(−x) = Re(e−ix) = Re(eix) = Re(eix) = cosx,

e similmente per il coseno.v) Segue immediatamente dalla formula ei(x+y) = eixeiy, essendo questa

cos(x+ y) + i sin(x+ y) = (cosx+ i sinx) (cos y + i sin y) .

vi) Segue dalle formule di addizione

sinx = sin�x− y

2+x+ y

2

�= sin

x− y

2cos

x+ y

2+ cos

x− y

2sin

x+ y

2,

e

sin y = sin�y − x

2+y + x

2

�= sin

y − x

2cos

y + x

2+ cos

y − x

2sin

y + x

2,

da cui, sottraendo e ricordate le proprieta del punto iv), si ottiene facilmente la conclusione. Discorso simile per ilcoseno.

E inoltre immediato dedurre, dalla definizione, che valgono le formule

sinx =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!, cos x =

∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!. (3.3.1)

E ovvio che anche tali serie di potenze convergono in tutto R (ed anche in tutto C, ed in effetti cio permettedi estendere sin e cos anche ai numeri complessi, cosa che comunque non svilupperemo qui). Per quantovisto in generale sulle serie di potenze segue subito che

Proposizione 3.3.3. sin, cos ∈ C∞(R) e sin′ = cos, cos′ = − sin.Dim. — Basta applicare il teorema di derivazione per serie di potenze 2.3.21.

Possiamo ora dimostrare il fondamentale

62

Teorema 3.3.4 (π greco).∃ π

2:= inf{x > 0 : cos x = 0} ∈]0, 2[.

Dim. — Anzitutto: cos 0 = 1 e cos 2 < 0. Infatti

cos 2 =

∞Xn=0

(−1)n22n

(2n)!= 1− 2 +

24

4!+

∞Xn=3

(−1)n22n

(2n)!= −1

3−

∞Xn=0

�24n+6

(4n+ 6)!− 24n+8

(4n+ 8)!

�,

il raggruppamento essendo permesso dal fatto che le due serie sono assolutamente convergenti. Ora affermiamo che

2k

k!− 2k+2

(k + 2)!> 0, ∀k > 1.

Infatti essa equivale a scrivere (k+2)!k!

> 2, ovvero (k + 2)(k + 1) > 2 palesemente vera per ogni k > 1 (e quindi perogni k > 6). Ma allora cos 2 6 − 1

3< 0. Essendo il coseno una funzione continua (somma di una serie uniformemente

convergente), per il teorema degli zeri esiste almeno uno zero nell’intervallo ]0, 2[.

Esercizio 3.3.5. Mostrare che sinx > 0 per ogni x ∈]0, 2[. Essendo poi cos′ = − sin, applicando un appositoteorema del calcolo differenziale, dedurre che esiste un unico zero per la funzione cos in ]0, 2[.

Esercizio 3.3.6. Completare la seguente dimostrazione alternativa:

i) mostrare che sinx > 0 per x > 0 sufficientemente piccolo;

ii) mostrare che α := inf{cos x : x > 0} = 0. (sugg.: se cosı non fosse, si avrebbe sin(2nx) > 2αn sinx. . . );

iii) mostrare che se per assurdo cos x > 0 per ogni x > 0 allora sinx > 0 per ogni x > 0 (sugg.: usare le

formule di prostaferesi) e quindi che sin↗;

iv) Sia ε > 0 ed x0 tale che 0 ≤ cos x0 ≤ ε. Allora sinx0 > . . . e sinx0 < sin(2x0). . . : trovare unacontraddizione per ε piccolo.

A questo punto le seguenti sono semplici conseguenze:

Proposizione 3.3.7. Si ha che sin π2 = 1, sin ↗ su [0, π

2 ] e cos ↘ su [0, π2 ]. Inoltre valgono le seguenti

identita notevoli:sin(x + π

2

)= cos x, cos

(x + π

2

)= − sinx, ∀x ∈ R,

sin(x + π) = − sinx, cos(x + π) = − cos x, ∀x ∈ R,

sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, ∀x ∈ R.

L’ultima, in particolare, implica che sin e cos sono funzioni periodiche di periodo 2π.Dim. — Esercizio.

Non e purtroppo semplicissimo dimostrare che π e un numero irrazionale. La prima dimostrazione di questofatto risale a Labert nel 1761 ed e piuttosto complessa. Nel 1947 Niven [5], adattando un’idea di Hermite,ne ha fornito una dimostrazione breve (anche se poco immediata!). Quest’idea ha il pregio di permettere didimostrare una serie di altri risultati relativi all’irrazionalita di alcuni importanti numeri.

Teorema 3.3.8. π2 e irrazionale (quindi anche π lo e).Dim. — Si rimanda a Niven [5].

63

3.4 Funzione Gamma di Eulero

La funzione Gamma di Eulero e di fondamentale importanza in numerose applicazioni e va considerata una”funzione elementare” tanto quanto la funzione esponenziale sebbene la costruzione e lo studio delle sueproprieta non siano affatto elementari. E d’altra parte sorprendente come intorno a questa funzione ruotinouna serie di risultati spettacolari dell’analisi di un periodo che parte dal ’600 ed arriva fino ad oggi. Permotivi di ”contenimento” del materiale dobbiamo limitare di molto la scelta dei risultati da presentare. Sie scelto il criterio del gusto dell’analisi matematica del ’700. In tal senso e impressionante seguire l’abilitacon cui Eulero ed i suoi contemporanei e successori hanno dimostrato formule di rappresentazione diverse ededotto proprieta da queste, sebbene tutt’altro che elementari.

Consigliamo senz’altro la lettura del bellissimo articolo di Davis [1] che prendiamo qui come base per gliaccenni storici della sez. 2. Ai piu temerari (e capaci di leggere in latino) si rimanda direttamente all’operacompleta dei lavori di Eulero reperibile al sito http://www.math.dartmouth.edu/∼euler/ . Per il resto si eattinto dal bellissimo libro di Whittaker e Watson [7] ed al libro di Rudin [6] (che pero contiene veramentelo stretto indispensabile!).

3.4.1 Notizie storiche

La nostra storia origina da un problema di interpolazione posto in una lettera da Christian Goldbach (1690–1764) all’allora ventiduenne Leornardo Eulero (1707–1783): trovare una formula ”semplice” per il calcolo deifattoriali che sia estendibile anche a numeri non interi. Detto cosı il problema sembra alquanto vago. Percapire meglio consideriamo un esempio con un problema simile la cui soluzione e semplicissima. Sappiamofacilmente sommare i primi n interi naturali, cioe calcolare

∑nk=1 k. D’altra parte per n molto grande il

calcolo diretto della somma risulta poco pratico e piu n aumenta piu aumenta anche il numero di operazionida effettuare. D’altra parte sappiamo che

n∑k=1

k =n(n + 1)

2=: S(n),

formula che coinvolge un numero fisso (tre) di elementari operazioni algebriche (una somma, un prodotto eduna divisione). Naturalmente la formula S(n) ha senso (a differenza del primo membro) anche per n nonintero: cosı S(5, 5) dovrebbe rappresentare ”moralmente” la somma dei primi cinque numeri e mezzo. . . chenella fattispecie e S(5, 5) =

112

132

2 = 1418 = 17, 625. Ovviamente, poi, S soddisfa anche la seguente equazione

funzionaleS(x + 1) = S(x) + 1, ∀x ∈ R,

con la condizione aggiuntiva che S(1) = 1. Naturalmente S non e l’unica soluzione di tale equazione poichese si considera una qualunque S definita, per esempio, su ]0, 1] tale che S(1) = 1 e poi la si replica su ]1, 2]con S(x) = S(x− 1) + 1 e cosı via, si costruisce una S che svolge lo stesso compito della x 7−→ x(x+1)

2 .Il problema posto ad Eulero puo sembrare un po’ stravagante. Si deve pero immaginare che nel ’700 non

esisteva la nozione moderna di funzione e piuttosto la nozione era legata ad esplicite formule algebriche (inparticolare alle serie di potenze) ed in quel contesto era naturale chiedersi se era possibile esprimere ogniquantita in termini di funzioni ”elementari”. Non si tratta dunque di un generico problema di interpolazione(cioe di trovare una funzione continua che passi per i punti di coordinate (n, n!) al variare di n ∈ N), cheperaltro avrebbe infinite soluzioni, quanto di trovare una ”buona” funzione Γ :]0,+∞[−→ R tale che

Γ(1) = 1, Γ(x + 1) = xΓ(x), ∀x ∈]0,+∞[.

Seguiamo dunque il ragionamento di Eulero. Il primo passo e quello di osservare che, almeno formalmente,

64

per x = n ∈ N,

Γ(x + 1) = x! =(

21

)x 1x + 1

·(

32

)x 2x + 2

· · · = limn→+∞

n∏k=1

(k + 1

k

)xk

x + k. (3.4.1)

Eulero, tralasciando il problema di stabilire la convergenza del prodotto infinito a destra, compie due osser-vazioni fondamentali: anzitutto il prodotto ha senso per ogni x ∈ R\Z− (cioe per tutti i reali al di fuori degliinteri negativi); in secondo luogo se si pone x = 1

2 si ha che

12! =

(21

) 12 2

3

(32

) 12 4

5

(43

) 12 6

7

(54

) 12 8

9

(65

) 12 10

11. . .

Procedendo a semplificazioni otteniamo

Γ(

32

)=

12! = lim

n→+∞

n∏k=1

(k + 1

k

) 12 k

12 + k

= limn→+∞

(n + 1)12

n∏k=1

2k

2k + 1= lim

n→+∞(n + 1)

12

(2n)!!(2n + 1)!!

,

dove m!! prende il nome di semifattoriale e denota il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a maventi la stessa parita di m. Questo limite si riconduce immediatamente alla nota formula stabilita da JohnWallis nel 1656 e nota ad Eulero:

limn→+∞

n

((2n)!!

(2n + 1)!!

)2

=π

4,

conducendo al risultato 12 ! =

√π

2 . Questo risultato e molto significativo per Eulero poiche il numero π elegato all’area di un cerchio, per cui che si dovesse avere una rappresentazione della funzione Γ attraversointegrali era una cosa del tutto naturale. In effetti la formula di Wallis si basa sull’identita∫ π

2

0

(sinx)2n+1 dx =(2n)!!

(2n + 1)!!.

Con semplici cambiamenti di variabili si ottiene

(2n)!!(2n + 1)!!

=∫ π

2

0

(sinx)2n+1 dx =∫ 1

0

y2n+1(1− y2)−12 dy =

12

∫ 1

0

yn(1− y)−12 dy =

12

∫ 1

0

(1− y)ny−12 dy,

per cui

Γ(

32

)= lim

n→+∞

√n

2

∫ 1

0

(1− y)ny−12 dy =

12

limn→+∞

∫ k

0

(1− t

n

)n

t−12 dt =

12

∫ +∞

0

e−tt−12 dt,

ovvero, tenendo conto del fatto che Γ( 32 ) = 1

2Γ( 12 ),

Γ(

12

)=∫ +∞

0

e−tt−12 dt.

Naturalmente i passagi al limite vanno giustificati. Eulero ci arriva attraverso passaggi privi di rigore mad’indubbio fascino (ved. Davis [1]). Partendo dallo studio dell’integrale∫ 1

0

tq(1− t)p dt

65

che all’epoca costituiva un vero rompicapo per i matematici i quali non riuscivano a ”quadrarlo” (cioe adesprimerne il risultato in termini di un numero finito di operazioni algebriche), perviene alla seguente formula,di cui la precedente e un caso particolare:

Γ(x) =∫ +∞

0

e−ttx−1 dt, ∀x > 0. (3.4.2)

Questa formula e molto importante poiche da essa si deducono una serie di proprieta notevoli della funzioneΓ: per questo motivo essa viene oggi introdotta proprio da questa formula la quale, tuttavia, facciamonotare essere piu restrittiva della (3.4.1). Se la formula originale di Eulero si presta naturalmente alla ricercadi formule di rappresentazione per la Γ, la (3.4.2) e piu versatile per lo studio qualitativo. Un’esempiofondamentale in questo senso e la celebre formula di Stirling.

Rimase aperto per lungo tempo il problema dell’unicita della funzione Γ. Nel 1922 Harald Bohr eJohannes Mollerup dimostrarono che la Γ e univocamente determinata se si aggiunge la condizione che sialogaritmicamente convessa, ovvero se x 7−→ log Γ(x) e convessa su ]0,+∞[. Questo fatto e molto importantepoiche permette di dimostrare numerosi risultati legati alla funzione Γ: se per esempio si vuole dimostrareche Γ(x) = Φ(x), dove in genere Φ(x) e una certa espressione che coinvolge ancora la Γ, allora basta provareche Φ verifica le ipotesi del teorema di unicita per concludere.

3.4.2 Definizione della funzione Gamma e prime proprieta

Prima di cominciare ricordiamo brevemente qualche fatto sui prodotti infiniti. Sia (ak) ⊂]0,+∞[. Perdefinizione diciamo che

∃∞∏

k=1

ak := limn→+∞

n∏k=1

ak.

Essendo gli ak > 0 per ogni k, ed osservato che∏n

k=1 ak = ePnk=1 log ak ,

∃∞∏

k=1

ak = eP∞k=1 log ak ,

per cui il problema dell’esistenza del prodotto infinito puo essere rimandato a quello della convergenza dellaserie

∑∞k=1 log ak.

Teorema 3.4.3. Per ogni x ∈ R\Z−

∃∞∏

k=1

(k + 1

k

)xk

x + k=: Γ(x + 1) (Eulero, 1729). (3.4.3)

Qui e nel seguito Z− := {−n : n ∈ N, n > 1}.Dim. — Sia K(x) ∈ N tale che x+ k > 0 per ogni k > k(x). Per n > k(x) allora

nYk=1

�k + 1

k

�xk

x+ k=

K(x)−1Yk=1

�k + 1

k

�xk

x+ k

nYk=K(x)

�k + 1

k

�xk

x+ k,

cosı che dobbiamo solo studiare la convergenza del secondo prodotto. In questo caso i fattori sono tutti positivi edunque la convergenza e rimandata a quella sella serie

∞Xk=K(x)

log

��k + 1

k

�xk

x+ k

�.

66

Ora, ricordato lo sviluppo del binomio (3.2.6) (1 + h)x = 1 + xh+ x(x−1)2

h2 + o(h2) per h ∼ 0 abbiamo che�k + 1

k

�xk

x+ k=

�1 +

1

k

�x�1− x

x+ k

�=

�1 +

x

k+x(x− 1)

2k2+ o

�1

k2

���1− x

x+ k

�

= 1− x

x+ k+x

k− x2

k(x+ k)+x(x− 1)

2k2− x2(x− 1)

2k2(x+ k)+ o

�1

k2

�

= 1 +x(x− 1)

2k2− x2(x− 1)

2k2(x+ k)+ o

�1

k2

�= 1 + εk,

dove |εk| = O�

1k2

�. Allora log(1 + εk) = εk + o(εk) per cui

P∞k=k(x) log(1 + εk) e assolutamente convergente da cui

la conclusione.

Con semplici manipolazioni della (3.4.3) e facile mostrare che Γ puo essere anche rappresentata col limite

Γ(x) = limn→+∞

nxn!x(x + 1) · · · (x + n)

=: limn→∞

Γn(x), ∀x ∈ R\Z−. (3.4.4)

La funzione Γ cosı introdotta e effettivamente soluzione dell’equazione funzionale Γ(x + 1) = xΓ(x):

Corollario 3.4.4. La funzione Γ e positiva per x > 0, Γ(1) = 1 e Γ(x + 1) = xΓ(x) per ogni x ∈ R\Z−. Inparticolare Γ(n + 1) = n! per ogni n ∈ N.Dim. — Le prime due sono autoevidenti. Per la terza basta osservare che, seguendo la (3.4.4),

Γ(x+ 1) = limn→+∞

nx+1n!

(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n+ 1)= x lim

n→+∞

n

x+ n+ 1

nxn!

x(x+ 1) · · · (x+ n)= xΓ(x).

Come gia detto nella sezione contenente le notizie storiche, la funzione Γ e univocamente determinata se sichiede che la funzione log Γ sia convessa.

Teorema 3.4.5 (Bohr & Mollerup, 1922). Sia ϕ :]0,+∞[−→]0,+∞[ una funzione soddisfacente le seguentiproprieta:

i) ϕ(1) = 1;

ii) ϕ(x + 1) = xϕ(x), ∀x > 0;

iii) log ϕ sia convessa.

Allora ϕ(x) = Γ(x) per ogni x > 0.

Osservazione 3.4.6. Si notino alcuni fatti: anzitutto non e richiesto nulla sulla regolarita di ϕ (anchese, in realta, essendo log ϕ convessa risulta automaticamente continua e quindi, di conseguenza, anche ϕ =exp(log ϕ) lo e); in secondo luogo questo dimostra automaticamente che log Γ e convessa, fatto tutt’altro cheevidente a priori dalla (3.4.3).

Dim. — Sia ψ(x) := logϕ(x). Osserviamo anzitutto che

ψ(x+ 1)− ψ(x) = log x.

Di conseguenza

ψ(x+ n+ 1)− ψ(x) =

nXk=0

(ψ(x+ k + 1)− ψ(x+ k)) =

nXk=0

log(x+ k) = log (x(x+ 1) · · · (x+ n)) . (3.4.5)

67

Riconosciamo qui, dentro al logaritmo, il denominatore dell’espressione (3.4.4). Precisamente osserviamo che

log (x(x+ 1) · · · (x+ n)) = − lognxn!

x(x+ 1) · · · (x+ n)+ log (nxn!)

= − log Γn(x) + x logn+ logn!

Allora, osservato ancora che ψ(n+ 1) = logn! (per esempio segue direttamente dalla (3.4.5)), otteniamo la seguenterelazione:

ψ(x)− log Γn(x) = ψ(x+ n+ 1)− ψ(n+ 1)− x logn = xψ(n+ 1 + x)− ψ(n+ 1)

x− x logn, (3.4.6)

Osserviamo ora che essendo ψ convessa, per le proprieta relative ai rapporti incrementali si ha che

ψ(n+ 1 + x)− ψ(n+ 1)

x>ψ(n+ 1)− ψ(n)

1= logn,

da cui il secondo membro della (3.4.6) e > 0. Inoltre, sempre per la convessita, se x ∈]0, 1] avremo anche che

ψ(n+ 1 + x)− ψ(n+ 1)

x6ψ(n+ 2)− ψ(n+ 1)

1= log(n+ 1),

cosı che dalla (3.4.6) segue che

0 6 ψ(x)− log Γn(x) 6 x log(n+ 1)− x logn = x log

�1 +

1

n

�−→ 0, n −→ +∞. (3.4.7)

Da questo segue che ψ(x) = log Γ(x) per ogni x ∈]0, 1], ovvero ϕ(x) = Γ(x) per ogni x ∈]0, 1]. Ma allora, perl’equazione funzionale ii) si ha l’identita ϕ = Γ per ogni x > 0.

3.4.7 Formula di Wallis

Ricordiamo che n!! si dice semifattoriale e denota il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a naventi la stessa parita di n.

Teorema 3.4.8 (Wallis, 1656).

limk→+∞

2n

((2n)!!

(2n + 1)!!

)2

=π

2. (3.4.8)

In particolare: Γ( 12 ) =

√π.

Dim. — Osserviamo preliminarmente che, se m ∈ N e m > 2 allora

Z π2

0

(sinx)m dx =

Z π2

0

(sinx)m−1(− cosx)′ dx =�− cosx(sinx)m−1�x=π

2x=0

+

Z π2

0

(m− 1)(sinx)m−2(cosx)2 dx

= (m− 1)

Z π2

0

(sinx)m−2 �1− (sinx)2�dx

= (m− 1)

Z π2

0

(sinx)m−2 dx− (m− 1)

Z π

0

(sinx)m dx,

da cui Z π2

0

(sinx)m dx =m− 1

m

Z π2

0

(sinx)m−2 dx. (3.4.9)

68

Ora, se m = 2n con n > 1 otteniamo, iterando la (3.4.9)Z π2

0

(sinx)2n dx =2n− 1

2n

Z π2

0

(sinx)2(n−1) dx =2n− 1

2n

2n− 3

2n− 2

Z π2

0

(sinx)2(n−2) dx = . . .

=(2n− 1)!!

(2n)!!

Z π2

0

dx =(2n− 1)!!

(2n)!!

π

2.

(3.4.10)

Invece, per m = 2n+ 1 con n > 0, allo stesso modo otteniamoZ π2

0

(sinx)2n+1 dx =2n

2n+ 1

Z π2

0

(sinx)2(n−1)+1 dx =2n

2n+ 1

2n− 2

2n− 1

Z π2

0

(sinx)2(n−2)+1 dx = . . .

=(2n)!!

(2n+ 1)!!

Z π2

0

sinx dx =(2n)!!

(2n+ 1)!!.

(3.4.11)

Osservato che 0 6 sinx 6 1 su�0, π

2

�si ottiene quindi che

(2n)!!

(2n+ 1)!!=

Z π2

0

(sinx)2n+1 dx 6Z π

2

0

(sinx)2n dx =(2n− 1)!!

(2n)!!

π

2

da cui

2n

�(2n)!!

(2n+ 1)!!

�2

=2n

2n+ 1

(2n)!!

(2n− 1)!!

(2n)!!

(2n+ 1)!!6

2n

2n+ 1

π

2, (3.4.12)

e, similmente(2n− 1)!!

(2n)!!

π

2=

Z π2

0

(sinx)2n dx 6Z π

2

0

(sinx)2n−1 dx =(2n− 2)!!

(2n− 1)!!

da cui

2n

�(2n)!!

(2n+ 1)!!

�2

= 2n(2n)!!

(2n− 1)!!

(2n− 2)!!

(2n− 1)!!

2n

(2n+ 1)2>

4n2

(2n+ 1)2π

2. (3.4.13)

Mettendo tutto assieme otteniamo infine la seguente disuguaglianza notevole:

4n2

(2n+ 1)2π

26 2n

�(2n)!!

(2n+ 1)!!

�2

62n

2n+ 1

π

2, ∀n > 1. (3.4.14)

La conclusione ora segue dal teorema dei due carabinieri.

Notiamo che usando l’equazione funzionale otteniamo ”5, 5!” = Γ( 112 + 1) = 11

292Γ( 9

2 ) = . . . = 92

72

52

32

√π

2 ≈287, 8853 come venne originariamente calcolato da Eulero. Piu in generale

Γ(n + 1

2

)=(n− 1

2

)Γ(n− 1

2

)=(n− 1

2

) (n− 3

2

)Γ(n− 3

2

)= . . . =

∏n−1k=1

(n− 2k+1

2

)Γ(

12

)= (2n−1)!!

2n−1

√π.

3.4.9 Formule dei complementi

La (3.4.4) e molto suggestiva e induce una serie di congetture sulla funzione Γ. Per esempio possiamoosservare che se x ∈ R\Z allora hanno senso sia Γ(x) che Γ(−x). Ma allora

Γ(x)Γ(−x) = limn→+∞

(nxn!

x(x+1)···(x+n)n−xn!

−x(−x+1)···(−x+n)

)= − limn→+∞

(n!)2

x2(1−x2)(4−x2)···(n2−x2)

= − limn→+∞

(x2

n∏k=1

(1− x2

k2

))−1

.

69

Esercizio 3.4.10. Mostrare che x 7−→ x∏∞

k=1

(1− x2

k2

)e ben definita per ogni x ∈ R.

Possiamo pensare la funzione x 7−→ x∏∞

k=1

(1− x2

k2

)come un ”polinomio” di grado infinito (cioe una serie di

potenze) che ha in x = k, k ∈ Z uno zero semplice. Come noto la funzione x 7−→ sin(πx) ha queste proprietacosı che e naturale pensare che sia esattamente quella, a meno di una costante moltiplicativa. Questo fattovenne originariamente enunciato da Eulero e dimostrato rigorosamente da Bernoulli:

Teorema 3.4.11 (Eulero, 1734).

sin(πx) = πx∞∏

k=1

(1− x2

k2

), ∀x ∈ R. (3.4.15)

Dunque, in particolare,

Γ(x)Γ(−x) = − π

x sin(πx), ∀x ∈ R\Z. (formula dei complementi) (3.4.16)

Dim. — Ricordiamo che sin(πx) = 12i

(eiπx − e−iπx) e che per ogni numero complesso z si ha

ez = limn→+∞

�1 +

z

n

�n.

Allora

sin(πx) = limn→+∞

1

2i

��1 +

iπx

n

�n−�

1− iπx

n

�n�=: lim

n→+∞pn(x).

Chiaramente pn e un polinomio di grado massimo n cosı che sara fattorizzabile in n termini di primo grado. A talfine andiamo a determinarne gli zeri. Abbiamo che

pn(x) = 0, ⇐⇒�

1 +iπx

n

�n=

�1− iπx

n

�n.

Osservato che nessuno dei due membri puo annullarsi, la precedente equivale a 1 + iπx

n

1− iπxn

!n= 1, ⇐⇒

�z =

iπx

n

�,

1 + z

1− z= eik

2πn , k = 0, . . . , n−1, ⇐⇒ z =

eik2πn − 1

eik2πn + 1

= i tanπk

n, k = 0, . . . , n−1,

ovvero infine

xk =n

πtan

kπ

n, k = 0, . . . , n− 1.

Sia ora n ≡ 2n+1 e prendiamo equivalentemente nella formula precedente k = −n, . . . ,−1, 0, 1, . . . , n. Osservato chex0 = 0, x−k = −xk possiamo scrivere

p2n+1(x) = cnx

nYk=1

�1− x

xk

��1− x

x−k

�= cnx

nYk=1

�1− x2

x2k

�,

dove, evidentemente, cn e il coefficiente di x in p2n+1, cioe

cn = niπ

n− n

�− iπn

�= 2πi,

cosı che, finalmente, otteniamo la formula

sin(πx) = limn→+∞

πx

nYk=1

0B@1− x2

k2�

2n+1kπ

tan kπ2n+1

�2

1CA .

70

Osserviamo che per k fissato ed n −→ +∞ si ha che 2n+1kπ

tan kπ2n+1

∼ 1 cosı che

1− x2

k2�

2n+1kπ

tan kπ2n+1

�2 ∼ 1− x2

k2,

il che autorizza a pensare che si possa effettivamente passare al limite ed ottenere la (3.4.15), cosa tuttavia nonbanale poiche si tratta di ”passare” il limite in n dentro al prodotto. Questo e possibile se si ha un qualche controllouniforme in n dei fattori. Fissiamo allora x ∈ R\Z e sia ϕ(λ) := tanλ

λ, λ ∈ [0, π

2[. Un breve studio di ϕ mostra che

ϕ↗ per cui ϕ(λ) > 1 per ogni λ ∈ [0, π2[. Pertanto

x2

k2�

2n+1kπ

tan kπ2n+1

�2 =x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2 6x2

k2, ∀k = 1, . . . , n,

da cui, per n > [|x|] + 1 possiamo scrivere

nYk=1

0B@1− x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2

1CA =

[|x|]Yk=1

0B@1− x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2

1CA nYk=[|x|]+1

0B@1− x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2

1CA .

Ovviamente

limn→+∞

[|x|]Yk=1

0B@1− x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2

1CA =

[|x|]Yk=1

�1− x2

k2

�.

Il secondo prodotto, poiche k > |x|, e a termini positivi per cui si puo scrivere

nYk=[|x|]+1

0B@1− x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2

1CA = e

Pnk=[|x|]+1 log

0@1− x2

k2ϕ( kπ2n+1 )2

1A

=: ePnk=k0

αk,n ,

dove k0 = k0(x) = [|x|] + 1. Osserviamo ancora che se N < n e fissato ovviamentePNk=k0

αk,n −→PNk=k0

αk per

n −→ +∞, dove naturalmente αk := log�1− x2

k2

�. Cosı e sufficiente mostrare che

limN→+∞

∞Xk=N

supn|αk,n| = 0,

per concludere come si vede facilmente. Questo altro non e che il criterio di Weierstrass per inciso. Cerchiamo quindiun controllo uniforme in n per αk,n. A tal fine ricordiamo la seguente disuguaglianza notevole: log(1−λ) > −2λ perλ ∈ [0, λ0] con λ0 < 1. Quindi | log(1 − λ)| 6 2λ per ogni λ ∈ [0, λ0]. Ricordato come sopra che ϕ > 1 e quindi che

0 6 x2

k2ϕ(...)26 x2

k26 λ0 pur di prendere k sufficientemente grande (in particolare, per noi essendo k > N0, per N0

sufficientemente grande) abbiamo

|αn,k| =

�������log0B@1− x2

k2ϕ�

kπ2n+1

�2

1CA������� 6 2

x2

k2, ∀n ∈ N, ∀k > N0.

Ma allora e fatta:∞Xk=N

supn|αk,n| 6

∞Xk=N

2x2

k2−→ 0, N −→ +∞,

essendo questo il resto di una serie convergente.

71

Corollario 3.4.12. La funzione Γ ha singolarita polari del primo ordine in ogni x = −n con n ∈ N.Dim. — Come gia osservato nella 3.4.6 sappiamo che Γ ∈ C(]0,+∞[). Dalla 3.4.16 segue che, per x ∼ −n, n ∈ N,n > 1, si ha

Γ(x) = − 1

Γ(−x)π

x sin(πx)∼ − 1

Γ(n)

(−1)nπ

x sin(πx− nπ)= − (−1)n

(n− 1)!

1

−n(x− n)=

(−1)n

n!

1

x− n.

Per x = 0 osserviamo che dalla formula Γ(x) = 1xΓ(x+ 1) ∼ 1

xsegue la conclusione.

La formula dei complementi (3.4.16) ammette altre versioni:

Corollario 3.4.13. Valgono le seguenti formule:

i) Γ(x)Γ(1− x) = πsin(πx) , x ∈ R\Z.

ii) Γ( 12 + x)Γ( 1

2 − x) = πcos(πx) , x ∈ R\

(Z + 1

2

).

iii) Γ(n+x)Γ(n−x)((n−1)!)2 = πx

sin(πx)

∏n−1k=1

(1− x2

k2

), x ∈ R\Z.

iv) Γ(n+ 12+x)Γ(n+ 1

2−x)

Γ(n+ 12 )2

= 1cos(πx)

∏n−1k=1

(1− 4x2

(2k−1)2

), x ∈ R\

(Z + 1

2

).

Dim. — Esercizio.

Facciamo una piccola digressione per mostrare una bella formula dovuta ad Eulero deducibile dalla (3.4.15):

Corollario 3.4.14 (Eulero).π2

6=

∞∑k=1

1k2

(= ζ(2)).

Dim. — Osserviamo che il coefficiente di x2 del prodottoQnk=1

�1− x2

k2

�e −

Pn−1k=1

1k2

. Passando al limite si trova

sin(πx) = πx− π

∞Xk=1

1

k2

!x3 + o(x3).

D’altra parte

sin(πx) = πx− (πx)3

6+ o(x3).

Eguagliando le due espressioni si ottiene la conclusione.

Esercizio 3.4.15. Calcolare∑∞

k=11

n4 .

Il legame con le funzioni trigonometriche suggerisce che vi debba essere una qualche formula di duplicazione(e piu in generale di moltiplicazione).

Corollario 3.4.16 (Legendre, 1809).

Γ(2x) =22x−1

√π

Γ(x)Γ(

x +12

). (3.4.17)

72

Dim. — Osserviamo che

Γ2n(2x) =(2n)!(2n)2x

2x(2x+ 1) · · · (2x+ 2n)= 22x(2n)!

n2x

22n+1x�x+ 1

2

�(x+ 1)

�x+ 1

2+ 1�(x+ 2) · · · (x+ n)

= 22x (2n)!

22n+1n!(n− 1)!(n− 1)12

n!nx

x(x+ 1) · · · (x+ n)

(n− 1)!(n− 1)x+12�

x+ 12

� �x+ 1

2+ 1�· · ·�x+ 1

2+ (n− 1)

�

=(2n)!

22n+1n!(n− 1)!(n− 1)12

22xΓn(x)Γn

�x+

1

2

�.

Da cio segue cheΓ2n(2x)

22xΓn(x)Γn�x+ 1

2

� =(2n)!

22n+1n!(n− 1)!(n− 1)12,

per cui, passando al limite per n −→ +∞ otteniamo

Γ(2x)

22xΓ(x)Γ�x+ 1

2

� = limn→+∞

(2n)!

22n+1n!(n− 1)!(n− 1)12.

Qualunque sia il valore del limite la cosa fondamentale e che esso e indipendente da x: pertanto avremo che il membroa sinistra e costante! Pertanto, prendendo x = 1

Γ(2x)

22xΓ(x)Γ�x+ 1

2

� =Γ(2)

22Γ(1)Γ�

32

� =1

22√π

2

,

da cui la conclusione.

Il lettore puo sbizzarrirsi e provare la formula di moltiplicazione generale:

Corollario 3.4.17.

Γ(nx) =nnx− 1

2

(2π)n−1

2

Γ(x)Γ(

x +1n

)Γ(

x +2n

)· · ·Γ

(x +

n− 1n

). (3.4.18)

Dim. — Esercizio.

3.4.18 Formula di Weierstrass

Nell’ambito dell’analisi e naturale chiedersi se una data funzione sia continua, derivabile etc. In tal sensoWeierstrass deriva un’utile rappresentazione della Γ che permette un calcolo semplice della sua derivata.Osserviamo a tal proposito che

Γ(x) = limn→+∞

nxn!x(x + 1) · · · (x + n)

= limn→+∞

nx

x

n∏k=1

11 + x

k

= limn→+∞

ex log n

x

n∏k=1

exk e−

xk

1 + xk

= limn→+∞

ex(log n−Pnk=1

1k )

x

n∏k=1

exk

1 + xk

.

Ricordando la formula di Eulero–Mascheroni (1.6.2) si deduce che

Γ(x) =e−γx

x

∞∏k=1

exk

1 + xk

, (3.4.19)

che e la rappresenazione di Weierstrass per la funzione Γ. Da questa segue il

73

Teorema 3.4.19 (derivata logaritmica di Γ). Γ ∈ C∞(R\Z−). In particolare

Γ′(x)Γ(x)

= −γ − 1x

+∞∑

k=1

(1k− 1

x + k

). (3.4.20)

Dim. — Ci limitiamo al calcolo di Γ′ ed alla dimostrazione della (3.4.20) le altre essendo simili. Consideriamoprima x > 0. Allora

log Γ(x) = log

e−γx

x

∞Yk=1

exk

1 + xk

!= −γx− log x+

∞Xk=1

�xk− log

�1 +

x

k

��. (3.4.21)

Derivando formalmente ambo i membri si ottiene

Γ′(x)

Γ(x)= (log Γ(x))′ = −γ − 1

x+

∞Xk=1

�1

k− 1

x+ k

�. (3.4.22)

Per giustificare rigorosamente questo passaggio bisogna assicurarsi che si puo derivare la serie. Nel nostro caso eabbastanza facile verificare che possiamo applicare il corollario 2.3.20. Infatti chiaramente la serie (3.4.21) converge

per ogni x > 0 poiche, ricordato lo sviluppo del logaritmo (3.2.9) log(1 + h) = h− h2

2+ o(h2), si ha subito

x

k− log

�1 +

x

k

�=x

k−�x

k− x2

2k2+ o

�x2

k2

��=

x2

2k2+ o

�x2

k2

�,

da cui, tra l’altro segue la convergenza uniforme su ogni intervallo [0, a] con a > 0. Per la serie derivata, osservatoche

0 61

k− 1

x+ k=

x

k(x+ k)6

x

k2,

da cui si evince nuovamente che la convergenza e uniforme su ogni intervallo [0, a] per ogni a > 0. Ne segue che laserie (3.4.21) e derivabile termine a termine.

Nel caso in cui x < 0, x 6= −n con n ∈ N possiamo aggiustare il ragionamento precedente nel seguente modo.Osservato che −N < x < −N + 1 possiamo scrivere

Γ(x) =e−γx

x

NYk=1

exk

1 + xk

∞Yk=N+1

exk

1 + xk

.

Ora si puo derivare il prodotto tenendo conto che il prodotto infinito, per ragioni identiche a quelle dette sopra, unavolta derivato e diviso per se stesso produce la formula di cui sopra. Lasciamo al lettore completare i dettagli peresercizio.

Esercizio 3.4.20. Mostrare che se la costante di Eulero–Mascheroni fosse un numero razionale alloraΓ′(n) ∈ Z per n sufficientemente grande.

3.4.21 Rappresentazione integrale

Vediamo adesso la rappresentazione integrale della funzione Γ. Questa ci permettera di rispondere al prob-lema del comportamento asintotico di Γ(x) per x sufficientemente grande (sostanzialmente perche sappiamocontrollare meglio un integrale di un prodotto o una somma infinita).

Teorema 3.4.22.

Γ(x) =∫ +∞

0

tx−1e−t dt, ∀x > 0. (3.4.23)

Dim. di Eulero della (3.4.23) — Consideriamo (ved. sez. 3.4.1) l’integrale

I(n, x) :=

Z 1

0

(1− y)nyx−1 dy, x > 0, n ∈ N.

74

Osserviamo che, integrando per parti,

I(n, x) =

�1

xyx(1− y)n

�y=1

y=0

+n

x

Z 1

0

(1− y)n−1yx dy =n

xI(n− 1, x+ 1),

per cui, iterando, si ottiene

I(n, x) =n

xI(n− 1, x+ 1) =

n

x

n− 1

x+ 1I(n− 2, x+ 2) = . . . =

n

x

n− 1

x+ 1. . .

2

x+ n− 1I(1, x+ n) =

n!

x(x+ 1) · · · (x+ n)

da cui

Γn(x) =1

nxI(n, x) =

1

nx

Z 1

0

(1− y)nyx−1 dyy= t

n=

Z n

0

�1− t

n

�ntx−1 dt. (3.4.24)

Osserviamo ora che�1− t

n

�n −→ e−t per n −→ +∞. Senza applicare teoremi di passaggio al limite sotto integrali(non ancora noti all’epoca di Eulero e per molto tempo successivo) osserviamo che vale la seguente disuguaglianza:

Lemma 3.4.23.

0 6 e−t −�

1− t

n

�n6 e−t

t2

n, ∀t ∈ [0, n]. (3.4.25)

Ammettendo per un momento la (3.4.25) si ha����Γn(x)−Z +∞

0

tx−1e−t dt

���� 6Z n

0

����e−t −�

1− t

n

�n���� tx−1 dt+

Z +∞

n

tx−1e−t dt 61

n

Z +∞

0

e−ttx+1 dt+

Z +∞

n

tx−1e−t dt,

da cui la conclusione passando al limite.

Dim. Lemma — Ricordiamo che ex > 1 + x per ogni x ∈ R. Pertanto, se 0 6 t 6 n,

e−t =�e−

tn

�n>

�1− t

n

�n, =⇒ e−t −

�1− t

n

�n> 0, ∀t ∈ [0, n], n > 0.

La seconda meta e leggermente piu difficile: scriviamo prima

e−t −�

1− t

n

�n= e−t

�1− et

�1− t

n

�n�.

Ancora per la disuguaglianza fondamentale, per t ∈ [0, n] abbiamo

et =�etn

�n>

�1 +

t

n

�n, =⇒ e−t −

�1− t

n

�n6 e−t

�1−

�1 +

t

n

�n�1− t

n

�n�= e−t

�1−

�1− t2

n2

�n�.

Ora, siccome

(1− x)n > 1− nx, ∀0 6 x 6 1, ∀n ∈ N,

come si vede facilmente, si ottiene infine che

e−t −�

1− t

n

�n6 e−t

�1−

�1− n

t2

n2

��=e−tt2

n.

3.4.24 Applicazioni della rappresentazione al calcolo di integrali

Dalla rappresentazione integrale si deducono immediatamente alcune formule notevoli di calcolo di integrali. La piucelebre e sicuramente la seguente:

√π = Γ

�1

2

�=

Z +∞

0

t−12 e−t dt

t=x2

= 2

Z +∞

0

e−x2dx, =⇒

Z +∞

0

e−x2dx =

√π

2.

75

Piu in generale, se α > 0 si ottieneZ +∞

0

e−xα

dxt=xα

=

Z +∞

0

e−t1

αt

1α−1 dt =

1

αΓ

�1

α

�.

E interessante mostrare come attraverso la funzione Γ si possa esprimere la formula di calcolo dell’area di unasuperficie sferica n dimensionale. A tal fine utilizzeremo la nozione di integrale multiplo che verra introdotta in corsisuccessivi. Il lettore puo comunque comprendere i passaggi pur senza disporre del rigore formale dei concetti poichesi basano su formule del tutto naturali.

Chiamiamo dunque

Sn−1 :=

((x1, . . . , xn) ∈ Rn :

nXk=1

x2k = 1

).

Osserviamo che, se chiamiamo Sn−1 l’area della superficie sferica,

Sn−1 =

ZSn−1

dσn−1(x).

Ora: consideriamo l’integraleR

Rn e−‖x‖2 dx. Da un lato

ZRne−‖x‖

2dx =

ZRn

nYk=1

e−x2k dx =

nYk=1

Z +∞

−∞e−x

2k dxk = π

n2 .

Dall’altro ZRne−‖x‖

2dx =

Z +∞

0

ZPnk=1 x

2k=r2

e−‖x‖2dσn−1(x)

!dr = Sn−1

Z +∞

0

e−r2rn−1 dr

= Sn−1

Z +∞

0

e−ttn−1

21

2√tdt

=Sn−1

2

Z +∞

0

e−ttn2−1 dt

=Sn−1

2Γ�n2

�.

Pertanto

Sn−1 =2π

n2

Γ(n2).

In particolare allora

Vol(B(0, R]) =

Z R

0

Area(rSn−1) dr =

Z R

0

Sn−1rn−1 dr =

Sn−1

nRn =

πn2

n2Γ(n

2)Rn =

πn2 Rn

Γ(n2

+ 1).

3.4.25 Formula di Stirling

Attraverso la rappresentazione integrale (3.4.23) e possibile ottenere il comportamento asintotico di Γ(x)per x→ +∞. In particolare ne segue il comportamento del fattoriale rispetto ad altri infiniti fondamentali.Questa formula e molto utile nelle applicazioni e la dimostrazione e interessante poiche impiega una tecnicache ricorre spesso nello studio del comportamento asintotico di integrali. Per capire la sostanza facciamoalcune considerazioni preliminari: sia

Γ(x + 1) =∫ +∞

0

ex log t−t dt =:∫ +∞

0

eφ(t) dt,

76

dove naturalmente φ(t) = x log t− t (quindi φ dipende anche dal ”parametro” x). Osserviamo che per x > 0il grafico di t 7−→ eφ(t) e quello di una funzione nulla agli estremi di ]0,+∞[ ed essendo(

eφ(t))′

= eφ(t)φ′(t) = eφ(t)(x

t− 1)

,

tale funzione cresce su ]0, x] e decresce su [x,+∞[, cioe e una sorta di ”campana”. E naturale aspettarsiche gran parte del contributo all’integrale (a Γ cioe) verra dato nell’intorno del massimo. Per la formula diTaylor φ(t) = φ(x) + φ′(x)(t− x) + φ′′(x)

2 (t− x)2 + o(t− x)2 ≈ φ(x)− 12x (t− x)2, cosı che e naturale scrivere

Γ(x + 1) ≈∫ +∞

0

eφ(x)− 12x (t−x)2 dt = ex log x−x

∫ +∞

−x

e−ξ2

2x dξ ≈ xxe−x

∫ +∞

−∞e−

ξ2

2x dξ ≈ xxe−x√

2πx.

Naturalmente i passaggi vanno giusificati (ma questo e un problema tecnico, sebbene tutt’altro che ele-mentare!), pero la formula suggerita da questa deduzione euristica e corretta:

Teorema 3.4.26 (Stirling, 1730(2)).

Γ(x + 1) ∼+∞xx√

2πx

ex. (3.4.26)

In particolare: n! ∼ e−nnn√

2πn.Dim. — Anzitutto, con opportuni cambiamenti di variabile centriamo la ”campana” di cui nella premessa nelpunto t = 0: se x > 0

Γ(x+ 1) =

Z +∞

0

ex log t−t dt =

Z +∞

0

ex(logtx

+log x− tx ) dt = xx+1

Z +∞

0

ex(log t−t) dt = xx+1e−xZ +∞

−1

ex(log(1+t)−t) dt

Come si vede facilmente ora il punto di massimo della campana e in t = 0. Introduciamo ora i punti αx < 0 < βxche fisseremo inseguito e decomponiamo l’integraleZ +∞

−1

=

Z αx

−1

+

Z βx

αx

+

Z +∞

βx

.

Vogliamo ora determinare αx e βx di modo tale che il contributo maggiore venga dal pezzo centrale ed inoltreαx, βx ≈ 0. Scriviamo

log(1 + t)− t =t2

2− t3

3+ o(t3) =

t2

2+ δ(t3).

Allora Z βx

αx

ex(log(1+t)−t) dt =

Z βx

αx

e−(√xt)2

2 +δ( 3√xt)3 dts=√xt

=1√x

Z √xβx

√xαx

e−s22

�eδ(x

− 16 s)3 − 1 + 1

�ds

=1√x

Z √xβx

√xαx

e−s22 ds+

1√x

Z √xβx

√xαx

e−s22

�eδ(x

− 16 s)3 − 1

�ds.

Osserviamo che se√xαx −→ −∞ e

√xβx −→ +∞ (questo significa αx, βx non devono andare a 0 troppo rapidamente)

allora1√x

Z √xβx

√xαx

e−s22 ds ∼ 1√

x

√2π.

D’altra parte, se aggiungiamo la richiesta che 3√xαx −→ 0 e 3

√xβx −→ 0 abbiamo che, per

√xαx 6 s 6

√xβx, =⇒ x

13 βx = x−

16 x

12αx 6 x−

16 s 6 x−

16 x

12 βx = x

13 βx

2Ovviamente la prima versione era la stima asintotica di n! per n ∈ N e non era basata sulla rappresentazione integrale.

77

cosı che, per x > R0(ε) si avra ����eδ(x− 16 s)3 − 1

���� 6 ε, ∀s ∈ [√xαx,

√xβx], ∀x > R0(ε),

Questo afferma che ����� 1√x

Z √xβx

√xαx

e−s22

�eδ(x

− 16 s)3 − 1

�ds

����� 6ε√

2π√x.

Osserviamo che le condizioni suddette su αx e βx sono verificate se, per esempio, αx = − 1xα

con 13< α < 1

2e βx = 1

xβ

sempre con 13< β < 1

2.

Maggioriamo ora i rimanenti integrali. Ricordato che log(1 + s)− s↗ su ]− 1, 0] abbiamo subito che

0 6Z αx

−1

ex(log(1+s)−s) ds 6 ex(log(1+αx)−αx) ∼ e−xα2x2 = e−

12 (√xαx)2 = o

�1√x

�,

con la scelta detta sopra. Passiamo al secondo integrale: visto che s 7−→ log(1 + s) − s2−→ −∞ per s −→ +∞ ci

sara un s0 > 0 tale che log(1 + s)− s 6 − s2

per ogni s > s0. Inoltre s 7−→ log(1 + s)− s↘ su [0,+∞[. Pertanto

0 6Z +∞

βx

ex(log(1+s)−s) ds 6Z s0

βx

ex(log(1+βx)−βx) ds+

Z +∞

s0

e−x2 s ds 6 s0e

x(log(1+βx)−βx) +2

xe−

s02 x

∼ s0e− 1

2 (√xβx)2 +

2e−s02 x

x= o

�1√x

�.

Dunque, in conclusione,

Γ(x+ 1) = xx+1e−x�√

2π√x

+ o

�1√x

��∼ xxe−x

√2πx.

78

Capitolo 4

Alcuni interessanti problemi

4.1 Introduzione

In quest’ultimo capitolo mostriamo l’applicazione ad alcuni classici problemi originati da vari ambiti piu o menoapplicativi di alcuni dei risultati visti nei capitoli precedenti. Si sono scelte applicazioni non banali e naturalmenteseguendo un gusto del tutto opinabile. . .

4.2 Cenni alla funzione Zeta di Riemann

Abbiamo gia introdotto la notazione

ζ(x) :=

∞Xn=1

1

nx, x > 1,

che prende il nome di funzione Zeta di Riemann. Questa funzione ricopre un ruolo molto importante nella modernateoria dei numeri (essenzialmente fondata dallo stesso Riemann), ovvero dello studio della struttura dei numerinaturali con particolare attenzione ai numeri primi. Per quanto la nozione di numero primo sia apparentemente deltutto elementare e per quanto gia Euclide avesse dimostrato che di numeri primi ce ne sono infiniti, e tutt’altro cherisolto il problema generale della loro costruzione e distribuzione tra i naturali.

Il motivo essenziale per cui la Zeta e strettamente legata alla struttura dei numeri primi e il seguente risultatodovuto ad Eulero:

Teorema 4.2.1 (Eulero).

ζ(x) =1Q

p∈P

�1− 1

px

� , ∀x > 1, (4.2.1)

dove P e l’insieme dei numeri primi.Dim. — La dimostrazione e semplicissima e si basa sulla seguente osservazione:

ζ(x)�1− 2−x

�= ζ(x)− 1

2xζ(x) =

Xn≥1

1

nx−Xn≥1

1

(2n)x=

Xn≥1, 2 6|n

1

nx.

Ma allora �ζ(x)− 1

2xζ(x)

�− 1

3x

�ζ(x)− 1

2xζ(x)

�=

Xn≥1, 2 6|n

1

nx−

Xn≥1, 2 6|n

1

(3n)x=

Xn≥1, 2 6|n, 3 6|n

1

nx.

cioe

ζ(x)�1− 2−x

� �1− 3−x

�=

Xn≥1, 2 6|n, 3 6|n

1

nx.

79

80

Iterando il procedimento, se p1, p2, . . . sono i numeri primi nell’ordine (cioe p1 = 2, p2 = 3, etc.) allora

ζ(x)

kYj=1

�1− p−xj

�=

Xn≥1, p1,...,pk 6|n

1

nx= 1 +

Xn≥pk+1, p1,...,pk 6|n

1

nx. (4.2.2)

Facendo tendere k a +∞, essendo pk −→ +∞ si ha che

0 6X

n≥pk+1, p1,...,pk 6|n

1

nx6

Xn≥pk+1

1

nx−→ 0,

in quanto resto di serie convergente, da cui la conclusione.

Osserviamo che dalla (4.2.1) sembra naturale poter concludere che

+∞ = ζ(1) =Yp

�1− 1

p

�−1

= e−Pp log

�1− 1

p

�≈ e

−Pp −

1p = e

Pp

1p ,

da cuiPp

1p

= +∞.

Esercizio 4.2.2. Rendere rigoroso il ragionamento precedente e dimostrare effettivamente chePp

1p

= +∞.

Nello spirito di quanto appena detto e semplice fornire una stima del comportamento per x −→ 1+ di ζ(x). A talfine basta osservare che

1

(n+ 1)x<

Z n+1

n

1

txdt <

1

nx.

Sommando su n si ottiene

ζ(x)− 1 <

Z +∞

1

1

txdt < ζ(x), ∀x > 1.

Ma Z +∞

1

t−x dt =

�t−x+1

−x+ 1

�t=+∞

t=1

=1

x− 1,

da cui1

x− 1< ζ(x) <

1

x− 1+ 1, ∀x > 1. (4.2.3)

Esercizio 4.2.3. Dedurre dai fatti precedenti l’esistenza di infiniti numeri primi. (sugg.: se ce ne fosse solo unnumero finito allora, dalla (4.2.1) passando al limite per x −→ 1+. . . )

In altri termini, la (4.2.1) puo essere pensata come la versione ”analitica” del teorema di Euclide. Ora, prendendo ilogaritmi nella (4.2.1) si trova

log ζ(x) = −Xp

log

�1− 1

px

�= −

Xp

�− 1

px+ o

�1

px

��.

Proposizione 4.2.4. Xp

1

px= log

1

x− 1+O(1), (x −→ 1+). (4.2.4)

(ricordiamo che O(1) e una quantita limitata per x −→ 1+).

Dim. — Esercizio.

81

La (4.2.4) e importante perche fornise una prima connessione con la piu importante funzione associata ai numeriprimi, vale a dire

π(t) := ]{p ∈ P : p 6 t} =Xp6t

1.

Uno dei problemi piu rilevanti e quello del comportamento asintotico di π(t) per t −→ +∞ che dovrebbe, approssima-tivamente, fornire il numero di numeri primi 6 t per t grande. Il primo a fornire una congettura sul comportamentodi π fu Gauss che ipotizzo π(x) ∼+∞

tlog t

. Un risultato parziale in tal senso venne dimostrato da Cebishev che provoche

0 < lim inft

π(t)t

log t

6 1 6 lim supt

π(t)t

log t

< +∞.

Infine Hadamard e, indipendentemente, de la Vallee Poussin nel 1896 dimostrarono che effettivamente la congetturadi Gauss era corretta. Qui non dimostreremo questo teorema (che viene detto teorema dei numeri primi) poichela dimostrazione e troppo lunga e complessa per essere riprodotta qui. Ci limiteremo a qualche considerazione cheinduce a ritenere la congettura di Gauss sensata.

Anzitutto osserviamo che

Proposizione 4.2.5.

x

Z +∞

1

π(t)t−1−x dt = log1

x− 1+O(1). (4.2.5)

Dim. — Si tratta di fatto di osservare che

1

px= x

Z +∞

p

1

tx+1dt, =⇒

Xp

1

px= x

Xp

Z +∞

p

t−1−x dt = xXp

Z +∞

1

χ[p,+∞[(t)t−1−x dt,

dove χ[p,+∞[(t) e la funzione caratteristica di [p,+∞[ (cioe vale 1 se e solo se t ∈ [p,+∞[). Ammettendo che si possa

scambiare la somma con l’integrale(1) abbiamo

Xp

1

px= x

Z +∞

1

Xp

χ[p,+∞[(t)t−1−x dt = x

Z +∞

1

π(t)t−1−x dt.

Da cio la conclusione e evidente.

Formalmente dunque

x

Z +∞

1

π(t)t

log t

t−x

log tdt = log

1

x− 1+O(1)

Chiamiamo ϕ(t) := π(t)t

log te notiamo facilmente che la precedente implica che

Z +∞

2

ϕ(t)t−x

log tdt = log

1

x− 1+O(1).

Ora, osservato cheR +∞2

ϕ(t) t−x

log tdt =

R +∞2

(ϕ(t)− 1) t−x

log tdt+

R +∞2

t−x

log tdt. Risulta che

I(x) :=

Z +∞

2

t−x

log tdt = log

1

x− 1+O(1).

Lasciamo questa verifica come esercizio. Se ne ricava che

Z +∞

2

π(t)t

log t

− 1

!t−x

log tdt = O(1).

1I teoremi di passaggio al limite visti nel capitolo sulla convergenza uniforme non sono sufficienti poiche richiedono uncontrollo di π che e proprio cio che si cerca di stabilire. . . Il passaggio e garantito dalla versione per gli integrali del teoremadella convergenza monotona 1.7.38.

82

Ma allora non possono esistere ne una costante α < 0 tale che

π(t)t

log t

− 1 < α, definitivamente per t −→ +∞,

ne una costante β > 0 tale che

π(t)t

log t

− 1 > β, definitivamente per t −→ +∞.

In altre parole,

∀c < 1 < C, c <π(t)t

log t

,π(t′)t′

log t′

< C, per valori t, t′ arbitrariamente grandi.

Questo non e il teorema dei numeri primi, ma suggerisce che la congettura sia buona.

4.2.6 Legame con la Gamma

La funzione Zeta e legata alla Gamma. Per mostrare cio osserviamo che se n ∈ N, n > 0,

Z +∞

0

tx−1e−nt dtnt=s=

Z +∞

0

� sn

�x−1

e−s1

nds =

1

nx

Z +∞

0

sx−1e−s ds =Γ(x)

nx.

Pertanto, sommando su n, si ottiene

Γ(x)ζ(x) =

∞Xn=1

Z +∞

0

tx−1e−nt dt.

Possiamo ora passare al limite sotto l’integrale generalizzato (ved. proposizione 2.3.12, caso delle serie). Infatti: dettaSn(x) la somma parziale n−esima,

Sn(t) :=

nXk=1

tx−1e−kt = tx−1

nXk=0

e−kt − 1

!= tx−1

�1− e−(n+1)t

1− e−t− 1

�= tx−1e−t

1− e−nt

1− e−t6 tx−1 e−t

1− e−t.

Ora la funzione g(t) := tx−1 e−t

1−e−t e di fatto prolungabile per continuita in t = 0 essendo

g(t) = tx−1 1 + o(1)

t+ o(t)∼0+ tx,

che e continua in 0 da destra (qui x > 1). Resta il controllo a +∞: basta osservare che per ogni x > 1 fissato troviamosenz’altro una costante Cx tale che

tx−1 6 Cxet2 .

Infatti limt→+∞ e−t2 tx−1 = 0 (per esempio cio segue dalla iii) del teorema 3.2.14) ed essendo t 7−→ tx−1e−

t2 ∈

C([0,+∞[) da cio segue che e anche limitata (come conseguenza del teorema di Weierstrass), e quindi supt>0 tx−1e−

t2 =:

Cx < +∞. In conclusione:

0 6 Sn(t) 6 Cxe−t2

1− e−t6

Cx1− e−1

e−t2 , t −→ +∞

che e integrabile. Di conseguenza si puo scrivere

ζ(x)Γ(x) =

Z +∞

0

tx−1∞Xn=1

e−nt dt =

Z +∞

0

tx−1 e−t

1− e−tdt =

Z +∞

0

tx−1

et − 1dt.

Questa formula (dovuta a Riemann) e importante e gioca un ruolo fondamentale anche nella dimostrazione delteorema dei numeri primi.

83

4.3 Il problema della sposa. . .

Questo e un classico problema del calcolo delle probabilita da cui derivano una serie di varianti (ved. Gilbert &Mosteller [3]). Ovviamente la formulazione del problema e indifferente al cambio di parti tra i sessi.

Un uomo ha la possibilita di scegliersi come sposa una tra n candidate in base ad un proprio criterio personaledi preferenza rispetto al quale supponiamo che le candidate siano tutte diverse tra loro. L’unica regola e che unavolta scartata una candidata non puo piu sposarla. Come dovrebbe fare per massimizzare la probabilita di sposare lamigliore?

Il problema ha evidentemente una formulazione complessa. Si tratta infatti di individuare, tra tutte le possibilistrategie di scelta (cioe tra quelle che sono compatibili con le regole del gioco) quella (se esiste) che massimizzala probabilita di operare la scelta migliore. Per esempio, una strategia possibile e quella mistica(2) basata sulloscegliere la i−esima candidata: con tale strategia evidentemente la probabilita di scegliere la migliore e, detto n ilnumero di candidate, 1

n. Naturalmente questa e la strategia piu semplice possibile e non tiene in alcun modo conto

dell’informazione che visionando la i−esima candidata si conoscono le candidate precedenti. Tale informazione puovenire utilizzata osservando che dopo aver visto i−1 candidate qualsiasi criterio di scelta che non confronti la i−esimacon la migliore delle precedenti e sicuramente ”perdente”. In altre parole, una strategia che scelga la i−esima sapendoche e peggiore delle precedenti ha probabilita nulla di vincere (e quindi peggio della strategia mistica!). Dunque leuniche strategie di qualche interesse devono, necessariamente, condizionare la scelta sulla i−esima al fatto che siamigliore delle precedenti.

Per capire meglio la faccenda facciamo qualche ”esperimento”. Consideriamo il caso di n = 4 candidate. In-dichiamo con 1, 2, 3, 4 dei gradi che vadano dalla migliore alla peggiore. In tutto ci sono n! = 4! = 24 possibiliordinamenti:

1234 2134 3124 41231243 2143 3142 41321324 2314 3214 42131342 2341 3241 42311423 2413 3412 43121432 2431 3421 4321

Consideriamo una strategia del tipo si lasciano passare k candidate e poi si sceglie la prima migliore di tutte leprecedenti (in caso non ce ne sia nemmeno una si sceglie l’ultima). Osserviamo i valori corrispondenti delle probabilita(calcolati come rapporto tra casi favorevoli nei quali si sceglie la migliore e casi possibili):

k = 1, p1 = 1124,

k = 2, p2 = 1124,

k = 3, p3 = 624.

Come si vede ci sono strategie che portano quasi al 50% le probabilita di scegliere la migliore. E possibile faremeglio? Ed e possibile fornire una formula generale in funzione di n? Mostriamo anzitutto che le strategie del tipodell’esempio sono effettivamente quelle migliori. A tal fine siano

pi := P (la migliore e tra le prime i candidate) ,

qi := P (scegliere la migliore in assoluto con la migliore strategia possibile dalla i+ 1− esima in poi) .

Chiaramente pi = in; altrettanto chiaramente q0 e il numero che stiamo cercando. Evidentemente pi ↗ mentre qi ↘

e qn−1 = 1n. Dunque deve esistere un k ∈ {1, . . . , n} tale che

pk−1 6 qk−1 6 pk.

Pertanto, giunti al passo k (ammesso di sapere quanto vale), qualunque strategia che coinvolga scelte dopo la k−esimanon aumenta le nostre probabilita di successo; d’altro canto fino al passo k− 1 vi e ancora la possibilita che la sceltapossa essere migliore. Ma allora la strategia di scelta migliore (qualunque essa sia) deve lasciar passare k−1 candidate,

2Il vero giocatore ha una sua numerologia particolare per cui crede a priori che la seconda (per esempio) sia quella giusta. . .

84

cioe l’opzione di scelta va esercitata dalla k−esima candidata in poi. Non solo: la probabilita che la migliore sia dallak−esima in poi e minore che lo sia tra le prime k. Mettendo tutto assieme se ne deduce che la strategia che ottimizzala scelta consiste nello scegliere la prima che sia migliore delle prime k. Calcoliamo ora la probabilita Pk di scegliereeffettivamente la migliore in assoluto con una strategia di questo tipo. Chiaramente

Pk =

nXj=k

P (la migliore e la j − esima e la k, k + 1, . . . j − 1 sono peggio delle prime k − 1) =

nXj=k

Pj,k

Per alleggerire la notazione indichiamo con Xi il posto in graduatoria della i−esima candidata. Dunque

Pj,k = P (Xj = 1, Xk, . . . , Xj−1 > min{X1, . . . , Xk−1}) .

Poiche stiamo assumendo che tutti gli ordinamenti siano equiprobabili il posizionamento della j−esima e indipendenteda quello delle precedenti cosı che

Pj,k = P (Xj = 1) P (Xk, . . . , Xj−1 > min{X1, . . . , Xk−1}) =1

nP (Xk, . . . , Xj−1 > min{X1, . . . , Xk−1}) .

Quest’ultima probabilita e la probabilita che dati i posizionamenti delle prime j − 1 candidate la migliore di questesia tra le prime k − 1: tale probabilita e chiaramente k−1

j−1. Di conseguenza

Pk =

nXj=k

1

n

k − 1

j − 1=k − 1

n

n−1Xj=k−1

1

j.

Cio ovviamente ha senso per k > 1. D’altra parte P1 = 1n

come detto sopra. Allora il k ottimale e il primo per cui siha

k

n>k − 1

n

n−1Xj=k−1

1

j>k − 1

n, ⇐⇒ 1 <

n−1Xj=k−1

1

j<

k

k − 1= 1 +

1

k − 1, ⇐⇒ 1− 1

k − 1<

n−1Xj=k

1

j< 1.

Vediamo cosa succede quando n −→ ∞. Chiaramente il k = k(n) corrispondente deve tendere ad ∞ in virtu delladivergenza della serie

Pj

1j. Ricordata la formula di Eulero–Mascheroni (1.6.2)

n−1Xj=k

1

j=

n−1X1

1

j−k−1X1

1

j= log(n− 1) + γ + εn − log(k − 1)− γ − εk = log

n− 1

k − 1+ εk,n,

dove εk,n −→ 0 per k, n −→∞. Allora

1− 1

k(n)− 1< log

n− 1

k(n)− 1+ εn < 1, =⇒ lim

n→+∞log

n− 1

k(n)− 1= 1, ⇐⇒ n

k(n)∼ e, ⇐⇒ k(n) ∼ n

e.

Cio significa che per n molto grande bisogna lasciar passare circa il 37% delle candidate e poi scegliere la primamigliore delle precedenti. Con tale scelta la probabilita di scegliere la migliore e

Pk(n) =k(n)− 1

n

�log

n− 1

k(n)− 1+ εn

�−→ 1

e,

cioe e circa il 37%!

4.4 Il teorema del limite centrale

Ecco un classico problema del calcolo delle probabilita (detto passeggiata aleatoria ovvero il procedere di un ubriaco).Una particella si muove lungo una retta, partendo dall’origine, seguendo la seguente regola: ad ogni istante lancia unamoneta; se esce testa si muove di verso destra di un’unita, altrimenti si muove di verso sinistra sempre di un’unita.

85

La moneta e perfetta per cui la probabilita p che esca testa o croce e pari ad 12. Indichiamo con Xn lo spostamento

n−esimo (Xn = 1 se esce testa, Xn = −1) se esce croce) e con

Sn := X1 + . . .+Xn,

lo spostamento totale. In altre parole: la probabilita che Xk valga ±1 e 12, e scriveremo brevemente P(Xk = ±1) = 1

2.

In termini un po’ generici il problema e il seguente: cosa possiamo dire dello spostamento dopo n passi quando ndiventa grande?

Naturalmente la posizione Sn dopo n passi dipende dalla sequenza di n lanci di moneta per cui una descrizione”deterministica” perde di significato non appena n diventa grande visto che dovremmo analizzare 2n sequenze dilanci molte delle quali producono lo stesso spostamento. In virtu di cio appare piu sensato stabilire un qualche tipodi risultato di tipo ”probabilistico”. Per esempio possiamo facilmente calcolare lo spostamento medio(3)

E[Sn] = E[X1 + . . .+Xn] = E[X1] + . . .+ E[Xn].

Qui stiamo dando per buone alcune proprieta del valore medio tra cui il fatto che il valore medio di una somma e lasomma dei valori medi. Ora

E[Xk] = 1 · P(Xk = `) + (−1) · P(Xk = −`) =1

2− 1

2= 0.

Dunque E[Sn] = 0 com’e naturale che sia. Una seconda quantita interessante e il cosiddetto scarto quadratico mediodi Sn, vale a dire detta mn := E[Sn] (= 0), calcolare σn := E[(Sn −mn)2]. Questa quantita ci puo dare un idea delladeviazione dalla posizione media dopo n passi. Dunque, nel caso in questione,

σn = E[S2n] = E

�(X1 + . . .+Xn)2

�= E

24 nXk=1

X2k +

Xk 6=h

XhXk

35 =

nXk=1

E[X2k ] +

Xk 6=h

E[XhXk].

Chiaramente

E[X2k ] = 12P(Xk = 1) + (−1)2P(Xk = −1) = 1.

Inoltre

E[XhXk] = 12P(Xh = 1, Xk = 1) + 1(−1)P(Xh = 1, Xk = −1) + (−1)1P(Xh = −1, Xk = 1)

+(−1)(−1)P(Xh = −1, Xk = −1).

Osserviamo che P(Xh = a, Xk = b) e la probabilita che riguarda il lancio di due monete. Prendendo spunto da quantosuccede nella realta appare naturale assumere che tale probabilita valga 1

4in ogni caso. Ne segue che E[XhXk] = 0 e

di conseguenza

σn = E[S2n] = n.

Morale: in media la particella non si sposta, anche se man mano che n aumenta la particella puo allontanarsi dimolto. Tutto cio e ovviamente comprensibile. Possiamo dire molto di piu in realta.

Per cominciare e immediato osservare che in realta non tutte le posizioni sono raggiungibili dopo n passi. Chiara-mente Sn ∈ Z ed anzi |Sn| 6 n. Ovviamente anche Sn ∈ {−n,−n + 2, . . . , n − 2, n}. Di piu: possiamo calcolareP(Sn = k) per ogni k ∈ {−n,−n+ 2, . . . , n− 2, n}. Infatti si ha la

Proposizione 4.4.1.

P(Sn = k) =1

2n

�nn+k

2

�, ∀k ∈ {−n,−n+ 2, . . . , n− 2, n}.

Dim. — Anzitutto

P(Sn = k) =] cammini da 0 a k di n passi

] cammini di n passi=:

C(n, k)

C(n).

3La lettera E deriva dal termine inglese expectation, ovvero valore atteso, con cui nella teoria del calcolo delle probabilita siusa indicare il valore medio.

86

Chiaramente C(n) = 2n. Per calcolare C(n, k) osserviamo che se al passo n il cammino si trova in k, al passo n− 1si trova in k ± 1: in altre parole

C(n, k) = C(n− 1, k − 1) + C(n− 1, k + 1)

= C(n− 2, k − 2) + C(n− 2, k) + C(n− 2, k) + C(n− 2, k + 2)

= C(n− 2, k − 2) + 2C(n− 2, k) + C(n− 2, k + 2)

= C(n− 3, k − 3) + 3C(n− 3, k − 1) + 3C(n− 3, k + 1) + C(n− 3, k + 3)...

=

nXj=0

�nj

�C(0, n+ k − 2j).

Ma C(0, h) = 0 se h 6= 0 mentre C(0, 0) = 1. Di conseguenza la somma precedente e composta di termini nulli aparte il caso in cui n+ k − 2j = 0 ovvero, j = n+k

2. Da cio segue subito la conclusione.

Esercizio 4.4.2. Applicando la formula di Stirling mostrare che P(Sn = k) −→ 0 per n −→ +∞ per ogni k.

Il punto interessante e che se si ”riscalano” opportunamente gli spostamenti si ottiene un comportamento del tuttonon banale. A tal fine supponiamo ora che, fissato n, gli spostamenti abbiano ampiezza pari ad 1√

n. Cio significa

considerare

Sn :=

nXk=1

Xn√n

=Sn√n.

Chiaramente ancora E[Sn] = 0 mentre adesso

EhS2n

i= E

�S2n

n

�= 1.

Si noti che Sn ∈ {−√n, . . . ,

√n} quindi, in ogni caso, la particella puo anche allontanarsi notevolmente dall’origine

(anche se in media lo spostamento sara nullo). Tuttavia si ha il

Teorema 4.4.3 (De Moivre–Laplace).

limn→∞

P�a 6

Sn√n

6 b

�=

1

2π

Z b

a

e−x22 dx, ∀a < b.

Dim. — Osserviamo anzitutto che

P�a 6

Sn√n

6 b

�= P

�a√n 6 Sn 6 b

√n�

=X

k∈{−n,−n+2,...,n−2,n}, a√n6k6b

√n

P(Sn = k)

=X

k∈{−n,−n+2,...,n−2,n}, a√n6k6b

√n

1

2n

�nn+k

2

�

=X

k∈{−n,−n+2,...,n−2,n}, a√n6k6b

√n

1

2nn!�

n+k2

�!�n−k

2

�!.

In virtu della formula di Stirling (3.4.26) abbiamo che `!

``+ 1

2 e−`√

2π= 1 + o(1) (dove o(1) −→ 0 per ` −→ +∞).

Pertanton!�

n+k2

�!�n−k

2

�!

=nn+ 1

2 e−n√

2π�n+k

2

�n+k2 + 1

2 e−n+k

2√

2π�n−k

2

�n−k2 + 1

2 e−n−k

2√

2π(1 + o(1))

=2n+1

√2πn

1�1 + k

n

�n+k2�1− k

n

�n−k2

(1 + o(1)).

87

Osserviamo che essendo a√n 6 k 6 b

√n si ha in particolare che n± k = n

�1± k

n

�= n(1 + o(1)) cosı che la formula

di Stirling e effettivamente applicabile ai vari termini di cui sopra. Inoltre

�1 +

k

n

�n+k2�

1− k

n

�n−k2

= en+k

2 log(1+ kn )+n−k

2 log(1− kn ) = e

n+k2

�kn− k2

2n2 +o

�k2

n2

��+n−k

2

�− kn− k2

2n2 +o

�k2

n2

��

= ek22n+o(1).

Riassumendo

P�a 6

Sn√n

6 b

�=

1√2π

Xk∈{−n,−n+2,...,n−2,n}, a

√n6k6b

√n

2√ne−

�k√n

�2

2 (1 + o(1)). (4.4.1)

Il passo finale e riconoscere nella (4.4.1) una somma integrale. Invero essa e data dalla suddivisione dell’intervallo[a, b] tramite i punti k√

nche per k ∈ {−n,−n + 2, . . . , n − 2, n} e per n sufficientemente grande (cioe tale che

−√n 6 a < b <

√n) invadono tutto [a, b]. In altri termini, posto xj = −n+2j√

ncon j = 0, . . . , n, xj+1 − xj = 2√

ne

presa f(x) := e−x22 si ha allora

Xk∈{−n,−n+2,...,n−2,n}, a

√n6k6b

√n

2√ne−

�k√n

�2

2 =Xj

f(xj)(xj+1 − xj) −→Z b

a

f(x) dx =

Z b

a

e−x22 dx.

Da cio si conclude facilmente.

4.5 Limite semiclassico in meccanica quantistica

Anticipando un po’ i tempi vogliamo qui introdurre ad un problema che non utilizza strettamente quanto visto inprecedenza ma che si fonda su una generalizzazione del metodo incontrato con la formula di Stirling: lo studio delcomportamento asintotico di un integrale dipendente da un parametro che diventa grande, con particolare attenzionead integrali del tipo Z +∞

−∞ϕ(y)eiλψ(y) dy, λ −→ +∞. (4.5.1)

Questo tipo di problema ricorre in numerosi ambiti e varie forme per cui, oltre ad avere un interesse intrinseco, hauna certa rilevanza.

4.5.1 Il problema fisico

Vediamo come nasce questo tipo di problema da un ambito fisico (che non e senz’altro il piu elementare ma esicuramente molto interessante). Nella teoria quantistica (nata per descrivere il moto delle particelle atomiche) ladescrizione ordinaria (newtoniana) del moto, basata sulla coppia (posizione,velocita) (che, secondo le convezioni dellameccanica, viene indicata con (q, p)), viene meno. Il celebre principio di indeterminazione di Heisenberg affermainfatti che, dette δq e δp le approssimazioni con cui vengono determinati q e p rispettivamente, si ha

(δq)(δp) >~2, dove ~ = 1, 054× 10−34 Js e la costante di Dirac.

In particolare non e possibile ottenere δq = 0 o δp = 0 ed inoltre se δq e molto piccolo allora δp deve essere sufficien-temente grande (e viceversa). Relativamente alle dimensioni fisiche dell’esperienza comune questa indeterminatezzae del tutto ininfluente; in ambito atomico invece diventa rilevante.

L’emergere di questo ed altri ”strani” fenomeni riguardanti il livello atomico ha portato, nella prima meta del’900, allo straordinario sviluppo parallelo della meccanica quantistica (nella fisica) e dell’analisi funzionale (nellamatematica). Precisamente, l’analisi funzione e l’ambito (infinito dimensionale) nel quale vengono formalizzati iproblemi della meccanica quantistica. Non a caso uno dei nomi piu importanti della scienza del ’900 e quello di John

88

von Neumann, di cui consigliamo senz’altro la lettura del bellissimo libro [4]. Le basi per una simile formalizzazionevennero poste essenzialmente da Dirac e Schrodinger i quali introdussero la nozione di funzione d’onda, associata adogni particella e descrivente la probabilita di trovare la particella in una certa zona dello spazio.

Per fissare le idee ci limitiamo al caso in cui lo spazio fisico sia unidimensionale, cioe sia R. Una funzione d’onda(detta anche, piu brevemente, stato) e allora una ϕ : R −→ C tale che |ϕ|2 : R −→ R+ rappresenti la densita diprobabilita: precisamente

Z +∞

−∞|ϕ(x)|2 dx = 1,

Z b

a

|ϕ(x)|2 dx ≡ P (la particella ∈ [a, b]) .

La ragione per cui la funzione d’onda deve essere una funzione a valori complessi e solo il suo modulo al quadratofornisca la probabilita e legata al fatto che le principali equazioni della teoria coinvolgono ϕ e non |ϕ|2 (la quale,come detto, fornisce pero l’interpretazione fisica). La piu importante di queste equazioni e senz’altro l’equazionedi Schrodinger, la quale descrive l’evoluzione nel tempo della funzione d’onda quando la particella di massa m siasottoposta ad un campo di forze generato da un potenziale V (che sara, nel contesto unidimensionale, un’ordinariafunzione V : R −→ R). Precisamente indicato con u(t, ·) lo stato del sistema al tempo t si ha che u deve soddisfarela seguente equazione a derivate parziali:

i~∂tu(t, x) = − ~2

2m∂xxu(t, x) + V (x)u(t, x). (4.5.2)

Qui ∂t indica la derivata parziale di u rispetto alla variabile t mentre ∂xx e la derivata parziale seconda di u rispetto adx. Non entriamo qui nel merito della derivazione dell’equazione di Schrodinger a partire dai postulati della MeccanicaQuantistica (che peraltro non abbiamo nemmeno fornito!). Tale equazione assume lo stesso ruolo dell’equazione diNewton mq(t) = F (q(t)), nel senso che, sotto certe ipotesi opportune, dato uno stato iniziale ϕ esiste un’unica”evoluzione” possibile ovvero che il problema di Cauchy

8><>:

i~∂tu(t, x) = − ~2

2m∂xxu(t, x) + V (x)u(t, x), t > 0, x ∈ R,

u(0, x) = ϕ(x), x ∈ R.

(4.5.3)

ammette un’unica soluzione u. Dimostrare rigorosamente risultati di questo tipo con potenziali di tipo fisico (peresempio con potenziali coulombiani) non e una faccenda proprio elementare. Un problema particolarmente importanteconsiste nel trovare formule di rappresentazione per la soluzione che ci dicano come essa dipenda dallo stato inizialeϕ. In alcuni casi ”semplici” tale calcolo puo essere fatto esplicitamente (sebbene sia tutt’altro che elementare)permettendo cosı di fare confronti tra la teoria e le osservazioni sperimentali. Un caso fondamentale e quello delmodello tridimensionale dell’atomo di idrogeno nel quale i risultati forniti dalla teoria confermano i dati sperimentalia meno di un errore di una parte su 108! Non c’e dunque alcun dubbio che la pur ”strana” teoria calzi bene perfornire una descrizione adeguata della realta fisica.

Tra i casi piu semplici per cui il calcolo di u puo essere fatto ”esplicitamente” (tra un momento diventera chiaroin che senso) vi e quello in cui il potenziale V sia quello di una forza elastica, cioe V (x) = κ

2x2: il sistema quantistico

corrispondente (una particella soggetta ad una forza elastica) prende il nome di oscillatore armonico. E troppo lungoda riprodurre qui per cui ci limitiamo alla conclusione la quale afferma che (prendendo per semplicita m = 1, κ = 1),

u(t, x) =

Z +∞

−∞ϕ(y)kt(x, y) dy, kt(x, y) =

1√i2π~ sin t

ei~St(x,y), St(x, y) =

(x− y)2

2cot t− xy tan

t

2. (4.5.4)

La funzione kt(x, y) viene detta propagatore mentre la S viene detta fase. Interpretando l’integrale come una somma,kt ci fornisce un modo di ”redistribuire” la distribuzione iniziale ϕ per seguire la dinamica. Chiaramente la formulaprecedente ha senso per t ∈]0, π

2[ e la radice al denominatore e intesa come la radice principale del numero complesso

i2π~ sin t.Un problema interessante e stabilire cosa succede quando ~ ↘ 0. Pensando al principio d’indeterminazione cio

significa rimuovere l’ostruzione dell’impossibilita di misurare esattamente posizione e velocita di una particella. Poichenella fisica classica (newtoniana) cio e cosı, e naturale attendersi che il sistema debba ”collassare” (in qualche senso)verso il sistema classico corrispondente (cioe una particella in moto newtoniano in un campo di forze elastiche).

89

Questo fatto avrebbe l’interpretazione che la meccanica newtoniana e deducibile da quella quantistica, fornendo cosıulteriore conferma della correttezza di quest’ultima.

Cerchiamo ora di capire come formalizzare il corsivo del capoverso precedente. Il primo passo e cercare di tradurreil linguaggio della fisica newtoniana nel paradigma della fisica quantistica. A tal fine osserviamo che se la particellasi muovesse secondo le leggi della fisica newtoniana la posizione q(s) risolverebbe l’equazione di Newton

mq(s) = F (q(s)), ⇐⇒ q(s) = −q(s) (m = 1, κ = 1).

La soluzione generale dell’equazione si ottiene per sovrapposizione delle soluzioni fondamentali sin s e cos s, ed e datada

q(s) = q(0) cos s+ q(0) sin s, s ∈ [0, t].

Dunque se per esempio al tempo s = 0 la particella si trova nel punto ξ con velocita iniziale nulla, al tempo s = tsi trovera nel punto q(t) = ξ cos t. A livello quantistico come detto sopra non hanno senso le distribuzioni ”certe”(concentrate in un punto) poiche detto ϕ lo stato iniziale, affinche corrisponda alla posizione certa delle particella nelpunto ξ bisognerebbe che

Z +∞

−∞|ϕ(x)|2 dx = 1,

Z b

a

|ϕ(x)|2 dx =

8<:

0, se ξ /∈ [a, b],

1, se ξ ∈ [a, b].(4.5.5)

Una simile ϕ non esiste (come anche l’intuizione suggerisce) e si deve proprio a Dirac l’introduzione del concetto difunzione generalizzata (successivamente matematicamente ripreso con la teoria delle distribuzioni) per indicare unatale funzione d’onda con il simbolo δξ. Nonostante cio tale notazione e suggestiva poiche suggerisce che, nel linguaggioquantistico, la fisica classica si rilegga come

|ϕ|2 = δξ, =⇒ |u(t, ·)|2 = δξ cos t. (4.5.6)

Prima di procedere occorre fare una precisazione. Sicuramente (al di la del fatto che non abbia senso rigoroso)scegliere ϕ tale che |ϕ|2 = δξ vuol dire rappresentare lo stato di una particella esattamente nella posizione ξ. Macosa dire sulla velocita della particella? Di fatto la condizione precedente lascia ancora un ”grado di liberta” su ϕ,poiche, per esempio, ogni eiωxϕ(x) svolge la stessa funzione. Non entriamo qui (per non complicare ulteriormente edinessenzialmente le cose) nel capire come la scelta di ω si colleghi alla velocita della particella.

Possiamo quindi formalizzare ora un po’ meglio il problema annunciato sopra:

|ϕ|2 = δξ, =⇒ lim~↘0

|u~(t, ·)|2 = δξ cos t? (4.5.7)

Abbiamo qui evidenziato la dipendenza della soluzione del problema di Cauchy (4.5.3) per l’equazione di Schrodingerdalla costante ~ poiche ci interessa proprio studiare il comportamento della soluzione al tendere di ~ a zero. Perrendere meno vago e piu preciso l’enunciato sostituiamo alle condizioni (4.5.5) le seguenti condizioni:

Z +∞

−∞|ϕ(x)|2 dx = 1,

Z νξ

µξ

|ϕ(x)|2 dx = 1, (4.5.8)

che affermano che la particella si trova con probabilita 1 nell’intervallo di estremi µξ e νξ (che e un intorno di ξ seµ, ν ∼ 1). Potremmo allora cercare di capire se

lim~↘0

Z νξ cos t

µξ cos t

|u~(t, x)|2 dx = 1. (4.5.9)

In ogni caso siamo portati allo studio per ~ ↘ 0 di

u~(t, x) =1√

i2π~ sin t

Z +∞

−∞ϕ(y)e

i~St(x,y) dy. (4.5.10)

90

4.5.2 Principio della fase stazionaria

Torniamo ora al caso generale di un integrale del tipo (4.5.1) tenendo in mente il caso prototipo esaminato nella sez.3.4.25 relativo alla funzione Γ. Il punto fondamentale in quella discussione era la ”concentrazione” dell’integrale inprossimita del massimo della funzione interna all’esponente. Nel caso in questione l’argomento e simile anche se simodifica un po’ essendo l’esponente dentro all’integrale

I(λ) :=

Z +∞

−∞ϕ(y)eiλψ(y) dy

un numero immaginario. Vediamo come. A tal fine supponiamo che ψ abbia un punto stazionario in y = y0 (cioeψ′(y0) = 0). Per la formula di Taylor allora

ψ(y) = ψ(y0) + ψ′(y0)(y − y0) +ψ′′(y0)

2(y − y0)

2 + o(y − y0)2 = ψ(y0) +

ψ′′(y0)

2(y − y0)

2 + o(y − y0)2.

Trascuriamo la parte di resto e scriviamo

I(λ) ≈Z +∞

−∞ϕ(y)e

iλ

�ψ(y0)+

ψ′′(y0)2 (y−y0)2

�dy = eiλψ(y0)

Z +∞

−∞ϕ(y)eiλ

ψ′′(y0)2 (y−y0)2 dy.

Nel caso della funzione Γ l’argomento a questo punto si basava sul fatto che se iλ −→ +∞ e ψ′′(y0) < 0 (cioe y0 e unmassimo per ψ), il fattore esponenziale e una stretta campana gaussiana centrata in y = y0 e quindi, poco lontanoda y0, il contributo all’integrale e insignificante, ovvero il valore dell’integrale e determinato solo dagli y ∼ y0 (indipendenza da λ). Nel caso attuale l’esponente e immaginario ma, per una ragione differente, possiamo immaginareche comunque il contributo maggiore all’integrale si trovi per i valori di y vicini ad y0. Infatti, a prescindere dal

segno di ψ′′(y0) (purche ψ′′(y0) 6= 0 pero), la funzione y 7−→ eiλψ′′(y0)

2 (y−y0)2 e rapidamente oscillante (sempre piu alcrescere di λ) mentre, se ϕ e una buona funzione (continua o poco piu), ad una piccola variazione di y corrispondeuna piccola variazione di ϕ(y). Morale: possiamo ritenere che abbastanza lontano da y0 nella somma integrale i

termini ϕ(y)eiλψ′′(y0)

2 (y−y0)2 si cancellino reciprocamente (piu o meno) e che, infine, l’unico contributo essenziale siaper valori y ≈ y0 (dove l’esponenziale unitario oscilla di meno). Sembra dunque plausibile cheZ +∞

−∞ϕ(y)eiλ

ψ′′(y0)2 (y−y0)2 dy ≈

Z y0+ε

y0−εϕ(y)eiλ

ψ′′(y0)2 (y−y0)2 dy ≈ ϕ(y0)

Z ε

−εeiλ

ψ′′(y0)2 y2 dy

Per terminare l’euristica si puo notare che

Z ε

−εeiλ

ψ′′(y0)2 y2 dy =

Z ε

−εeisgn(ψ′′(y0))

λ|ψ′′(y0)|2 y2 dy

z=

rλ|ψ′′(y0)|

2 y

=1q

λ|ψ′′(y0)|2

Z rλ|ψ′′(y0)|

2 ε

−rλ|ψ′′(y0)|

2 ε

e±iz2dz

≈ 1qλ|ψ′′(y0)|

2

Z +∞

−∞e±iz

2dz,

dove, naturalmente, ± = sgn(ψ′′(y0)). L’ultimo integrale, che ricorda quello gaussiano, si dice integrale di Fres-nel e, contrariamente a quanto si possa credere, e convergente come integrale generalizzato(4). Possiamo (un po’”sportivamente”) calcolare il valore dell’integrale. A tal fine consideriamo

Φ(α) :=

Z +∞

−∞e((α−1)±iα)z2 dz, α ∈ [0, 1].

4Cio si vede, per esempio, come segue. Consideriamo l’integrale generalizzatoR+∞1 e±iz

2dz = limR→+∞

RR1 e±iz

2dz.

Osserviamo cheZ R

1e±iz

2dz =

Z R

1

1

±2iz× (±2iz)e±iz

2dz =

1

±2i

Z R

1

1

z

�e±iz

2�′dz =

1

±2i

0@"

e±iz2

z

#z=Rz=1

+

Z R

1

1

z2e±iz

2dz

1A .

Facendo tendere R ↗ +∞ si vede che il limite del membro a destra esiste perche, in particolare,��� 1z2

e±iz2��� 6 1

z2che e

integrabile. Similmente si mostra che esisteR−1−∞ e visto che chiaramente esiste

R 1−1 ne segue l’esistenza dell’integrale

R+∞−∞ .

91

Osserviamo che Φ(0) =R +∞−∞ e−z

2dz =

√π mentre Φ(1) e quanto vogliamo calcolare. Procedendo informalmente e

derivando Φ si ottiene

Φ′(α) =

Z +∞

−∞(1± i) z2e((α−1)±iα)z2 dz =

1

2

1± i

(α− 1)± iα

Z +∞

−∞z�e((α−1)±iα)z2

�′dz

= −1

2

1± i

(α− 1)± iαΦ(α),

avendo integrato per parti (con un po’ di pazienza e possibile rendere rigoroso il passaggio). Pertanto

(log Φ(α))′ = −1

2(log ((α− 1)± iα))′ , =⇒ Φ(1) = e−

12 [log((α−1)±iα)]α=1

α=0Φ(0) = e−12 log(∓i)√π =

√±iπ.

Da questa ne ricaviamo che Z +∞

−∞e±iz

2dz =

√±iπ.

Sistemando i dettagli del conto si arriva quindi a dimostrare il

Teorema 4.5.3 (Principio della fase stazionaria). Siano ϕ ∈ C(R) assolutamente integrabile (cioe esistaR +∞−∞ |ϕ(y)| dy),

ψ ∈ C2(R) che ammetta un unico punto stazionario y0 ∈ R (in cui, in particolare, ψ′(y0) = 0) e tale che ψ′′(y0) 6= 0.Allora Z +∞

−∞ϕ(y)eiλψ(y) dy ∼ eiλψ(y0)ϕ(y0)

s2

λ|ψ′′(y0)|√±iπ (λ −→ +∞), (4.5.11)

dove ± = sgn(ψ′′(y0)).

Andiamo dunque ad applicare il risultato precedente alla (4.5.10). In questo caso λ = 1~ ed x svolge il ruolo di

parametro. Cerchiamo i punti stazionari della fase (rispetto alla variabile di integrazione y). Abbiamo che

∂ySt(x, y) =y − x

tan t− x tan

t

2, =⇒ ∂ySt(x, y) = 0, se e solo se y = x

�1 + tan

t

2tan t

�=

x

cos t=: y0.

Osserviamo poi che ∂yySt(x, y0) = 1tan t

> 0. Pertanto, per la (4.5.11) applicata al caso attuale

Z +∞

−∞ϕ(y)e

i~St(x,y) dy ∼ e

i~St(x,

xcos t )ϕ

� x

cos t

�s 21

~ tan t

√iπ = e

i~St(x,

xcos t )ϕ

� x

cos t

�√i2π~ tan t.

Di conseguenza

u~(t, x) ∼ 1√i2π~ sin t

ei~St(x,

xcos t )ϕ

� x

cos t

�√i2π~ tan t = e

i~St(x,

xcos t )ϕ

� x

cos t

� 1√cos t

.

Infine, tornando alla (4.5.9) si trovaZ νξ cos t

µξ cos t

|u~(t, x)|2 dx ∼Z νξ cos t

µξ cos t

���ϕ� x

cos t

����2 dx

cos t.

Allora

lim~↘0

Z νξ cos t

µξ cos t

|u~(t, x)|2 dx =

Z νξ cos t

µξ cos t

���ϕ� x

cos t

����2 dx

cos t=

Z νξ

µξ

|ϕ(y)|2 dy = 1.

Naturalmente occorre un po’ di lavoro per rendere totalmente rigoroso il calcolo, il lettore e invitato a provare acompletare i dettagli mancanti.

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Bibliografia

[1] Davis P.J., (1959), Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function, American Math.Monthly, vol. 66, No. 10, 849–869.

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[7] Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge Mathematical Library.

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