Post on 15-Aug-2019
Abtasttheorem
DSP_9-Abtasttheorem 2
Abtastung
ˆ[ ] ( ) cos( ) cos( )
ˆ
s s
s
x n x nT A nT A n
T
ω ϕ ω ϕ
ω ω
= = + = +
=Normalisierte Kreisfrequenz
DSP_9-Abtasttheorem 3
Normalisierte Kreisfrequenzˆ
ˆω hat die Einheit rad/sec, ω =ωT hat die Einheit rad,d.h. !Nachdem x(t) abgetastet wurde, geht die Zeitachse verloren.Das zeitdiskrete S
ω ist eine dimensionslose G
ignal ist lediglich eine Fo
röße
lge von Zahlen,diese Folge hat keine Information über die Abtastperiode.Zur Rekonstruktion in den Zeitbereich muß dieAbtastfrequenz bekannt sein !In andere Eine unendliche Anzahl von kn Worte ontinun : ierlichenSinussignalen kann in die identische diskrete Sinusdarstellungtransformiert werden.
DSP_9-Abtasttheorem 4
Anzahl der Abtastpunkte
0 1 2 3 4 5
-2
0
2
Zeit t
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5
-2
0
2
Index
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5
-2
0
2
Index
Am
plitu
de
DSP_9-Abtasttheorem 5
Signals f(t) wird einer Folge von Einheits-impulsen δT(t) im Abstand von T Sekunden (dem Abtastabstand) multipliziert.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )S Tk
f t f t t f kT t kTδ δ= = −∑
Die Impulsfolge ist eine periodische Funktion und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden.
1( ) [1 2 cos 2 cos2 2 cos 3 ...
2 cos ] ( )
T s s s
s
t t t tT
k t k
δ ω ω ω
ω
= + + + +
+ → ∞
Darstellung der Abtastung
DSP_9-Abtasttheorem 6
/ 2
/ 2
11 ( )
1 2( )
ss
s
s
s
T jk tk TT
s
jk tT s
ks s
D t e dtT
t eT T
Tω
ω
δ
πδ ω
−
−
∞
=−∞
= =
= =
∫
∑
1( ) [1 2cos 2cos 2 2cos3 ... 2 cos ]
( )
T s s s ss
t t t t k tT
k
kδ ω ω ω ω= +
∞
+ + + +
→ (reelle Darstellung!)
-5 0 5 100
0.5
1
x 1/Ts
komplexe Darstellung!
DSP_9-Abtasttheorem 7
δ ω ω= = + + +1
( ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ( )cos 2 ( )cos2 ...]S T s sf t f t t f t f t t f t tT
Abgetastetes Signal
[ ]ω ω ω ω ω ω= + + −0 0 0
1cos( )cos( ) cos( ) cos( )
2s s st t t t
Aus jeder Spektralkomponente entsteht !0( )sω ω±
DSP_9-Abtasttheorem 8
1( ) ( ) ( ) [ ( )cos0 2 ( )cos 2 ( )cos2 ...]S T s sf t f t t f t t f t t f t t
Tδ ω ω= = + + +
[ ]0 0 0
0( )
1cos( ) cos(
cos
cos( ) ) cos( )2s s s
f t
t tt t
t
ω ω
ω
ω ω ω ω
=
= − + +
z.B. :
ω
ω
DSP_9-Abtasttheorem 9
Spektrum des abgetasteten Signals( ) ( )
1( )cos [ ( ) ( )]2
( ); ( 2 ), ( 2 ); ( 3 ), ( 3 );...1( ) ( )
s s s
s s s s
s sns
f t F
f t t F F
F F F F F
F F nT
ω
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω
ω ω ω∞
=−∞
⇔
⇔ − + +
− + − +
= −∑
Das Spektrum des abgetasteten Signals setzt sich periodisch im Abstand ωs fort.
DSP_9-Abtasttheorem 10
Das Spektrum des Orginalsignals f(t) ist im Spektrum des abgetasteten Signals fs(t) enthalten und kann aus Fs(ω) durch "Herausschneiden" mit einem idealen Tiefpassfilter fehlerfreiwieder hergestellt werden.
DSP_9-Abtasttheorem 11
Abstand der Spektren hängt von der Abtastfrequenz ab.
DSP_9-Abtasttheorem 12
Shannon Sampling Theorem
Ein kontinuierliches Zeitsignal x(t) mit Frequenzen ≤ fmax kann exakt von den Abtastwerten x[n]= x(nTs) rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate fs = 1/Tsgrößer als 2 fmax ist.
DSP_9-Abtasttheorem 13
Spektrum der abgetasteten SinusfunktionAbtastfrequenz = 90 Hz
100 Hz periodisch fortgesetzt-100 Hz periodisch fortgesetzt
f = 10 Hz !Aliasing
DSP_9-Abtasttheorem 14
Abtastfrequenz = 110 Hz100 Hz periodisch fortgesetzt
-100 Hz periodisch fortgesetzt
f = – 10 Hz !Folding
DSP_9-Abtasttheorem 15
Abtastfrequenz = 250 Hz100 Hz periodisch fortgesetzt
f = 100 Hz
-100 Hz periodisch fortgesetzt
Selektivität des Filters
DSP_9-Abtasttheorem 16
Abtastfrequenz = 350 Hz
Selektivität des Filters kann geringer sein.
100 Hz periodisch fortgesetzt
-100 Hz
DSP_9-Abtasttheorem 17
Aliasing (1)0
0
0
( ) cos(2 ) liefert das abgetastete Signal[ ] ( ) cos(2 )
Wir betrachten eine zweite cos-Funktion mit derselben Amplitude und Phase , aber mit der Frequenz
ist eine Ganzz
s
s
x t A f tx n x nT A f t
f lf l
π φπ φ
= +
= = +
+
0
0
0
0
0
ahl und 1/( ) cos(2 ( ) ) bzw.[ ] ( ) cos(2 ( ) )
cos(2 2 ) cos(2 2 ) cos(2
s s
s
s s s
s s s
s
s
f Ty t A f lf ty n y nT A f lf nT
A f T lf TA f T lA f T
π φπ φ
π π φπ π φπ
=
= + +
= = + +
= + +
= + +
= + ) [ ]x nφ =
DSP_9-Abtasttheorem 18
Aliasing (2)[ ] hat dieselben Abtastwerte wie [ ] und ist daher
von [ ] nicht unterscheidbar ! ist eine beliebige ganze Zahl, es gibt daher eine unendliche
Zahl von Kosinusfunktionen, die alle dieselbe Folge h
y n x nx n
laben wie [ ].
Die Frequenzen nennt man Aliasfrequenzen von für dieAbtastfrequenz .
+o s o
s
x nf lf ff
DSP_9-Abtasttheorem 19
Folding
0
0
0
0
Die zeite Ursache für Aliassignale kommt von negativenFrequenzkomponenten :
( ) cos(2 ( ) ) bzw.[ ] ( ) cos(2 ( ) )
cos( 2 2 )
s
s
s s s
s s s
f lfw t A f lf tw n w nT A f lf nT
A f T lf T
π φπ φπ π φ
− +
= − + −
= = − + −
= − + +
0
0
cos( 2 2 ) cos(2 ) [ ]
s
s
A f T lA f T x n
π π φπ φ
= − + −
= + =
DSP_9-Abtasttheorem 20
Rekonstruktion/Interpolation
Umsetzung diskret => kontinuierlich
( ) [ ] ( )
( ) charakteristische Impulsform des Konverters.
∞
=−∞
= −∑ sn
y t y n p t nT
p t
DSP_9-Abtasttheorem 21
Interpolation im Zeitbereichkonstant linear interpoliert
DSP_9-Abtasttheorem 22
1 x
4 x
DSP_9-Abtasttheorem 23
Interpolation im Frequenzbereich
DSP_9-Abtasttheorem 24
Ideale Filterung
• Um das Orginalsignal aus dem periodischen Spektrum zu rekonstruieren, bedarf es eines Filters mit exakt rechteckigem Frequenzgang (ideales Filter)
• Das Eingangssignal des idealen Filters ist die Impulsfolge des abgetasteten Signals.
• Das Ausgangssignal ist die Überlagerung der zeitversetzten, gewichteten Impulsantworten.
DSP_9-Abtasttheorem 25
Impulsantwort ideales Filter
( )2
2
1 | | 2( )
0 | | 21( ) 2 sinc 2
2B j t
B
BH
B
h t e d BT Btπ ω
π
ω πω
ω π
ω ππ −
<⎧= ⎨ ≥⎩
= =∫
00
H(ω
)
ω
0
0
1
h(t)
Zeit t
-2 πB
1/2B
2πB
T
4/2B3/2B2/2B-4/2B -3/2B -2/2B -1/2B
DSP_9-Abtasttheorem 26
Das Ausgangssignal ist die Überlagerung der zeitversetzten, gewichteten Impulsantworten.
( )(( ) ( )) ( )sinc 2k k
kTf kT f kTf t h t Bt kππ= − = −∑ ∑
DSP_9-Abtasttheorem 27
Während die Rekonstruktion des Signal durch Rechteck- und Dreiecksimpulse nur eine ungenaue Wiedergewinnung des Signal ermöglichte, stellt die Rekonstruktion durch überlagerte und gewichtete sinc-Pulse das Signal fehlerfrei her.
Wie wir sehen, ist die Impulsantwort eines idealen Filters nicht-kausal, d.h. das Filter antwortet bereits vor dem Anlegen des Impulses.
Nichtkausale Filter sind nicht realisierbar!
DSP_9-Abtasttheorem 28
Interpolationsfilter (1)Ideale (analoge) Tiefpass-Filter sind nicht-kausal und daher nicht realisierbar. Eine praktische Lösung dieses Problems wird dadurch gefunden, dass das Signal mit Abtast-frequenzen größer als der Nyquist-Frequenz abgetastet wird.
Damit entstehen Lücken im periodisch fortgesetzten Spektrum und die Anforderungen an die Flankensteilheit des Filters werden geringer.
DSP_9-Abtasttheorem 29
Interpolationsfilter (2)Man kann zwar steilflankige analoge Filter mit hoher Dämpfung im Sperrbereich bauen, es ist aber nicht möglich Filter zu realisieren, die die Signale im gesamten Sperrbereich vollständig unterdrücken.
Man erreicht eine praktisch ausreichende Unter-drückung, aber nie die theoretische geforderte vollständige Ausblendung des Sperrbereichs.
Jedes praktische Signal ist von endlicher Länge. Wie wir von der Fourier-Transformation wissen, hat ein Signal endlicher Länge eine unendlich breites Spektrum.
DSP_9-Abtasttheorem 30
Kein Signal kann gleichzeitig zeitbegrenzt und bandbegrenzt sein!
Ist das Signal zeitbegrenzt (hat es also eine endliche Dauer ), dann erstreckt sich das Spektrum von – ∞ bis ∞ (ist also nicht bandbegrenzt).
Ist das Signal bandbegrenzt, dann muss sich das Signal über eine unendliche Dauer im Zeitbereich erstrecken, ist also nicht zeitbegrenzt.
DSP_9-Abtasttheorem 31
Überlappende Spektren
DSP_9-Abtasttheorem 32
Antialiasing-FilterUm das Überlappen von Spektren zu vermeiden wird die Bandbreite von Signalen mit Antialiasing-Filtern begrenzt.
DSP_9-Abtasttheorem 33
Digitalisierung
Die Auflösung des Analog-/Digital-Wandler wird nach Qualitätskriterien ausgewählt.
Für Sprachsignale reicht eine Auflösung von 8 bit aus, bei Musiksignalen auf einer Audio–CD beträgt die Auflösung 16 bit.
Je geringer die Auflösung des A/D-Wandlers ist, desto stärker weicht das digitale Signal vom analogen Signal ab.
DSP_9-Abtasttheorem 34
Quantisierungsfehler
0 20 40 60-1
0
1
Zeit t
f(t)
0 20 40 60-1
0
1
Zeit t
f(t)
0 20 40 60-1
0
1
Zeit t
F(t)
0 20 40 60-1
0
1
Zeit t
F(t)
0 20 40 60-0.5
0
0.5Fehler: Δ = f (t) - F(t)
Zeit t
Δ
0 20 40 60-5
0
5x 10
-10 Fehler: Δ = f (t) - F(t)
Zeit t
Δ Quantisierungs-rauschen
DSP_9-Abtasttheorem 35
Quantisierungsrauschen (1)Δ 1
2 LSBQuantisierungsfehler
Bei gleichwahrscheinlichen Signalamplituden ist die mittlere Leistung des Fehlersignals (Rauschen)
/ 22 2
/ 2
112
~ 0.2912 12
eff
eff
e s ds
LSBe LSB
Δ
−Δ
Δ= =
ΔΔ
= =
∫
8 bit: 1/900 12 bit: 1/14.000 16 bit: 1/226.000
des Wertebereichs
DSP_9-Abtasttheorem 36
Quantisierungsrauschen (2)
[y,fs,nbits]=wavread('file.wav')
sound(y,fs,6) % Abspielen mit 6 bit
wavwrite(a,fs,nbits,'wavefile.wav')
nbits = 8, 16, 32 o. 64
DSP_9-Abtasttheorem 37
Abtastung im FrequenzbereichAbtastung im Zeitbereich: bandbegrenzte SignaleAbtastung im Frequenzbereich: zeitbegrenzte Signale
DSP_9-Abtasttheorem 38
DSP_9-Abtasttheorem 39
Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
Für die Berechnung der DFT gehen wir von zeitbegrenzten Signalen f(t) der Länge τ aus (a). Zeitbegrenzte Signale haben ein Spektrum F(ω) das nicht bandbegrenzt ist (b).
Aus dem zeitbegrenzten Signal gewinnen wir das diskrete Signal fs(t) durch Abtastung von f(t) im Abstand T=1/Fs(c). Durch die Abtastung wird das Spektrum periodisch mit der Periodendauer Fs=1/T , wir erhalten das Spektrum Fs(ω) (d).
Die Abtastung des Spektrum im Abstand F0=1/T0 (f) führt zur periodischen Fortsetzung des abgetasteten Zeitsignals, mit der Periode T0 (e).
DSP_9-Abtasttheorem 40
00
00
1
00
1
0
1[ ] [ ]
[ ] [ ]
Njk n
k
Njk n
n
f n F k eN
F k f n e
−Ω
=
−− Ω
=
=
=
∑
∑0 oT 2
N0
DFT
IDFT
Diskrete Fourier-Transformation
DSP_9-Abtasttheorem 41
0 0
0
0
1 1ˆ
0 0
1( ) [ ] [ ] ( )
1( ) ( ) ( ) ( ) 2
1[ ] [ ] [ ] [ ]
Tj j
j j
N Nj
k t t
t t
n
n
k
k
k
k j
f F e F f e dtT
f F e d F f e dt
t
f F e F
t
t t
n nk e
k
k fN
kω ω
ω
ω ωωπ
ω ω
+∞−
=−∞
∞ ∞−
−∞ −∞
− −−
= =
= =
= =
= =
∑ ∫
∫ ∫
∑ ∑
⇔
⇔
⇔ 0ˆk nω
0
2ˆ TNπω ω= =
Zeitbereich Frequenzbereich
FR:
DFT:
FT:
DSP_9-Abtasttheorem 42
Spektrallinien der DFT• Bei der DFT können die Spektrallinien nur im Raster
der Abtastung im Frequenzbereich auftreten.
• Es können keine Spektrallinien außerhalb des Rasters, z.B. 15 Hz auftreten. Der DFT-Algorithmusmuss die Komponente 15 Hz aus anderen Spektralkomponenten zusammensetzen!
0
0
1000; z.B.: 10 Samples: 0, 10, 20, ..., 90 Hz100
s
s
T fNT f
= = =
DSP_9-Abtasttheorem 43
( )
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
0
0
0
0
0
ˆ
N-1ˆ 2 /
n=0
ˆ2 /
ˆ2 /
ˆ 02 / 1 / 2
0
[ ] 0,1,2,..., 1 [ ]
X[k]= ...
1 1
ˆsin 2 / / 2
ˆsin 2 / / 2
j n
j n e j N kn
j k N Nj
j k N
j k N Nj
x n e n Nx n
e e
eee
k N Ne e
k N
ω ϕ
ω ϕ π
π ωϕ
π ω
π ωϕ π ωπ ω
+
+ −
− −
− −
− − −
= = −
= =
−= =
−−⎡ ⎤⎣ ⎦=−⎡ ⎤⎣ ⎦
∑
Die N-Punkt DFT von ist
X[k] besteht also aus Proben der Dirichlet‘schen Funktion.
DSP_9-Abtasttheorem 44
0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1Time-Domain (f = 3, T = 1, fs = 8, N = 8)
t
x(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 160
1
2
3
4Frequency-Domain
f
|X(f)
|
Bei der Abtastung von f = 3 liefert die Dirichlet‘sche Funktion nur bei dieser Frequenz einen Wert. Die Kosinusfunktion ist periodisch fortgesetzt.
DSP_9-Abtasttheorem 45
Die Frequenz f = 2.2 liegt nicht im Raster und muss daher aus anderenFrequenzen zusammengesetzt werden! Die Dirichlet‘sche Funktion liefert mehrere Werte. Beachten Sie die periodische Fortsetzung der Kosinusfunktion.
0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1Time-Domain (f = 2.2, T = 1, fs = 8, N = 8)
t
x(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 160
1
2
3
4Frequency-Domain
f
|X(f)
|
DSP_9-Abtasttheorem 46
In der vorigen Darstellung haben wir das Spektrum von( )0ˆ[ ] j nx n e ω ϕ+=
berechnet. Für ein reellwertiges Signal x[n] müssen wir aberdas Spektrum von
( ) ( )( )0 0ˆ ˆ[ ] j n j nx n e eω ϕ ω ϕ+ − += +
berechnen, d.h. X [k] für addieren.0ω̂−
DSP_9-Abtasttheorem 47
0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1Time-Domain (f = 2.2, T = 1, fs = 8, N = 8)
t
x(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 160
1
2
3
4
Frequency-Domain
f
|X(f)
|
DSP_9-Abtasttheorem 48
Es wird immer das Spektrum der periodischen Fortsetzungermittelt!
Die periodische Fortsetzung liefert aber nur dann eineSinus-(Kosinus-)Funktion und damit eine einzelne Spektral-Linie, wenn die Periodendauer genau in das Abtastintervall passt, d.h. nur für Spektrallinien, die auf dem Frequenzraster liegen!