Resposta Livre de um Sistema de 1 Grau de Liberdade

A resposta livre não amortecida: m + kx = 0 para condições iniciais x(0) = x0, (0) = υ0

Deslocamento, x(t)

Fase

2

n

Período

Amplitude, A

Máxima velocidade

x 0Desloca-

mento

inicialTempo, t

A resposta livre subamortecida: m + c + kx = 0 para condições iniciais x(0) = x0, (0) = υ0

Tempo (s)

Deslocamento (mm)

1,0

0,0

–1,0

Resposta à Excitação Harmônica de um Sistema de 1 Grau de Liberdade

A resposta forçada de m + c + kx = 0 = F0 sen t é x(t) = X sen ( t + ) onde a amplitude

normalizada Xk/F0 é dada por ilustrada abaixo

3,0r

2,52,01,5

Razão de frequência

1,00,50,00,1

2

4

6

1

2

4

Am

pli

tude

norm

aliz

ada

6

10

2

4

0,01

0,02

0,1

0,2

1,0

0,75

XkF

0

e onde a fase é dada por tg ilustrada abaixo

1,0

0,5 0,1

2

Fase

Razão de Frequência

2,52,01,51,00,50,0

3,0

2,0

1,0

0,0

SISTEMA RETILÍNEO SISTEMA ROTACIONAL

UNIDADE UNIDADE

Grandeza Símbolo Padrão U.S. Unidades do S.I. Símbolo Inglês Unidades do S.I.

Tempo t sec s t sec sDeslocamento x in. m θ rad radVelocidade in./sec m/s rad/sec rad/s

Aceleração in./sec2 m/s2 rad/sec2 rad/s2

Massa, momento de inércia m lbf -sec2/in. kg J in.-lbf -sec2m2 ⋅ kg

Fator de amortecimento c lbf -sec/in. s ⋅ N/m c in.-lbf -sec/rad m ⋅ s ⋅ N/radConstante de mola k lbf /in. N/m k in.-lbf /rad m ⋅ N/radForça, torque F = m lbf N = m ⋅ kg/s2 in.-lbf m ⋅ N = m2 ⋅ kg/s2

Momento m lbf -sec s ⋅ N = m ⋅ kg/s in.-lbf -sec m2 ⋅ kg ⋅ rad/sImpulso Ft lbf -sec s ⋅ N Tt in.lbf -sec m2 ⋅ kg ⋅ rad/sEnergia cinética in.ibf J in.-lbf J

Energia potencial in.ibf J in.-lbf J

Trabalho in.ibf J = m ⋅ N= m2 ⋅ kg/s2

in.-lbf J = m ⋅ N= m2 ⋅ kg/s2

Frequência natural rad/secHz

rad/sHz

rad/secHz

rad/sHz

UNIDADES

GRANDEZA SISTEMA INGLÊS SISTEMA S.I.

força 1 lb 4,448 quilogramas (N)massa 1 lb ⋅ sec2/ft (slug) 14,59 quilograma

comprimento 1 ft 0,3048 metros (m)densidade slug/ft3 515,38 kg/m3

torque ou momento 1 lb ⋅ in 0,113 N ⋅ maceleração 1 ft/sec2 0,3048 m/s2

aceleração da gravidade 32,2 ft/sec2 = 386 in./sec2 9,81 m/s2

constante da mola k 1 lb/in 175,1 N/mconstante da mola torcional k 1 lb ⋅ in./rad 0,113 N ⋅ m/radconstante de amortecimento c 1 lb ⋅ sec/in. 175,1 N ⋅ s/mmomento de inércia de massa 1 lb.in.sec2 0,1129 kg/m2

módulo de elasticidade 106 lb.in.2 6,895 × 109 N/m2

módulo de elasticidade de aço 29 × 106 lb/in.2 200 × 109 N/m2

ângulo 1 degree 157,3 radiano

PREFIXOS NO S.I.

FATOR DE MULTIPLICAÇÃO PREFIXO SÍMBOLO

1 000 000 000 000 = 1012 tera T1 000 000 000 = 109 giga G

1 000 000 = 106 mega M1 000 = 103 kilo k100 = 102 hecto h10 = 10 deca da

0,1 = 10–1 deci d0,01 = 10–2 centi c

0,001 = 10–3 milli m0,000 001 = 10–6 micro µ

0,000 000 001 = 10–9 nano n0,000 000 000 001 = 10–12 pico p

Grandezas Físicas, Unidades e Símbolos

1

1 Introdução à Vibração e a Resposta Livre

A vibraçã o é o ramo da dinâmica que lida com

movimentos repetitivos. A maioria dos exemplos neste

livro envolve vibração em mecanismos ou estruturas.

No entanto, a vibração é preponderante em sistemas

biológicos e é, na verdade, a fonte de comunicação

(o ouvido vibra para ouvirmos, enquanto a língua e

as cordas vocais vibram para falarmos). No caso da

música, as vibrações, por exemplo, de um instrumento

de cordas como uma guitarra, são desejadas. Por outro

lado, na maioria dos sistemas e estruturas mecânicas,

a vibração é indesejada e, até mesmo, destrutiva.

Por exemplo, a vibração na estrutura de um avião

causa fadiga e pode, eventualmente, levar à falha.

Um exemplo de trinca por fadiga é ilustrado no círculo

desenhado na foto de baixo ao lado. Atividades

cotidianas são cheias de exemplos de vibração e,

normalmente, formas de atenuá-la. Automóveis, trens

e, até mesmo, algumas bicicletas possuem dispositivos

para reduzir a vibração provocada pelo movimento e

transmitida ao condutor.

O objetivo deste livro é ensinar o leitor a analisar

a vibração usando os princípios da dinâmica, o que

requer o uso da matemática. Na verdade, a função

seno fornece os meios fundamentais de análise dos

fenômenos de vibração.

Os conceitos básicos de compreensão, análise e

previsão do comporta mento de sistemas vibratórios

formam os tópicos deste livro. Os conceitos e

formulações apresentados nos próximos capítulos

destinam-se a oferecer as competências necessárias

para projetar sistemas vibratórios com propriedades

que aumentam as vibrações quando desejado e as

reduzem quando não.

Este primeiro capítulo estuda a vibração em sua

forma mais simples, na qual nenhuma força externa

está presente (vibração livre). Este capítulo introduz o

importante conceito de frequência natural e como

modelar de forma matemática a vibração.

A internet é uma grande fonte de exemplos de

vibração e o leitor é encorajado a procurar por fil mes

de sistemas vibratórios e outros exemplos disponíveis

nessa fonte.

117

2 Resposta à Excitação Harmônica

Este ca pítulo dedica-se ao conceito

mais importante em análise de vibrações:

o conceito de ressonância.

A ressonância ocorre quando uma força

externa periódica é aplicada a um

sistema com uma frequência natural

igual à frequência da força de excitação.

Em geral, isso ocorre quando a força

de excitação é proveniente de alguma

máquina ou mecanismo rotativo, como

o helicóptero mostrado na foto. A lâmina

rotativa faz com que uma força harmônica

seja aplicada ao corpo do helicóptero.

Se a frequência de rotação da lâmina

corresponde à frequência natural do

corpo, a ressonância ocorrerá conforme

descrito na Seção 2.1. A ressonância

causa grandes deflexões, que podem

exceder os limites elásticos e fazer com

que a estrutura falhe. Um exemplo familiar

para a maioria é a ressonância causada

por uma roda desbalanceada em um

carro (segunda foto). A velocidade angular

da roda corresponde à frequência de

excitação. A uma certa velocidade, a roda

desbalanceada causa ressonância, que é

sentida pela trepidação do volante. Se o

carro se move mais lentamente, ou mais

rapidamente, a frequência afasta-se da

condição de ressonância e a trepidação

é interrompida.

216

3 Resposta à Forçada Geral

Este c apítulo começa com a resposta de sistemas

submetidos a carga de impacto ou impulso. Um

exemplo de tal carga ocorre durante o pouso de um

avião. O trem de pouso da aeronave, ilustrado na

foto de cima ao lado, possui rigidez e amortecimento

projetados (ver Capítulo 5) para atenuar o efeito do

impacto na aeronave. A entrada para a estrutura

não é completamente periódica, como analisado

no Capítulo 2, mas tem impacto aleatório e outros

componentes, como discutido neste capítulo.

Outra fonte de vibração que não está em uma

única frequência (como no Capítulo 2) é o coração

humano. O coração vibra em uma variedade de

frequências diferentes, dependendo do nível de

atividade e estado emocional da pessoa. Alguns

corações precisam de regulação usando um

dispositivo como o marca-passo, retratado na foto.

Esses dispositivos funcionam com baterias, que

precisam ser substituídas a cada sete a dez anos,

envolvendo grande cirurgia. Pesquisadores de

vibração desenvolveram recentemente dispositivos

de captura de energia que convertem as vibrações

induzidas pelo coração, na cavidade torácica, em

energia elétrica. Essa energia é então utilizada para

recarregar a bateria do marca-passo. A colocação de

tal dispositivo no interior do marca-passo requer uma

compreensão básica da vibração e, em particular dos

modelos, da resposta de vibração de uma estrutura

(colhedora, nesse caso) à entradas que têm energia

em muitas frequências diferentes, como discutido

neste capítulo.

303

4 Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade

Este capítulo introduz a análise necessária

para entender a vibração de sistemas com

mais de um grau de liberdade. O número

de graus de liberdade de um sistema é

determinado pelo número de partes móveis

e pelo número de direções nas quais cada

parte pode se mover. Mais de um grau de

liberdade significa mais de uma frequência

natural, aumentando consideravelmente a

possibilidade de ocorrer ressonância. Este

capítulo também introduz o importante

conceito de forma modal e o método

largamente utilizado de análise modal para

estudar a resposta de sistemas de múltiplo

graus de liberdade (MGDL). A maioria das

estruturas são modeladas como sistemas

MGDL. A suspensão do veículo off-road

mostrada na foto é um exemplo de um

sistema que pode ser modelado como

dois ou mais graus de liberdade. Projetistas

precisam ser capazes de prever a resposta

de vibração, a fim de melhorar o conforto

e garantir a durabilidade. As lâminas de

um motor a jato representadas na segunda

foto também requerem análise MGDL, mas

com um número muito maior de graus de

liberdade. Aviões, satélites, automóveis etc.,

fornecem exemplos de sistemas vibratórios

bem modelados pela análise MGDL

introduzida neste capítulo.

435

5 Projeto para Redução de Vibração

Este capítulo apresenta as técnicas úteis em projeto

de estruturas e máquinas para que vibrem o menos

possível. Frequentemente, isso acontece depois que

um produto é projetado e o protótipo é fabricado e

testado. Em muitos casos, problemas de vibração

são encontrados no final do processo então, muitas

vezes, é necessário refazer o projeto. Neste capítulo

são introduzidos os conceitos de isolamento de

vibração e absorção de vibração, fundamentais

no projeto de vibração. Também são introduzidas a

otimização como ferramenta de projeto, a adição de

amortecimento e o conceito de velocidades críticas

em máquinas rotativas.

O amortecedor de cabos utilizados nas linhas

elétricas, ilustrado na foto de cima ao lado, é utilizado

para reduzir o assobio do cabo causado pela

vibração provocada por ventos moderados e impedir

que os fios se toquem quando os cabos vibram em

ventos fortes (ou ressonância). As ideias introduzidas

no capítulo são fundamentais para o projeto de tais

dispositivos. Os cabos são modelados no Capítulo 6.

O sistema de suspensão de qualquer veículo

terrestre é um exemplo de um problema de projeto

comum. Um sistema mola-amortecedor de um

veículo off-road é mostrado na foto de baixo ao lado.

O tamanho, a massa de um veículo e as condições

da estrada afetam a capacidade do sistema de

suspensão em desempenhar a sua função de isolar

os passageiros das vibrações provocadas pelas

condições da estrada e velocidade.

502

6 Sistemas de Parâmetros Distribuídos

Até agora, este livro se dedicou a vibração

de corpos rígidos. Este capítulo apresenta a

análise necessária para descrever a vibração de

sistemas que possuem componentes flexíveis. A

flexibilidade dos componentes estruturais surge

quando as propriedades de massa e rigidez

são modeladas como sendo distribuídas (ou

contínuas) ao longo do componente em vez de

concentradas (ou discretas), como realizado no

Capítulo 4. Exemplos de tais sistemas são as asas

e painéis de aeronaves como o Reaper mostrado

na foto de cima ao lado. As vibrações da asa

de um avião comercial normalmente podem ser

vistas durante a decolagem e aterrissagem ou

durante uma turbulência. As pás da turbina eólica,

mostrada na foto, formam outro exemplo de um

sistema de parâmetros distribuídos. O aumento

da dependência da energia eólica tem exigido

pás de turbinas eólicas maiores e, portanto, mais

flexíveis. Muitas estruturas, como asas, lâminas

e outros componentes, podem ser modeladas

pelos modelos simples de cordas, vigas e placas

discutidos neste capítulo. Muitos sistemas, tais

como chassis de caminhão, prédios, pistas de

dança e unidades de disco de computador,

podem ser modelados e analisados pelos

métodos apresentados no capítulo. O conceito

principal apresentado aqui é que os sistemas de

parâmetros distribuídos têm um número infinito

de frequências naturais. Os conceitos de formas

modais e análise modal usados no Capítulo 4

são estendidos aqui para tratar a vibração de

sistemas de parâmetros distribuídos.

573

7 Teste de Vibração e Análise Modal Experimental

Este capítulo apresenta métodos de teste

e medição úteis para a obtenção de

modelos experimentais de uma variedade

de dispositivos e estruturas. O analisador

ilustrado recebe sinais analógicos de

transdutores (acelerômetros e martelos de

impacto) montados em uma estrutura,

digitaliza os sinais e os transforma no

domínio da frequência para análise.

Todo o processo é controlado por um

computador pessoal. Um esquema de

tal configuração de teste é apresentado

mais adiante na Figura 7.1. A foto de baixo

ao lado exibe o uso de um vibrômetro

a laser para medir a velocidade sem

ser montado fisicamente no objeto de

teste (componente de satélite). A Seção

7.1 descreve o hardware de medição

e o restante do capítulo é dedicado

aos métodos de análise dos dados. Em

particular, discute-se o método de análise

modal.

V I B R A Ç Õ E S M E C Â N I C A ST R A D U Ç Ã O D A 4 ª E D I Ç Ã O

D A N I E L J . I N M A N

Vibrações Mecânicas é um livro que aborda a teoria e os princípios fundamentais de vibrações, utilizando exclusivamente o Sistema Internacional de Unidades (SI). Além disso, o livro contém:

mais de 100 exemplos ilustrativos para ajudar o leitor a aprender os fundamentos e entender os conceitos por trás de problemas que possuem grande variedade de soluções possíveis;

vários exemplos com os códigos desenvolvidos nos programas MATLAB®, Mathematica® e Mathcad® para

compreensão dos conceitos fundamentais de vibração;

capítulo para testar a capacidade do leitor em aplicar os conhecimentos estudados;

exercícios destinados a serem resolvidos usando programas computacionais, do qual o leitor pode optar por utilizar o MATLAB®, o Mathematica®, o Mathcad®, ou até mesmo outro programa disponível;

mais de 30 problemas para serem resolvidos com o pacote Engineering Vibration Toolbox desenvolvido para o programa MATLAB® pelo próprio autor.

Os exemplos ilustrativos e os problemas propostos enfatizam a análise, bem como projeto e síntese.