Gravitation ist Geometrie der RaumZeit

Wie Einstein Newton verdrängte

Max Camenzind

Senioren Uni Würzburg

21.6.2015 Tag der offenen Tür

Haus der Astronomie & MPIA

Bus 39 alle 15 Min. ab Bismarckplatz > 10:45 Uhr

Einsteins Grund-Idee: Gravitation ist keine Kraft, Gravitation ist Geometrie, Geometrie ist Gravitation

Μεδεις αγεωμέτρητος εισιτω

μον τήν στήγων.

Let none ignorant of geometry

enter my door.

Legendary inscription over

the door of Plato’s Academy

• Die Äquivalenzprinzipien des Albert Einstein.

• Schwaches Äquivalenzprinzip

• Einsteinsches Äquivalenzprinzip

• Starkes Äquivalenzprinzip

• 1911 – 1922: Die dramatische Suche nach der Lichtablenkung an der Sonne Triumph Einstein

• 1913: Gravitation wird durch die Metrik der RaumZeit beschrieben 3+1 Aufspaltung

• Die Bewegung von Testkörpern und Licht.

• Nov. 1915: Die Feldgleichungen nach vielen Irrwegen.

Inhalt

Äquivalenz von träger

und schwerer Masse

Schwaches Äquivalenzprinzip WEP = Weak Equivalence Principle

Isaac Newton 1687:

Principia (1687): Kraft = Masse mal a

Masse fällt aus Kraftgleichung heraus

a = g ist rein geometrische Gleichung

Torsionswaage

Eöt-Wash Experiment

see Homepage:

Eot-Wash group

Tests

Sch

wach

es

Äq

uiv

ale

nzp

rin

zip

Wa

rum

im

mer

gen

au

er?

Im freien Fall keine Gravitation

Äquivalenz von Beschleunigung

und Gravitation

g

Äquivalenz von Beschleunigung

und Gravitationskraft

Einsteinsches Äquivalenzprinzip EEP = Einstein Equivalence Principle

1. Es gilt WEP

2. Gravitationskräfte äquivalent zu

Trägheitskräften

3. Im frei fallenden Inertialsystem gilt die

Spezielle Relativität

Starkes Äquivalenzprinzip

Das Einsteinsche Äquivalenz-

Prinzip gilt auch für

selbst-gravitierende Körper

Planeten, NSterne, …

3 Äquivalenzprinzipien

1911

: A

ufg

run

d d

es Ä

qu

ivale

nz-

Pri

nzip

s

Lic

hta

ble

nku

ng

im

Sc

hw

ere

feld

de

r S

on

ne

0,8

4``

Annalen der Physik 1911

Annalen der Physik 1911

Annalen der Physik 1911

Annalen der Physik 1911

Gravitative Rotverschiebung

Gravitative Rotverschiebung

an Sonnenoberfläche

Gravitative Lichtablenkung

Gravitative Lichtablenkung

Annalen der Physik 1911

Totale Sonnenfinsternis

Nur totale

Sonnen-

Finsternis

kann Klarheit

schaffen !

Hintergrund-

Sterne

vermessen

Wer war Erwin Freundlich ? Freundlich war der Sohn einer schottischen Mutter, Ellen Elizabeth Finlayson, und des Friedrich Philipp Ernst Freundlich, dem Direktor einer Eisengießerei in Wiesbaden-Biebrich. Er promovierte 1910 in Göttingen bei Felix Klein über ein Problem der analytischen Funktionentheorie und wurde danach Assistent an der Berliner Sternwarte, wo er mit Routine-messungen betraut war. Einsteins Kollege in Prag, der Astronom Leo Wenzel Pollak, suchte 1911 Astronomen, die die Lichtablenkung beobachten sollten. Alle erfahrenen Astronomen sahen keine Chance. Freundlich, der der stupiden Routinetätigkeit entfliehen wollte, nahm die Herausforderung begeistert an. Damit begann eine lange Zusammenarbeit mit Einstein. Freundlich kontaktierte auch William Campbell am Lick Observatorium.

William Campbell

Lick Observatorium

ist der Experte

1914 Freundlichs Krim Expedition

Freundlich auf der Krim -

Campbell nahe Kiew

Freundlich wird im Aug. 1914

auf der Krim verhaftet -

Campbell kann weiter arbeiten,

hat aber schlechtes Wetter & verliert Equip

Eddington kennt 1916 ART nicht Eddington ist wie Einstein Pazifist - Quäker

De Sitter übersetzt 1916 Einsteins

Werk ins Englische Eddington

Sonnenfinsternis von 1918

nur in USA sichtbar Campbell findet keine Ablenkung

Campbell und seine Familie

bei Sonnenfinsternis 1918

Sonnenfinsternis 29. Mai 1919

2 Exp.: Eddington & Campbell

Sonnenfinsternis 29. Mai 1919

Eddington 2 Aufnahmen

Eddington vermisst die Platten Eddington arbeitete sehr exakt mit Mikrometer

Campbell spricht vor der Royal

Society – nervös Eddington ja

Campbell stoppte die Publikation Telegramm nach Lick Observatorium

Eddington bestätigt Einstein Lichtablenkung wie von Einstein berechnet -

Campbell jedoch misst keine Lichtablenkung!

Eddington`s Daten waren

nicht geschummelt!

1979 wurden Eddingtons Platten mit

modernen Geräten

am Royal Observatory in Greenwich

nachgemessen:

1. Teleskop: 1,90 +- 0,11 arcsec

2. Teleskop: 1,60 +- 0,31 arcsec

Theoretischer Wert: 1,75 arcsec

Eddington löst eine Lawine aus

Dennoch Zweifel an der Messung

Einstein erste Superstar Physik

Einstein

bekommt

auch in

Deutschland

Anerkennung

Physiker

bleiben

skeptisch!

Einstein heiratet seine Cousine

Sonnenfinsternis 21. Sept. 1922

soll endgültig Klarheit bringen

7 Expeditionen nach Australien Kanada, Lick Obs, UK, Freundlich, Indien & 2A

Freundlichs “erste” Expedition

Campbell war sehr gut vorbereitet

P3549-194 Photographic print, Wollal eclipse expedition unloading equipment, Wollal, Western Australia, 30 August – 1 September, 1922

Sonnenfinsternis 1922

P3549-201 Photographic print, Lick Observatory eclipse expedition, the polar axis with spectrographs and Floyd telescope, photographer unknown, Wollal, Western Australia, 1922

Links: Campbells Frau

Campbell 92 Sterne, 5 Platten

Campbell bestätigt Einstein

in vollem Umfang: 1,75 +- 0,09``

W.W. Campbell & R.J. Trumpler 1928; Lick Observatory Bulletin Nr. 397, p 130-160

Campbells Sonnenfinsternis Linse

Einstein wird endlich rehabilitiert

Einstein

&

Grossmann

1913

Vorläufige

Theorie der

Gravitation

Einstein listete alles auf, und rief seinen Freund: „Grossmann hilf mir, sonst werde ich verrückt!“ Es begann 1912 eine intensive Zusammenarbeit der beiden, die auch Grossmann bis ans Äußerste forderte. Es war Grossmann, der erkannte, dass die fertig vorliegende Riemannsche Geometrie (Riemann-Tensor und dessen Weiterentwicklungen →Absolutes Differentialkalkül mit Ricci-Tensor) zum Ziel führen kann. Dieser sog. mathematische „Königsweg“ wurde versucht und im heute so berühmten „Zürcher Notizbuch“ von Einstein Schritt für Schritt aufgeschrieben. Man probierte den Ricci-Tensor; erweiterte ihn um einen Term, heute „Einstein-Tensor“ genannt und verfiel zuletzt in einen abgewandelten „November-Tensor“, den man am aussichtsreichsten hielt. Die beiden waren kurz vor dem Ziel, erkannten das aber nicht, und verließen diesen Weg wieder.

“Königsweg” = Riemann Geometrie

Der Newton-Grenzfall schien unerreichbar, und auch noch andere physikalische Bedingungen plagten sie. Die beiden arbeiteten daraufhin eine von der Physik her aufgebaute „Entwurfstheorie“ aus, (die aber nicht ganz allgemein-relativistisch und aus heutiger Sicht daher unakzeptabel war) und veröffentlichten sie (1913). Damit endet das Zürcher Notizbuch. Einstein kämpfte 2 Jahre, um Bedenken gegen die Entwurfstheorie auszuräumen. Es gelang ihm tatsächlich mehrere „Stolpersteine“ zu beseitigen; aber quasi en passant, dadurch auch die Hindernisse gegen den „Königsweg“. Dies ist ausführlich und wunderbar beschrieben im Buch „Auf den Schultern von Riesen und Zwergen“ von Jürgen Renn. Einsteins älterer treuer Freund aus der Patentamtszeit Michele Besso fand einen Weg, aus den Tensorgleichungen die Peripheldrehung des Merkur auszurechnen (52 Seiten Manuskript). Das Ergebnis war ungenügend, aber es zeigte sich, dass im Verlauf der Ausrechnung -und zwar erst auf der Ebene der Bewegungsgleichungen- tatsächlich der Newtonsche Grenzfall übrig bleibt. Eine der größten Hürden existierte gar nicht, das Korrespndenz-prinzip war erfüllt! Einstein nahm auch einen sehr fruchtbaren Briefkontakt mit dem Ricci-Schüler Tullio Levi-Civita auf, dem führenden Tensor-Mathematiker seiner Zeit.

Verallgemeinerung von Minkowski

Metrische Theorien

der Gravitation

Gravitation RaumZeit =

Riemann lokal Minkowski

jin

ji

ij dxdxxgds )(0,

2

• Der Riemannsche Raum ist Menge aller Weltpunkte, auf der

man messen kann. Einstein: ein Punkt (ct,x,y,z) = Ereignis, n=4.

• gij ist der Metrische Tensor = symmetrische Matrix: 10 Funktionen für den 4-dimensionalen Raum Dim = 4. • Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Weltpunkten zu berechnen. • Aus metrischem Tensor folgen Riemann- und Ricci-Tensoren . Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.

3

Ex1: RaumZeit eines Sterns

Sonne, Erde, Neutronensterne, SL

Symmetrie lässt

nur 2 Funktionen

frei:

F(r): „Gravitations-

potenzial“

B(r): Krümmung

des 3-Raumes

B(r) < 1: Volumen

größer als

Euklidisch

(r,f)-Fläche

Kausale Struktur der RaumZeit ds2 = 0 lokale Lichtkegel gekrümmt

In jedem

Weltpunkt

sind die

Lichtkegel lokal

wie Minkowski,

können jedoch

gestaucht und

gedreht sein.

Dies ist eine

Konsequenz

des

Einsteinschen

Äquivalenz-

Prinzips.

Ra

um

Ze

it S

tern

ko

lla

ps

Ein

massere

ich

er

Neu

tro

nen

ste

rn

ko

lla

bie

rt a

uf

Sc

hw

arz

es

Lo

ch

Min

ko

wsk

i R

au

mZ

eit

Ex2: Expandierendes Universum

Heutige Weltmodelle

a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes

k = 1, 0, -1 : Krümmungstyp des 3-Raumes

Streckung der Minkowski RaumZeit

Lichtkegel im Universum

Distanz in Mrd. Lichtjahren

Alt

er

in M

rd.

Jah

ren

Licht-

Kegel

Zeitachse

Einsteins steiniger Weg zur

Feldgleichung der Gravitation

Jetzt kommt der spannendste Teil, denn es tritt der größte Mathematiker seiner Zeit, David Hilbert, auf den Plan. Hilbert lud im Sommer 1915 Einstein für mehrere Tage zu sich nach Göttingen ein, um Einstein über seine Arbeit referieren zu lassen. Hilbert stellte viele Fragen, machte sich Notizen und Einstein erkannte, dass Hilbert der Einzige war, der ihn voll verstanden hat. Umgekehrt war Hilbert von Einsteins profunden physikalischen Einsichten fasziniert. Hilbert sah eine Chance den Königsweg zu gehen und zog sich für einige Zeit in die Ruhe Rügens zurück. Dort versuchte er es und wollte auch noch die Elektrodynamik mit einbeziehen, also zu einer "Allgemeinen Feldgleichung" -heute würde man sagen "Weltformel"- zu kommen.

Einsteins “Königsweg”

Mathematiker Hilbert in Göttingen

Einsteins Notizbuch

Für Einstein überstürzen sich jetzt die Ereignisse. Hilbert signalisiert Einstein, dass der Königsweg (der axiomatische Weg, wie Hilbert sich ausdrückte) wohl gangbar sei, und nennt ihm einen Rechenfehler in seinen (Einsteins) Tensor- Ausdrücken. (Übrigens: Besso hat Einstein wiederholt auf Rechenfehler aufmerksam gemacht, die Einstein manchmal sehr verzögert annahm). Einstein selbst fand bei sich einen schwerwiegenden Überlegungsfehler (man schätzt dieses Datum auf den 15. Oktober 1915), so dass für ihn jetzt das Maß voll war. Hilbert im Nacken spürend, schwenkte Einstein auf den mathematischen Königsweg aus seinem Zürcher Notizbuch zurück. Er knöpfte sich den November-Tensor vor, und er präsentierte stolz in Berlin am 4. November 1915 eine „fast“ fertige Theorie und unterrichtete Hilbert. Dieser fand Abweichungen zu seiner eigenen Arbeit, und es ist möglich, dass er Einstein einen Hinweis gab. Einstein ruhte nicht, und arbeitete eine neue Variante mit dem Ricci-Tensor aus, die er am 11. November vorstellte. Vorteil: Diesmal war das Relativitätsprinzip erstmalig vollständig erfüllt, allerdings nur für schwache Gravitationsfelder.

Welchen Einfluss hat Hilbert?

Hilbert wurde sofort informiert, und dieser lud Einstein für den 16. November nach Göttingen ein, zur Präsentation der nun fertigen Hilbertschen Arbeit. Einstein lehnte ab, und schob Magenbeschwerden als Grund vor; in Wirklichkeit arbeitete Einstein wie ein Besessener die Besso-Rechnung nochmals durch und triumphierte am 18. November in Berlin mit dem korrekten Wert der Merkur-Periheldrehung. (43 Bogensekunden pro Jahrhundert, genau der Wert, den die Astronomen bisher nicht erklären konnten). Sofort schrieb er Hilbert und bat im Gegenzug: „Schicken Sie mir bitte, wenn möglich, ein Korrektur-Exemplar Ihrer Untersuchung, um meiner Ungeduld entgegenzukommen.“

Welchen Einfluss hat Hilbert?

Was hat Hilbert mit gleicher Post (oder sogar schon am 17/18.11.) zu Einstein noch geschrieben? Einstein nahm sich nun aus seinem Zürcher Notizbuch den Einstein-Tensor vor, und trug in Berlin am 25.November 1915 seine heute noch gültigen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie vor. Es war geschafft! Dabei hatte er noch Glück, dass die noch nicht vollkommene Theorie vom 11.November doch den richtigen Merkur-Wert erbrachte. Hilbert reichte seine Arbeit am 20.November zum Druck in Göttingen ein –also 5 Tage vor Einstein-, und erhielt am 6.Dezember die Druckfahnen zur Korrektur zurück. Zu diesem Zeitpunkt war die Einsteinsche Arbeit bereits veröffentlicht (2.12.), und Einstein hat Abzüge an viele Mathematiker und Physiker verschickt. Hilberts Arbeit wurde erst Anfang Februar 1916 veröffentlicht. Obwohl Hilbert die Gravitations-Feldgleichungen selbst nicht niedergeschrieben hat, hat er den richtigen Weg dorthin aufgezeigt. Für einen großen Mathematiker genügt das; die Feldgleichungen selbst sind dann nur „Kleinkram“. Sein Ziel, den Elektromagnetismus mit einzubeziehen, also die Allgemeine Feldgleichung, hat Hilbert nie erreicht. Einstein auch nicht, trotz 30-jähriger Suche bis zu seinem Tod 1955.

… Hilbert oder Einstein ?

“Königsweg” Riemann Krümmung

V

TV E1

E2

Riemann: 6 Rotationsmatrizen

TVa = R

a

bcd V

b [E

1

c E

2

d]

ab, cd = 01, 02, 03, 12, 13, 23

3+1 Zerlegung der Krümmung

4D

3D (3)R

i

kmn Eim = R

i

0m0 R

i

km0

3-Krümmung Gezeiten-Kräfte Scherung, Twist

t

x

Krümmung Gezeitenkräfte

Neutronen-Stern

Vakuum

Asteroid

Krümmung Ricci-Tensor & Skalar

Lösung 1915

Aus 20

mach 10

Gravitation ist Krümmung

der RaumZeit (Einstein 1915)

ikikikik TcGgRgR )/8( 4

2

1

Krümmung Kosmol. Konstante Materie

Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:

folgt aus Riemann Tensor

Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)

Krümmung der RaumZeit 1915

5 Axiome definieren Einstein`s

Gravitation 1915 • Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch

(pseudo-)Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP) es existiert ds²

• Einstein2: Gravitation wird durch den Levi-Civita Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion).

• Einstein3: Testkörper (Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0 SEP.

• Einstein4: Materieverteilung in der RaumZeit bestimmt die Krümmung Ricc – R g/2 = k T

• Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT.

Moderne Sicht der Gravitation

Ohne Gravitation ist die Welt global

Lorentz-invariant Gruppe SO(1,3).

Mit Gravitation gilt nur noch lokale Lorentz-Invarianz

„Physik ist unabhängig vom lokalen Betrachter.“

Dies erzwingt die Einführung eines

Lorentz-Zusammenhanges in Form der

Lorentz-Zusammenhangsform wµa

b dxµ

Eichprinzip verlangt die Ersetzung der partiellen

Ableitungen durch kovariante Ableitungen:

Tµr,r 0 r Tµr 0

Feldgleichungen haben allerdings nicht die

Yang-Mills Form, da ein Ricci-Skalar existiert!