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Abtasttheorem

DSP_9-Abtasttheorem 2

Abtastung

ˆ[ ] ( ) cos( ) cos( )

ˆ

s s

s

x n x nT A nT A n

T

ω ϕ ω ϕ

ω ω

= = + = +

=Normalisierte Kreisfrequenz


Normalisierte Kreisfrequenzˆ

ˆω hat die Einheit rad/sec, ω =ωT hat die Einheit rad,d.h. !Nachdem x(t) abgetastet wurde, geht die Zeitachse verloren.Das zeitdiskrete S

ω ist eine dimensionslose G

ignal ist lediglich eine Fo

röße

lge von Zahlen,diese Folge hat keine Information über die Abtastperiode.Zur Rekonstruktion in den Zeitbereich muß dieAbtastfrequenz bekannt sein !In andere Eine unendliche Anzahl von kn Worte ontinun : ierlichenSinussignalen kann in die identische diskrete Sinusdarstellungtransformiert werden.


Anzahl der Abtastpunkte

0 1 2 3 4 5

-2

0

2

Zeit t

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5

-2

0

2

Index

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5

-2

0

2

Index

Am

plitu

de


Signals f(t) wird einer Folge von Einheits-impulsen δT(t) im Abstand von T Sekunden (dem Abtastabstand) multipliziert.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S Tk

f t f t t f kT t kTδ δ= = −∑

Die Impulsfolge ist eine periodische Funktion und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden.

1( ) [1 2 cos 2 cos2 2 cos 3 ...

2 cos ] ( )

T s s s

s

t t t tT

k t k

δ ω ω ω

ω

= + + + +

+ → ∞

Darstellung der Abtastung


/ 2

/ 2

11 ( )

1 2( )

ss

s

s

s

T jk tk TT

s

jk tT s

ks s

D t e dtT

t eT T

Tω

ω

δ

πδ ω

−

−

∞

=−∞

= =

= =

∫

∑

1( ) [1 2cos 2cos 2 2cos3 ... 2 cos ]

( )

T s s s ss

t t t t k tT

k

kδ ω ω ω ω= +

∞

+ + + +

→ (reelle Darstellung!)

-5 0 5 100

0.5

1

x 1/Ts

komplexe Darstellung!


δ ω ω= = + + +1

( ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ( )cos 2 ( )cos2 ...]S T s sf t f t t f t f t t f t tT

Abgetastetes Signal

[ ]ω ω ω ω ω ω= + + −0 0 0

1cos( )cos( ) cos( ) cos( )

2s s st t t t

Aus jeder Spektralkomponente entsteht !0( )sω ω±


1( ) ( ) ( ) [ ( )cos0 2 ( )cos 2 ( )cos2 ...]S T s sf t f t t f t t f t t f t t

Tδ ω ω= = + + +

[ ]0 0 0

0( )

1cos( ) cos(

cos

cos( ) ) cos( )2s s s

f t

t tt t

t

ω ω

ω

ω ω ω ω

=

= − + +

z.B. :

ω

ω


Spektrum des abgetasteten Signals( ) ( )

1( )cos [ ( ) ( )]2

( ); ( 2 ), ( 2 ); ( 3 ), ( 3 );...1( ) ( )

s s s

s s s s

s sns

f t F

f t t F F

F F F F F

F F nT

ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω∞

=−∞

⇔

⇔ − + +

− + − +

= −∑

Das Spektrum des abgetasteten Signals setzt sich periodisch im Abstand ωs fort.


Das Spektrum des Orginalsignals f(t) ist im Spektrum des abgetasteten Signals fs(t) enthalten und kann aus Fs(ω) durch "Herausschneiden" mit einem idealen Tiefpassfilter fehlerfreiwieder hergestellt werden.


Abstand der Spektren hängt von der Abtastfrequenz ab.


Shannon Sampling Theorem

Ein kontinuierliches Zeitsignal x(t) mit Frequenzen ≤ fmax kann exakt von den Abtastwerten x[n]= x(nTs) rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate fs = 1/Tsgrößer als 2 fmax ist.


Spektrum der abgetasteten SinusfunktionAbtastfrequenz = 90 Hz

100 Hz periodisch fortgesetzt-100 Hz periodisch fortgesetzt

f = 10 Hz !Aliasing


Abtastfrequenz = 110 Hz100 Hz periodisch fortgesetzt

-100 Hz periodisch fortgesetzt

f = – 10 Hz !Folding


Abtastfrequenz = 250 Hz100 Hz periodisch fortgesetzt

f = 100 Hz

-100 Hz periodisch fortgesetzt

Selektivität des Filters


Abtastfrequenz = 350 Hz

Selektivität des Filters kann geringer sein.

100 Hz periodisch fortgesetzt

-100 Hz


Aliasing (1)0

0

0

( ) cos(2 ) liefert das abgetastete Signal[ ] ( ) cos(2 )

Wir betrachten eine zweite cos-Funktion mit derselben Amplitude und Phase , aber mit der Frequenz

ist eine Ganzz

s

s

x t A f tx n x nT A f t

f lf l

π φπ φ

= +

= = +

+

0

0

0

0

0

ahl und 1/( ) cos(2 ( ) ) bzw.[ ] ( ) cos(2 ( ) )

cos(2 2 ) cos(2 2 ) cos(2

s s

s

s s s

s s s

s

s

f Ty t A f lf ty n y nT A f lf nT

A f T lf TA f T lA f T

π φπ φ

π π φπ π φπ

=

= + +

= = + +

= + +

= + +

= + ) [ ]x nφ =


Aliasing (2)[ ] hat dieselben Abtastwerte wie [ ] und ist daher

von [ ] nicht unterscheidbar ! ist eine beliebige ganze Zahl, es gibt daher eine unendliche

Zahl von Kosinusfunktionen, die alle dieselbe Folge h

y n x nx n

laben wie [ ].

Die Frequenzen nennt man Aliasfrequenzen von für dieAbtastfrequenz .

+o s o

s

x nf lf ff


Folding

0

0

0

0

Die zeite Ursache für Aliassignale kommt von negativenFrequenzkomponenten :

( ) cos(2 ( ) ) bzw.[ ] ( ) cos(2 ( ) )

cos( 2 2 )

s

s

s s s

s s s

f lfw t A f lf tw n w nT A f lf nT

A f T lf T

π φπ φπ π φ

− +

= − + −

= = − + −

= − + +

0

0

cos( 2 2 ) cos(2 ) [ ]

s

s

A f T lA f T x n

π π φπ φ

= − + −

= + =


Rekonstruktion/Interpolation

Umsetzung diskret => kontinuierlich

( ) [ ] ( )

( ) charakteristische Impulsform des Konverters.

∞

=−∞

= −∑ sn

y t y n p t nT

p t


Interpolation im Zeitbereichkonstant linear interpoliert


1 x

4 x


Interpolation im Frequenzbereich


Ideale Filterung

• Um das Orginalsignal aus dem periodischen Spektrum zu rekonstruieren, bedarf es eines Filters mit exakt rechteckigem Frequenzgang (ideales Filter)

• Das Eingangssignal des idealen Filters ist die Impulsfolge des abgetasteten Signals.

• Das Ausgangssignal ist die Überlagerung der zeitversetzten, gewichteten Impulsantworten.


Impulsantwort ideales Filter

( )2

2

1 | | 2( )

0 | | 21( ) 2 sinc 2

2B j t

B

BH

B

h t e d BT Btπ ω

π

ω πω

ω π

ω ππ −

<⎧= ⎨ ≥⎩

= =∫

00

H(ω

)

ω

0

0

1

h(t)

Zeit t

-2 πB

1/2B

2πB

T

4/2B3/2B2/2B-4/2B -3/2B -2/2B -1/2B


Das Ausgangssignal ist die Überlagerung der zeitversetzten, gewichteten Impulsantworten.

( )(( ) ( )) ( )sinc 2k k

kTf kT f kTf t h t Bt kππ= − = −∑ ∑


Während die Rekonstruktion des Signal durch Rechteck- und Dreiecksimpulse nur eine ungenaue Wiedergewinnung des Signal ermöglichte, stellt die Rekonstruktion durch überlagerte und gewichtete sinc-Pulse das Signal fehlerfrei her.

Wie wir sehen, ist die Impulsantwort eines idealen Filters nicht-kausal, d.h. das Filter antwortet bereits vor dem Anlegen des Impulses.

Nichtkausale Filter sind nicht realisierbar!


Interpolationsfilter (1)Ideale (analoge) Tiefpass-Filter sind nicht-kausal und daher nicht realisierbar. Eine praktische Lösung dieses Problems wird dadurch gefunden, dass das Signal mit Abtast-frequenzen größer als der Nyquist-Frequenz abgetastet wird.

Damit entstehen Lücken im periodisch fortgesetzten Spektrum und die Anforderungen an die Flankensteilheit des Filters werden geringer.


Interpolationsfilter (2)Man kann zwar steilflankige analoge Filter mit hoher Dämpfung im Sperrbereich bauen, es ist aber nicht möglich Filter zu realisieren, die die Signale im gesamten Sperrbereich vollständig unterdrücken.

Man erreicht eine praktisch ausreichende Unter-drückung, aber nie die theoretische geforderte vollständige Ausblendung des Sperrbereichs.

Jedes praktische Signal ist von endlicher Länge. Wie wir von der Fourier-Transformation wissen, hat ein Signal endlicher Länge eine unendlich breites Spektrum.


Kein Signal kann gleichzeitig zeitbegrenzt und bandbegrenzt sein!

Ist das Signal zeitbegrenzt (hat es also eine endliche Dauer ), dann erstreckt sich das Spektrum von – ∞ bis ∞ (ist also nicht bandbegrenzt).

Ist das Signal bandbegrenzt, dann muss sich das Signal über eine unendliche Dauer im Zeitbereich erstrecken, ist also nicht zeitbegrenzt.


Überlappende Spektren


Antialiasing-FilterUm das Überlappen von Spektren zu vermeiden wird die Bandbreite von Signalen mit Antialiasing-Filtern begrenzt.


Digitalisierung

Die Auflösung des Analog-/Digital-Wandler wird nach Qualitätskriterien ausgewählt.

Für Sprachsignale reicht eine Auflösung von 8 bit aus, bei Musiksignalen auf einer Audio–CD beträgt die Auflösung 16 bit.

Je geringer die Auflösung des A/D-Wandlers ist, desto stärker weicht das digitale Signal vom analogen Signal ab.


Quantisierungsfehler

0 20 40 60-1

0

1

Zeit t

f(t)

0 20 40 60-1

0

1

Zeit t

f(t)

0 20 40 60-1

0

1

Zeit t

F(t)

0 20 40 60-1

0

1

Zeit t

F(t)

0 20 40 60-0.5

0

0.5Fehler: Δ = f (t) - F(t)

Zeit t

Δ

0 20 40 60-5

0

5x 10

-10 Fehler: Δ = f (t) - F(t)

Zeit t

Δ Quantisierungs-rauschen


Quantisierungsrauschen (1)Δ 1

2 LSBQuantisierungsfehler

Bei gleichwahrscheinlichen Signalamplituden ist die mittlere Leistung des Fehlersignals (Rauschen)

/ 22 2

/ 2

112

~ 0.2912 12

eff

eff

e s ds

LSBe LSB

Δ

−Δ

Δ= =

ΔΔ

= =

∫

8 bit: 1/900 12 bit: 1/14.000 16 bit: 1/226.000

des Wertebereichs


Quantisierungsrauschen (2)

[y,fs,nbits]=wavread('file.wav')

sound(y,fs,6) % Abspielen mit 6 bit

wavwrite(a,fs,nbits,'wavefile.wav')

nbits = 8, 16, 32 o. 64


Abtastung im FrequenzbereichAbtastung im Zeitbereich: bandbegrenzte SignaleAbtastung im Frequenzbereich: zeitbegrenzte Signale


Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Für die Berechnung der DFT gehen wir von zeitbegrenzten Signalen f(t) der Länge τ aus (a). Zeitbegrenzte Signale haben ein Spektrum F(ω) das nicht bandbegrenzt ist (b).

Aus dem zeitbegrenzten Signal gewinnen wir das diskrete Signal fs(t) durch Abtastung von f(t) im Abstand T=1/Fs(c). Durch die Abtastung wird das Spektrum periodisch mit der Periodendauer Fs=1/T , wir erhalten das Spektrum Fs(ω) (d).

Die Abtastung des Spektrum im Abstand F0=1/T0 (f) führt zur periodischen Fortsetzung des abgetasteten Zeitsignals, mit der Periode T0 (e).


00

00

1

00

1

0

1[ ] [ ]

[ ] [ ]

Njk n

k

Njk n

n

f n F k eN

F k f n e

−Ω

=

−− Ω

=

=

=

∑

∑0 oT 2

N0

DFT

IDFT

Diskrete Fourier-Transformation


0 0

0

0

1 1ˆ

0 0

1( ) [ ] [ ] ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) 2

1[ ] [ ] [ ] [ ]

Tj j

j j

N Nj

k t t

t t

n

n

k

k

k

k j

f F e F f e dtT

f F e d F f e dt

t

f F e F

t

t t

n nk e

k

k fN

kω ω

ω

ω ωωπ

ω ω

+∞−

=−∞

∞ ∞−

−∞ −∞

− −−

= =

= =

= =

= =

∑ ∫

∫ ∫

∑ ∑

⇔

⇔

⇔ 0ˆk nω

0

2ˆ TNπω ω= =

Zeitbereich Frequenzbereich

FR:

DFT:

FT:


Spektrallinien der DFT• Bei der DFT können die Spektrallinien nur im Raster

der Abtastung im Frequenzbereich auftreten.

• Es können keine Spektrallinien außerhalb des Rasters, z.B. 15 Hz auftreten. Der DFT-Algorithmusmuss die Komponente 15 Hz aus anderen Spektralkomponenten zusammensetzen!

0

0

1000; z.B.: 10 Samples: 0, 10, 20, ..., 90 Hz100

s

s

T fNT f

= = =


( )

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

0

0

0

0

0

ˆ

N-1ˆ 2 /

n=0

ˆ2 /

ˆ2 /

ˆ 02 / 1 / 2

0

[ ] 0,1,2,..., 1 [ ]

X[k]= ...

1 1

ˆsin 2 / / 2

ˆsin 2 / / 2

j n

j n e j N kn

j k N Nj

j k N

j k N Nj

x n e n Nx n

e e

eee

k N Ne e

k N

ω ϕ

ω ϕ π

π ωϕ

π ω

π ωϕ π ωπ ω

+

+ −

− −

− −

− − −

= = −

= =

−= =

−−⎡ ⎤⎣ ⎦=−⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

Die N-Punkt DFT von ist

X[k] besteht also aus Proben der Dirichlet‘schen Funktion.


0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1Time-Domain (f = 3, T = 1, fs = 8, N = 8)

t

x(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4Frequency-Domain

f

|X(f)

|

Bei der Abtastung von f = 3 liefert die Dirichlet‘sche Funktion nur bei dieser Frequenz einen Wert. Die Kosinusfunktion ist periodisch fortgesetzt.


Die Frequenz f = 2.2 liegt nicht im Raster und muss daher aus anderenFrequenzen zusammengesetzt werden! Die Dirichlet‘sche Funktion liefert mehrere Werte. Beachten Sie die periodische Fortsetzung der Kosinusfunktion.

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1Time-Domain (f = 2.2, T = 1, fs = 8, N = 8)

t

x(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4Frequency-Domain

f

|X(f)

|


In der vorigen Darstellung haben wir das Spektrum von( )0ˆ[ ] j nx n e ω ϕ+=

berechnet. Für ein reellwertiges Signal x[n] müssen wir aberdas Spektrum von

( ) ( )( )0 0ˆ ˆ[ ] j n j nx n e eω ϕ ω ϕ+ − += +

berechnen, d.h. X [k] für addieren.0ω̂−


0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1Time-Domain (f = 2.2, T = 1, fs = 8, N = 8)

t

x(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4

Frequency-Domain

f

|X(f)

|


Es wird immer das Spektrum der periodischen Fortsetzungermittelt!

Die periodische Fortsetzung liefert aber nur dann eineSinus-(Kosinus-)Funktion und damit eine einzelne Spektral-Linie, wenn die Periodendauer genau in das Abtastintervall passt, d.h. nur für Spektrallinien, die auf dem Frequenzraster liegen!

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