OndasMecânicas–ParteIIDescriçãoMatemá7cadeumaOnda

Prof.MarcoSimões

Velocidadedeumaonda•  Afrequênciaindicaquantasondasocorrememumsegundo

•  Ocomprimentodeondaindicaquandocadaondapercorre

•  Assim,avelocidadedeumaondaserá

v = λ ⋅ f

Funçãodeondasenoidal•  Épossíveldemonstrarqueaposiçãoemydeumpontoqualquerdaondapodeserdeterminadopelafunção:

•  Ou

y(x ,t)= A⋅cos 2π ⋅ x

λ− tT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Tomandoy(x ,t)= A⋅cos 2π ⋅ xλ− tT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

edistribuindo2π , teremos

y(x ,t)= A⋅cos 2πxλ

− 2πtT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Chamandok = 2πλ(númerodeonda)

Elembrandoqueω =2π f = 2πT,teremos:

y(x ,t)= A⋅cos kx −ωt( )

y(x ,t)= A⋅cos kx −ωt( )

Funçãodeondasenoidal•  Afunçãoéemrelaçãoaduasvariáveis:xet

•  Quandofixamost(porexemplo,t=3s),“congelamos”aondadoinstantet=3seobtemosaposiçãodaondaemfunçãodex.

•  Quantofixamosx(porexemplo,x=2m),“marcamos”essaabcissaeobtemosaposiçãodaondanessaabcissaemfunçãodet.

Funçãodeondasenoidal•  Onda‘congelada’emt=3

•  Ondacomx‘marcado’em

y(x ,t =3)= A⋅cos kx −3ω( )

y(x =2,t)= A⋅cos 2k−ωt( )

Númerodeonda•  Númerodeondaéaquan7dadedeondasporunidadede

distância,ouseja,onúmerodevezesqueumaondaa7ngeamesmafaseemumadeterminadadistânciadepropagação.

k=1 k=2

k=3k = 2π

λ

Númerodeonda•  Podetambémserexpressapor:

k = 2πλ

Lembrandoque:

v = λ f ⇒λ = vf

Portanto:

k = 2πλ

= 2πvf

= 2π fv

Como:ω = λ f podemostambémescrever:

k = ωv

k = ω

v

Exemplo

Resolução

Resolução

Exercício•  Odisposi7voabaixofazumacordaoscilar2,5vezespor

segundocomumaamplitudede0.5mecomprimentodeondade2,5cm.Estabeleçaaequaçãogeraldaonda,easequaçõesparax=5,0cmet=3,0s,lembrandoque:

y(x ,t)= A⋅cos 2π ⋅ x

λ− tT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ouy(x ,t)= A⋅cos kx −ωt( )

Resolução

Velocidade•  Épossíveldemonstrarqueavelocidadedeprogaçãodeuma

ondamecânicasegueaexpressãogeral:

•  Porexemplo,nocasodeumacorda,avelocidade(m/s)serádadapor:

–  OndeFéaforçadetensãodacorda(N)eμsuadensidadelinear.

v = Força restauradora

Inérciadomeio

v = F

µ

[v]= Nkgm

=

kg ⋅ms2kgm

= kg ⋅ms2

⋅ mkg

= m2

s2= ms

Exemplo

Resolução

Exercício•  Umarameestáes7cadoentredoismourões,aumadistânciade50metros.Amassadeummetrodearameé47g.Aotocarnoaramepróximodeumdosmourõesvocêobservaqueaondaretornadepoisde0,5segundo.Qualaforçadetraçãoqueestáatuandosobreoarame?

Resolução

Resumo•  Equaçãodaonda:

•  Velocidadedaonda:

•  Númerodeonda:

•  Velocidadedeumaondatransversalemumacorda:

v = λ ⋅ f

y(x ,t)= A⋅cos 2π ⋅ x

λ− tT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ouy(x ,t)= A⋅cos kx −ωt( )

k = 2π

λouk = ω

v

v = F

µ