Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 1

MEHANIKA FLUIDA

dio 6

prof. Željko Andreić

Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu

zandreic@rgn.hr

http://rgn.hr/~zandreic/

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 2

sadržaj 1-2-3!

Vrtložno tečenje

1. Vremensko usrednjavanje kod vrtložnog tečenja2. raspodjela brzine kod vrtložnog tečenja3. koeficijenti trenja glatkih cijevi 4. hidraulička hrapavost5. koeficijenti trenja hrapavih cijevi6. lokalni gubici

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 3

Fluidi u stvarnosti teku turbulentno!

Primjer:

voda kod 20oC, ν=1x10-6 m2s-1

cijev promjera 25 mm: vkr=0,1ms-1

kod turbulentnog toka putanje čestica postaju nepravilne, dolazi do vrtloženja i miješanja fluida. Zato je svako turbulentno tečenje nestacionarno.

da bi ipak nešto mogli proračunati, koristimo se vremenski usrednjenom brzinom za svaku točku toka.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 4

Vremenski usrednjena brzina u nekoj točci toka

t

v

v

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 5

Vremenski usrednjena brzina u nekoj točci toka 2

ili, po komponentama,

ovako usrednjena brzina naziva se srednja lokalna brzina.

PAŽNJA: ne miješati je sa brzinom usrednjenom po presjeku toka ( v=Q/A) sa kojom smo se sreli ranije!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 6

Vremenski usrednjena brzina u nekoj točci toka 3

vx vx vx

t=t1 t=t2

usrednjavanje rješava problem nestacionarnosti!

kod turbulentnog strujanja ne vrijedi Newton-ov zakonviskoznosti!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 7

Srednja brzina turbulentnog toka

vrtloženje "diže" česticu sa y1 na y2, no ona i dalje ima svojupočetnu brzinu! Brzina okolnog fluida na tom mjestu je

yy1

y2

x

vx(y1)

vx(y1)vx(y2)

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 8

Srednja brzina turbulentnog toka 2

čestica je dakle za sporija od okolnog fluida.

Okolni fluid će ju ubrzati, ali će to ubrzanje proizvesti silu koju okolni fluid osjeća kao otpor tečenju. Da bi je odredili, pogledajmo protok koji se u blizini čestice odvija u y-smjeru.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 9

Srednja brzina turbulentnog toka 3

Maseni protok kroz neku površinu okomitu na y-os je:

ta se masa mora ubrzati na brzinu vx(y2), što dovodi do promjene količine gibanja:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 10

Srednja brzina turbulentnog toka 4

Razlika brzina na desnoj strani upravo je:

a rezultirajuće tangencijalno naprezanje je:

pa je sila otpora jednaka:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 11

Srednja brzina turbulentnog toka 5

Vrtloženje je slično kružnom gibanju (srednju brzinu toka u x-smjeru moramo odračunati!), pa možemo pretpostaviti da je

što nam daje

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 12

Srednja brzina turbulentnog toka 6

veličina

ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina

tangencijalnog naprezanja.

izraz za tangencijalno naprezanje time postaje:

Radi preglednosti od sada nadalje u jednadžbama

ispuštamo oznaku usrednjavanja na simbolu brzine!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 13

Srednja brzina turbulentnog toka 7

Ono što neznamo je ∆y. Tu teorija posustaje pa se koriste empirijske formule.

Prandtl:

Pokusi pokazuju da je k=0,36-0,42 pa je vrijednost usvojena za teoretske proračune k=0,40.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 14

Profil brzine kod turbulentnog toka

Kombiniranjem Prandtl-ove pretpostavke i formule za prividnu brzinu tangencijalnog naprezanja dolazimo do slijedeće formule:

sa rješenjem (k=0,40):

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 15

Profil brzine kod turbulentnog toka

laminarni profil

vrtložni profilv

y

zona miješanja

A

B

C

yo

granični laminarni sloj

vrtložni tok

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 16

Profil brzine kod turbulentnog toka 2

Od stijenke do točke A koristimo laminarni profil, a od točke C do sredine cijevi turbulentni. Izmeñu A i C ih spajamo glatkom krivuljom tako da profil brzine nema lom, kao što bi to bilo da profile spojimo u točki B u kojoj se oni sijeku.

brzina kod turbulentnog profila pada na nulu u točki yo, pa uz pomoć nje odredimo konstantu integracije:

pa formula za profil brzine postaje:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 17

Profil brzine kod turbulentnog toka 3

yo se teoretski ne da izračunati pa koristimo rezultate pokusa. Npr. prema Nikuradse-u je za glatke cijevi:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 18

Profil brzine kod turbulentnog toka 4

uz Nikuradse-ove rezultate dobijamo slijedeću formulu:

tu još neznamo prividnu brzinu tangencijalnog naprezanja. Nju ćemo naći iz uvjeta u sredini cijevi (v=vmax u sredini!). Gornju relaciju prvo presložimo i napišemo jednom za os cijevi, a jednom za proizvoljni položaj y:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 19

Profil brzine kod turbulentnog toka 5

oduzimanjem donje jednadžbe od gornje i sreñivanjem nalazimo:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 20

Profil brzine kod turbulentnog toka 6

Problem! Uz stijenku to ide u minus beskonačno. (fizika govori: nema turbulentnog toka na samoj stijenci.).Kako je yo malen, i granični sloj tanak, to zanemarujemo, i protok računamo uz brzinu iz dobivene formule! Tako imamo:

uvrštavanjem izraza za brzinu i integracijom prvo dobijamo:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 21

Profil brzine kod turbulentnog toka 7

a iz protoka i srednju brzinu (po površini toka):

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 22

Profil brzine kod turbulentnog toka 8

ograničimo se na okrugle cijevi, pa nalazimo:

Podsjetimo se: veza gubitaka i koef. trenja je opisana sa:

a veza gubitaka i tangencijalnog naprezanja je:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 23

Profil brzine kod turbulentnog toka 9

Ukupno naprezanje zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i vrtložnog naprezanja, no laminarni dio je malen (brzina uz stijenku je vrlo mala!) i može se zanemariti, pa , uz:

i prethodne formule izlazi:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 24

Profil brzine kod turbulentnog toka 10

Sad konačno možemo naći vezu srednje i maksimalne brzine:

te koeficijent brzine:

i Corioliss-ov koeficijent:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 25

Profil brzine kod turbulentnog toka 11

a možemo naći i profil brzine za turbulentno strujanje (pazite na prijelaz sa ln na log!):

Pokusi pokazuju da ovaj teoretski profil, u čijem izvodu smo zanemarili granični laminarni sloj, vrijedi i u stvarnim situacijama, uz male promjene koeficijenata:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 26

Koeficijent trenja glatkih cijevi

Iz raspodjele brzine možemo naći protok kroz cijev, a iz njega preko veze prosječne i maksimalne brzine i koeficijent trenja:

Ovo je Prandtl-Karman-ova formula. ITERATIVNA JE!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 27

Koeficijent trenja glatkih cijevi 2

I na kraju, često se koristi i još jednostavnija Blasius-ova formula:

koja vrijedi u području Re<105

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 28

Faktori brzine za glatke cijevi

Ako upotrijebimo Blasius-ovu formulu profil brzine postaje:

ovo je Karman-ov 1/7-ki zakon:

y/r v/vmax

0 00,1 0,71 1 R-R r

v

vmax

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 29

Faktori brzine za glatke cijevi 2

Izrazi su komplicirani i obično se tabeliraju, a u praksi se najčešće koriste približne vrijednosti:

Pokusi: dužina na kojoj se formira turbulentni tok je:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 30

Uz stijenku cijevi uvijek postoji tanki sloj u kojem je strujanje laminarno. To je laminarni granični sloj. Za glatke cijevi njegova debljina je približno:

Hidraulička glatkost

Porastom Reynolds-ovog broja debljina graničnog laminarnog sloja se smanjuje!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 31

Hidraulička glatkost 2

turbulentna jezgra toka

laminarni granični sloj

stijenka cijevi

Ovo je hidraulički glatka stijenka jer je granični laminarni sloj deblji od najvećih neravnina stijenke.

prijelazno područje

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 32

Hidraulička glatkost 3

turbulentna jezgra toka

laminarni granični sloj

stijenka cijevi

Ovo je prijelazno područje jer je granični laminarni sloj po debljini približno jednak najvećim neravninama stijenke.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 33

Hidraulička glatkost 4

turbulentna jezgra toka

laminarni granični sloj

stijenka cijevi

Ovo je hidraulički hrapava stijenka jer je granični laminarni sloj znatno tanji od najvećih neravnina stijenke.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 34

Hidraulička glatkost 5

e

dlam>4e hidraulički glatko4e>dlam>e/2 prijelazno područjedlam<e/2 hidraulički hrapavo

dlam

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 35

Koeficijent trenja hrapavih cijevi

estaklene <1 µmbakrene, plastične 0,01 mmvaljane čelične 0,1 mmlijevane čelične 0,5 mmbetonske 2 mm

edlam

ponašanje cijevi obično ovisi o omjeru e/R.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 36

Koeficijent trenja hrapavih cijevi 2

hidraulički glatke cijevi λh=f(Re)

prijelazno područje λh=f(Re,e/R)

hidraulički hrapave cijevi λh=f(e/R)

Ponašanje cijevi ovisi o omjeru e/R, a teorija i eksperiment daju slične rezultate za koeficijent trenja.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 37

Koeficijent trenja hrapavih cijevi 3

Colebrook-White-ova formula:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 38

Moody-ev dijagram

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 39

Koeficijent trenja hrapavih cijevi 5

Za danu cijev je e/R konstantno, pa je koeficijent trenja konstantan, a gubici proporcionalni kvadratu brzine toka:

U prijelaznom području je situacija složenija, pa se koriste grafički prikazani eksperimentalni podaci (Moody-ev dijagram).

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 40

Koeficijent trenja hrapavih cijevi 6

Kriteriji za odreñivanje vrste tečenja:

laminarno Re<2300turbulentno, glatko Re<0,5 d/eturbulentno, prijelazno Re<500 d/eturbulentno, hrapavo Re>500 d/e

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 41

Opis lokalnih gubitaka

Nastaju na mjestima promjene smjera ili presjeka toka i vrlo su složeni za analizu, pa se odreñuju pokusima. Općenito je:

pa se problem svodi na odreñivanje koeficijenta lokalnog gubitka ζ.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 42

Opis lokalnih gubitaka 2

v1 v2A1 A2

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 43

Naglo proširenje

Borda-Carnot-ov gubitak.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 44

Naglo proširenje 2

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 45

Dijafragma (prigušnica)

A1 A2

0,2

0,5

2,3

0,25

5,4

0,2

16

0,15

0,441,081ζ1

0,40,30,1m

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 46

Sapnica po ISO

A1 A2

0,2

0,7

2,3

0,4

5,4

0,3

16

0,2

0,080,441,081ζ1

0,80,60,50,1m

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 47

Postepeni prijelaz (difuzor)

A1 A2ϕ

Ako je kut difuzora veći od ca 30o, gubici su vrlo veliki zbog odvajnja toka od stijenke!kod malog kuta su gubici zbog dužine difuzora veliki!

L

Difuzora ima najrazličitijih kuteva i dužina. Koriste se za smanjenje gubitaka na mjestima promjene presjeka cijevi.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 48

Postepeni prijelaz (difuzor) 2

A1 A2ϕ

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 49

Venturijeva cijev

A1,v1

Kombinacija sapnice i difuzora, služi za lokalno povečanje brzine toka.

A2,v2

0,3

0,5

2

0,25

3

0,2

7

0,15

0,5117ζ1

0,40,30,1m

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 50

Naglo suženje

kontrakcija mlaza:

A1,v1

As,vs

A2,v2

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 51

Naglo suženje 2

Kontrakcija mlaza je obično izmeñu 0,6 i 1. Uglavnom nije poznata, pa se koriste eksperimentalni podaci. Npr.:

1,8

0,4

9,4

0,2

0,160,5441ζ1

0,80,60,1m

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 52

Naglo suženje 3

Otupljivanje oštrih rubova smanjuje gubitke na 50%, a obli rubovi na 25%!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 53

Postepeno suženje (konfuzor)

Gubici dolaze samo od trenja i maleni su. Za kuteve manje od 30o ih zanemarujemo, a kod kuteva većih od 60o

suženje više nije postepeno!

A1 A2ϕ

0,07

60o

0,04

45o

0,02ζ2

30oϕ

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 54

Ostali elementi cijevnog sustava

0,05zasun, potpuno otvoren

0,6-3,9ventil, potpuno otvoren

0,1-2,4zaštitna rešetka

0,05-0,1kuglasti ventil, potpuno otvoren

100-800gusto tkanje (platno)

2-25rijetko tkanje (gaza)

0,5-1,5grananje toka

0,05-3spajanje toka

ζζζζ1element

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 55

Ostali elementi cijevnog sustava 2

ζζζζ1= 1,4 ζζζζ1= 1,2

Lukovima se može koef. trenja smanjiti do ca. 0,2.

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 56

Ulazni otvori

v2

ζ2=0,25zaobljeni rub

ζ2=0,5oštar rub

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 57

Ulazni otvori 2

v2

ζζζζ2=1

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 58

Ulazni otvori 3

v2

ζζζζ2=0,005-0,1 ovisno o hrapavosti!

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 59

Izlazni otvori

ζζζζ1=0 (µ=1)

v1v1

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 60

Izlazni otvori 2

v1

ζζζζ1=1,8 (µ∼0,6)

v1

ζζζζ1=0,5 (µ∼0,8)

6-10R

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 61

Izlazni otvori 3

v1

ζζζζ1=0,1 (µ∼0,95)

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 62

Zbrajanje otpora

Otpori pojedinih elemenata cijevnog sustava zbrajaju se serijski:

λλλλ1,l1,r1

λλλλ2,l2,r2 λλλλ3,l3,r3, itd. ζζζζ1

ζζζζ2

A1,v1 A2,v2 A3,v3

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 63

Zbrajanje otpora 2

Kod paralelnih cjevovoda koristi se Kirchoff-ov zakon:

∆h1

∆h2

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 64

Zbrajanje otpora 3

∆h3

∆h4

∆h1

ukupni otpor grana=∆h2

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 65

Izlazna energija

Izlazna energija je preostala energija koju fluid ima kad napušta naš cijevni sustav (turbulentno strujanje!):

Bernoulli-jeva jednadžba za cijeli sustav (izlazni tlak je 0!):

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 66

Izlazna energija 2

Na ulazu u sustav mora se stvoriti energetska visina jednaka ukupnim gubicima u sustavu:

Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 67

Izlazna energija 3

Primjer: horizontalna ravna cijev:

vul viz

vul=viz, zul=ziz