Post on 14-Apr-2020
INTRODUCCIÓN AL METODO DELOS ELEMENTOS FINITOS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras
Problema de elasticidad
Modelo de elementos finitos
lLlL BDBC 8,06,0 ==
De la geometría de la estructura:
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA T. V.
C
P
l B
D
3
43
4
δ
C
P
l B
D
3
43
4
B’
Desplazamiento virtual: B B´
CBCB L
αδε δ cos=
DBDB L
βδε δ cos=
Deformacionesvirtuales:
α
β δ
C
P
l B
D
B’δ
C
Bα
δ cos α
B’
0=⋅= ∑ δrr
FWe '
( ) ( )DBDB
DBCBCB
CBbarras
xxi LAL
LAL
VolW ⋅+⋅=⋅= ∑ βδσαδσεσ δ coscos'
( ) ( ) 0=⋅+⋅ DBDB
DBCBCB
CB LAL
LAL
βδσαδσ coscos
Trabajo virtual fuerzas exteriores:
Trabajo virtual desarrollado por las tensiones internas:
CBCBDB σσσ34
53
54
−=−=
ELEMENTO TRIANGULAR DE TENSIÓN CONSTANTE
ELEMENTO DE TRES NUDOS DE TURNER (1957)
Sentido denumeracióndel elemento
x
y
1
2
3
(F1)x , u1
(F1)y , v1
(F2)x , u2
(F2)y , v2
(F3)y , v3
(F3)x , u3
Se consideran en cada nudo dos grados de libertad de traslación
Fi = fuerzas en los nudosui = desplazamientos de los nudos
¿Qué buscamos para este elemento?
{ } [ ]{ }uKF e=
donde:
{ }
( )( )( )( )( )( ) ⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
y
x
y
x
y
x
FFFFFF
F
3
3
2
2
1
1
{ }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
3
3
2
2
1
1
vuvuvu
u
Vector de fuerzas queactúan en los nudos
Vector de desplazamientosde los nudos
[ ]eK = Matriz de rigidez del elemento (6x6)
Hipótesis: los desplazamientos de los puntos del interior del elemento pueden aproximarse mediante funciones lineales de las coordenadas del punto que consideremos.
u y v = componentes del desplazamiento en un punto genérico del elemento según los ejes coordenados
( )( ) yxvyxv
yxuyxu
654
321
,,
αααααα
++==++==
Coeficientes α’s = coeficientes a determinar
Lógicamente, en los nudos del elemento, dichos desplazamientos deben coincidir con los desplazamientos nodales que experimentan dichos nudos. Si las coordenadas de los nudos fueran: del nudo 1, (x1,y1), del 2, (x2,y2) y del 3, (x3,y3), se tiene que:
363543
333213
262542
232212
161541
131211
yxvyxuyxvyxuyxvyxu
αααααααααααααααααα
++=++=++=++=++=++=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
10000001
10000001
10000001
αααααα
yxyx
yxyx
yxyx
vuvuvu
{ } [ ] { }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
6
5
4
3
2
1
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
10000001
10000001
10000001
αααααα
αy
yxyx
yxyx
yxyx
C
vuvuvu
u
{ } [ ]{ }αCu =
{ } [ ] { }uC 1−=α
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
321
321
321
321
321
321
1
000000000
000000000
21
cccbbbaaa
cccbbbaaa
aC
123
312
231
213
132
321
12213
31132
23321
xxcxxcxxcyybyybyyb
yxyxayxyxayxyxa
−=−=−=−=−=−=−=−=−=
3212 aaaa ++=
La expresión de los movimientos de un punto resulta ahora
yxu 321 ααα ++=
yxv 654 ααα ++=
[ ] [ ] [ ] 333322221111 21
21
21 uycxba
auycxba
auycxba
a⋅+++⋅+++⋅++=
[ ] [ ] [ ] 333322221111 21
21
21 vycxba
avycxba
avycxba
a⋅+++⋅+++⋅++=
N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y)
“Los desplazamientos de un punto cualquiera son una media ponderada de los movimientos de los extremos”
ELEMENTO DE TURNER: FUNCIONES DE FORMA
N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y)
332211 uyxNuyxNuyxNu ⋅+⋅+⋅= ),(),(),(
332211 vyxNvyxNvyxNv ⋅+⋅+⋅= ),(),(),(
Es decir:
Ni (x,y) son las denominadas funciones de forma del elementoSi expresamos lo anterior matricialmente:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
3
3
2
2
1
1
321
321
000000
vuvuvu
NNNNNN
vu
( ) [ ]ycxbaa
yxNN ii 11121
++== ,
La "función de forma" i_ésima del elemento es:
Interpretación geométrica de las funciones de forma:
N1
N3
N2
21u
3
1u
1u
x
y
1
23
[ ]{ }uB
vuvuvu
xN
yN
xN
yN
xN
yN
yN
yN
yN
xN
xN
xN
xy
y
x
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
332211
321
321
000
000
γεε
33
22
11 u
xN
ux
Nux
Nxu
x ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ε
33
22
11 v
yN
vy
Nvy
Nyv
y ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ε
33
33
22
22
11
11 v
xN
uy
Nv
xNu
yNv
xNu
yN
xv
yu
xy ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=γ
Deformaciones:
Es decir:
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL ELEMENTO
La matriz [B] ¡¡¡es constante!!!
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
332211
321
321
000000
21
bcbcbcccc
bbb
aB
[ ] [ ]321 BBBB = [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
xN
yN
yN
xN
B
ii
i
i
i 0
0
( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
ESimétrica
E
EE
γεε
ν
ν
νν
ν
τσσ
12
01
011
2
22
Campo de tensiones en el interior del elemento(Hipótesis de tensión plana)
( )( )( )
( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−+−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
Simétrica
E
γεε
νν
νν
ννν
τσσ
1221
01
01
1
2111
Campo de tensiones en el interior del elemento(Hipótesis de deformación plana)
{ } [ ]
( )
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
xy
y
x
ESimétrica
E
EE
Dγεε
ε
ν
ν
ν
ν
ν
τσσ
σ
12
01
011
2
22
{ } [ ]{ }εσ D={ } [ ][ ]{ }uBD=σ
{ }σ se denomina vector tensión en el elemento,
{ }u se denomina vector desplazamientos nodales,
[ ]D es una matriz que depende de las propiedades elásticas del material
y, finalmente, [ ]B es una matriz cuyos elementos dependen de las coordenadas
cartesianas de los nudos del elemento.
{ }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
''''''
'
3
3
2
2
1
1
vuvuvu
u
x
y
1
2
3
u1’
u3’
u2’
v1’
v2’
v3’
Aplicación del P.T.V.Vector de desplazamientos virtualesimpuestos al elemento:
{ } { } nodalesfuerzaslasdeTrabajouF T =′
{ } { } { } { } VolduFVolumen
TT ∫ ′=′ εσ
{ } [ ]{ }uB ′=′ε
Campo de deformaciones virtuales:
{ } { } { } [ ] [ ]( ) [ ]{ }( ) { } [ ] [ ] [ ]{ } VolduBDBuVolduBDBuuFVolumen
TTT
Volumen
TTTT ∫∫ ′=′⋅=′
{ } { } [ ] [ ] [ ]⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= ∫ VoldBDBuF
Volumen
TTTT
Como la ecuación anterior debe verificarse para cualquiervector de desplazamientos virtuales {u’} impuesto al elemento:
{ } { } [ ] [ ] [ ]⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= ∫ VoldBDBuF
Volumen
TTTT
{ } [ ] [ ][ ] { }uVoldBDBFVolumen
T⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= ∫
{ } [ ] [ ][ ]( ){ }uVolumenBDBF T=
[ ] [ ] [ ] [ ]VolumenBDBK Te =
{ } [ ]{ }uKF e=
ó, trasponiendo:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
.4
kkksimkkkkkkkkkkkkkkkkkk
aeK e
( )
3133311216
3133311115
2133211214
2133211113
11331212
2333
232266
2333
231155
2233
222244
2233
221133
2133
212222
2133
211111
bcdcbdkccdbbdkbcdcbdkccdbbdk
cbddkbdcdk
cdbdk
bdcdk
cdbdk
bdcdk
cdbdk
+=+=+=+=
+=+=
+=
+=
+=
+=
+=
3133312226
3133131225
2133212224
2133121223
bbdccdkcbdcbdkbbdccdkcbdcbdk
+=+=+=+=
( )
2333321236
3133321135
22331234
cbdcbdkccdbbdk
cbddk
+=+=
+=
( ) 33332156
2333322246
3233232145
cbddkbbdccdkcbdcbdk
+=+=
+=
( )32121 aaaa ++=
e = espesor del elemento
MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO TRIANGULAR
Se establece la relación entre los nodos de cada elemento y los nodos de la malla global
4
2
Nudo 2
322
3
Nudo 3
11
Nudo 1ELEMENTO
ENSAMBLAJE
u
v3
y
xv
1
2
4
3
u2
u4
u3
u1
v1
v4
v2
Elemento 1
Elemento 2
Matriz de rigidez del elemento 1
Cada elemento tiene 6 grados de libertad (2 por nudo)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=)1(k
u1
u2
v1
v2
u3
v3
u1 v1 u2 v2 u3 v3
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=)2(k
u2
u3
v2
v3
u4
v4
v2 u3 v3 u4 v4u2
Matriz de rigidez del elemento 2
)1(k
)2(k
Las condiciones de contorno se incorporan como ya sabemos
u1 v1 u2 v2
88
K
×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
u1
v1
u2
v2u3
v3u4v4
u3 u4v4v3
P
x
y
2
1 35
4
12
3
P
x
y
P
x
y
2
1 35
4
12
3
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Elemento 1 Nudos: 1 2 3Elemento 2 Nudos: 2 4 3Elemento 3 Nudos: 3 4 5
(F3’ )x
2
1 3
1
(F1’ )y
(F1’ )x
(F3’ )y
(F2’ )y
(F2’ )x
(F2’’ ) x(F2
’ ) x (F2’ ) y
(F2’’ ) y
(R2 )x
(R2 )y
2
(F1’ )x
(F1’ )y
(R1 )x
(R1 )y
1
(F2’ ) x
(F2’ ) y
(F3’’’ ) x
(F3’’’ ) y
(R3)x
(R3 )y
3
(F3’’ )y
(F3’’ )x
4
2(F2
’’ )x
2
(F2’’ )y
3 (F3’’ )x
(F3’’ )y
(F4’’ )x
(F4’’ )y
5
3
4
3
(F3’’’ )y
(F3’’’ )x
(F4’’’ )x
(F4’’’ )y
(F5’’’ )x
(F5’’’ )y
(R4 )y
(R4)x(F4’’ )x
(F4’’’ )x
(F4’’ )y
(F4’’’ )y
4
(R5)x
(R5 )y
(F5’’’ )x
(F5’’’ )y
5
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
661
561
551
461
451
441
361
351
341
331
261
251
241
231
221
161
151
141
131
121
111
1
.kkksimkkkkkkkkkkkkkkkkkk
K elementoe
ELEMENTO 1 { } [ ] { }111 uKF elementoe=
{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′
=
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
F
3
3
2
2
1
1
1 { }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
3
3
2
2
1
1
1
vuvuvu
u
ELEMENTO 2 { } [ ] { }222 uKF elementoe=
{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ″
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ″
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ″
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ″
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ″
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ″
=
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
F
3
3
4
4
2
2
2 { }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
3
3
4
4
2
2
2
vuvuvu
u
{ } [ ] { }333 uKF elementoe=ELEMENTO 3
{ }
( )( )( )( )( )( ) ⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
y
x
y
x
y
x
FFFFFF
F
''''''''''''''''''
5
5
4
4
3
3
3 { }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
5
5
4
4
3
3
3
vuvuvu
u
( )( )( )( )( )( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
′
′
0000
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0000000000.000000000000000000000000
166
156
155
146
145
144
136
135
134
133
126
125
124
123
122
116
115
114
113
112
111
Simkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
0000
3
3
2
2
1
1
vuvuvu
=
ELEMENTO 1
( )( )( )( )( )( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
″
″
″
″
″
″
00
00
4
4
3
3
2
2
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0000000.000000000000000000000000000
244
234
233
264
263
266
254
253
256
255
226
225
224
223
222
216
215
214
213
212
211
kkkSimkkkkkkkkkkkkkkkkkk
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
00
00
4
4
3
3
2
2
vuvuvu
=
ELEMENTO 2
ELEMENTO 3
( )( )( )( )( )( ) ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
y
x
y
x
y
x
FFFFFF
''''''''''''''''''
0000
5
5
4
4
3
3
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
366
356
355
346
345
344
336
335
334
333
326
325
324
323
322
316
315
314
313
312
311
.
0000000000000000000000000000000000
kkkkkkkkkkSimkkkkkkkkkkk
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
5
5
4
4
3
3
0000
vuvuvu
=
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++++++++++
+++++++
=
366
356
355
346
345
344
244
336
335
334
234
333
233
326
325
324
264
323
263
322
266
166
316
315
314
254
313
253
312
256
156
311
255
155
224
223
226
146
225
145
222
144
214
213
216
136
215
135
212
134
211
133
126
125
124
123
122
116
115
114
113
112
111
000000000000
kkkkkkkkkkkkkSimkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkk
K
.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
{ } [ ]{ }uKR =
{ }
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++
++++
+
+
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
y
x
yy
xx
yyy
xxx
yy
xx
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
FF
FFFF
FFFFFF
FFFF
FF
RRRRRRRRRR
R
''''''
''''''''''
''''''''''''
''''''
''
5
5
44
44
333
333
22
22
1
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
vuvuvuvuvu
u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRyRRRRR yyxxyx −====== 344311 0
{ }
( )( )
( )( ) ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
y
x
y
x
RR
P
RR
F
5
5
2
2
00
0
00
Incógnitas: 4
05522 ==== vuvu
{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
00
00
4
4
3
3
1
1
vuvu
vu
uIncógnitas: 6
( )( )
( )( )
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
y
x
y
x
RR
P
RR
5
5
2
2
00
0
00
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++++++++++
+++++++
366
356
355
346
345
344
244
336
335
334
234
333
233
326
325
324
264
323
263
322
266
166
316
315
314
254
313
253
312
256
156
311
255
155
224
223
226
146
225
145
222
144
214
213
216
136
215
135
212
134
211
133
126
125
124
123
122
116
115
114
113
112
111
.
000000000000
kkkkkkkkkkkkkSimkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkk
¡10 ECUACIONES CON 10 INCÓGNITAS!
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
00
00
4
4
3
3
1
1
vuvu
vu
Ejemplos de problemas en los que puede aplicarse este elemento:
1. Tuberías
2. Tanques cilíndricos
3. Tanques esféricos,…
•Problemas en los que no haya flexiones
Porque a los nodos del elemento solo se les ha posibilitado moverse en su plano
•Problemas en los que la tensión pueda aceptarse como constante
Porque con las funciones de forma definidas la tensión en el elemento es constante
•Problemas en los que la deformación pueda aceptarse como constante
Porque con las funciones de forma definidas la deformación en el elemento es constante
“CONDICIONES DE USO” DEL ELEMENTO TRIANGULAR DE TURNER