Deret Fourier

Definisi Deret FourierFungsi Genap dan Ganjil

Deret Fourier periode 2π f fungsi periodik dengan periode 2

Fungsi tersebut dapat direpresentasikan dalam deret trigonometrik sebagai:

11

0 sincosn

nn

n nbnaaf

dfa

21

0

,,ndncosfan 211

,,ndnsinfbn 211

11

0 sincosn

nn

n nbnaaf

Integrasi dapat dilakukan pada batas

0 sampai 2

dfa 2

00 21

,,ndncosfan 211 2

0

,,ndnsinfbn 211 2

0

Contoh 1. Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik berikut.

2

0

jikaA

jikaAf

ff 2

0212121

2

0

2

0

2

00

dAdA

dfdf

dfa

011

1

1

2

0

2

0

2

0

nnsinA

nnsinA

dncosAdncosA

dncosfan

ncosncoscosncosnA

nncosA

nncosA

dnsinAdnsinA

dnsinfbn

20

11

1

1

2

0

2

0

2

0

ganjilnjika4

1111

cos2cos0coscos

nA

nA

nnnnAbn

genapn jika0

1111

cos2cos0coscos

nA

nnnnAbn

Deret Fourier yang dimaksud adalah:

7sin

715sin

513sin

31sin4A

Karena deret Fourier memiliki tak hingga banyaknya suku, maka timbul pertanyaan: berapa suku yang kita perlukan?

Jika kita menyertakan 4 suku pertama, maka grafik fungsinya adalah seperti berikut:

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

f ( )

Untuk 6 suku, grafik fungsi tampak seberti ini:

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

f ( )

8 suku.

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

f ( )

12 suku.

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

f ( )

Kurva merah menyertakan 12 suku sedangkan biru 4 suku.

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Kurva merah menyertakan 12 suku sedangkan biru 4 suku.

0 2 4 6 8 101.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Kurva merah menyertakan 20 suku sedangkan biru 4 suku.

0 2 4 6 8 101.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Deret Fourier periode 2L

Ekspansi deret Fourier dari fungsi tersebut adalah

fungsi periodik dengan periode 2L )(f

di mana:

Fungsi genap dan ganjil

Fungsi genap

ff Mathematically speaking -

Fungsi ganjil

ff Mathematically speaking -

Fungsi genap dapat direpresentasikan oleh kurva cosinus, karena kurva cosinus adalah fungsi genap. Jumlah dari fungsi-fungsi genap adalah juga fungsi genap.

10 0 10

5

0

5

Fungsi ganjil dapat direpresentasikan oleh kurva sinus, karena kurva sinus adalah fungsi ganjil. Jumlah dari fungsi-fungsi ganjil adalah juga fungsi ganjil.

10 0 10

5

0

5

Deret Fourier dari fungsi genap fdirepresentasikan dalam deret cosinus.

1

0 cosn

n naaf

Deret Fourier dari fungsi ganjil fdirepresentasikan dalam deret sinus.

1

sinn

n nbf

Contoh 2. Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik berikut.

ff 2

xjikaxxf 2

3321

21

21

23

20

x

x

x

dxxdxxfa

nxdxx

dxnxxfan

cos1

cos1

2

Gunakan integral parsial.

nn

an cos42

ganjiln jika42n

an

genapn jika42n

an

Karena fungsi tersebut genap.

Maka, 0nbDeret Fourier dari fungsi tersebut adalah

222

2

44cos

33cos

22coscos4

3xxxx