“Serie de Fourier”Aspectos Importantes

Serie de FourierLa serie de Fourier de una función periódica f(x) de periodo

T, también conocida como señal, definida en un intervalo de longitud T está compuesta por:

F(x) = a0/2 + Σ (an cos (n 0x) + bn sen ( n0x ))

Ejemplo 1

Aspectos a considerar

Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones periódicas con periodo 2.

Si f(x) es periódica con periodo T entonces f (a x) es periódica con periodo S=T/A: pues se necesita que

f(a(x+s)) = f(ax+As)= f(a x): a S = T. en términos de la frecuencia, se tiene f(a x) es a veces la frecuencia de

f(x).

Si f(x) es periódica con periodo T y g (x) es periódica con periodo S entonces f(x) + g(x) será periódica si existen enteros positivos n y m tales que n.T = M.S.

pues se necesita encontrar un cierto número de veces que ambos periodos se repitan.

Si f(x) es periódica con periodo T entonces para cualquier entero positivo n, f (x) + f(nx) es una función

periódica con periodo T.

Formulas o especificaciones

Teorema de la serie de FourierCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer

como el siguiente teorema.

En los términos an y bn se calculan integrando en un periodo y en las anteriores se integra entre –T/2 y T/2 o también se podría hacer

entre 0 y T, an y bn dependen de los límites de la integración aunque estos an y bn son constante.

Serie de Fourier compleja

Teorema de la serie de Fourier en notación complejaEsta se descompone como una función periódica de T

Cuando se utiliza la serie de Fourier resulta lo siguiente:

La notación o ejercicio es más corto Es más sencillo multiplicar, derivar y trabajar con senos y

cosenos Los t,f (t) representan siempre la función f del dominio del

tiempo Cuando se trata de dominio de la frecuencia estos son los que

representan la función:

Ejemplo 2

Desarrollar en series de Fourier f (t) = t2, 0 < t < 2 , con periodo 2

Integrando por partes

Por lo tanto:

la frecuencia fundamental:

+ la frecuencia de Fourier:

Señales continuas no periódicas

Cuando haya señal no periódica se puede aplicar el teorema de dos maneras: la primera es creando una señal a partir de la señal no periódica y la segunda aplicando la transformada de

Fourier.

Señal no perdioca

Cuando se crea una señal periódica cuando se tiene una señal, f (t), definida entre ta y tb se puede crear una señal periódica

a partir de ella, g(t) se repite f (t). Una vez obtenido esto la nueva señal es T=tb-ta, estos resultados serán validos en el

medio (tb –ta).

Ejercicio

Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de periodo 2 , definida por:

La función f es par por lo cual se obtiene una serie de cosenos que forma:

Como la función es continua

Esta serie se obtiene:

De donde se obtiene: