Séries de Fourier — PSI — Paul Valéry — Table des...

Séries de Fourier — PSI — Paul Valéry —

Table des matières

1 Fonctions et séries de fonctions 2π périodiques 21.1 Ensemble des fonctions continues par morceaux et 2π-périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Rappels de définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Intégrale sur une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Espace préhilbertien des fonctions continues 2π-périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Un produit scalaire sur C2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Autres normes sur le C-espace vectoriel C2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Extensions des notations au C-espace vectoriel C M2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Convergence normale d’une série trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Séries de Fourier 72.1 Coefficients de Fourier exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Propriétés de calcul des coefficients de Fourier exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Caractère borné des coefficients de Fourier exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Coefficients de Fourier trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Propriétés de calcul des coefficients de Fourier trigonométriques . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Caractère borné des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Convergence en moyenne quadratique : théorème de Parseval 93.1 Série de Fourier d’une fonction de C M2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Théorème de convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Extension du théorème de Parseval à CM2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Convergence ponctuelle : 124.1 Théorème de convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Cas des fonctions T -périodiques 13

1 / 13

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1 Fonctions et séries de fonctions 2π périodiques

1.1 Ensemble des fonctions continues par morceaux et 2π-périodiques

1.1.1 Rappels de définitions

. Soit une fonction f , définie sur un segment [a, b] de R. f est dite continue par morceaux sur [a, b] s’ilexiste une subdivision x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b de [a, b] telle que la restriction de f à chacundes intervalles ouverts ]xk, xk+1[ soit prolongeable en une fonction continue sur [xk, xk+1].Il faut et il suffit pour cela que f , définie sur [a, b], soit continue sur l’intervalle ]a, b[ sauf peut-être enun nombre fini de points en lesquels f admet une limite finie à droite et à gauche et que f admetteune limite finie à droite en a et une limite finie à gauche en b.

. Une fonction f , définie sur un intervalle I de R, est dite continue par morceaux sur I lorsque sarestriction à tout segment [a, b] inclus dans I est continue par morceaux sur [a, b].

. On définit de manière analogue l’ensemble des fonctions de classe Cp par morceaux sur un intervalle Iet à valeurs complexes.

1.1.2 Notations

1. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I sera noté CM (I, C).

2. Dans ce qui suit, CM2π désigne l’ensemble des fonctions 2π-périodiques, continues par morceaux sur Ret à valeurs complexes.

3. C2π désigne l’ensemble des fonctions 2π-périodiques, continues sur R et à valeurs complexes.

1.1.3 Propriétés élémentaires

. CM2π est un sous-espace du C-espace vectoriel (F (R, C),+, .).

. C2π est un sous-espace vectoriel du C-espace vectoriel CM2π .

. Soit α un réel arbitrairement fixé. Si g est une fonction de classe C p par morceaux sur [α, α + 2π]vérifiant g(α) = g(α + 2π), alors g est prolongeable de manière unique en une fonction 2π -périodiquesur R et ce prolongement est de classe C ppar morceaux sur R.Si on suppose de plus que g est continue sur [α, α + 2π], alors ce prolongement est continu sur R.

. CM2π est aussi stable par le produit de fonctions et constitue une sous-algèbre de (F (R, C),+,×, .).

1.1.4 Intégrale sur une période

. Proposition 1

Soit f ∈ CM2π . L’intégrale∫ α+2π

αf(t) dt ne dépend pas du réel α.

Démonstration : Soit f ∈ CM2π .

◦ Pour tout α de R, f est continue par morceaux sur le segment [α, α + 2π] d’où l’existence deZ α+2π

αf(t) dt.

◦ Soit alors un réel β. Puisque f est aussi continue par morceaux sur le segment dont les extrémités sont min(α, β) etmax(α + 2π, β + 2π), la relation de Chasles permet d’écrire l’égalité :Z α+2π

αf(t) dt =

Z β

αf(t) dt +

Z β+2π

βf(t) dt−

Z β+2π

α+2πf(t) dt.

Or f est 2π-périodique, donc on aZ β+2π

α+2πf(t) dt =

Z β

αf(t) dt et par suite

Z α+2π

αf(t) dt =

Z β+2π

βf(t) dt . �

. Si on considère deux fonctions f et g de CM2π , on peut envisager l’intégrale∫ α+2π

αfg.

Cette intégrale ne dépend pas du réel α choisi.2 / 13 Fourier09bis.tex


1.2 Espace préhilbertien des fonctions continues 2π-périodiques

1.2.1 Un produit scalaire sur C2π

. Proposition 2

Pour toutes fonctions f et g de C2π , on pose (f/g) = 12π

∫ π

−πf(t)g(t) dt.

Alors (C2π , (./.)) est un espace préhilbertien complexe.

Ce résultat a été vu dans l’étude des espaces préhilbertiens.

La norme associée au produit scalaire de cet espace est donnée par ‖f‖2 =(

12π

∫ π

−π|f(t)|2 dt

)1/2

où

|f(t)|2 est le carré du module de f(t).

. Notation : Pour chaque entier n ∈ Z, on pose en :(

R −→ Ct 7−→ eint

)Chacune des fonctions en appartient au C-espace vectoriel C2π .

Proposition 3

La famille de fonctions (en)n∈Z est une famille orthonormale de cet espace préhilbertien, c’est àdire que l’on a ∀(n, p) ∈ Z2 (en/ep) = δn,p (symbole de Kronecker).

Démonstration : Soit (p, q) ∈ Z2.

Si p = q

Z π

−πei(q−p)t dt =

Z π

−πdt = 2π Si p 6= q

Z π

−πei(q−p)t dt =

"ei(q−p)t

i(q − p)

#π

−π

= 0 �

Proposition 4

La famille de fonctions (t 7→ cos nt, t 7→ sinnt)n∈N est une famille orthogonale de cet espacepréhilbertien.

Démonstration :Pour calculer les produits scalaires, on utilise les formules de trigonométrie suivantes :2 cos(pt) cos(qt) = cos(p + q)t + cos(p− q)t , 2 sin(pt) sin(qt) = cos(p− q)t− cos(p + q)t, 2 sin(pt) cos(qt) = sin(p + q)t + sin(p− q)tet les calculs d’intégrales pour k 6= 0 :Z π

−πcos kt dt =

»sin kt

k

–π

−π

= 0 car sin kπ = 0 etZ π

−πsin kt dt =

»−

cos kt

k

–π

−π

= 0 car cos est paire �

Cette famille n’est pas orthonormée car les normes de t 7→ cos nt et t 7→ sinnt valent√

22 pour n > 1.

. Si f ∈ C2π , (en/f) = 12π

∫ π

−πenf =

12π

∫ π

−πe−intf(t) dt.

1.2.2 Polynômes trigonométriques

Pour tout entier n ∈ N, on définit les familles de vecteurs de C2π

En = (ek)−n6k6n et Tn = (t 7→ 1, t 7→ cos t, t 7→ sin t, . . . , t 7→ cos nt, t 7→ sinnt).

Proposition 5

Pour tout entier n ∈ N, les espaces vectoriels engendrés par ces deux familles sont identiques.On le notera Pn.

Démonstration :Cela provient des relations valables pour tout t ∈ R et pour tout k ∈ N

eikx = cos(kx) + ı sin(kx)e−ikx = cos(kx)− i sin(kx)

et

(cos(kx) = 1

2 (eikx + e−ikx)

sin(kx) = 12i (e

ikx − e−ikx)�

Définition 1

Les éléments des espaces vectoriels définis dans la proposition précédente sont appeléspolynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n.

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Proposition 6

1. dimC Pn = 2n + 1.

2. Tout élément ϕ de Pn s’écrit de manière unique sous la forme :

∀x ∈ N ϕ(x) =n∑

k=−n

ckeikx

= c0 +n∑

k=1

(c−ke−ikx + cke

ikx)

= a02 +

n∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx)

où les ck, ak et bk sont des constantes complexes liées par les relations :

∀k ∈ [[0, n]]

{ck = ak − ibk

2c−k = ak + ibk

2et

{ak = ck + c−k

bk = i(ck − c−k)( avec la convention b0 = 0).

Démonstration :

1. Les familles En et Tn sont des familles libres puisque ce sont des vecteurs non nuls 2 à 2 orthogonaux d’après les propositions 3 et4. Ce sont donc des bases de Pn . D’où la dimension de Pn.

2. L’écriture exponentiellenP

k=−nckeikx et l’écriture trigonométrique a0

2 +nP

k=1(ak cos kx + bk sin kx) de ϕ(x) correspondent à la dé-

composition de ϕ dans les deux bases précédentes, donc elles sont uniques.Les relations entre les coefficients ck, ak et bk sont des conséquences des formules d’Euler. �

Proposition 7

Pour tout élément ϕ de Pn défini sur R par

∀x ∈ N ϕ(x) =n∑

k=−n

ckeikx = a0

2 +n∑

k=1


on a ‖ϕ‖2 = 12π

∫ π

−π|ϕ(t)|2 dt =

n∑k=−n

|ck|2 =|a0|2

4+

12

n∑k=1

(|ak|2+ |bk|2)

Démonstration :� Les coordonnées de ϕ dans la base orthonormée En de Pn sont les coefficients ck, d’où le calcul de ‖ϕ‖2.� On utilise les relations de la proposition 6 pour obtenir la deuxième écriture.

|c0|2 =|a0|2

4 et pour k > 1 , |c−k|2 + |ck|2 = |ak − ibk2 |2 + |ak + ibk

2 |2 =|ak|2 + |bk|2

2 �

Proposition 8 Théorème de Weierstrass trigonométrique (Admis)

Toute fonction continue 2π-périodique et à valeurs dans K peut être approchée uniformémentsur R par des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire qu’il existe une suite de polynômestrigonométriques (ϕn)n∈N telle que lim

n‖f − ϕn‖∞ = 0.

1.2.3 Autres normes sur le C-espace vectoriel C2π

1. Toute fonction f appartenant à C2π est bornée sur l’intervalle [−π, +π], donc aussi sur R du fait desa 2π-périodicité.On a alors ∀α ∈ R sup

t∈R|f(t)| = sup

t∈[α, α+2π]|f(t)|.

∀f ∈ C2π ‖f‖∞ = supt∈[α, α+2π]

|f(t)|.

2. Sur l’espace vectoriel C2π, on peut également envisager la norme définie par :

∀f ∈ C2π ‖f‖1 =12π

∫ π

−π|f(t)| dt.

3. Les trois normes ainsi introduites sur C2π ne sont pas équivalentes. On a seulement les inégalités :

∀f ∈ C2π ‖f‖1 6 ‖f‖2 6 ‖f‖∞.

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1.2.4 Extensions des notations au C-espace vectoriel C M2π

1. Pour toute fonction f de CM2π , on peut poser, grâce à la 2π-périodicité,

‖f‖∞ = supt∈[α, α+2π]

|f(t)|, ‖f‖1 =12π

∫ π

−π|f(t)| dt, ‖f‖2 = (

12π

∫ π

−π|f(t)|2 dt)1/2.

2. ‖.‖∞ est encore une norme sur CM2π .

3. ‖.‖1 et ‖.‖2 vérifient encore les propriétés d’homogénéité et d’inégalité triangulaire de la définitiond’une norme.Mais ce ne sont PAS DES NORMES sur CM2π , car on peut avoir ‖f‖1 = 0 et ‖f‖2 = 0 sans quef soit nulle. Il suffit de considérer pour le constater la fonction f telle que ∀x ∈ 2πZ f(x) = 1 et∀x /∈ 2πZ f(x) = 0 .

4. On a encore ∀f ∈ CM2π ‖f‖1 6 ‖f‖2 6 ‖f‖∞ et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, mais on ne peutrien conclure du cas d’égalité.

1.2.5 Objectifs

1. L’extension précédente est motivée en particulier par le fait suivant : pour toute fonction f de CM2π ,il existe une suite (fn)n∈N de fonctions de C2π , telle que lim

n→+∞‖f − fn‖2 = 0.

On va donc étudier plus précisément l’espace C2π , et tenter d’étendre les résultats obtenus à l’espaceCM2π .

2. C’est ainsi que l’égalité (en/f) = 12π

∫ π

−πe−intf(t) dt écrite pour une fonction f de C2π conduit à

envisager l’intégrale 12π

∫ π

−πe−intf(t) dt quand f est une fonction de CM2π .

1.3 Séries trigonométriques

1.3.1 Définition

Définition 2

On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la formec0 +

∑k>1

(c−ke−ikx + cke

ikx) = a02 +

∑k>1


La famille complexe (cn)n∈Z est apellée famille des coefficients exponentiels de la série trigonométrique.Les suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont appelées suites des coefficients trigonométriquesde la série trigonométrique.

Remarque : les séries trigonométriques sont les séries de fonctions∑n>0

vn où vn est définie par :

v0(x) = c0 = a02 et ∀n ∈ N∗ vn(x) = cn einx + c−n e−inx = an cos nx + bn sinnx.

Les fonctions définies ci-dessus sont 2π−périodiques, de classe C∞ sur R.

Proposition 9

Avec la convention b0 = 0, la famille (cn)n∈Z et les suites (an)n∈N et (bn)n∈N des coefficients de lasérie trigonométrique sont liées par les relations :

∀k ∈ [[0, n]]

{ck = ak − ibk

2c−k = ak + ibk

2et

{ak = ck + c−k

bk = i(ck − c−k)

Démonstration :

Il suffit d’appliquer le résultat de la proposition 6 �

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1.3.2 Convergence normale d’une série trigonométrique

Reprenant les notations précédentes, on a alors la propriété suivante

1. Propriété :Étant donné la série trigonométrique définie par les familles (an)n∈N, (bn)n∈N et (cn)n∈Z,il y a équivalence entre :

i) La série∑n>0

vn converge normalement

ii) Les séries∑n>0

|cn| et∑n>0

|c−n| convergent

iii) Les séries∑n>0

|an| et∑n>1

|bn| convergent.

Démonstration :i) =⇒ ii) La famille (en)n∈Z étant orthonormale, on peut écrire

∀n ∈ N |cn| = |(en/vn)| 61

2π

Z π

−π|vn(t)| |e−int| dt 6

1

2π2π sup

R|vn| = sup

R|vn|.

De même, on a ∀n ∈ N |c−n| = |(e−n/vn)| 61

2π

Z π

−π|vn(t)| |eint| dt 6 sup

R|vn|.

Comme la sérieP

vn converge normalement, les séries numériques de terme général |cn| et |c−n| convergentii) =⇒ iii) Les égalités an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n) donnent les majorations

0 6 |an| 6 |cn| + |c−n| et 0 6 |bn| 6 |cn| + |c−n| où le second membre est la somme des termes généraux de deux sériesconvergentes.

iii) =⇒ i) On a |vn(x)| = |an cos nx + bn sin nx| 6 |an cos nx|+ |bn sin nx| 6 |an|+ |bn| pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ R.On en déduit que ∀n ∈ N∗ 0 6 sup

x∈R|vn(x)| 6 |an| + |bn| où le second membre est la somme des termes généraux de deux

séries convergentes. �

2. Conséquence :

(a) Si la série des fonctions vn = cn en + c−n e−n converge normalement sur R, comme ces fonctionssont continues sur R et 2π−périodiques, la somme S de la série est aussi continue sur R et2π−périodique. Donc la fonction S appartient à C2π .

(b) Si une série trigonométrique converge normalement sur R et si on note S sa somme,

alors pour tout n ∈ Z cn = 12π

∫ π

−πS(t)e−int dt

et pour tout n ∈ N an = 1π

∫ π

−πS(t) cos nt dt et bn = 1

π

∫ π

−πS(t) sinnt dt

Démonstration :� On va démontrer d’abord la formule donnant cn.

12π

Z π

−πS(t)e−ipt dt =

1

2π

Z π

−π

+∞Xn=0

vn(t)e−ipt dt

Or |vn(t)e−ipt| = |vn(t)| 6 ‖vn‖∞.

La convergence normale deP

vn sur [−π, +π] nous permet donc d’intervertirZ π

−πet

∞Pn=0

.

12π

Z π

−πS(t)e−ipt dt =

+∞Xn=0

1

2π

Z π

−πvn(t)e−ipt dt =

1

2π

Z π

−πc0e−ipt dt +

+∞Xn=1

1

2π

Z π

−π(c−ne−i(n+p)t + cne−i(p−n)t) dt = cp carZ π

−πeikt dt = 0 si k 6= 0 et

Z π

−πeikt dt = 2π si k = 0

� On peut obtenir les formules donnant an et bn de manière similaire.

Ou an = cn + c−n = 12π

Z π

−πS(t)(eint + e−int) dt =

1

π

Z π

−πS(t) cos nt dt et de même pour bn en utilisant les formules de la

proposition 6. �

On va maintenant se poser le problème inverse, c’est-à -dire partir d’une fonction f continue par morceauxsur R, 2π périodique et essayer d’écrire cette fonction sous forme d’une série trigonométrique, ce qui va nousinciter à prendre les définitions qui vont suivre.



2 Séries de Fourier

2.1 Coefficients de Fourier exponentiels

2.1.1 DéfinitionDéfinition 3

Étant donné une fonction de CM2π , les coefficients de Fourier exponentiels de f sont les complexes

notés cn(f) définis par : ∀n ∈ Z cn(f) = 12π

∫ π

−πf(t)e−int dt.

2.1.2 Propriétés de calcul des coefficients de Fourier exponentiels

1. Linéarité : Du fait de la linéarité de l’intégrale, on peut écrire∀f ∈ CM2π ∀g ∈ CM2π ∀(λ, µ) ∈ C2 ∀n ∈ Z cn(λf + µg) = λcn(f) + µcn(g).

2. Conjugaison : Par conjugaison de l’intégrale, on a

∀f ∈ CM2π ∀n ∈ Z cn(f) = c−n(f).

En particulier, on a ∀n ∈ Z c−n(f) = cn(f) quand f est réelle.

3. Effet d’une symétrie :

Soit f de CM2π . Définissons la fonction∨f définie par ∀t ∈ R

∨f (t) = f(−t).

Alors la fonction∨f appartient à CM2π , et l’on a ∀n ∈ Z cn(

∨f) = c−n(f).

Le changement de variable C1 strictement monotone u = −t dans l’intégrale le montre.Corollaire :

f paire =⇒ ∀n ∈ Z cn(f) = c−n(f).f impaire =⇒ ∀n ∈ Z cn(f) = −c−n(f).

4. Effet d’une translation :Soit f appartenant à CM2π .Pour tout a de R, la fonction fa définie par ∀t ∈ R fa(t) = f(t + a)appartient à CM2π , et l’on a :

∀n ∈ Z cn(fa) = einacn(f).Démonstration :

En effet, on peut écrire ∀n ∈ Z 2πcn(fa) =

Z π

−πf(t + a)e−int dt = eina

Z π

−πf(t + a)e−in(t+a) dt. Si on effectue le changement de

variable C1 strictement monotone u = t + a dans la dernière intégrale, on obtient le résultat cherché puisque

2πcn(f) =

Z π+a

−π+af(u)e−inu du en vertu de la 2π-périodicité de f et de la prop 1. �

5. Effet d’une dérivation :

(a)Soit f une fonction appartenant à C2π , C1 par morceaux sur R.Alors ∀n ∈ Z cn(Df) = in cn(f).

Démonstration :En effet, la dérivée Df de f est définie sur le segment [α − π, α + π], privé d’un nombre fini de points, mais elle peut êtreprolongée en une fonction de CM2π en choisissant arbitrairement la valeur de ce prolongement en chacun de ces points. Onpeut alors calculer les coefficients de Fourier de ce prolongement. Les résultats ne dépendant pas du prolongement choisi, onpeut les noter cn(Df).Pour chaque n de Z, le théorème d’intégration par parties s’applique aux fonctions f et e−n qui sont continues et C1 parmorceaux sur [α− π, α + π], et on obtient alors :

2πcn(Df) =

Z π

−π(Df)(t)e−int dt =

ˆf(t)e−int

˜ π

−π−

Z π

−πf(t)(−in)e−int dt.

Puisque les fonctions f et e−n sont 2π-périodiques, le terme intégré est nul.

On en déduit l’égalité 2πcn(Df) = in 2πcn(Df), puis le résultat. �

(b)

Soit un entier naturel p non nul.Soit une fonction f appartenant à C2π de classe Cp−1 sur R, et de classe Cp par morceaux sur R.Alors on a ∀n ∈ Z cn(Dpf) = (in)p cn(f).

Démonstration :

Cette deuxième formule peut être démontrée par récurrence sur p, en procédant comme précédemment pour prolonger la

dérivée pième de f en une fonction de CM2π notée encore Dpf . �

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2.1.3 Caractère borné des coefficients de Fourier exponentiels

. Proposition 10Soit une fonction f appartenant à CM2π .

Alors la famille des coefficients de Fourier de f est bornée, et l’on a :∀n ∈ Z |cn(f)| 6 ‖f‖1.

En effet, on a : ∀f ∈ CM2π ∀n ∈ Z |cn(f)| 6 12π

∫ π

−π

∣∣f (t)∣∣ ∣∣e−int

∣∣ dt = ‖f‖1 .

. Corollaire 1 :Soit (B(Z, C), ‖.‖∞) le C-espace vectoriel des familles de complexes indexées par Z et bornées, munide la norme ‖.‖∞ définie par ‖(ζn)n∈Z‖∞ = sup

n∈Z|ζn|.

Posons ∀n ∈ Z f̂(n) = cn(f) et soit l’application F :(

(CM2π , ‖.‖1) −→ (B(Z, C), ‖.‖∞)f 7−→ f̂

).

L’application F est linéaire, continue et de norme 1.

Démonstration :

En effet, l’application F est à valeurs dans l’ensemble (B(Z, C)) d’après le théorème précédent. Sa linéarité provient de celle des

coefficients de Fourier et des définitions des lois de l’espace vectoriel (B(Z, C)). L’inégalité ‖(cn(f))n∈Z‖∞ = supn∈Z

|cn(f)| 6 ‖f‖1résulte de celle donnée dans la proposition 3, et montre que l’application linéaire F est continue et de norme inférieure ou égale à

1. En fait la norme de F vaut 1 puisque ‖F(e0)‖∞ = ‖ be0‖∞ = supn∈Z

|1| = 1 = ‖e0‖1. �

attention : Cette application n’est pas injective. Par exemple, deux fonctions de CM2π qui diffèrenten un nombre fini de points sur chaque segment ont les mêmes coefficients de Fourier.

. Corollaire 2 :Soit un entier naturel p non nul.Soit une fonction f appartenant à C2π de classe Cp−1 sur R et de classe Cp par morceaux sur R.

Alors on a : cn(f) =n→+∞

O(1np ) et cn(f) =

n→−∞O(

1|n|p

).

Démonstration :Il suffit d’appliquer le théorème à la fonction Dpf de CM2π , avec les précautions indiquées dans point 5 du paragraphe 2.1.2 .

On obtient alors : ∀n ∈ Z |n|p |cn(f)| = |(in)p cn(f)| = |cn(Dpf)| 6 ‖Dpf‖1 . �

Remarque : Nous verrons une amélioration de ce résultat au moyen de l’inégalité de Bessel.

2.2 Coefficients de Fourier trigonométriques

2.2.1 DefinitionDéfinition 4

Étant donné une fonction f appartenant à CM2π les coefficients de Fourier trigonométriques de f

sont les nombres complexes an(f) et bn(f) définis par :

∀n ∈ N an(f) =1π

∫ π

−πf(t) cos nt dt et bn(f) =

1π

∫ π

−πf(t) sinnt dt.

Les formules d’Euler conduisent alors aux relations suivantes entre les coefficients de Fourier exponentielset les coefficients de Fourier trigonométriques d’une même fonction f de CM2π :

Proposition 11

∀k ∈ [[0, n]]

ck(f) = ak(f)− ibk(f)2

c−k(f) = ak(f) + ibk(f)2

et{

ak(f) = ck(f) + c−k(f)bk(f) = i(ck(f)− c−k(f))

On remarquera qu’on a toujours b0(f) = 0 et a0(f) = 2c0(f).8 / 13 Fourier09bis.tex


2.2.2 Propriétés de calcul des coefficients de Fourier trigonométriques

1. Linéarité :

∀(f, g) ∈ CM2π2 ∀(λ, µ) ∈ C2 ∀n ∈ N an(λf + µg) = λan(f) + µan(g)

bn(λf + µg) = λbn(f) + µbn(g).

Ceci résulte de la linéarité de l’intégrale et de la définition 4

2. Cas réel : Quand f est réelle, les an(f) et les bn(f) sont réels.

Ceci résulte directement de la définition 4

3. Parité et imparité :

f paire =⇒ ∀n ∈ N an(f) =2π

∫ π

0f(t) cos nt dt et bn(f) = 0.

f impaire =⇒ ∀n ∈ N an(f) = 0 et bn(f) =2π

∫ π

0f(t) sinnt dt.

Il suffit d’appliquer les résultats du point 3 du paragraphe 2.1.2.

4. Effet d’une dérivation :Soit f une fonction de C2π qui soit C 1 par morceaux sur R. Alors on a :∀n ∈ N an(Df) = n bn(f) et bn(Df) = −n an(f).

On applique la proposition 11 et le point 5 du paragraphe 2.1.2

2.2.3 Caractère borné des coefficients de Fourier

En reprenant les résultats du paragraphe 2.1.3, on obtient :

Soit une fonction f appartenant à CM2π .Les familles des coefficients de Fourier trigonométriques de f sont bornées.

Soit un entier naturel p non nul.Soit une fonction f ∈ C2π de classe Cp−1 sur R, et de classe Cp par morceaux sur R.

Alors an(f) =n→+∞

O(1np ) et bn(f) =

n→+∞O(

1np ).

3 Convergence en moyenne quadratique : théorème de Parseval

3.1 Série de Fourier d’une fonction de C M2π

Définition 5

Étant donné une fonction f de CM2π , la série de Fourier de f est la série des fonctions (un)n∈N définies par

u0 :(

R −→ Cx 7−→ c0(f)

)et ∀n ∈ N∗ un :

(R −→ Cx 7−→ cn(f) einx + c−n(f) e−inx

).

Pour chaque entier naturel N , la somme partielle d’ordre N de cette série sera notée SN (f).Nous obtenons les écritures suivantes de cette somme partielle :

SN (f)(x) =k=N∑

k=−N

ck(f) eikx = c0(f) +k=N∑k=1

(ck(f)eikx + c−k(f)e−ikx).

ou encore compte tenu des formules de la proposition 11

SN (f)(x) =k=N∑

k=−N

ck(f) eikx =a0(f)

2+

k=N∑k=1

(ak(f) cos kx + bk(f) sin kx).

9 / 13


Il est important d’observer que la somme partielle d’ordre N de la série de Fourier d’une fonction f deC2π n’est autre que la projection orthogonale pN de f sur PN . Ceci résulte de la définition de la série de

Fourier de f et de l’égalité pN =k=N∑

k=−N

(ek/f)ek vues au paragraphe 1.2.2. Nous résumerons ceci en :

∀f ∈ C2π ∀N ∈ N pN =k=N∑

k=−N

(ek/f)ek = SN (f)

où PN est le projeté orthogonal de f sur PN = V ect(ek, k ∈ Z et |k| 6 N).

3.2 Inégalité de Bessel

1. Proposition 12 Inégalité de Bessel

Soit une fonction f ∈ CM2π . Alors on a ∀n ∈ Nk=n∑

k=−n

|ck(f)|2 6 ‖f‖22 .

Démonstration :

Cas où f appartient à C2π Soit un entier naturel N fixé. Considérons le sous-espace vectoriel de C2π PN défini dans leparagraphe1.2.2. Puisque PN est de dimension finie, on peut considérer le projeté orthogonal pN de f sur PN , et comme

(ek)−N6k6N est une base orthonormale de PN , ce projeté est le vecteur pN =

k=NXk=−N

(ek/f)ek.

Le théorème de Pythagore donne alors ‖f‖22 = d(f, PN )2 +‖pN‖22. Or, d’après la proposition 3, la famille (ek)−N6k6N

est une base orthonormale de PN , donc la définition 4 donne :

‖pN‖22 =

‚‚‚‚‚‚k=NX

k=−N

(ek/f)ek

‚‚‚‚‚‚2

2

=k=NX

k=−N

|(ek/f)|2 =k=NX

k=−N

|ck(f)|2 .

Comme on a d(f, PN )2 > 0, on en déduit l’inégalité de Bessel pour une fonction f de C2π .Cas où f appartient à CM2π . La suite de la démonstration n’est pas exigible des étudiants.

Soit un entier naturel N fixé. On sait qu’il existe une suite (fq)q∈N de fonctions de C2π , telle que limq→+∞

‖f − fq‖2 = 0.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz sur les intégrales donne alors∀k ∈ {−N, ..., N} ∀q ∈ N |(ek/f − fq)| 6 ‖ek‖2 ‖f − fq‖2 .

Or, en utilisant la définition 3, on a |(ek/f − fq)| = |(ek/f)− (ek/fq)| = |ck(f)− ck(fq)| .Puisque l’on a ‖ek‖2 ‖f − fq‖2 = ‖f − fq‖2 , on en déduit donc lim

q→+∞ck(fq) = ck(f).

De plus, l’inégalité˛̨‖f‖2 − ‖fq‖2

˛̨6 ‖f − fq‖2 montre que lim

q→+∞‖fq‖2 = ‖f‖2 .

Chacune des fonctions fq appartenant à C2π vérifie l’inégalité de Bessel établie ; on en déduit l’inégalité de Bessel en

faisant tendre q vers l’infini dans chacun des membres de l’inégaliték=nX

k=−n

|ck(fq)|2 6 ‖fq‖22 . �

2. Corollaire :Soit une fonction f appartenant à CM2π . Alors la série

∑k>0

(|ck(f)|2 + |c−k(f)|2) converge.

Démonstration :

Pour chaque N de N, la somme partielle d’ordre N d’une série à termes positifs est majorée par la constante |c0(f)|2 + ‖f‖22 . �

3. Conséquences sur les coefficients de Fourier d’une fonction de CM2π

(a) Première conséquence :∀f ∈ CM2π lim

n→+∞cn(f) = 0 et lim

n→+∞c−n(f) = 0.

Démonstration :

En effet, le terme général de la série convergenteXk>0

(|ck(f)|2 + |c−k(f)|2) tend vers 0 à l’infini, et nous avons

0 6 |ck(f)|2 6 |ck(f)|2 + |c−k(f)|2 et 0 6 |c−k(f)|2 6 |ck(f)|2 + |c−k(f)|2 . �

(b) Deuxième conséquence :Soit un entier naturel p > 1 .Soit une fonction f de C2π de classe Cp−1 sur R, et de classe Cp par morceaux sur R.

Alors on a : cn(f) =n→+∞

O(1np ) et cn(f) =

n→−∞O(

1|n|p

) .

Démonstration :

Il suffit d’appliquer le théorème à la fonction Dpf de CM2π , avec les précautions indiquées dans le point 5 du paragraphe

2.1.2 . On obtient alors np |cn(f)| = |(in)p cn(f)| = |cn(Dpf)| avec limn→+∞

|cn(Dpf)| = 0 vu le paragraphe 3a ci-dessus.

On procède de même quand n tend vers −∞. �



3.3 Théorème de convergence en moyenne quadratique

1. Proposition 13 Théorème de convergence en moyenne quadratique pour une fonction de C2π

Soit une fonction f appartenant à C2π . Alors la suite (SN (f))N∈N des sommes partiellesde la série de Fourier de f converge vers f en moyenne quadratique, ce qui s’écrit

∀f ∈ C2π limN→+∞

‖f − SN (f)‖2 = 0.

Démonstration :– Soit f de C2π et un entier naturel N fixé. Envisageons de nouveau le sous-espace vectoriel de C2π défini par

PN = V ect(ek, k ∈ Z et |k| 6 N). Remarquons que l’on a PN ⊂ PN+1, donc en particulier pN appartient à PN+1.On a alors ‖f − pN+1‖2 = d(f, PN+1) = inf

p∈PN+1‖f − p‖2 6 ‖f − pN‖2 = d(f, PN ).

– Ainsi la suite (‖f − pN‖2)N∈N est décroissante, et comme elle est positive, elle converge vers un réel l > 0. Montrons quel = 0 en démontrant que l > 0 conduit à une absurdité.Supposons donc l > 0. Choisissons ε tel que 0 < ε < l. D’après le théorème de Weierstrass, on peut trouver un polynôme

trigonométrique P =

k=nXk=−n

λkek tel que l’on ait ‖f − P‖∞ < ε. Soit alors un entier N > n. Le polynôme trigonométrique P

considéré appartient à PN , on en déduit donc quel 6 ‖f − pN‖2 = d(f, PN ) = inf

p∈PN

‖f − p‖2 6 ‖f − P‖∞ < ε , d’où la contradiction. �

2. Corollaire 1 : Formule de Parseval

∀f ∈ C2π |c0(f)|2 ++∞∑n=1

(|cn(f)|2 + |c−n(f)|2) = ‖f‖22.

∀(f, g) ∈ C2π2 c0(f)c0(g) +

+∞∑n=1

(cn(f)cn(g) + c−n(f)c−n(g)) = (f |/).

Démonstration :

� La convergence de la série+∞Xn>1

(|cn(f)|2 + |c−n(f)|2) a été vue dans le paragraphe 3.2.

� La famille de fonctions (en)n∈Z étant orthonormale, on a ∀N ∈ N (SN (f)|/N (g)) =

n=NXn=−N

cn(f)cn(g).

Or |( SN (f) / SN (g) )− (f/g)| = |“

SN (f) / (SN (g)− g)”+

“(SN (f)− f) / g

”|.

L’inégalité triangulaire donne alors :˛̨̨“SN (f) / (SN (g)− g)

”+

“(SN (f)− f) / g

”˛̨̨6

˛̨̨“SN (f) / (SN (g)− g)

”˛̨̨+

˛̨̨“(SN (f)− f) / g

”˛̨̨.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne d’une part˛̨̨“

SN (f) / (SN (g)− g)”˛̨̨

6 ‖SN (f)‖2 ‖SN (g)− g‖2 , et d’autre part˛̨̨“(SN (f)− f) / g

”˛̨̨6 ‖SN (f)− f‖2 ‖g‖2.

Or l’inégalité de Bessel fournit ‖SN (f)‖2 6 ‖f‖2. Donc en appliquant le théorème de Parseval à f et à g, on obtient

limN→+∞

|( SN (f) / SN (g) )− (f |g)| = 0 , puis limN→+∞

( SN (f) / SN (g) ) = limN→+∞

n=NXn=−N

cn(f)cn(g) = (f |g). �

3. Corollaire 2 : Injectivité de F sur C2π

L’application F∣∣C2π

:(

C2π −→ B(Z, C)f 7−→ f̂

)est injective, c’est à dire que

deux fonctions continues 2π−périodiques qui ont la même famille de coefficients de Fourier sont égales.Démonstration :

On a vu au 3.3. que F est linéaire. Soit f de Ker F. Alors tous les coefficients de Fourier de f sont nuls, donc ‖f‖2 = 0 grâce à la

formule de Parseval. Puisque ‖.‖2 est une norme sur C2π , on en déduit que f = 0. �

4. Autre écriture de la formule de ParsevalL’écriture de la formule de Parseval avec les coefficients de Fourier trigonométriques est utilisée surtoutquand f est réelle. En effet, dans ce cas les coefficients de Fourier trigonométriques sont réels. Onobtient alors

c0(f) =a0(f)

2et |cn(f)|2+|c−n(f)|2 =

∣∣∣∣12(an(f)− ibn(f))∣∣∣∣2+∣∣∣∣12(an(f) + ibn(f))

∣∣∣∣2 =12(an(f)2+bn(f)2).

11 / 13


Quand f est réelle, la formule de Parseval s’écrit donc

‖f‖22 =

12π

∫ π

−πf(t)2 dt =

a0(f)2

4+

12

+∞∑n=1

(an(f)2 + bn(f)2).

Quand f n’est pas réelle, la formule de Parseval s’écrit :

‖f‖22 =

12π

∫ π

−π|f(t)|2 dt =

| a0(f) |2

4+

12

+∞∑n=1

(| an(f) |2 + | bn(f) |2).

3.4 Extension du théorème de Parseval à CM2π

1. Quand f appartient à CM2π , les coefficients de Fourier de f ont été définis.On peut démontrer que le théorème de Parseval est encore vrai pour une fonction f de CM2π . Il fautadapter la démonstration car (.|.) n’est pas un produit scalaire préhilbertien sur CM2π . On peut, parexemple, utiliser une suite (fq)q∈N de fonctions de C2π telle que lim

q→+∞‖f − fq‖2 = 0 (‖.‖2 n’est plus

une norme...).La démonstration de ce résultat n’étant pas exigible des étudiants, nous admettrons cerésultat.

2. La formule de Parseval est encore vraie :

∀f ∈ CM2π |c0(f)|2 ++∞∑n=1

(|cn(f)|2 + |c−n(f)|2) =12π

∫ π

−π|f(t)|2 dt.

3. attention : L’application qui à une fonction de CM2π associe la famille de ses coefficients de Fouriern’est pas injective. Il suffit de reprendre l’exemple du paragraphe 1.2.4 pour le constater.

4 Convergence ponctuelle :

4.1 Théorème de convergence normale

Théorème 1

Soit une fonction f 2π−périodique, continue et de classe C 1 par morceaux sur R.Alors la série de Fourier de f converge normalement ( et par suite simplement ) sur R et sa somme est f .

∀x ∈ R f(x) = c0(f) ++∞∑n=1

(cn(f) einx + c−n(f) e−inx) =a0(f)

2+

+∞∑n=1

(an(f) cos nx + bn(f) sinnx

).

Démonstration :� Considérons une fonction f de C2π . Le terme général de sa série de Fourier est la fonction définie par

un = cn(f)en + c−n(f)e−n si n > 1 et u0 = c0(f)e0 si n = 0. Puisque ∀n ∈ Z ‖en‖∞ = 1, on obtient∀n ∈ N∗ ‖un‖∞ = ‖cn(f)en + c−n(f)e−n‖∞ 6 ‖cn(f)en‖∞ + ‖c−n(f)e−n‖∞ = |cn(f)|+ |c−n(f)| .

Or d’après le point 5 du paragraphe 2.1.2 , on a ∀n ∈ Z∗ cn(f) =1

incn(Df) car f est une fonction de C2π et C 1 par

morceaux sur R. Comme pour tout couple (a, b) de réels on a ab 61

2(a2 + b2), on en déduit

∀n ∈ Z∗ |cn(f)| =1

|n||cn(Df)| 6

1

2(

1

n2+ |cn(Df)|2).

Ainsi on peut écrire |cn(f)|+ |c−n(f)| 61

n2+

1

2(|cn(Df)|2 + |c−n(Df)|2). Or la série

Xn>1

1

n2converge, et la série de terme

général |cn(Df)|2 + |c−n(Df)|2 converge d’après l’inégalité de Bessel appliquée à la fonction Df de CM2π . On en conclut doncque la série de terme général |cn(f)|+ |c−n(f)| converge et par conséquent que la série

Xn>0

‖un‖∞ converge aussi.

� La série des fonctions (un)n∈N converge normalement sur R. La fonction S =

∞Xn=0

un est donc définie sur R et on a

limN→+∞

‖S − SN (f)‖∞ = 0. Puisque chacune des fonctions un est continue sur R, S est continue sur R. Elle est aussi 2π−périodique

comme les fonctions un, donc la fonction S appartient à C2π .Puisque ∀N ∈ N 0 6 ‖S − SN (f)‖2 6 ‖S − SN (f)‖∞, on en déduit lim

N→+∞‖S − SN (f)‖2 = 0.

Or d’après le théorème de Parseval, on a limN→+∞

‖f − SN (f)‖2 = 0.

Donc f = S par unicité de la limite dans l’espace préhilbertien C2π . �



4.2 Théorème de Dirichlet

Théorème 2 Théorème de Dirichlet (admis)

Soit une fonction f 2π−périodique, de classe C 1 par morceaux sur R.Alors la série de Fourier de f converge simplement sur R.De plus, sa somme vérifie :

∀x ∈ R limh→0+

f(x + h) + f(x− h)2

= c0(f) ++∞∑n=1

(cn(f) einx + c−n(f) e−inx)

soit aussi ∀x ∈ R limh→0+

f(x + h) + f(x− h)2

=a0(f)

2+

+∞∑n=1

(an(f) cos nx + bn(f) sinnx

).

Notons que le premier membre représente la moyenne des limites de f à droite et à gauche au point x.En particulier si f est continue en x, on retrouve les formules du théorème précédent.

5 Cas des fonctions T -périodiques

1. Soit un réel T > 0 fixé. Notons CMT l’ensemble des fonctions de CM (R, C) qui sont T -périodiques.Considérons une fonction g de cet ensemble.

On peut constater que la fonction f définie sur R par l’égalité f(x) = g(xT

2π) appartient à CM2π .

En effet, on a f(x + 2π) = g((x + 2π)T

2π) = g(x

T

2π+ T ) = g(x

T

2π) = f(x), et la fonction x 7−→ x

T

2πest continue et strictement croissante donc transforme une subdivision en une subdivision.

En résumé, en posantx

2π=

t

Tet f(x) = g(t) on a :

[(f : x 7−→ f(x)) ∈ CM2π ] ⇐⇒ [(g : t 7−→ g(t)) ∈ C MT ].

2. La théorie précédente appliquée à f permet de déduire des résultats analogues pour g ; les principauxchangements dans les énoncés sont :

Définition 6

Étant donné une fonction de C MT , les coefficients de Fourier de f sont les complexes cn(f)définis par :

∀n ∈ Z cn(f) =1T

∫ T/2

−T/2f(t)e−2inπt/T dt.

∀n ∈ N an(f) =2T

∫ T/2

−T/2f(t) cos(

2πnt

T) dt et bn(f) =

1T

∫ T/2

−T/2f(t) sin(

2πnt

T) dt.

Proposition 14 Formule de Parseval

∀f ∈ CMT , |c0(f)|2 ++∞∑n=1

(|cn(f)|2 + |c−n(f)|2) =1T

∫ T/2

−T/2|f(t)|2 dt.

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