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ESFERA

1. (Espcex (Aman) 2014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm,

composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfcie total de cada gomo mede:

a) 3

24 cm3

b) 3

24 cm9

c) 2

24 cm3

d) 2

24 cm9

e) 3 24 cm

2. (Ufpe 2013) Um cilindro reto de ferro derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume

do cilindro, moldado em esferas com raio igual metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro quatro vezes o dimetro de sua base, quantas so as esferas obtidas? 3. (Uem 2013) Considere uma esfera, um cilindro circular reto e um cone, todos com o mesmo

volume. Alm disso, a altura do cilindro igual metade da altura do cone, e a altura do cone igual ao raio da esfera. Assinale o que for correto. 01) O raio da base do cone menor do que o raio da base do cilindro. 02) O raio da base do cone igual ao dobro do raio da esfera. 04) A altura do cilindro igual ao dimetro da esfera. 08) A rea da superfcie da esfera igual ao triplo da rea da base do cilindro.

16) Se o raio da esfera mede 5 cm, a geratriz do cone mede 5 cm.

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4. (Ufg 2013) A figura a seguir representa um modelo esquemtico aproximado para a

estrutura interna da Terra em camadas concntricas, da superfcie ao centro, indicando as profundidades aproximadas das transies entre as camadas.

Segundo modelos ssmicos, acredita-se que uma destas camadas formada, predominantemente, por minerais metlicos, em altas temperaturas, e por duas partes, uma fluida e outra slida, devido altssima presso. A frao do volume da Terra ocupada por esta camada est entre

a) 1

8 e

1

5

b) 1

5 e

1

4

c) 1

4 e

1

2

d) 1

2 e

2

3

e) 2

3 e

3

4

5. (Epcar (Afa) 2013) Uma caixa cbica, cuja aresta mede 0,4 metros, est com gua at 7

8

de sua altura. Dos slidos geomtricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NO provoca

transbordamento de gua

a) uma esfera de raio 3 2 dm.

b) uma pirmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meam 30 cm.

c) um cone reto, cujo raio da base mea 3 dm e a altura 3 dm.

d) um cilindro equiltero, cuja altura seja 20 cm.

6. (Fgv 2013) Um reservatrio tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do novo reservatrio, em relao ao volume inicial, aumentar a) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8%

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7. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo macio e homogneo

de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente s duas faces horizontais. De cada paraleleppedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequncia de figuras.

Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confeco do porta-joias

era de 0,85 g/cm3 e admitindo 3,

a massa aproximada do porta-joias, em gramas, a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638.

8. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabo unidas.

Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas plana, conforme ilustra o esquema:

Considere duas bolhas de sabo esfricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distncia entre seus centros A e B igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas um crculo cuja rea tem a seguinte medida:

a) R 2

2 b)

23

2

R c)

23

4

R d)

24

3

R

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9. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilndrica fechada de volume 35175 cm , cabem exatamente trs

bolas de tnis. a) Calcule o volume da lata no ocupado pelas bolas. b) Qual a razo entre o volume das trs bolas e o volume da lata?

10. (Udesc 2012) Seja S uma seo de uma esfera determinada pela interseo com um plano, conforme figura.

Se S est a 3 cm do centro da esfera e tem rea igual a 216 cm , ento o volume desta

esfera :

a) 336 cm

b) 3256

cm3

c) 3100 cm

d) 316 cm

e) 3500

cm3

11. (G1 - ifpe 2012) Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peas criadas a esfera est inscrita no cubo, que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual, ele colocou na parte interna do cubo, e externa esfera, um lquido vermelho. Com 1 litro desse lquido o designer pode confeccionar no mximo quantas peas? a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 27

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12. (Uepa 2012) A ideologia dominante tambm se manifesta por intermdio do acesso aos

produtos do mercado, sobretudo daqueles caracterizados por tecnologias de ponta. O Cubo Magntico um brinquedo constitudo por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa, tambm no formato

de um cubo, com aresta igual a 30 mm, a razo entre o volume total das esferas que

constituem o Cubo Magntico e o volume da caixa que lhe serve de depsito :

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

13. (Ufsm 2012) Oscar Niemayer um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais

influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, atravs de uma doao de um croqui, para a construo do planetrio da UFSM, um marco arquitetnico importante da cidade de Santa Maria.

Suponha que a cobertura da construo seja uma semiesfera de 28 m de dimetro, vazada por 12 partes iguais, as quais so aproximadas por semicrculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta suficiente para pintar 39 m

2 de rea, qual a quantidade mnima de latas de tinta

necessria para pintar toda a cobertura do planetrio? (Use 3)

a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.

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14. (Ufg 2012) Considere que o planeta Terra aproximadamente esfrico, tendo a linha do

Equador um comprimento de, aproximadamente, 40.000 km e que 30% da rea do planeta de terras emersas. Dados:

rea da esfera = 24 r

Comprimento do crculo = 2 r

3,14

Aproximando a atual populao da Terra para um nmero inteiro de bilhes de pessoas, responda: a) Qual a densidade demogrfica nas terras emersas do planeta? b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pessoa, se as terras emersas fossem divididas

igualmente entre os habitantes da Terra? (Aproxime para um nmero inteiro de milhares de metros quadrados).

15. (Unesp 2012) Diferentes tipos de nanomateriais so descobertos a cada dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, de baixo custo. So considerados nanomateriais aqueles cujas dimenses variam entre 1 e 100 nanmetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 10

9 m, ou seja, um bilionsimo de metro.

Uma das caractersticas dos nanomateriais refere-se relao entre seu volume e sua rea superficial total. Por exemplo, em uma esfera macia de 1 cm de raio, a rea superficial e o volume valem

24 cm e 3(4/3) cm , respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que

possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas reas superficiais a) 10 vezes maior que a da esfera. b) 10

3 vezes maior que a da esfera.

c) 105 vezes maior que a da esfera.

d) 107 vezes maior que a da esfera.

e) 109 vezes maior que a da esfera.

16. (Enem 2012) O globo da morte uma atrao muito usada em circos. Ele consiste em uma espcie de jaula em forma de uma superfcie esfrica feita de ao, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A est no plano do cho onde est colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e perpendicular ao plano do cho. Suponha que h um foco de luz direcionado para o cho colocado no ponto B e que um motoqueiro faa um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferncia que passa pelos pontos A e B.

Disponvel em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do cho melhor representada por

a) b) c) d) e)

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17. (Ufrn 2012) Um arteso produz peas ornamentais com um material que pode ser

derretido quando elevado a certa temperatura. Uma dessas peas contm uma esfera slida e o arteso observa que as peas com esferas maiores so mais procuradas e resolve desmanchar as esferas menores para construir esferas maiores, com o mesmo material. Para

cada 8 esferas de 10 cm de raio desmanchada, ele constri uma nova esfera.

O raio da nova esfera construda mede a) 80,0 cm.

b) 14,2 cm.

c) 28,4 cm.

d) 20,0 cm.

TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO: A taa desenhada na figura tem a forma de semiesfera e contm lquido at uma altura de x cm.

O volume de lquido contido na taa, em 3cm , depende da altura atingida por esse lquido, em

cm. O grfico a seguir mostra essa dependncia, sendo que os pontos A e B correspondem taa totalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente.

18. (Insper 2012) De acordo com os dados do grfico, a taa tem a forma de uma semiesfera cujo raio mede a) 3 cm. b) 3,5 cm. c) 4 cm. d) 4,5 cm. e) 5 cm.

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19. (Espm 2011) Um reservatrio de gua constitudo por uma esfera metlica oca de 4 m

de dimetro, sustentada por colunas metlicas inclinadas de 60 com o plano horizontal e soldadas esfera ao longo do seu crculo equatorial, como mostra o esquema abaixo.

Sendo 3 1,73 , a altura h da esfera em relao ao solo aproximadamente igual a:

a) 2,40 m b) 2,80 m c) 3,20 m d) 3,40 m e) 3,60 m 20. (Ufsm 2011) Um fabricante decidiu produzir luminrias no formato de uma semiesfera com

raio de 20 cm. A parte interior, onde ser alojada a lmpada, receber uma pintura metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; j a parte externa da luminria receber uma pintura

convencial que custa R$10,00o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminria

e adotando o valor de 3,14 o custo, em reais, da pintura de cada luminria a) 3,14. b) 6,28. c) 12,56. d) 18,84. e) 25,12. 21. (Pucsp 2011) Um arteso dispe de um bloco macio de resina, com a forma de um paraleleppedo retngulo de base quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina desse bloco para confeccionar contas esfricas que sero usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver um 1 cm de dimetro e na montagem de cada colar forem usadas 50 contas, ento, considerando o volume do cordo utilizado desprezvel e a aproximao

3 , a rea total da superfcie do bloco de resina, em centmetros quadrados a) 1250. b) 1480. c) 1650. d) 1720. e) 1850. 22. (Ucpel 2011) Uma esfera metlica de 3 cm de raio colocada em um congelador e, aps algum tempo, acumula uma camada de gelo de 3 cm de espessura, mantendo a forma esfrica. Ento, o volume do gelo acumulado

a) 3198 cm

b) 3215 cm

c) 3252 cm

d) 3207 cm

e) 3225 cm

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23. (Uff 2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vrios testes.

Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu dimetro medido em dezesseis pontos diferentes e, ento, a mdia aritmtica desses valores calculada. Para passar nesse teste, a variao de cada uma das dezesseis medidas do dimetro da bola com relao mdia deve ser no mximo 1,5%. Nesse teste, as variaes medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, no ultrapassaram 1%.

Se o dimetro de uma bola tem aumento de 1%, ento o seu volume aumenta x %. Dessa forma, correto afirmar que a) x [5,6). b) x [2,3). c) x = 1. d) x [3,4). e) x [4,5). 24. (Fuvest 2011) A esfera , de centro O e raio r > 0, tangente ao plano . O plano

paralelo a e contm O. Nessas condies, o volume da pirmide que tem como base um

hexgono regular inscrito na interseco de com e, como vrtice, um ponto em , igual

a

a) 33r

4

b) 35 3r

16

c) 33 3r

8

d) 37 3r

16

e) 33r

2

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25. (Enem 2 aplicao 2010) Se pudssemos reunir em esferas toda a gua do planeta, os

dimetros delas seriam:

A razo entre o volume da esfera que corresponde gua doce superficial e o volume da esfera que corresponde gua doce do planeta

a) 1

343

b) 1

49

c) 1

7

d) 29

136

e) 136

203

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Gabarito: Resposta da questo 1: [A]

360 : 12 = 30 A rea total de cada gomo a soma das reas de um fuso esfrico como as reas de dois semicrculos.

2 2

32

30 4 4 4A 2

360 2

16A 16

3

64 4A cm .

3 3

Resposta da questo 2:

Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro.

Como h 4 2r 8r, segue que o volume do cilindro igual a 2 3r 8r 8 r .

Sabendo que o raio de cada esfera mede r

,2

podemos concluir que o volume de uma esfera

3 34 r r .3 2 6

Portanto, o nmero de esferas obtidas dado por 3

3

8 r 48.r

6

Resposta da questo 3:

02 + 16 = 18. Sabendo que os volumes so iguais, temos

3 2 2esf cil cil con con

4 1r r h r h .

3 3

Alm disso, dado que con cil esfh 2 h r .

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[01] Incorreto. Temos

2 2 2 2cil cil con cil con cil

1 3r h r 2 h r r ,

3 2

o que implica em con cilr r .

[02] Correto. Temos

3 2esf con esf con esf

4 1r r r r 2 r .

3 3

[04] Incorreto. Como cil esf2 h r , segue que esf

cil

r Dh D,

2 4 com D sendo o dimetro da

esfera. [08] Incorreto. Sabendo que

3 2 2 2esfesf cil esf cil

r4 3r r r r ,

3 2 8

tem-se que a rea da superfcie da esfera igual a

2 2 2esf cil cil

3 34 r 4 r r .

8 2

Por outro lado, a rea da base do cilindro 2cilr e, portanto, 2 2cil cil

3r 3 r .

2

[16] Correto. De (02), vem conr 2 5 cm. Logo, sendo cong a geratriz do cone, pelo Teorema

de Pitgoras, encontramos

2 2 2con cong (2 5) ( 5) g 5cm.

Resposta da questo 4:

[A] A camada terrestre descrita no problema a barisfera, ou seja, uma esfera de raio r dado por: r = 6350 2900 = 3450 km. Admitindo o raio da esfera R = 6.350km, a razo entre o volume da barisfera e o volume da terra ser dada por:

33

3

43450

34503 0,153034 6450

64503

Logo, 1 1

x .8 5

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Resposta da questo 5:

[D] Calculando agora o volume de cada slido dado, temos:

Resposta da questo 6: [E]

Seja r o raio da esfera. Logo, aps aumentarmos r de 20%, teremos

3 3

3

4 4(1,2 r) r

3 3 100% (1,728 1) 100%4

r3

72,8%,

ou seja, o volume do novo reservatrio, em relao ao volume inicial, aumentar 72,8%.

Resposta da questo 7: [D] V = Volume do porta-joias Vc = Volume do cubo Ve = Volume da esfera. V = Vc - Ve

3 34V 10 43

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V = 1000 256 V = 744 cm

3

Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias.

m0,85 m 632,4 g 632 g

744

Resposta da questo 8: [C]

No tringulo retngulo assinalado, temos:

2 22 2 2R 3.Rr R r

2 4

Logo, a rea pedida ser:

2 22 3.R 3. .RA .r

4 4

Resposta da questo 9:

a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.

Como o raio de cada bola igual ao raio do cilindro e h 6r, temos

2 3 1725r 6r 5175 r .2

Da, segue que o volume de cada bola igual a

3

3

4 4 1725r

3 3 2

1150cm .

Portanto, o resultado 35175 3 1150 1725cm .

b) A razo entre o volume das trs bolas e o volume da lata 3450 2

.5175 3

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Resposta da questo 10:

[E] Considere a figura, em que O o centro da esfera, C o centro da seo e P um ponto de interseo de S com a esfera.

Sabendo que a rea da seo igual a 216 cm , temos que

2CP 16 CP 4 cm.

Desse modo, como OP o raio da esfera e OC 3 cm, vem

2 2 2 2 2 2OP OC CP OP 3 4

OP 5 cm.

Portanto, o volume da esfera dado por

3 3

3

4 OP 4 5

3 3

500cm .

3

Resposta da questo 11:

[A]

V(lquido) = V(cubo) V(esfera)

V(lquido) = 3

3 4 .363

(considerando 3,14 )

V(lquido) = 102,96cm3

Nmero de peas com 1 Litro = 3

3

1000cm9,7

102,96cm

Resposta: No mximo 9 peas.

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Resposta da questo 12:

[A]

Considere r como sendo o Raio da esfera.

6 2r 30. Logo, r 5/2.

Volume de cada esfera:

34 5 125

V .3 2 6

Razo entre os volumes das 216 esferas e o volume da caixa:

125216

4500 56 .30 30 30 3 30 30 30 6

Resposta da questo 13: [B]

A = rea da semiesfera de raio 14 m: 2

24 14A 392 m .2

A = rea de cada semicrculo lateral: 2

23 9A ' m .2 2

rea que ser pintada: A A = 9

392 12 338 1014( 3).2

Nmero de latas de tinta: 1014

26.39

Resposta da questo 14: Populao aproximada da terra = 7.10

9 habitantes.

Raio da terra=40000

2

rea emersa do planeta:

28 2400000,30 4 1,5 10 km

2

a) 9

2

8

7 1047 habitantes por km

1,5 10

b) 8

2

9

1,5 1021000 m

7 10

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Resposta da questo 15:

[D] Raio de uma nanoesfera em cm: 10

9 m = 10

7 cm.

Volume da nanoesfera em cm3:

37 21 34 4V . 10 .10 cm .

3 3

Nmero n de nanoesferas necessrias para se obter o volume de uma esfera de 1 cm de raio:

n.21 34 .10 cm

3 = 21(4/3) n 10 .

rea superficial das n = 1021

nanoesferas: 2110 2

7 74 10 4 10 , portanto, [D] 107

vezes maior que a da esfera de raio 1 cm. Resposta da questo 16:

[E] O plano que contm o trajeto do motociclista perpendicular ao plano do cho, portanto a projeo ortogonal do trajeto do motociclista no plano do cho um segmento de reta.

Resposta da questo 17:

[D]

O arteso dispor de 3 34

8 10 cm3 de material ao derreter 8 esferas menores. Com esse

material ele poder construir uma esfera de raio r, tal que

33 3 3 34 4r 8 10 r 2 10 r 20cm.3 3

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Resposta da questo 18:

[D]

Volume da semiesfera da taa

3

3

1 4 R60,75

2 3

R 91,125

R 4,5 cm.

Resposta da questo 19: [C] Considere a figura abaixo.

Queremos calcular h PO' OO' OP.

Temos que AD 10

O'A 5 m2 2

e 4

OB 2 m O'C.2

Logo, AC O'A O'C 5 2 3 m.

Do tringulo ABC, vem que BCtgBAC BC 3 tg60 3 3 3 1,73 5,19 m.AC

Portanto, h 5,19 2 3,19 3,20 m.

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Resposta da questo 20:

[C]

rea de cada uma das partes (interna e externa):

2A 2.3,14.(0,2) 0,2512

Logo, o valor total ser: 0,2512( 40 + 10 ) = R$ 12,56. Resposta da questo 21:

[C]

Nmero de esferas = 180 50 9000

Volume total das esferas =

334 19000 4500cm

3 2

(considerando 3 )

Volume do bloco = x x 20

Logo,

2

2

20x 4500

x 225

x 15cm

Calculando a rea total, temos:

A 2 15 15 15 20 15 20 1650

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Resposta da questo 22:

[C]

Volume da esfera maior: 3 34

V 6 288 cm3

Volume da esfera menor: 3 34

v 3 36 cm3

Volume da camada de gelo: 3V v 252 cm Resposta da questo 23:

[D]

O volume (V) de uma esfera, em funo do seu dimetro (D), dado por

3V D .6

Se o dimetro tem aumento de 1%, ento o volume dessa esfera passa a valer

3 3

V

V ' (1,01 D) 1,030301 D 1,030301 V.6 6

Portanto,

1,030301 V V 0,030301 Vx% 100% 3,03% [3, 4).

V V

Resposta da questo 24: [E]

V = b

1A .h

3 V =

31 6.r 3. .r

3 4 V=

3r 3

2

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Resposta da questo 25:

[A]

Sejam dsV e dV , respectivamente, o volume da esfera que corresponde gua doce

superficial e o volume da esfera que corresponde gua doce do planeta.

A razo pedida dada por

33 3 3

dsds ds

3d dd

4r

V r 29 1 13 .4V r 203 7 343

r3