Séries de Fourier.pdf

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1

Séries de FourierPolynômes trigonométriques

Exercice 1 [ 00944 ] [correction]Exprimer la fonction θ 7→ sin2n θ sur la base (ek)k∈Z (avec ek : θ 7→ eikθ).En déduire la valeur de

In =∫ π/2

0sin2n θdθ

Exercice 2 [ 00945 ] [correction]Soient a0, a1, . . . , aN ∈ R non tous nuls et

P (z) =N∑k=0

akzk

a) Etablir ∫ 1

−1(P (t))2dt = −i

∫ π

0(P (eiθ))2eiθdθ

b) En déduire queN∑n=0

N∑m=0

anamn+m+ 1 6 π

N∑k=0

a2k

Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02877 ] [correction]On pose, pour n ∈ N et x ∈ R : pn(x) = (1 + cosx)n puis

qn(x) = pn(x)∫ π−π pn(t) dt

a) Montrer que pour tout δ ∈ ]0, π[,

limn→+∞

∫ δ

−δqn(t) dt = 1

b) Soit f : R→ R 2π-périodique et continue. On pose

gn(x) =∫ π

−πqn(t)f(x− t) dt

Prouver la convergence uniforme sur R vers f de (gn).c) Quel résultat redémontre-t-on ainsi ?

Exercice 4 X MP [ 03042 ] [correction]Déterminer les polynômes P ∈ C [X] tels que P (U) ⊂ U où U = {z ∈ C/ |z| = 1}.

Coefficients de Fourier

Exercice 5 [ 03492 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction continue par morceaux π-périodique.On note an(f) et bn(f) les coefficients de Fourier de f comprise comme unefonction 2π-périodique.Montrer que

∀n ∈ N, a2n+1(f) = b2n+1(f) = 0

Exercice 6 [ 00950 ] [correction]Soit f : R→ C continue et 2π-périodique.Montrer que f est constante si, et seulement si,

∀n ∈ Z?, cn(f) = 0

Comportement asymptotique des coefficients deFourier

Exercice 7 [ 00946 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction 2π périodique et continue par morceaux.Montrer la convergence de la série ∑ |cn(f)|

n

Exercice 8 [ 00947 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction 2π-périodique continue.a) Montrer que si f de classe C1 alors

cn(f) = o(1/n) quand |n| → +∞

b) Inversement établir que s’il existe α > 2 tel que

cn(f) = O (1/|n|α) quand |n| → +∞

alors f est égale à sa somme de Fourier et est une fonction de classe C1.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD


Exercice 9 [ 00948 ] [correction]Soit f : R→ R une fonction 2π-périodique continue.a) Montrer que si f est de classe Cp alors

c|n|(f) = o (1/np) quand n→ +∞

b) Inversement justifier que si

c|n|(f) = O(1/np+2) quand n→ +∞

alors f est de classe Cp.

Exercice 10 [ 00949 ] [correction]Soit f : R→ C 2π périodique.On suppose qu’il existe α > 0 et M ∈ R+ vérifiant

∀x, y ∈ R, |f(x)− f(y)| 6M |x− y|α

a) Justifier que f est continueb) Pour a ∈ R et n ∈ Z, exprimer en fonction de cn(f) la valeur de∫ 2π

0f(t+ a)e−int dt

c) Montrer qu’il existe µ ∈ R+ vérifiant

∀n ∈ Z, |cn(f)| 6 µ

|n|α

d) On suppose α > 1. Montrer que la série de Fourier de f converge uniformémentvers f .

Développement en série de Fourier

Exercice 11 [ 00951 ] [correction]Soit f une fonction continue 2π périodique.On suppose que la série de Fourier de f converge uniformément. Montrer quecette convergence a lieu vers la fonction f .

Exercice 12 [ 00952 ] [correction]Soit f : R→ R la fonction régularisée, 2π périodique, impaire, constante égale à 1sur ]0, π[.a) Calculer ses coefficients de Fourier trigonométriques.b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier vers f .c) En déduire

+∞∑p=0

(−1)p

2p+ 1 et+∞∑p=0

1(2p+ 1)2

d) Calculer+∞∑n=1

1n2 et

+∞∑n=1

(−1)n−1

n2

Exercice 13 [ 00953 ] [correction]Soit f : R→ R l’application 2π périodique, paire, telle que

∀x ∈ [0, π] , f(x) = x

a) Calculer la série de Fourier de f .b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier de f .c) Déterminer

+∞∑k=0

1(2k + 1)2 et

+∞∑k=0

1(2k + 1)4

d) En déduire+∞∑n=1

1n2 et

+∞∑n=1

1n4

Exercice 14 [ 03176 ] [correction]Soit f : R→ R la fonction paire, 2π-périodique, définie par

f(t) ={

4x2 − π2 si x ∈ [0, π/2]8xπ − 3π2 − 4x2 sinon

a) Montrer que f est de classe C1 et calculer exprimer sa dérivée.b) Calculer les coefficients de Fourier trigonométrique de la fonction f .c) En déduire la valeur de

+∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)3



Exercice 15 [ 00954 ] [correction]Soit f : R→ R la fonction 2π périodique définie par

f(x) = |cosx|

a) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f .b) En déduire la valeur

+∞∑n=1

(−1)n+1

4n2 − 1

Exercice 16 [ 00955 ] [correction]Soit f : R→ C, 2π-périodique, impaire et vérifiant

f(t) = π − t2 sur ]0, π]

a) Préciser la convergence de la série de Fourier de f . La convergence est-elleuniforme ?b) Calculer la série de Fourier de f .c) En déduire la convergence et la valeur de

+∞∑n=1

sinnn

d) Calculer+∞∑n=1

1n2

Exercice 17 CCP MP [ 00956 ] [correction]Soit la fonction f : R→ R 2π périodique définie par

∀x ∈ ]−π, π] , f(x) = ex

a) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f .b) En déduire la valeur des sommes

+∞∑n=0

(−1)n

n2 + 1 et+∞∑n=0

1n2 + 1

Exercice 18 [ 00957 ] [correction]Soient α ∈ R\Z et f : R→ R la fonction 2π périodique définie par

f(x) = cos(αx) sur ]−π, π]

a) Déterminer les coefficients de Fourier an et bn de f .b) En déduire les valeurs des sommes

+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 − α2 et+∞∑n=1

1n2 − α2

c) En déduire enfin la valeur de+∞∑n=1

1n2

Exercice 19 CCP MP [ 03695 ] [correction]Soit α un réel non entier et f la fonction 2π-périodique donnée par

∀t ∈ ]−π, π] , f(t) = cos(αt)

a) Montrer que f est égale à sa somme de Fourier en précisant le type deconvergence de celle-ci.b) Calculer la somme de Fourier de f .

Exercice 20 CCP MP [ 03598 ] [correction]Soient α ∈ R\Z et f : R→ R la fonction 2π périodique définie par

f(t) = cos(αt) sur ]−π, π]

a) Montrer que f admet une série de Fourier convergente sur R.Quel type de convergence est-ce ?b) Expliciter les coefficients de Fourier de f .c) Pour tout x /∈ πZ, montrer l’égalité

cotanx = 1x

+∞∑n=1

2xx2 − (nπ)2



Exercice 21 [ 00958 ] [correction]Soient α ∈ R? et f : R→ R la fonction 2π périodique définie par

f(x) = ch(αx) sur ]−π, π]

a) Déterminer les coefficients de Fourier an et bn de f .b) En déduire les valeurs des sommes

+∞∑n=1

(−1)n

n2 + α2 et+∞∑n=1

1n2 + α2

Exercice 22 CCP MP [ 00959 ] [correction]a) Domaine de définition de

S(t) =+∞∑k=0

1k2 − t2

?

b) Calculer les coefficients de Fourier an et bn de f(x) = cos(αx) définie sur[−π, π] avec α ∈ R\Z.c) Sur quel domaine f coïncide avec son développement en série de Fourier ?d) En déduire une expression de S(t).

Exercice 23 [ 00960 ] [correction]Existe-t-il une suite (αn) de réels telle que

∀t ∈ [0, π] , sin t =+∞∑n=0

αn cos(nt) ?

Exercice 24 [ 00961 ] [correction]La série de Fourier de la fonction f paire 2π-périodique qui vaut

√x pour

x ∈ [0, π] converge-t-elle uniformément ? Que vaut sa somme ?

Exercice 25 Mines-Ponts MP [ 02883 ] [correction]Soit α un réel non entier.a) En utilisant la fonction 2π-périodique coïncidant avec x 7→ cos(αx) sur [−π, π],calculer

1 + 2α2+∞∑n=1

(−1)n

α2 − n2

b) En déduire+∞∑n=1

(−1)n

n2

c) Ici 0 < α < 1. Montrer que∫ +∞

0

tα−1

1 + tdt = π

sinαπ

Exercice 26 Mines-Ponts MP [ 02884 ] [correction]Soient α ∈ R\Z et fα l’unique fonction 2π-périodique de R dans R telle que pourtout x ∈ [−π, π],

fα(x) = cos(αx)

a) Calculer les coefficients de Fourier de fα.b) Montrer que

απ

sin(απ) = 1 + 2α2+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 − α2

c) Si 0 < α < 1, montrer que∫ +∞

0

tα−1

1 + tdt = π

sin(απ)

Exercice 27 Mines-Ponts MP [ 02885 ] [correction]Soit a > 0, x réel. On pose

f(x) =+∞∑

n=−∞

1a2 + (x− 2nπ)2

a) Montrer que f est définie sur R et étudier sa parité.b) Montrer que f est développable en série de Fourier.c) Calculer, en utilisant un logiciel de calcul formel, l’intégrale∫ +∞

−∞

cos tb2 + t2

dt

d) En déduire les coefficients de Fourier de f .e) Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.



Exercice 28 [ 03227 ] [correction]Soit f : R→ C, 2π-périodique, impaire et vérifiant

0 < x < π ⇒ f(x) = π − x2

a) Calculer

S(x) =+∞∑n=1

sin(nx)n

b) Soit g : R→ C, 2π-périodique, impaire, continue et définie par

g est affine sur [0, 1] et ∀x ∈ [1, π] , g(x) = S(x)

Démontrer+∞∑n=1

(sinnn

)2=

+∞∑n=1

sinnn

c) Que vaut+∞∑n=1

sin2 n

n4 ?

Exercice 29 CCP PSI [ 03811 ] [correction]Former le développement en série de Fourier de la fonction 2π-périodique donnéepar

f(t) = |sin t|en précisant la nature de la convergence de cette série.

Exercice 30 Centrale PC [ 03617 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction 2π-périodique et k lipschitzienne. Pour n ∈ Z, on pose

cn(f) = 12π

∫ 2π

0f(t)e−int dt

a) Pour tout h ∈ R, on définit la fonction

fh : R→ C, x 7→ f(x+ h)− f(x)

Calculer cn(fh) pour tout n ∈ Z.b) En déduire que ∑

n∈Zsin2

(nh

2

)|cn(f)|2 6

(kh)2

4

c) En utilisant la concavité de la fonction sinus, montrer que∑n∈Z

n2 |cn(f)|2

converge.d) Que peut-on en conclure ?Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Applications des séries de Fourier

Exercice 31 [ 00969 ] [correction]Soient f, g : R→ C 2π-périodiques, continues et paires. Pour tout x ∈ R, on pose

h(x) = a0(f)a0(g)2 +

+∞∑n=1

an(f)an(g) cos(nx)

Justifier que h existe, est continue et calculer ses coefficients de Fourier réels.Etablir que

‖h‖∞ 6 2 ‖f‖∞ ‖g‖∞

Exercice 32 [ 00970 ] [correction]Pour θ ∈ ]0, π[, calculer de deux manières la partie réelle de∫ 1

0

(+∞∑n=0

tnei(n+1)θ

)dt

afin d’en déduire la valeur de+∞∑n=1

cosnθn

Exercice 33 X MP [ 00418 ] [correction]α désigne un réel de l’intervalle ]0, π[ et f la fonction 2π périodique définie sur]−π, π] par

f(x) ={

1 si |x| 6 α0 sinon

a) Etudier la série de Fourier de f ainsi que sa convergence.b) Que vaut la somme de cette série pour x = 0, pour x = α ?



c) Calculer+∞∑n=1

sin2(nα)n2

d) Justifier et calculer ∫ +∞

0

sin2 t

t2dt

Exercice 34 [ 03099 ] [correction]a) On note g la fonction 2π-périodique définie par

g(t) = π − t sur [0, 2π[

Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de g.b) Soit f : R→ R une fonction continue, C1 par morceaux et 2π-périodique.Montrer que

+∞∑n=1

bn(f)n

= 12π

∫ 2π

0(π − t)f(t) dt

c) Etablir que l’identité est encore vraie pour f seulement continue par morceaux.

Exercice 35 Mines-Ponts MP [ 02886 ] [correction]Soit f ∈ C1([0, π] ,R) telle que

f(0) = f(π) = 0 et∫ π

0f ′2 = 1

Montrer qu’il existe une suite réelle (an)n>1 telle que

+∞∑n=1

a2n = 2

πet ∀x ∈ [0, π] , f(x) =

+∞∑n=1

ann

sin(nx)

Exercice 36 Centrale MP [ 03250 ] [correction]Soit f la somme sur C de la série entière∑

n>0

ann! z

n

supposée de rayon de convergence R = +∞.

Pour r > 0, on poseM(r) = sup

|z|=r|f(z)|

et on suppose l’existence de

` = limr→+∞

lnM(r)r

a) On suppose que ` > 1. Montrer la divergence de la série∑an.

b) En utilisant les coefficients de Fourier de l’application t 7→ f(reit), montrer

|an| 6M(r) n!rn

c) En déduire que, si ` < 1, la série∑an converge.

Exercice 37 Centrale MP [ 03257 ] [correction]f désigne une fonction réelle continue et 2π périodique sur R.a) Démontrer que la suite de fonction (Fn)n>1 définie par

Fn(x) = 1n

∫ n

0f(x+ t)f(t) dt

converge vers une fonction F .On précisera la définition de F en fonction de f ainsi que le mode de convergencede la suite (Fn)n>1b) Démontrer

‖F‖∞ 6 F (0)

Exercice 38 [ 03493 ] [correction]Démontrer que pour tout x ∈ R

|sin(x)| = 8π

+∞∑n=1

sin2(nx)4n2 − 1

Exercice 39 [ 03494 ] [correction]Soit f la fonction 2π-périodique définie sur [0, 2π[ par

f(x) = π − x2



a) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction g définie par

g(x) = f(x+ 1)− f(x− 1)

b) En déduire la valeur de+∞∑n=1

(sinnn

)2

Exercice 40 [ 03496 ] [correction]Soit f : R→ C de classe C∞ et 2π-périodique.On suppose qu’il existe M ∈ R vérifiant

∀p ∈ N,∀t ∈ R,∣∣∣f (p)(t)

∣∣∣ 6M

Déterminer f .

Exercice 41 [ 03665 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction de classe C2 nulle en dehors de [−A,A] (avec A > 0).On définit la transformée de Fourier de f par

∀x ∈ R, f(x) =∫ +∞

−∞f(x)e−ixt dx

a) Montrer que la fonction f est continue et que t 7→ t2f(t) est bornée sur R.b) Soit T > 2A. Montrer

∀x ∈ [−T/2, T/2] , f(x) = 1T

+∞∑k=−∞

f

(2kπT

)e2ikπ xT

c) En déduire la formule d’inversion de Fourier

∀x ∈ R, f(x) = 12π

∫ +∞

−∞f(t)eixt dt

Exercice 42 [ 03666 ] [correction]On note C2π ?l’espace vectoriel des fonctions 2π-périodiques et continues de Rdans C.

a) Soient f et g deux éléments de C2π. Montrer que pour tout x ∈ R

+∞∑n=−∞

cn(f)cn(g)einx = 12π

∫ 2π

0f(x− t)g(t) dt

On étudie l’équation différentielle

(E) : y − y′′ = h

avec h une fonction élément de C2π.b) Montrer que l’équation (E) possède au plus une solution 2π-périodique.c) Déterminer la solution 2π-périodique de l’équation

y − y′′ = ep avec ep : x 7→ eipx

d) On cherche à déterminer une fonction g ∈ C2π telle que, pour toute fonctionh : R→ C de classe C1 2π-périodique, la fonction f définie par

∀x ∈ R, f(x) = 12π

∫ 2π

0g(x− t)h(t) dt

soit solution de l’équation différentielle (E).En supposant l’existence de g, calculer ses coefficients de Fourier à l’aide de laquestion précédente.Conclure alors en utilisant le calcul initial.

Exercice 43 Mines-Ponts MP [ 02888 ] [correction]Soit E l’espace des f ∈ C0(R,C) 2π-périodiques. On norme E en posant, si f ∈ E :

‖f‖ = 12π

∫ 2π

0|f |

Si f ∈ E, soit

G(f) : x ∈ R 7→∫ +∞

0e−tf(x+ t) dt ∈ C

a) Montrer que G est un endomorphisme continu de E.b) L’endomorphisme G est-il inversible ?c) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de G.



Exercice 44 Centrale MP [ 03611 ] [correction]On note E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1[, à valeurs réelles etde carré intégrable sur [0, 1[.On note ‖f‖2 la norme définie par

‖f‖2 =(∫ 1

0f(t)2 dt

)1/2

a) Pour n ∈ N et f ∈ E, justifier que t 7→ tnf(t) est intégrable sur [0, 1[.On note alors

an(f) =∫ 1

0tnf(t) dt

b) Soit P ∈ R [X], montrer que∫ 1

−1P (t) dt+ i

∫ π

0P (eiθ)eiθ dθ = 0

En déduire que ∫ 1

0P (t)2 dt 6 1

2

∫ π

−π

∣∣P (eiθ)∣∣2 dθ

c) Vérifier que, si f ∈ E, alorsn∑k=0

ak(f)2 =∫ 1

0

(n∑k=0

ak(f)tk)f(t) dt

En déduire que la série∑ak(f)2 converge et que l’on a

+∞∑k=0

ak(f)2 6 π ‖f‖22

d) On pose, pour f ∈ E,

N(f) =(+∞∑k=0

ak(f)2

)1/2

Montrer que N est une norme sur E.e) Montrer que N n’est pas équivalente à la norme ‖ . ‖2. On pourra considérer lesfonctions fp définies, pour p > 1 par

fp(x) ={ √

p si x ∈ [0, 1/p]1/√x si x ∈ ]1/p, 1[

Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 45 [ 02626 ] [correction]a) Etablir ∫ +∞

0

sin tet − 1 dt =

+∞∑n=1

1n2 + 1

b) Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction 2π-périodique définie par

f(t) = cht pour t ∈ [−π, π]

sachant ∫ π

0cht. cos(nt) dt = (−1)n shπ

n2 + 1c) En déduire la valeur de l’intégrale du a).

Développement trigonométrique

Exercice 46 [ 00962 ] [correction]Soit t ∈ ]−1, 1[. Former le développement en série de Fourier de la fonction

x 7→ sin x1− 2t cosx+ t2

Exercice 47 [ 00964 ] [correction]Former le développement en série de Fourier de

x 7→ ecos x cos(sin x)

Exercice 48 [ 00966 ] [correction]Pour |z| < 1, calculer ∫ π

0

1− z cos t1− 2z cos t+ z2 cos(nt) dt

Exercice 49 [ 00968 ] [correction]Calculer

+∞∑p=0

(−1)p cos(2p+ 1)x(2p+ 1)!



Exercice 50 [ 03326 ] [correction]Soit la fonction f : R→ C 2π-périodique donnée par

f(t) = eeit

a) Déterminer les coefficients de Fourier exponentiels de f .b) Etablir ∫ 2π

0e2 cos t dt = 2π

+∞∑n=0

1(n!)2

Exercice 51 [ 03424 ] [correction]Soient f, g : R→ C continues par morceaux et 2π-périodiques.a) Montrer la convergence de la somme

+∞∑n=−∞

|cn(f)cn(g)|

b) Soit ϕ : R→ C définie par

ϕ(x) =+∞∑

n=−∞cn(f)cn(g)einx

Calculer les coefficients de Fourier de ϕ.

Exercice 52 [ 03667 ] [correction]Soit a > 0.a) Développer en série entière

x 7→ 1x+ ea

b) En déduire le développement en série de Fourier de

t 7→ 1cos t+ cha

Noyau de Poisson

Exercice 53 [ 03093 ] [correction][Noyau de Poisson]Soient r ∈ [0, 1[ et θ ∈ R.

a) Calculer+∞∑

n=−∞einθr|n|

b) Déterminer la série de Fourier trigonométrique de la fonction

fr : t 7→ 11− 2r cos t+ r2

Exercice 54 [ 00963 ] [correction]a) Soit x ∈ ]0, π[. Former le développement en série entière en 0 de

t 7→ 1− t2

1− 2t cosx+ t2

b) En déduire le développement en série de Fourier de

x 7→ cosα1− sinα cosx

pour α ∈ ]−π/2, π/2[.

Exercice 55 [ 03102 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction 2π-périodique et continue de coefficients de Fourierexponentiels cn, n ∈ Z.a) Soit r ∈ ]0, 1[. Déterminer une fonction gr : R→ C vérifiant

+∞∑n=−∞

r|n|cn = 12π

∫ 2π

0f(t)gr(t) dt

b) Montrer que la fonction gr est à valeurs réelles positives.c) On suppose

∀n ∈ Z, cn ∈ R+

Montrer que la série de Fourier de f converge. Que vaut sa somme ?

Exercice 56 Mines-Ponts MP [ 02887 ] [correction]Soient r ∈ ]0, 1[ et E l’espace des fonctions continues 2π-périodiques de R dans C.a) Montrer qu’il existe une fonction Pr ∈ E telle que : pour tout f ∈ E et x ∈ R,∑

n∈Zr|n|cn(f)einx = 1

2π

∫ π

−πf(t)Pr(x− t) dt



b) Calculer ∫ π

−πPr(t) dt

c) Calculerlimr→1−

∑n∈Z

r|n|cn(f)einx

Exercice 57 [ 03328 ] [correction]Pour r ∈ ]0, 1[, on définit la fonction k : R→ R par

k(x) = 1 + 2+∞∑p=1

rp cos(px)

a) Montrer que la fonction k est définie et continue sur R.On note E l’espace des fonctions continues 2π-périodique. Pour f ∈ E, on pose

F (x) = 12π

∫ 2π

0k(x− t)f(t) dt

b) Exprimer F (x) à l’aide des coefficients de Fourier de f .En déduire que F est élément de E et exprimer ses coefficients de Fourier enfonction de ceux de f .

Exercice 58 Centrale MP [ 03742 ] [correction]On note, pour k ∈ {0, 1}, Sk l’ensemble des fonctions continues sur R,2π-périodiques, à valeurs complexes telles que

∑n∈Z

∣∣nkcn(f)∣∣ converge (où

(cn(f))n∈Z désigne la suite des coefficients de Fourier de f).On considère f une fonction de S1, r un réel tel que 0 < r < 1 et on définir fr par

∀x ∈ R, fr(x) =∑n∈Z

cn(f)r|n|einx

a) Calculer, pour x ∈ R,+∞∑n=1

rn sin(nx)

et en déduire que+∞∑n=1

rncos(nx)

n= −1

2 ln(1− 2r cos(x) + r2)

b) On pose

Kr(t) = −12 ln

(1− 2r cos(t) + r2

2

)Montrer qu’il existe une unique fonction u dans S0 telle que, pour tout x ∈ R∫ π

−πKr(x− t)u(t) dt = fr(x)

On déterminera les coefficients de Fourier de u en fonction de ceux de f et onvérifiera que u est indépendante de r.c) Vérifier que pour t ∈ ]0, π[,∣∣∣∣ln(1− 2r cos(t) + r2

2

)∣∣∣∣ 6 ln 2− 2 ln |sin t|

d) En déduire que

limr→1−

∫ π

−πKr(x− t)u(t) dt = −1

2

∫ π

−πln (1− cos(x− t))u(t) dt

e) Pour g ∈ S0, on définit ϕ(g) par

∀x ∈ R, ϕ(g)(x) =∫ π

−πln (1− cos(x− t)) g(t) dt

Montrer que ϕ est un isomorphisme de S0 sur S1.Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Inégalités et séries de Fourier

Exercice 59 [ 00965 ] [correction][Inégalité de Wirtinger]Soit f : R→ C une fonction 2π périodique de classe C1 telle que∫ 2π

0f = 0

a) Rappeler la relation existant entre cn(f) et cn(f ′).b) Montrer que ∫ 2π

0|f(t)|2 dt 6

∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt

et préciser les cas d’égalités.



Exercice 60 CCP MP [ 03700 ] [correction]Soit f : R→ C une fonction 2π périodique de classe C1 telle que∫ 2π

0f = 0

a) Pourquoi peut-on appliquer la formule de Parseval aux fonctions f et f ′.b) Rappeler la relation existant entre cn(f) et cn(f ′).c) Montrer que ∫ 2π

0|f(t)|2 dt 6

∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt

d) On suppose que ∫ 2π

0|f(t)|2 dt =

∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt

Montrer que pour tout k ∈ Z\ {−1, 0, 1}, ck(f) = 0 ; en déduire, grâce authéorème de convergence uniforme des séries de Fourier, qu’il existe deux scalairesA et B tels que f(x) = Ae−ix +Beix pour tout x ∈ R.e) Réciproquement, montrer que si f(x) = Ae−ix +Beix alors∫ 2π

0|f(t)|2 dt =

∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt

Exercice 61 [ 00433 ] [correction][Inégalité de Poincaré]Soit f : [0, 1]→ R de classe C1 vérifiant f(0) = f(1) = 0. Etablir∫ 1

0f(t)2 dt 6 1

π2

∫ 1

0(f ′(t))2 dt

Observer que la constante de majoration ne peut être améliorée.

Exercice 62 [ 02752 ] [correction]Soit f : R→ R une fonction 2π-périodique de classe C1 et vérifiant∫ 2π

0f(t) dt = 0

Montrer que

‖f‖2∞ 6

π

6

∫ 2π

0(f ′(t))2 dt

Exercice 63 [ 03495 ] [correction]Soient f : R→ C 2π-périodique et de classe C2 et a, b ∈ R+ tels que 4ab > 1.Etablir

a

∫ 2π

0|f |2 + b

∫ 2π

0|f ′′|2 >

∫ 2π

0|f ′|2

Séries de Fourier et équations différentielles

Exercice 64 [ 00967 ] [correction]Déterminer les solutions 2π périodiques de l’équation différentielle

y′′ + eity = 0

Exercice 65 CCP MP [ 03331 ] [correction]Soit α ∈ C\iZ et f continue sur R à valeurs dans C et 2π-périodique.Soit y solution de l’équation

y′ + αy = f

a) Montrer que y est de la forme

y(x) = e−αx(y(0) +

∫ x

0f(t)eαtdt

)b) Montrer que y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) (on pourrautiliser que z(x) = y(x+ 2π) est solution de l’équation différentielle).c) En déduire qu’il existe une unique fonction φ, 2π-périodique solution del’équation différentielle.d) Montrer que φ admet un développement en série de Fourier et l’exprimer enfonction des coefficients complexes de f .

Exercice 66 [ 03327 ] [correction]Soit f : R→ C 2π-périodique dérivable telle qu’il existe λ ∈ R vérifiant

∀t ∈ R, f ′(t) = f(t+ λ) (*)

a) Montrer∀n ∈ Z, (in− einλ)cn(f) = 0

b) Pour quel(s) λ ∈ R existe-t-il des fonctions 2π-périodiques, autres que lafonction nulle, vérifiant (*) ?



Exercice 67 X MP [ 03439 ] [correction]On considère la fonction f : R→ C 2π-périodique donnée par

f(x) = ix

eix − 1 sur ]−π, 0[ ∪ ]0, π[ , f(0) = 1 et f(π) = 0

Développer f en série de Fourier.


[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections 13

Corrections

Exercice 1 : [énoncé]Par la formule du binôme

sin2n θ = (−1)n

22n

2n∑k=0

(2nk

)(−1)ke2(n−k)iθ

On en déduit

4In =∫ 2π

0sin2n θdθ = 1

22n

(2nn

)2π

puisIn = (2n)!

(2nn!)2π

2

Exercice 2 : [énoncé]a) On introduit Q un polynôme primitif de P 2.∫ π

0(P (eiθ))2eiθdθ =

[1iQ(eiθ)

]π0

= i [Q(t)]1−1 = i

∫ 1

−1(P (t))2dt

b) D’une part ∫ 1

−1(P (t))2dt >

∫ 1

0(P (t))2dt =

N∑n=0

N∑m=0

anamn+m+ 1

et d’autre part ∣∣∣∣−i∫ π

0(P (eiθ))2eiθdθ

∣∣∣∣ 6 ∫ π

0


avec ∫ π

0

∣∣P (eiθ)∣∣2 dθ = 1

2

∫ π

−π


car P (eiθ) = P (e−iθ) et

12π

∫ π

−π

∣∣P (eiθ)∣∣2 dθ =

N∑k=0|ak|2 =

N∑k=0

a2k

car les ak sont des réels composantes de la fonction θ 7→ P (eiθ) dans une baseorthonormée pour le produit scalaire en cours.

Exercice 3 : [énoncé]a) Pour δ ∈ ]0, π[∣∣∣∣∫ π

δ

qn(t) dt∣∣∣∣ 6

∫ πδ

(1 + cos t)n dt∫ π−π (1 + cos t)n dt

6

∫ πδ

(1 + cos t)n dt∫ δ−δ (1 + cos t)n dt

6

∫ πδ

(1 + cos t)n dt2δ(1 + cos δ)n

Or par convergence dominée∫ πδ

(1 + cos t)n dt(1 + cos δ)n =

∫ π

δ

(1 + cos t1 + cos δ

)ndt −−−−−→

n→+∞0

Ainsi ∫ π

δ

qn(t) dt→ 0

et par parité ∫ −δ−π

qn(t) dt→ 0

On en déduit limn→+∞

∫ δ−δ qn(t) dt = 1 car

∫ π−π qn(t) dt = 1.

b) On a

gn(x)− f(x) =∫ π

−πqn(t)(f(x− t)− f(x)) dt

Puisque f est continue sur le segment [−π, π], elle y est uniformément continue.Pour ε > 0, il existe δ > 0 vérifiant

|x− y| 6 δ ⇒ |f(x)− f(y)| 6 ε

On a alors ∣∣∣∣∣∫ δ

−δqn(t)(f(x− t)− f(x)) dt

∣∣∣∣∣ 6∫ δ

−δεqn(t) dt 6 ε

Mais puisqu’on a aussi∣∣∣∣∫ π

δ

qn(t)(f(x− t)− f(x)) dt∣∣∣∣ 6 2 ‖f‖∞

∫ π

δ

qn(t) dt

pour n assez grand, ∣∣∣∣∫ π

δ

qn(t)(f(x− t)− f(x)) dt∣∣∣∣ 6 ε

et finalement |gn(x)− f(x)| 6 3ε indépendamment de x.



c) Par le changement de variable u = x− t et par 2π-périodicité,

gn(t) =∫ π

−πf(u)qn(x− t) dt

et en développant, cette expression se perçoit comme un polynômetrigonométrique.On a démontré le théorème de Weierstrass dans sa version trigonométrique.

Exercice 4 : [énoncé]Soit P un polynôme solution.Le polynôme P est non nul, on peut introduire son degré n et l’écrire

P =n∑k=0

akXk avec an 6= 0

Puisque∣∣P (eit)

∣∣ = 1 pour tout t ∈ R, on a P (eit)P (eit) = 1.Mais

P (eit)P (eit) =n∑k=0

n∑`=0

aka`ei(k−`)t

et en développant on obtientana0eint + (ana1 + an−1a0) ei(n−1)t + (ana2 + an−1a1 + an−2a2) ei(n−2)t + · · ·+(anan + · · ·+ a0a0) + · · · = 1On en déduit ana0 = 0, ana1 + an−1a0 = 0,. . . ,anan−1 + an−1an−2 + · · ·+ a1a0 = 0 et (anan + · · ·+ a0a0) = 1Puisque an 6= 0, on obtient successivement a0 = 0, a1 = 0,. . . , an−1 = 0 et|an|2 = 1Ainsi P (X) = aXn avec |a| = 1.Inversement, un tel polynôme est solution.

Exercice 5 : [énoncé]On a

a2n+1(f) = 1π

∫ π

−πf(t) cos((2n+ 1)t) dt

En coupant l’intégrale en 0 et en procédant à une translation

a2n+1(f) = 1π

∫ π

0f(t) (cos((2n+ 1)t) + cos((2n+ 1)(t+ π))) dt

car la fonction f est π-périodique.

Puisquecos((2n+ 1)t) + cos((2n+ 1)(t+ π)) = 0

on peut conclurea2n+1(f) = 0

On montre de mêmeb2n+1(f) = 0

Exercice 6 : [énoncé](⇒) immédiat par calcul.(⇐) Si

∀n ∈ Z?, cn(f) = 0

alors la série de Fourier de f est uniformément convergente et puisqu’elle convergeen norme quadratique vers f , la limite uniforme de la série de Fourier de f nepeut être que f .Ainsi la fonction f est constante.

Exercice 7 : [énoncé]Par Cauchy-Schwarz :(

N∑n=1

|cn(f)|n

)2

6N∑n=1|cn(f)|2

N∑n=1

1n2 6

12π

∫ 2π

0|f(t)|2 dt× π2

6

ce qui permet de conclure.

Exercice 8 : [énoncé]a) On sait cn(f ′) = incn(f) et cn(f ′)→ 0 donc cn(f) = o(1/n).b) On a

Sn(f) = c0e0 +n∑k=1

ckek +n∑k=1

c−ke−k

avec ek : t 7→ eikt vérifiant ‖ek‖∞ = 1.Puisque les séries

∑|cn| et

∑|c−n| convergent, on établit la convergence normale

des séries de fonctions∑cnen et

∑c−ne−n.

Ainsi la suite (Sn(f)) des sommes partielles de Fourier converge uniformément surR. Notons S(f) sa limite.Puisque ‖ . ‖2 6 ‖ . ‖∞, la convergence de (Sn(f)) vers S(f) pour ‖ . ‖∞ entraîneaussi cette convergence pour ‖ . ‖2.



Or il est connu (Sn(f)) converge vers f pour la norme ‖ . ‖2 et donc par unicité delimite S(f) = f .Puisque les fonctions en sont de classe C1 et vérifient

‖cne′n‖∞ = |n| |cn|

on peut par convergence normale affirmer que la fonction S(f) = f est declasse C1.

Exercice 9 : [énoncé]a) On a sait cn(f (p)) = (in)pcn(f) et c|n|(f (p))→ 0 car les coefficients de Fourierd’une fonction continue par morceaux tendent vers 0.On en déduit c|n|(f) = o (1/np)b) La série de Fourier de f , ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre p convergeuniformément sur R, donc la somme de la série de Fourier de f est de classe Cp etde plus elle est égale à f car elle converge aussi quadratiquement vers la fonctioncontinue f .

Exercice 10 : [énoncé]a) Soit x ∈ R. Quand y → x, on a

|f(x)− f(y)| 6M |x− y|α → 0

donc f(y)→ f(x).b) On a

cn(f) = 12π

∫ 2π

0f(t)e−int dt

Par 2π-périodicité,

cn(f) = 12π

∫ 2π

0f(t+ a)e−in(t+a) dt = e−ina

2π

∫ 2π

0f(t+ a)e−int dt

c) Pour tout a ∈ R,

(1− eina)cn(f) = 12π

∫ 2π

0(f(t)− f(t+ a)) e−int dt

Pour a tel que na = π,

2cn(f) = 12π

∫ 2π

0(f(t)− f(t+ π/n)) e−int dt

En exploitant l’inégalité proposée en hypothèse

2 |cn(f)| 6Mπα

nα

puis |cn(f)| 6 µnα avec µ = 1

2Mπα.d) Puisque les séries

∑|cn(f)| et

∑|c−n(f)| convergent, il y a convergence

normale et donc convergence uniforme des séries de fonctions∑cn(f)eint

et∑c−n(f)e−int. On en déduit qu’il y a convergence uniforme de la série de

Fourier de f vers une certaine fonction S(f). Or puisque la fonction f estcontinue, il y aussi convergence quadratique de la série de Fourier vers f . Mais laconvergence uniforme entraînant la convergence quadratique, l’unicité de la limitedonne S(f) = f .

Exercice 11 : [énoncé]Notons S la série de Fourier de f et Sp les sommes partielles.Puisque la fonction f est continue, il y a convergence en moyenne quadratique de(Sp) vers f .

12π

∫ 2π

0|Sp(t)− f(t)|2 dt→ 0

Par hypothèse, il y a convergence uniforme de (Sp) vers sa limite que nous avonsnotée S et donc il y a aussi convergence en moyenne quadratique

12π

∫ 2π

0|Sp(t)− S(t)|2 dt→ 0

Par unicité de la limite pour la convergence en moyenne quadratique, on peutaffirmer f = S.

Exercice 12 : [énoncé]a) f impaire donc

∀n ∈ N, an = 0

Pour n ∈ N?,bn = 1

π

∫ π

−πf(t) sin(nt)dt = 21− (−1)n

nπ

donc b2p = 0 et b2p+1 = 4(2p+1)π .

On a aussi c0 = 0 et pour n ∈ Z, n 6= 0.

cn = 12π

∫ π

−πf(t)e−i.ntdt = (1− (−1)n)

i.nπ



b) La fonction f étant C1 par morceaux, la série de Fourier converge simplementvers la régularisée de f .La convergence ne peut pas être uniforme car la fonction limite n’est pas continue.c) La convergence simple de la série de Fourier vers f(x) en x = π/2 donne :

+∞∑p=0

4 sin (2p+1)π2

(2p+ 1)π = 4π

+∞∑p=0

(−1)p

2p+ 1 = 1

d’où+∞∑p=0

(−1)p

2p+ 1 = π

4

L’égalité de Parseval donne

12

+∞∑p=0

16(2p+ 1)2π2 = 1

2π

∫ π

−πf(t)2dt = 1

donc+∞∑p=0

1(2p+ 1)2 = π2

8

d)+∞∑n=1

1n2 existe et

+∞∑n=1

1n2 =

+∞∑p=0

1(2p+ 1)2 + 1

4

+∞∑p=1

1p2

d’où+∞∑n=1

1n2 = 4

3

+∞∑p=0

1(2p+ 1)2 =π2

6

Aussi+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 =+∞∑p=1

1(2p+ 1)2 −

14

+∞∑p=1

1p2 = π2

8 −π2

24 = π2

12

Exercice 13 : [énoncé]a) Puisque f est paire :

∀n ∈ N?, bn = 0

Pour n ∈ N,an = 1

π

∫ π

−πf(t) cos(nt)dt = 2

π

∫ π

0t cos(nt)dt

Pour n = 0 : a0 = π.Pour n > 0 :

an = 2π

[t

nsin(nt)

]π0− 2nπ

∫ π

0sin(nt)dt = 2((−1)n − 1)

n2π

Aussic0 = 1

2π

∫ π

−πt dt = π

2et pour n ∈ Z? :

cn = 12π

∫ π

−πf(t)e−i.nt dt = 1

π

∫ π

0t cos(nt)dt = (−1)n − 1

n2π

Par suite

S(f)(t) = 12a0 +

+∞∑n=1

an cos(nt) = π

2 −4π

+∞∑k=0

cos(2k + 1)t(2k + 1)2

b) f est continue et C1 par morceaux, la convergence est donc normale a fortiorisimple et uniforme.c) S(f)(t) = f(t). Pour t = 0, on obtient

+∞∑k=0

1(2k + 1)2 = π2

8

Par la formule de Parseval :

12π

∫ π

−π(f(t))2dt = 1

4a20 + 1

2

+∞∑k=0

a22k+1 = π2

4 + 8π2

+∞∑k=0

1(2k + 1)4

Or1

2π

∫ π

−π(f(t))2dt = 1

π

[13 t

3]π

0= π2

3donc

+∞∑k=0

1(2k + 1)4 = π4

96

d)+∞∑n=1

1n2 existe et

+∞∑n=1

1n2 =

+∞∑k=0

1(2k + 1)2 + 1

4

+∞∑k=1

1k2



d’où+∞∑n=1

1n2 = π2

6

De même on obtient+∞∑n=1

1n4 = π4

90

Exercice 14 : [énoncé]a) Sur [0, π/2], on a

f(x) = 4x2 − π2

et donc f est de classe C1 sur [0, π/2] avec

f ′d(0) = 0 et f ′g(π/2) = 4π

Sur ]π/2, π], on af(x) = 8xπ − 3π2 − 4x2

et cette relation est aussi valable pour x = π/2. On en déduit que f est de classeC1 sur [π/2, π] avec

f ′d(π/2) = 4π et f ′g(π) = 0

Par parité et périodicité, on peut affirmer que f est de classe C1 sur R (et undessin serait sûrement très convainquant. . . ) et f ′ est une fonction impaire,2π-périodique avec

f ′(t) ={

8x si x ∈ [0, π/2]8π − 8x sinon

a) Puisque la fonction f est paire, les coefficients bn sont nuls et

an = 2π

∫ π

0f(t) cos(nt) dt

ce qui donne

a2n = 0 et a2n+1 = 32.(−1)n+1

π(2n+ 1)3

après quelques calculs pénibles, ou plus simplement après exploitation de larelation

bn(f ′) = −nan(f)

voire de la relationan(f ′′) = nbn(f ′) = −n2an(f)

et en considérant la pseudo dérivée d’ordre 2 de f .c) Puisque la fonction f est de classe C1, elle est égale à sa somme de Fourier etdonc

∀x ∈ R, f(x) = 32π

+∞∑n=0

(−1)n+1

(2n+ 1)3 cos((2n+ 1)t)

En évaluant pour x = 0, on obtient

+∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)3 = π3

32

Exercice 15 : [énoncé]a) La fonction f est paire. On obtient pour n ∈ N

a2n(f) = (−1)n+14π(4n2 − 1) et a2n+1(f) = 0

et bn(f) = 0 pour n ∈ N?.b) La fonction f est de classe C1 par morceaux, il y a donc convergence uniformede la série de Fourier vers f . En x = 0, on obtient :

f(0) = 2π

++∞∑n=1

(−1)n+14π(4n2 − 1)

donc+∞∑n=1

(−1)n+1

4n2 − 1 = π − 24

Exercice 16 : [énoncé]a) f est C1 par morceaux et régularisée donc la série de Fourier de f convergesimplement vers f en vertu du théorème de Dirichlet.La convergence ne peut être uniforme car si telle est le cas f serait continue en 0en tant que limite uniforme d’une suite de fonctions continues.b) La fonction f est paire. On obtient an = 0 et par intégration par partiesbn = 1/n.La série de Fourier de f permet d’écrire

f(t) =+∞∑n=1

sin(nt)n



b) Pour t = 1, on obtient+∞∑n=1

sinnn

= π − 12

c) Par la formule de Parseval

12

+∞∑n=1

1n2 = 1

2π

∫ π

−π|f(t)|2 dt

donc+∞∑n=1

1n2 = 2

π

∫ π

0

(π − t)2

4 dt = 16π[−(π − t)3]π

0 = π2

6

Exercice 17 : [énoncé]a) On obtient pour n ∈ Z

cn(f) = shππ

(−1)n

1− inb) La fonction f est C1 par morceaux donc la série de Fourier convergesimplement vers la fonction f? régularisée de f .Ainsi

∀x ∈ R, f?(x) = shππ

+∞∑n=−∞

(−1)n

1− ineinx

Pour x = 0, on obtientπ

shπ =+∞∑

n=−∞

(−1)n

1− in

Or+∞∑

n=−∞

(−1)n

1− in = −1 ++∞∑n=0

(−1)n(

11− in + 1

1 + in

)= −1 +

+∞∑n=0

(−1)n2n2 + 1

Par suite+∞∑n=0

(−1)n

n2 + 1 = 12

(1 + π

shπ

)De même avec x = π, on obtient

+∞∑n=0

1n2 + 1 = 1

2 (1 + π coth π)

Exercice 18 : [énoncé]a) La fonction f est paire. On obtient bn = 0 pour n > 1 et

an = (−1)n−1 2α sin(απ)π(n2 − α2)

pour n ∈ N. La série de Fourier de f converge normalement vers f car celle-ci estcontinue et C1 par morceaux. Par suite

f(x) = sin(απ)απ

++∞∑n=1

(−1)n−1 2α sin(απ)π(n2 − α2) cos(nx)

b) Pour x = 0, on obtient

+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 − α2 = 12α2

(απ

sin(απ) − 1)

et pour x = π,+∞∑n=1

1n2 − α2 = 1− απ cotαπ

2α2

c) Il y a convergence normale de+∞∑n=1

1n2−α2 pour α ∈ [0, 1/2] donc quand

+∞∑n=1

1n2 = lim

α→0

+∞∑n=1

1n2 − α2

Quand x→ 0,cotx = 1

x− 1

3x+ o(x)

donc quand α→ 0,1− απ cotαπ

2α2 → π2

6d’où

+∞∑n=1

1n2 = π2

6

Exercice 19 : [énoncé]a) Par périodicité

f(−π) = f(π) = cos(απ) = cos(−απ)



Ainsi∀t ∈ [−π, π] , f(t) = cos(αt)

On peut donc affirmer que f est continue et de classe C1 par morceaux. On endéduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur R.b) La fonction f est paire. Après calculs

an = (−1)n−1 2α sin(απ)π(n2 − α2) et bn = 0

et donc la série de Fourier de f est

sin(απ)απ

++∞∑n=1

(−1)n−1 2α sin(απ)π(n2 − α2) cos(nt)

Exercice 20 : [énoncé]a) La fonction f est continue et de classe C1 par morceaux sur R car elle l’est sur[−π, π]. On en déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers f .b) Après calculs, pour n ∈ N,

an = (−1)n−1 2α sinαππ(n2 − α2) et bn = 0

c) Pour tout t = π, la convergence de la série de Fourier de f donne

cos(απ) = sinαπαπ

++∞∑n=1

2α sin(απ)π(α2 − n2)

et en posant x = απ on obtient

cosx = sin xx

++∞∑n=1

2x sin xx2 − (nπ)2

ce qui fournit la relation demandée.

Exercice 21 : [énoncé]a) La fonction f est paire. On obtient bn = 0 pour n > 1 et

an = (−1)n 2αshαππ(α2 + n2)

pour n ∈ N. La série de Fourier de f converge normalement vers f car celle-ci estcontinue et C1 par morceaux. Par suite

f(x) = shαπαπ

++∞∑n=1

(−1)n 2αshαππ(α2 + n2) cosnx

b) Pour x = 0, on obtient

+∞∑n=1

(−1)n

n2 + α2 = 12α2

(απ

sh(απ) − 1)

et pour x = π,+∞∑n=1

1n2 + α2 = απ coth(απ)− 1

2α2

Exercice 22 : [énoncé]a) S(t) est définie sur R\Z.b) an = (−1)n−1 2α sinαπ

π(n2−α2) et bn = 0.c) Puisque f est continue et C1 par morceaux, le théorème de convergencenormale assure que la série de Fourier de f converge vers f sur R.d) Pour x = π, on obtient :

cosαπ = sinαπαπ

−+∞∑n=1

2α sinαππ(n2 − α2)

donc+∞∑n=1

1n2 − α2 = 1

2α2 −π cotαπ

2α

puisS(t) = − 1

2α2 −π cotαπ

2α

Exercice 23 : [énoncé]Soit f la fonction 2π périodique paire définie sur [0, π] par f(t) = sin t. f estcontinue et C1 par morceaux. Sa série de Fourier converge donc normalement versf et cela permet d’écrire

∀t ∈ [0, π] , sin t = 12a0(f) +

+∞∑n=1

an(f) cos(nt)



d’où le résultat.

an(f) = 2π

∫ π

0sin t cos(nt) dt = 1

π

∫ π

0sin(n+ 1)t− sin(n− 1)tdt

Si n = 1,a1(f) = 0

Si n 6= 1,

an(f) = 1π

[−cos(n+ 1)t

n+ 1

]π0− 1π

[−cos(n− 1)t

n− 1

]π0

= −2(1 + (−1)n)π(n2 − 1)

Exercice 24 : [énoncé]Le problème est qu’ici f n’est pas de classe C1 par morceaux puisqu’elle n’admetde dérivée à droite et à gauche en 0.Pour n > 0, on a bn = 0 et

an = 2π

∫ π

0

√x cos(nx) dx = 2

πn

[√x sin(nx)

]π0 −

1nπ

∫ π

0

sin(nx)√x

dx

donc

an = − 1nπ

∫ π

0

sin(nx)√x

dx = − 1n3/2π

∫ nπ

0

sin(u)√u

du

Or l’intégrale ∫ +∞

0

sin u√u

du

est convergente comme on peut le vérifier à l’aide d’une intégration par parties sur[1,+∞[Par conséquent, an = O

(1/n3/2) donc la série de Fourier de f est normalement

convergente.Etant continue, la série de Fourier converge en moyenne quadratique vers f etdonc sa somme est égale à f .

Exercice 25 : [énoncé]a) La fonction 2π-périodique étudiée est continue et de classe C1 par morceauxdont développable en série de Fourier.

an = 2α(−1)n sin(απ)π(α2 − n2) et bn = 0

La valeur en 0 de ce développement permet d’établir :

1 + 2α2+∞∑n=1

(−1)n

α2 − n2 = απ

sin(απ)

b) Par convergence normale, la fonction α 7→+∞∑n=1

(−1)nn2−α2 est continue sur [0, 1/2].

En passant à la limite quand α→ 0, on obtient

+∞∑n=1

(−1)n

n2 = limα→0

(1

2α2

(απ

sin(απ) − 1))

= −π2

12

c) ∫ +∞

0

tα−1

1 + tdt =

∫ 1

0

tα−1

1 + tdt+

∫ +∞

1

tα−1

1 + tdt

∫ 1

0

tα−1

1 + tdt =

∫ 1

0

+∞∑n=0

(−1)ntα−1+n dt =N∑n=0

∫ 1

0(−1)ntα−1+n dt+

∫ 1

0

+∞∑n=N+1

(−1)ntα−1+n dt

Par le critère spécial des séries alternées,∣∣∣∣∣∫ 1

0

+∞∑n=N+1

(−1)ntα−1+n dt

∣∣∣∣∣ 6∫ 1

0tα+N dt = 1

N + α+ 1 → 0

donc ∫ 1

0

tα−1

1 + tdt =

+∞∑n=0

∫ 1

0(−1)ntα−1+n =

+∞∑n=0

(−1)n

n+ α

Par u = 1/t, ∫ +∞

1

tα−1

1 + tdt =

∫ 1

0

u−α

u+ 1 du =+∞∑n=1

(−1)n−1

n− α

par la même démarche qu’au dessus.Par suite ∫ +∞

0

tα−1

1 + tdt = 1

α+ 2α

+∞∑n=1

(−1)n

α2 − n2 = π

sin(απ)

Exercice 26 : [énoncé]a) bn = 0 pour n > 1 et an = (−1)n−1 2α sinαπ

π(n2−α2) pour n ∈ N.



b) La série de Fourier de f converge normalement vers f car celle-ci est continueet C1 par morceaux. Par suite

f(x) = sinαπαπ

++∞∑n=1

(−1)n−1 2α sinαππ(n2 − α2) cos(nx)

Pour x = 0, on obtient

1 = sinαπαπ

+ 2α2 sinαπαπ

+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 − α2

puis la relation voulue.c) La fonction f : t 7→ tα−1

1+t est définie et continue par morceaux sur ]0,+∞[. Onvérifie f(t) ∼

t→0tα−1 et f(t) ∼

t→+∞1

t2−α ce qui assure l’intégrabilité de f .

∫ 1

0

tα−1

1 + tdt =

∫ 1

0

+∞∑n=0

(−1)ntn+α−1 dt =∫ 1

0

N∑n=0

(−1)ntn+α−1 dt+∫ 1

0

+∞∑n=N+1

(−1)ntn+α−1 dt

∫ 1

0

N∑n=0

(−1)ntn+α−1 dt =N∑n=0

(−1)n

n+ α−−−−−→N→+∞

+∞∑n=0

(−1)n

n+ α

la convergence de la série étant acquise par le critère spécial des séries alternées.∣∣∣∣∣∫ 1

0

+∞∑n=N+1

(−1)ntn+α−1 dt

∣∣∣∣∣ 6∫

[0,1[tN+α dt = 1

N + 1 + α

la majoration du reste étant obtenue par le critère spécial des séries alternées.On peut alors affirmer ∫ 1

0

tα−1

1 + tdt =

+∞∑n=0

(−1)n

n+ α

Puisque ∫ +∞

1

tα−1

1 + tdt =

u=1/t

∫ 1

0

u−α

u+ 1 du

on a aussi ∫ +∞

1

tα−1

1 + tdt =

+∞∑n=0

(−1)n

n+ (1− α)

On en tire ∫ +∞

0

tα−1

1 + tdt = 1

α+

+∞∑n=0

(−1)n

n+ α+

+∞∑n=1

(−1)n−1

n− α

puis ∫ +∞

0

tα−1

1 + tdt = 1

α+ 2α

+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 − α2 = π

sin(απ)

Exercice 27 : [énoncé]a) Les séries

∑n>1

1a2+(x−2nπ)2 et

∑n>1

1a2+(x+2nπ)2 sont absolument convergentes

donc f est définie sur R.

f(x) = 1a2 + x2 +

+∞∑n=1

(1

a2 + (x− 2nπ)2 + 1a2 + (x+ 2nπ)2

)est paire.b) Par translation d’indice, on observe que f est 2π-périodique.Posons

fn(x) = 1a2 + (x− 2nπ)2 + 1

a2 + (x+ 2nπ)2

fn est de classe C1,∑fn converge simplement et

∑f ′n converge normalement sur

[−π, π] donc f est continue et C1 par morceaux donc développable en série deFourier.c) ∫ +∞

−∞

cos tb2 + t2

dt = πeb

b

d) f est paire donc bn = 0 pour tout n ∈ N?.Pour n ∈ N,

an = 1π

∫2πf(t) cos(nt) = 1

π

∫ π

−π

cos(nt)a2 + t2

dt+ 1π

∫ π

−π

+∞∑n=1

cos(nt)a2 + (t− 2nπ)2 + cos(nt)

a2 + (t+ 2nπ)2 dt

Par convergence de la série des intégrales des valeurs absolues,

an = 1π

+∞∑n=−∞

∫ π

−π

cos(nt)a2 + (t− 2nπ)2 dt

En translatant les intégrales,

an = 1π

∫ +∞

−∞

cos(nt)a2 + t2

dt = n

π

∫ +∞

−∞

cosub2 + u2 du

avec b = an pour n 6= 0 et a0 = 1a .



e)

f(t) = 12a + 1

a

+∞∑n=1

ean cos(nt) = 1a

(−1 + Re 1

1− ea+it

)= 1a

ea(cos t− 1)1− 2ea cos t+ ea

(sauf erreur. . . )

Exercice 28 : [énoncé]a) La fonction f est de classe C1 par morceaux et régularisée donc développableen série de Fourier.an = 0 et par intégration par parties bn = 1/n.Le développement en série de Fourier de f s’écrit

f(x) =+∞∑n=1

sin(nx)n

= S(x)

b) Pour x = 1, on obtient+∞∑n=1

sinnn

= π − 12

La fonction g est de classe C1 par morceaux et continue donc développable ensérie de Fourier.an = 0 et

bn = 2π

∫ 1

0

π − 12 t sin(nt) dt+ 2

π

∫ π

1

π − t2 sin(nt) dt

Après calculs

bn = sinnn2

On a alors

g(1) =+∞∑n=1

sin2 n

n2 = S(1) =+∞∑n=1

sinnn

c) Par la formule de Parseval

12

+∞∑n=1

sin2 n

n4 = 1π

∫ π

0|g(t)|2 dt = (π − 1)2

6

Exercice 29 : [énoncé]La fonction f est paire, continue et de classe C1 par morceaux. Sa série de Fourierconverge donc uniformément vers elle-même. Après calculs, on obtient

f(t) = 2π−

+∞∑p=0

4π((2p)2 − 1) cos(2pt)

Exercice 30 : [énoncé]a) Par 2π-périodicité∫ 2π

0f(t+ h)e−int dt =

∫ 2π+h

h

f(u)e−inueinh du =∫ 2π

0f(u)e−inueinh du

donccn(fh) = (einh − 1)cn(f)

b) On acn(fh) = 2ieinh/2 sin nh2 cn(f)

donc|cn(fh)|2 = 4 sin2 nh

2 |cn(f)|2

puis par la formule de Parseval et la lipschitzianité de f∑n∈Z

sin2(nh

2

)|cn(f)|2 = 1

4 ×1

2π

∫ 2π

0|fh(t)|2 dt 6 (kh)2

4

c) Par la concavité de la fonction sinus sur [0, π/2], le graphe est au dessus de lacorde donc

∀x ∈ [0, π/2] , sin x >2πx

Ainsi pour |nh| 6 π on a

n2h2

π2 |cn(f)|2 6 sin2(nh

2

)|cn(f)|2

et donc ∑|nh|6π

n2h2

π2 |cn(f)|2 6∑nZ

sin2(nh

2

)|cn(f)|2 6

(kh)2

4

Ainsi ∑|nh|6π

n2 |cn(f)|2 6(kπ)2

4



Ceci valant pour tout h > 0, on peut en considérant h→ 0+ assurer que lessommes partielles de la série

∑n2 |cn(f)|2 sont bornée et que donc cette série

converge.d) Pour tout t ∈ R,

supt∈R

∣∣cn(f)eint∣∣ = |cn(f)| 6 1

2

(1n2 + n2 |cn(f)|2

)en vertu de l’inégalité 2ab 6 a2 + b2. Par comparaison de séries à termes positifs,on peut affirmer la convergence normale de la série des fonctions t 7→ cn(f)eint.Cette convergence normale entraîne une convergence en moyenne quadratique quine peut avoir lieu que vers f (qui est continue car lipschitzienne). On peut doncconclure que la série de Fourier de f converge normalement vers f sur R.

Exercice 31 : [énoncé]Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

+∞∑n=1|an(f)an(g)| 6

+∞∑n=1|an(f)|2

+∞∑n=1|an(g)|2 < +∞

La série servant à définir h s’avère donc normalement convergente d’où l’existence,la continuité de h et la reconnaissance immédiate de ses coefficients de Fourier.De plus

12 |h(x)| 6 |a0(f)a0(g)|

4 +12

+∞∑n=1|an(f)an(g)| 6

√√√√ |a0(f)|2

4 + 12

+∞∑n=1|an(f)|2

√√√√ |a0(g)|2

4 + 12

+∞∑n=1|an(g)|2

Par l’égalité de Parseval :

12 |h(x)| 6

√1

2π

∫ 2π

0|f(t)|2 dt

√1

2π

∫ 2π

0|g(t)|2 dt 6 ‖f‖∞ ‖g‖∞

et on conclut.

Exercice 32 : [énoncé]D’une part ∫ 1

0

+∞∑n=0

tnei(n+1)θ dt =∫ 1

0

eiθ

1− teiθ dt =∫ 1

0

1e−iθ − t dt

ce qui justifie l’existence de l’intégrale. On peut alors calculer sa partie réelle

Re(∫ 1

0

dte−iθ − t

)= Re

(∫ 1

0

eiθ − t|e−iθ − t|2

dt)

=∫ 1

0

cos θ − t(cos θ − t)2 + sin2 θ

dt = − ln (2 sin(θ/2))

D’autre part∫ 1

0

+∞∑n=0

tnei(n+1)θ dt =∫ 1

0

N∑n=0

tnei(n+1)θ dt+∫ 1

0

+∞∑n=N+1

tnei(n+1)θ dt

donc ∫ 1

0

+∞∑n=0

tnei(n+1)θ dt =N∑n=0

ei(n+1)θ

n+ 1 + εN

avec

|εN | =

∣∣∣∣∣∫ 1

0

+∞∑n=N+1

tnei(n+1)θ dt

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ 1

0

tN+1ei(N+2)θ

1− teiθ dt∣∣∣∣ 6 ∫ 1

0

tN+1

mθdt = 1

mθ(N + 2) → 0

oùmθ = min

{∣∣1− teiθ∣∣ /t ∈ [0, 1]}> 0

Ainsi ∫ 1

0

+∞∑n=0

tnei(n+1)θ dt =+∞∑n=0

ei(n+1)θ

n+ 1

puis

Re(∫ 1

0

+∞∑n=0

tnei(n+1)θ dt)

=+∞∑n=1

cosnθn

Finalement+∞∑n=1

cosnθn

= − ln(

2 sin θ2

)

Exercice 33 : [énoncé]a) La fonction f est paire donc bn = 0 et an = 2

π

∫ π0 f(t) cos(nt) dt.

On obtient a0 = 2απ et an = 2 sin(nα)

nπ pour n ∈ N?.La série de Fourier est alors

α

π+ 2π

∑n>1

sin(nα) cos(nt)n



En vertu du théorème de Dirichlet, celle-ci converge en tout point vers larégularisée de f car la fonction f est de classe C1 par morceaux.Puisque la régularisée de f n’est pas continue, cette convergence ne peut pas êtreuniforme.b) La régularisée de f prend respectivement les valeurs 1 et 1/2 en 0 et α.c) Par la formule de Parseval

12π

∫2πf(t)2 dt = a2

04 + 1

2

+∞∑n=1

a2n

On en déduit après calculs

+∞∑n=1

sin2(nα)n2 = α(π − α)

2

d) La fonction ϕ : t 7→ sin2 tt2 est intégrable sur ]0,+∞[ car continue, prolongeable

par continuité en 0 et dominée par t 7→ 1t2 en +∞.

En découpant l’intégrale∫ +∞

0

sin2 t

t2dt =

+∞∑n=0

∫ (n+1)α

nα

sin2 t

t2dt =

+∞∑n=0

∫ α

0

sin2(nα+ t)(nα+ t)2 dt

et donc∫ +∞

0

sin2 t

t2dt =

+∞∑n=0

sin2(nα)n2α

++∞∑n=0

∫ α

0

[sin2(nα+ t)

(nα+ t)2 − sin2(nα)(nα)2

]dt

On aϕ′(t) = 2 sin t

t3(t cos t− sin t)

Puisque ϕ′ est continue et puisque

t3/2ϕ(t) −−−−→t→0+

0 et t3/2ϕ(t) −−−−→t→+∞

0

il existe M ∈ R+ vérifiant

∀t ∈ ]0,+∞[ , |ϕ′(t)| 6 M

t3/2

et en particulier∀t ∈ [nα, (n+ 1)α] , |ϕ′(t)| 6 M

(nα)3/2

Par l’inégalité des accroissements finis, on a alors∣∣∣∣∫ α

0

[sin2(nα+ t)


]dt∣∣∣∣ 6 ∫ α

0t

M

(nα)3/2 dt =√α

n3/2M

puis ∣∣∣∣∣+∞∑n=0

∫ α

0

[sin2(nα+ t)


]dt

∣∣∣∣∣ 6M√α

+∞∑n=1

1n3/2 = C

√α

Ainsi ∫ +∞

0

sin2 t

t2dt = π − α

2 +O(√α)

et quand α→ 0+, on obtient ∫ +∞

0

sin2 t

t2dt = π

2

Exercice 34 : [énoncé]a) En représentant la fonction g, on peut voit qu’à la valeur en 0 [2π] près, cettefonction est impaire.Par suite

an(g) = 0 et bn(g) = 2π

∫ π

0(π − t) sin(nt) dt = 2

n

b) Puisque f est continue et C1 par morceaux f est développable en série deFourier et donc

∀t ∈ [0, 2π] , f(t) = a0(f)2 +

+∞∑n=1

(an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt))

De plus, il y a convergence normale de cette série de Fourier. On a alors

∀t ∈ [0, 2π] , (π− t)f(t) = a0(f)2 (π− t) +

+∞∑n=1

(π − t) (an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt))

avec convergence normale de la série de fonctions sous-jacente. On peut doncintégrer terme à terme sur le segment [0, 2π] cette série de fonctions continues etainsi obtenir

12π

∫ 2π

0(π − t)f(t) dt = a0(f)

4π (π−t) dt++∞∑n=1

(an(f)

2π

∫ 2π

0(π − t) cos(nt) dt+ bn(f)

2π

∫ 2π

0(π − t) sin(nt) dt

)Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD


En reconnaissant les coefficients de Fourier de g déjà calculés

12π

∫ 2π

0(π − t)f(t) dt =

+∞∑n=1

bn(f)n

c) Par polarisation∫ 2π

0f(t)g(t) dt = 1

4

(∫ 2π

0(f(t) + g(t))2 dt−

∫ 2π

0(f(t)− g(t))2 dt

)Par la formule de Parseval

12π

∫ 2π

0(f(t)± g(t))2 dt = a0(f ± g)2

4 + 12

+∞∑n=1

(an(f ± g)2 + bn(f ± g)2)

avec an(f ± g) = an(f)± an(g) et bn(f ± g) = bn(f)± bn(g).On en déduit

12π

∫ 2π

0f(t)g(t) dt = a0(f)a0(g)

4 + 12

+∞∑n=1

(an(f)an(g) + bn(f)bn(g))

puis la relation voulue.

Exercice 35 : [énoncé]Soit g la fonction impaire 2π-périodique obtenue à partir de f .g est continue et C1 par morceaux donc développable en série de Fourier.

Ceci permet d’écrire g(x) =+∞∑n=1

bn sin(nx) pour x ∈ R.

En posant an = nbn, on a la relation f(x) =+∞∑n=1

ann sin(nx) pour x ∈ [0, π]

Les coefficients de Fourier de g′ se déduisant de ceux de g par intégration parparties et sachant

∫ 2π0 g′2 = 2, la formule de Parseval appliquée à g′ donne

+∞∑n=1

a2n = 2

π .

Exercice 36 : [énoncé]a) Par contraposée, supposons la convergence de

∑an. La suite (an) tend alors

vers 0 et est donc bornée par un certain m ∈ R+?. On a alors

|f(z)| 6 m

+∞∑n=0

|z|n

n! = me|z|

doncM(r) 6 mer

puislnM(r)

r6

lnm+ r

r→ 1

donc ` 6 1.b) Pour tout r ∈ R+, on a

f(reit) =+∞∑n=0

ann! r

neint

Par convergence normale de la série de fonctions sous-jacente

12π

∫ 2π

0f(reit)e−int dt =

+∞∑k=0

akk! r

kδk,n = ann! r

n

puis ∣∣∣ann! r

n∣∣∣ 6 1

2π

∫ 2π

0

∣∣f(reit)∣∣ dt 6M(r)

et enfin l’inégalité demandée.c) Supposons ` < 1 et introduisons q ∈ ]`, 1[. Pour r assez grand, on a

lnM(r)r

6 q

et doncM(r) 6 eqr

En prenant r = n, on a pour n assez grand

|an| 6enq

nnn! ∼

√2πnenq

en =√

2πn.αn

avec α = eq/e vérifiant |α| < 1.Puisque la série de terme général

√2πnαn converge, un argument de comparaison

de série à termes positifs assure l’absolue convergence et donc la convergence de∑an.

Exercice 37 : [énoncé]Posons kn la partie entière de n/2π. On peut écrire

Fn(x) = 1n

∫ 2πkn

0f(x+ t)f(t) dt+ εn(x)



avec|εn(x)| 6 1

n

∫ n

2πkn‖f‖2

∞ 62πn‖f‖2

∞

En introduisant le produit scalaire hermitien usuelle sur l’espace des fonctionscomplexes continues 2π périodiques

12π

∫ 2πkn

0f(x+ t)f(t) = kn 〈fx | f〉

avec fx : t 7→ f(x+ t).En notant (cn)n∈Z la suite des coefficients de Fourier exponentiels de f , celle defx est

(cneinx

)n∈Z et donc

〈fx | f〉 =+∞∑

n=−∞|cn|2 einx

Posons

F (x) =+∞∑

n=−∞|cn|2 einx = 1

2π

∫ 2π

0f(x+ t)f(t) dt

ce qui définit une fonction continue 2π-périodique.On a

Fn(x) = 2πknn

F (x) + ε(x)

et donc|Fn(x)− F (x)| 6 n− 2πkn

n|F (x)|+ |ε(x)|

puis|Fn(x)− F (x)| 6 2π

n‖F‖∞ + 2π

n‖f‖2

∞

Puisque ce majorant ne dépend pas de x,

‖Fn − F‖∞ 62πn‖F‖∞ + 2π

n‖f‖2

∞ → 0

et donc la suite (Fn)n>1 converge uniformément vers F sur R.b) On a

|Fn(x)| 6+∞∑

n=−∞|cn|2

∣∣einx∣∣ =+∞∑

n=−∞|cn|2 = F (0)

donc‖F‖∞ 6 F (0)

Exercice 38 : [énoncé]La fonction x 7→ |sin x| est 2π-périodique, continue et de classe C1 par morceaux,elle est donc égale à sa somme de Fourier (qui converge normalement).Puisque cette fonction est paire bn = 0 et

an = 2π

∫ π

0sin x cos(nx) dx = 1

π

∫ π

0sin(n+ 1)x− sin(n− 1)xdx

doncan = −2(1 + (−1)n)

π(n2 − 1)ce qui donne

a0 = 4π, a2p = − 4

π(2p2 − 1) et a2p+1 = 0

On en déduit

∀x ∈ R, |sin(x)| = 2π− 4π

+∞∑n=1

cos(2nx)4n2 − 1

Orcos(2nx) = 1− 2 sin2 x

et par convergence des séries introduites on obtient

∀x ∈ R, |sin(x)| = 2π− 4π

+∞∑n=1

14n2 − 1 + 8

π

+∞∑n=1

sin2(nx)4n2 − 1

Enfin, en évaluant cette relation en x = 0, on obtient

2π− 4π

+∞∑n=1

14n2 − 1 = 0

et on peut conclure.

Exercice 39 : [énoncé]a) Modifions la valeur de f en 2kπ (k ∈ Z) en posant f(2kπ) = 0. La fonctionobtenue est 2π-périodique et impaire. On a donc an(f) = 0 et par intégration parparties

bn(f) = 2π

∫ π

0

π − x2 sin(nx) dx = 1

n

La fonction g est paire donc bn(g) = 0 et par translation de la variable

an(g) = 1π

∫ 2π

0f(x) cos(n(x− 1)) dx− 1

π

∫ 2π

0f(x) cos(n(x+ 1)) dx



puis en développant les expressions trigonométriques

an(g) = 2sin(n)π

∫ 2π

0f(x) sin(nx) dx = 2 sin(n)bn(f) = 2 sin(n)

n

b) Par la formule de Parseval

12π

∫ 2π

0g(x)2 dx = a0(g)2

4 + 12

+∞∑n=1

an(g)2

Pour x ∈ [0, 1[, g(x) = π − 1 et pour x ∈ ]1, π], g(x) = −1 donc

12π

∫ 2π

0g(x)2 dx = 1

π

∫ π

0g(x)2 dx = 1

2((π − 1)2 + (π − 1)

)= π − 1

d’où+∞∑n=1

(sinnn

)2= π − 1

2

Exercice 40 : [énoncé]On sait

∀p ∈ N,∀n ∈ Z, cn(f (p)) = (in)pcn(f)

Or ∣∣∣cn(f (p))∣∣∣ 6 1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣f (p)(t)∣∣∣ dt 6 M

2πdonc pour tout p ∈ N

|cn(f)| 6 M

2πnpPour |n| > 2, on a np −−−−−→

p→+∞+∞ et on en déduit cn(f) = 0.

Puisque f est au moins de classe C1, f est égale à sa somme de Fourier et donc dela forme

f(t) = c−1e−it + c0 + c1eit

La réciproque est immédiate.

Exercice 41 : [énoncé]a) Posons u(x, t) = f(x)e−ixt de sorte que

f(x) =∫ +∞

−∞u(x, t) dt

La fonction u est définie et continue sur R× R et

∀(x, t) ∈ R2, |u(x, t)| = |f(x)| = ϕ(x)

avec ϕ : R→ R+ continue par morceaux et intégrable puisque nulle en dehors de[−A,A].Par domination, on peut affirmer que la fonction f est continue.Par deux intégration par parties

t2∫ A

−Af(x)e−ixt dx = −

∫ A

−Af ′′(x)e−ixt dx

et donc ∣∣∣t2f(t)∣∣∣ 6 ∫ A

−A|f ′′(x)| dx = M

b) Considérons la fonction f , T périodique et égale à f sur [−T/2, T/2].La fonction f est de classe C2 et donc sa série de Fourier converge vers elle-même.On peut alors écrire

∀x ∈ R, f(x) =+∞∑

k=−∞ck(f)e2ikπ xT

avec

ck(f) = 1T

∫ T/2

−T/2f(x)e− 2ikπx

T dx = 1T

∫ +∞

−∞f(x)e− 2ikπx

T dx = 1Tf

(2kπT

)c) On peut découper l’intégrale convergente∫ +∞

−∞f(t)eixt dt =

+∞∑k=−∞

∫ 2(k+1)π/T

2kπ/Tf(t)eixt dt

et donc par la relation qui précède∫ +∞

−∞f(t)eixt dt− 2πf(x) =

+∞∑k=−∞

∫ 2(k+1)π/T

2kπ/T

(f(t)− f(2kπ/T )

)eixt dt

Découpons la somme

+∞∑k=−∞

. . . =N∑

k=−N. . .+

∑|k|>N

. . .



Puisque∣∣∣f(t)

∣∣∣ 6M/t2, on obtient∣∣∣∣∣∣∑|k|>N

∫ 2(k+1)π/T

2kπ/T

(f(t)− f(2kπ/T )

)eixt dt

∣∣∣∣∣∣ 6 2+∞∑k=N

2πT

2M(2kπ/T )2 = 2MT

π

+∞∑k=N

1k2 6

2MT

π(N − 1) 64MT

πN

Comme f est continue sur R et tend vers 0 en ±∞, cette fonction estuniformément continue.Soit ε > 0, il existe η > 0 tel que

∀t, s ∈ R, |t− s| 6 η ⇒∣∣∣f(t)− f(s)

∣∣∣ 6 ε

et alors si 2π/T 6 η, on a∣∣∣∣∣N∑

k=−N

∫ 2(k+1)π/T

2kπ/T

(f(t)− f(2kπ/T )

)eixt dt

∣∣∣∣∣ 6 ε(2N + 1)2πT

puis ∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(t)eixt dt− 2πf(x)

∣∣∣∣ 6 ε(2N + 1)2πT

+ 4MT

πN

Considérons alors T =√εN et pour N assez grand, 2π/T 6 η et l’on obtient∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(t)eixt dt− 2πf(x)

∣∣∣∣ 6 √ε (2N + 1)N

2π +√ε

4Mπ

6 C√ε

Ceci valant pour tout ε > 0, on peut conclure. . .

Exercice 42 : [énoncé]a) Soit x ∈ R. Notons fx la fonction définie par fx(t) = f(x− t).Par changement de variable u = x− t et la 2π-périodicité on obtient

cn(fx) = 12π

∫ 2π

0f(x− t)e−int dt = 1

2π

∫ 2π

0f(t)e−in(x−t) dt = e−inxcn(f)

Par calcul du produit scalaire dans C2π via les coefficients de Fourier

12π

∫ 2π

0fx(t)g(t) dt =

+∞∑n=−∞

cn(fx)cn(g) =+∞∑

n=−∞cn(f)cn(g)einx

b) Soient y1 une solution 2π-périodique de l’équation (E), s’il en existe.

Les autres solutions de (E) sont de la forme

y(x) = y1(x) + λex + µe−x avec λ, µ ∈ C

Si une telle fonction est 2π-périodique, elle est nécessairement bornée et doncλ = µ = 0, d’où l’unicité.c) Puisque (ep)′′ = −p2ep, la fonction donnée par

y(x) = 1p2 + 1eipx

est solution de l’équation y − y′′ = ep.d) Si g est solution alors pour h = ep, on obtient

1p2 + 1eipx = 1

2π

∫ 2π

0g(x− t)eipt dt = 1

2π

∫ 2π

0g(t)eip(x−t) dt

On obtient donccp(g) = 1

2π

∫ 2π

0g(t)e−ipt dt = 1

p2 + 1Suite à cette analyse, considérons la fonction g : R→ C définie par

g(t) =+∞∑

n=−∞

1p2 + 1eipt

On vérifie aisément par convergence normale que g est continue, 2π-périodique et

∀p ∈ Z, cp(g) = 1p2 + 1eipt

Considérons ensuite la fonction f définie par

f(x) = 12π

∫ 2π

0g(x− t)h(t) dt

Par les calculs initiaux

f(x) =+∞∑

n=−∞cn(g)cn(h)einx =

+∞∑n=−∞

cn(h)n2 + 1einx

Comme la fonction h est de classe C1, elle est égale à sa somme de Fourier et, plusprécisément, les termes cn(h) sont sommables. On peut alors démontrer parconvergence normale que la fonction f est de classe C2 avec

f ′′(x) =+∞∑

n=−∞−n

2cn(h)n2 + 1 einx



de sorte que

f(x)− f ′′(x) =+∞∑

n=−∞cn(h)einx = h(x)

Exercice 43 : [énoncé]a) On observe que |e−tf(x+ t)| 6 ‖f‖∞ e−t. Cette domination permet d’affirmerque G(f) est définie et continue sur R. La 2π-périodicité de G(f) est évidente etla linéarité de l’application f 7→ G(f) l’est aussi. Ainsi G est un endomorphismede E. De plus,

12π

∫ 2π

0|G(f)| 6 1

2π

∫ 2π

0

(∫ +∞

0e−t |f(x+ t)| dt

)dx

On peut appliquer le théorème de Fubini et affirmer

12π

∫ 2π

0|G(f)| 6 1

2π

∫ +∞

0e−t

(∫ 2π

0|f(x+ t)| dx

)dt

avec1

2π

∫ 2π

0|f(x+ t)| dx = ‖f‖

car f est 2π-périodique. Ainsi

‖G(f)‖ 6∫ +∞

0e−t ‖f‖ dt = ‖f‖

ce qui donne la continuité de l’endomorphisme G.b) Etudions les coefficients de Fourier des fonctions f et G(f).Pour n ∈ Z,

cn(G(f)) = 12π

∫ 2π

0

(∫ +∞

0e−tf(x+ t)e−inx dt

)dx

On peut appliquer le théorème de Fubini et affirmer

cn(G(f)) = 12π

∫ +∞

0e−teint

(∫ 2π

0f(x+ t)e−in(x+t) dx

)dt

Ce qui donne

cn(G(f)) = cn(f)∫ +∞

0e(in−1)t dt = cn(f)

in− 1

La fonction

g : x 7→+∞∑

n=−∞

einx

1 + |n|3/2

est élément de E, s’il existe f ∈ E vérifiant G(f) = g alors

cn(f) = (in− 1)1 + |n|3/2

d’où |cn(f)|2 ∼n→+∞

1/n ce qui est incompatible avec la convergence de la série∑|cn(f)|2.

Ainsi la fonction G n’est pas surjective.c) Soit λ ∈ K et f ∈ E. Si G(f) = λf alors pour tout n ∈ Z,

cn(f)in− 1 = λcn(f)

Si λ /∈{

1in−1/n ∈ Z

}alors une solution à l’équation G(f) = λf vérifie cn(f) = 0

pour tout n ∈ Z et donc ‖f‖ =+∞∑

n=−∞|cn(f)|2 = 0 donne f = 0.

S’il existe n0 ∈ Z vérifiant λ = 1in0−1 alors pour tout n 6= n0 alors cn(f) = 0.

Posons alors g : x 7→ f(x)− cn0(f)ein0x ∈ E. Pour tout n ∈ Z, cn(g) = 0 doncg = 0 puis f : x 7→ cn0(f)ein0x. La réciproque est immédiate.Finalement

SpG ={

1in− 1/n ∈ Z

}et

E1/(in−1)(G) = Vect(x 7→ einx)

Exercice 44 : [énoncé]a) Il suffit d’exploiter

|tnf(t)| 6 12(t2n + f(t)2)

b) La relation est vraie pour P (X) = Xn et se généralise à tout P ∈ R [X] parlinéarité.En vertu de ce qui précède∫ 1

0P (t)2 dt 6

∫ 1

−1P (t)2 dt =

∣∣∣∣∫ 1

−1P (t)2 dt

∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∫ π

0(P (eiθ))2eiθ dθ

∣∣∣∣Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD


Par l’inégalité triangulaire∫ 1

0P (t)2 dt 6

∫ π

0


et puisque ∫ 0

−π

∣∣P (eiϕ)∣∣2 dϕ =

θ=−ϕ

∫ π

0

∣∣P (e−iθ)∣∣2 dθ

avec P (e−iθ) = P (eiθ) car P est un polynôme réel, on obtient∫ 1

0P (t)2 dt 6 1

2

∫ π

−π


c) De façon immédiate

n∑k=0

ak(f)2 =n∑k=0

ak(f)∫ 1

0tkf(t) dt =

∫ 1

0

(n∑k=0

ak(f)tk)f(t) dt

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz(n∑k=0

ak(f)2

)2

6

∫ 1

0

(n∑k=0

ak(f)tk)2

dt

(∫ 1

0f(t)2 dt

)avec ∫ 1

0

(n∑k=0

ak(f)tk)2

dt 6 12

∫ π

−π

∣∣∣∣∣n∑k=0

ak(f)eikθ∣∣∣∣∣2

dθ = π

n∑k=0

ak(f)2

en vertu de la formule de Parseval.On en déduit

n∑k=0

ak(f)2 6 π

(∫ 1

0f(t)2 dt

)et l’on peut dès lors conclure.d) L’application N est bien définie de E dans R+ et on a évidemmentN(λ.f) = |λ|N(f) et N(f + g) = N(f) +N(g) car f 7→ ak(f) est linéaire et quela norme sur `2(N,R) est bien connue.Il reste à montrer N(f) = 0⇒ f = 0 i.e.

(∀k ∈ N, ak(f) = 0)⇒ f = 0

ce qui n’est pas une mince affaire. . .

Considérons donc f ∈ E vérifiant

∀k ∈ N, ak(f) = 0

et en conséquence immédiate

∀P ∈ R [X] ,∫ 1

0P (t)f(t) dt = 0

Pour N ∈ N, introduisons fN : [0, 1[→ R définie par

fN (t) =

f(t) si |f(t)| 6 NN si f(t) > N−N si f(t) < −N

La fonction fN est continue par construction mais il est incertain qu’elle soitprolongeable par continuité en 1.Dans un premier temps supposons néanmoins les fonctions fN toutesprolongeables par continuité en 1.Par le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes (Pn)n∈Nconvergeant uniformément vers fN sur [0, 1] et donc cette suite de polynômesconverge aussi vers fN en norme ‖ . ‖2 sur E.On a donc ∫ 1

0Pn(t)fN (t) dt −−−−−→

n→+∞

∫ 1

0fN (t)2 dt

Or∫ 1

0Pn(t)fN (t) dt =

∫ 1

0Pn(t)(fN (t)− f(t)) dt −−−−−→

n→+∞

∫ 1

0fN (t) (fN (t)− f(t)) dt

et l’on en déduit∀N ∈ N,

∫ 1

0fN (t)f(t) dt = 0

Par convergence dominée, on obtient quand N → +∞

∀N ∈ N,∫ 1

0(f(t))2 dt = 0

et l’on peut conclure que la fonction f est nulle.Il reste à valider la démonstration dans le cas où les fonctions fN ne pourraientêtre toutes prolongées par continuité en 1. Il suffit pour cela d’introduire lesfonctions gN suivantes

gN (t) ={

1 si t ∈ [0, 1− 1/N ]−N(t− 1) si t ∈

]1− 1

N , 1[



et de considérez désormais les fonctions hN = fNgN .La fonction hN se prolonge par continuité en 1 en posant hN (1) = 0 et on peutreprendre la démonstration qui précède avec hN au lieu de fN .e) Les fonctions fp sont bien éléments de E. On a

‖fp‖22 = 1 +

∫ 1

1/p

dxx−−−−−→p→+∞

1

et∀k ∈ N, |ak(fp)| 6

∫ 1

0tk−

12 dt 6 1

k + 12

donc

N(fp) 6(+∞∑k=0

1(k + 1/2)2

)1/2

= Cte

Les normes N et ‖ . ‖2 ne sont donc pas équivalentes.

Exercice 45 : [énoncé]a) On a pour t > 0

sin tet − 1 =

+∞∑n=1

sin t.e−nt

t 7→ sin t.e−nt est intégrable sur ]0,+∞[ et∫ +∞

0|sin t| e−nt dt 6

∫ +∞

0te−nt dt = 1

n2

est le terme général d’une série convergente donc t 7→ sin tet−1 est intégrable sur

]0,+∞[ et ∫ +∞

0

sin tet − 1 dt =

+∞∑n=1

∫ +∞

0sin t.e−nt dt

avec ∫ +∞

0sin t.e−nt dt = Im

∫ +∞

0e(−n+i)t dt = 1

n2 + 1Finalement ∫ +∞

0

sin tet − 1 dt =

+∞∑n=1

1n2 + 1

b) bn = 0 et

an = (−1)n (eπ − e−π)π(n2 + 1)

c) La fonction f est continue et C1 par morceaux.On peut appliquer le théorème de convergence normale et en déduire

∀t ∈ [−π, π] , cht = shππ

+ 2shππ

+∞∑n=1

(−1)n

n2 + 1 cos(nt)

Pour t = π, on obtient+∞∑n=1

1n2 + 1 = π coth π − 1

2

Exercice 46 : [énoncé]Par décomposition en éléments simples

sin x1− 2t cosx+ t2

= a

t− eix + a

t− e−ix

aveca = sin x

eix − e−ix = 12i

doncsin x

1− 2t cosx+ t2= Re

(1i

1t− eix

)= Re

(ie−ix 1

1− te−ix

)puis

sin x1− 2t cosx+ t2

=+∞∑n=0

tn sin(n+ 1)x

La fonction étudiée étant impaire an = 0.Par convergence normale obtenue via |t| < 1, on a bn+1 = tn

Ainsi l’écriture précédente est le développement en série de Fourier de la fonctionétudiée.

Exercice 47 : [énoncé]

ecos x cos(sin x) = Re(ecos x+i sin x) = Re

+∞∑n=0

einxn! =

+∞∑n=0

1n! cos(nx).

Il reste à justifier que ce développement correspond au développement en série deFourier de la fonction.Puisque la fonction est paire, bn = 0.On a

a0 = 1π

∫ π

−π

+∞∑n=0

1n! cos(nx) dx



Par convergence normale de la série de fonctions engagée,

a0 = 1π

+∞∑n=0

∫ π

−π

1n! cos(nx) dx = 2

On a

an = 1π

∫ π

−π

+∞∑m=0

1m! cos(mx) cos(nx) dx

Par convergence normale de la série de fonctions engagée,

an = 1π

+∞∑m=0

∫ π

−π

1m! cos(mx) cos(nx) dx

Or∫ π−π cos(mx) cos(nx) dx = 0 si m 6= n et

∫ π−π cos(mx) cos(nx) dx = π si

m = n 6= 0.Ainsi an = 1

n! .Finalement, l’écriture

ecos x cos(sin x) =+∞∑n=0

1n! cos(nx)

est bien le développement en série de Fourier de la fonction considérée.


1− z cos t1− 2z cos t+ z2 = 1

2

(1

1− (eitz) + 11− (e−itz)

)= 1

2

+∞∑n=0

(eint + e−int)zn

puis1− z cos t

1− 2z cos t+ z2 =+∞∑n=0

cos(nt)zn

avec convergence normale sur [0, π]. Par suite∫ π

0

1− z cos t1− 2z cos t+ z2 cos(nt) dt = π

2 zn

compte tenu de l’orthogonalité des fonctions t 7→ cos(kt).


+∞∑p=0

(−1)p cos(2p+ 1)x(2p+ 1)! = Re

(+∞∑p=0

(−1)p ei(2p+1)x

(2p+ 1)!

)= Re(sin(eix))

or sin(eix) = sin(cosx+ i sin x) = sin(cosx)ch(sin x) + ish(sin x) cos(cosx) donc

+∞∑p=0

(−1)p cos(2p+ 1)x(2p+ 1)! = sin(cosx)ch(sin x)

Exercice 50 : [énoncé]a) Pour tout t ∈ R on peut écrire

f(t) =+∞∑n=0

eint

n!

Puisque la série à termes positifs∑ 1

n! converge, on peut par convergence normalecalculer les coefficients de Fourier de f en intégrant terme à terme

cp(f) = 12π

∫ 2π

0f(t)e−ipt dt = 1

2π

+∞∑n=0

1n!

∫ 2π

0ei(n−p)t dt

Et puisque1

2π

∫ 2π

0eikt dt = δk,0

on obtient

cp(f) ={

1/p! si p ∈ N0 sinon

b) Par la formule de Parseval

+∞∑n=0

1(n!)2 = 1

2π

∫ 2π

0|f(t)|2 dt

avec|f(t)|2 = f(t)f(t) = exp

(eit + e−it

)= exp(2 cos t)



Exercice 51 : [énoncé]a) En vertu de l’inégalité

ab 612(a2 + b2)

on a|cn(f)cn(g)| 6 1

2

(|cn(f)|2 + |cn(g)|2

)Puisqu’il y a convergence des sommes

+∞∑n=−∞

|cn(f)|2 et+∞∑

n=−∞|cn(g)|2

on peut, par comparaison de séries à termes positifs, affirmer la convergence de lasomme étudiée.b) La fonction ϕ est définie, continue et 2π-périodique par convergence normalede la série de fonctions sous-jacente. Pour p ∈ Z

cp(ϕ) = 12π

∫2π

+∞∑n=−∞

cn(f)cn(g)ei(n−p)x dx

Par convergence normale de la série des fonctions continues

x 7→ cn(f)cn(g)ei(n−p)x

on peut intégrer terme à terme

cp(ϕ) = 12π

+∞∑n=−∞

cn(f)cn(g)∫

2πei(n−p)x dx = cp(f)cp(g)

Exercice 52 : [énoncé]a) Pour |x| < ea,

1x+ ea = e−a 1

1 + xe−a = e−a+∞∑n=0

(−1)n(xe−a)n =+∞∑n=0

(−1)ne−(n+1)axn

b) On peut écrire

1cos t+ cha = 2eit

e2it + 2ch(a)eit + 1 = 2eit

(eit + ea)(eit + e−a)

Par décomposition en éléments simples de la fraction

2X(X + ea)(X + e−a)

on obtient2eit

(eit + ea)(eit + e−a) =ea

sh(a)

eit + ea −e−a

sh(a)

eit + e−a

Puisque∣∣eit∣∣ < 1, on peut décomposer le premier terme comme ci-dessus et on

mène des calculs analogues pour la seconde somme

1cos t+ cha = 1

sh(a)

+∞∑n=0

(−1)ne−naeint − e−ae−it

sh(a)

+∞∑n=0

(−1)ne−nae−int

En combinant les deux sommes

1cos t+ cha = 1

sh(a)

(1 +

+∞∑n=1

2(−1)ne−na cos(nt))

Puisqu’il y a convergence de la série∑

e−na, on peut aisément établir laconvergence normale permettant l’intégration terme à terme calculant lescoefficients de Fourier trigonométriques de la fonction considérée. Sans surprise,on obtient que la décomposition précédente s’apparente à la décomposition ensérie de Fourier de la fonction étudiée.

Exercice 53 : [énoncé]a) On a

n∑k=−n

eikθr|k| = −1+n∑k=0

eikθrk+n∑k=0

e−ikθrk −−−−−→n→+∞

11− reiθ+ 1

1− re−iθ−1 = 1− r2

1− 2r cos θ + r2

b) Par ce qui précède

fr(t) =+∞∑

n=−∞

r|n|

1− r2 eint

Puisque les séries∑n>1

∣∣∣ rn

1−r2

∣∣∣ et ∑n>1

∣∣∣ r−n1−r2

∣∣∣ convergent, on peut affirmer que

l’écriture précédente est le développement en série de Fourier de fr.On en déduit le développement en série de Fourier trigonométrique

fr(t) = 11− r2 +

+∞∑n=1

2rn

1− r2 cos(nt)




a) 1−t21−2t cos x+t2 = −1 + 1

1−teix + 11−te−ix donc 1−t2

1−2t cos x+t2 = 1 + 2+∞∑n=1

cos(nx)tn

pour |t| < 1.b) cosα = 1−t2

1+t2 et sinα = 2t1+t2 avec t = tan α

2 ∈ ]−1, 1[ donc

cosα1− sinα cosx = 1− t2

1− 2t cosx+ t2

puiscosα

1− sinα cosx = 1 + 2+∞∑n=1

cos(nx) tann α2

pour x ∈ ]0, π[.Par parité cette égalité vaut aussi pour x ∈ ]−π, 0[. De plus par convergencenormale de la série et donc continuité des fonctions engagées cette égalité vautencore sur [−π, π] puis sur R par périodicité.Enfin la convergence normale de la série de fonctions permet aussi d’assurer qu’ona bien affaire au développement en série de Fourier recherché.

Exercice 55 : [énoncé]a) Considérons la fonction

gr : t 7→+∞∑

n=−∞r|n|eint = 1 +

+∞∑n=1

rn(eint + e−int)

Puisque la série∑rn converge, la série de fonctions définissant gr converge

normalement et par suite gr est bien définie, continue et 2π-périodique.De plus, par convergence normale, on peut affirmer que les coefficients de Fourierde gr sont les cn(g) = r|n|.On a alors

12π

∫ 2π

0f(t)gr(t) dt =

+∞∑n=−∞

cn(f)cn(gr) =+∞∑

n=−∞cnr|n|

b) Par sommation géométrique

gr(t) =+∞∑

n=−∞r|n|e−int =

+∞∑n=0

(r e−it)n ++∞∑n=1

(r eit)n = 1− r2

1− 2r cos t+ r2

Il est alors immédiat d’affirmer que gr est à valeurs réelles positives.

c) On a∣∣∣∣ 12π

∫ 2π

0f(t)gr(t) dt

∣∣∣∣ 6 12π

∫ 2π

0‖f‖∞ gr(t) dt = ‖f‖∞ c0(g) = ‖f‖∞

La série∑cn est une série à termes positifs. Pour tout N ∈ N,

N∑n=0

cn = limr→1

N∑n=0

cnrn

Or ∣∣∣∣∣N∑n=0

cnrn

∣∣∣∣∣ 6+∞∑

n=−∞cnr|n| 6 ‖f‖∞

doncN∑n=0

cn 6 ‖f‖∞

Puisque les sommes partielles de la série∑cn sont majorées et puisque celle-ci est

à termes positifs, on peut affirmer qu’elle converge. Il en est de même pour la série∑c−n.

Il est alors facile d’établir la convergence normale de la série de Fourier de f etdonc sa convergence. De plus, lorsqu’une série de Fourier converge normalement,elle converge aussi en norme quadratique et alors sa limite ne peut que la fonctiondéveloppée.

Exercice 56 : [énoncé]a) On a ∑


2π∑n∈Z

∫ π

−πf(t)r|n|ein(x−t) dt

La série des intégrales des valeurs absolues converge grâce au terme géométriquer|n|, ceci permet d’échanger somme et intégrale afin d’affirmer∑


2π

∫ π

−πf(t)Pr(x− t) dt

avecPr(u) =

∑n∈Z

r|n|einu

On aPr(u) = 1

1− reiu + 11− re−iu − 1 = 1− r2

1− 2r cosu+ r2



donc Pr ∈ E.b) En permutant à nouveau somme et intégrale,

∫ π−π Pr(t) dt = 2π car∫ π

−π eint dt = 2πδ0,n.c) Par translation et 2π-périodicité,∑


2π

∫ π

−πf(x− t)Pr(t) dt

donc ∑n∈Z

r|n|cn(f)einx − f(x) = 12π

∫ π

−π(f(x− t)− f(x))Pr(t) dt

Pour ε > 0, l’uniforme continuité de f sur [−π, π] assure l’existence d’un δ > 0vérifiant :

|x− y| 6 δ ⇒ |f(x)− f(y)| 6 ε

On a alors ∣∣∣∣∣∫ δ

−δ(f(x− t)− f(x))Pr(t) dt

∣∣∣∣∣ 6 ε

∫ δ

−δPr(t) dt 6 ε

en ayant observé Pr > 0.D’autre part, ∫ π

δ

(f(x− t)− f(x))Pr(t) dt −−−−→r→1−

0

en vertu d’une convergence dominée par 2‖f‖∞(1−cos δ)2 .

De même ∫ −δ−π

(f(x− t)− f(x))Pr(t) dt −−−−→r→1−

0

Ainsi pour r assez proche de 1−,∣∣∣∣∣∑n∈Z

r|n|cn(f)einx − f(x)

∣∣∣∣∣ 6 3ε

Finalementlimr→1−

∑n∈Z

r|n|cn(f)einx = f(x)

Exercice 57 : [énoncé]a) Puisque

∀x ∈ R, |rp cos(px)| 6 rp

et puisque la série∑rp converge, on peut affirmer que la fonction est définie et

continue sur R car somme d’une série normalement convergente de fonctionscontinues.b) On a

F (x) = 12π

∫ 2π

0f(t) dt+ 1

π

∫ 2π

0

+∞∑p=1

rp cos(p(x− t))f(t) dt

Puisque∀t ∈ [0, 2π] , |rp cos(p(x− t))f(t)| 6 ‖f‖∞ rp

Par convergence normale d’une série de fonctions continues, on peut intégrerterme à terme

F (x) = 12π

∫ 2π

0f(t) dt+ 1

π

+∞∑p=1

∫ 2π

0rp cos(p(x− t))f(t) dt

En développant

cos(p(x− t)) = cos(px) cos(pt) + sin(px) sin(pt)

on obtient

F (x) = a0(f)2 +

+∞∑p=1

rp (ap(f) cos(px) + bp(f) sin(px))

Puisque les suites (ap(f)) et (bp(f)) sont bornées, les séries∑rpap(f) et∑

rpbp(f) sont absolument convergentes et on peut, par convergence normale,reconnaître les coefficients de Fourier de F à partir de ce développementtrigonométrique

∀p ∈ N, ap(F ) = rpap(f) et bp(F ) = rpbp(f)

Exercice 58 : [énoncé]a) La série étudiée converge en tant que partie imaginaire d’une série géométriqueconvergente que nous allons calculer. . .

+∞∑n=1

rneinx =+∞∑n=1

(reix

)n = reix

1− reix car∣∣reix∣∣ = r < 1

On en déduit+∞∑n=1

rn sin(nx) = r sin(x)1− 2r cos(x) + r2



En intégrant∫ x

0

+∞∑n=1

rn sin(nt) dt =∫ x

0

r sin(t)1− 2r cos(t) + r2 dt = 1

2 ln 1− 2r cos(x) + r2

(1− r)2

Par une convergence normale justifiée via |rn sin(nx)| 6 rn, on peut intégrerterme à terme∫ x

0

+∞∑n=1

rn sin(nt) dt =+∞∑n=1

∫ x

0rn sin(nt) dt =

+∞∑n=1

rn(1− cos(nx))n

On peut séparer la somme en deux par convergence des nouvelles sommes écrites∫ x

0

+∞∑n=1

rn sin(nt) dt =+∞∑n=1

rn

n−

+∞∑n=1

cos(nx)n

= − ln(1− r)−+∞∑n=1

cos(nx)n

et l’on en déduit la relation demandée.b) Puisque f ∈ S1, on a |n| cn(f) −−−−−→

n→±∞0 et donc a fortiori cn(f) −−−−−→

n→±∞0. On

a alors ∣∣cn(f)rneinx∣∣ = |cn(f)rn| = o(rn)

Par convergence normale, on peut donc affirmer que la fonction fr est biendéfinie, continue et l’on peut calculer ses coefficients de Fourier

cn(fr) = cn(f)r|n|

Soit u une fonction de S0. Par convergence normale, la fonction u est continue.Considérons la fonction 2π-périodique (elle aussi continue par intégration sur unsegment) définie par

v : x 7→∫ π

−πKr(x− t)u(t) dt

Puisque

Kr(x− t) = 12 ln 2 +

∑n∈Z?

r|n|

2 |n|ein(x−t)

on obtient après une intégration terme à terme justifiée par convergence normale

v(x) = π ln(2)c0(u) +∑n∈Z?

πr|n|

|n|cn(u)einx

Encore une fois par convergence normale, on peut calculer les coefficients deFourier de v et l’on obtient

c0(v) = π ln(2)c0(u) et cn(v) = πr|n|

|n|cn(u)

Les fonctions fr et v étant continues, leur égalité équivaut à l’égalité de leurscoefficients de Fourier, ce qui donne

c0(u) = c0(f)π ln 2 et ∀n ∈ Z?, cn(u) = |n| cn(f)

π

On vérifie que la solution u ainsi déterminée est bien élément de S0 car f estélément de S1.On vérifie aussi que cette fonction u ne dépend pas du choix de r ∈ ]0, 1[.c) Puisque (cos(t)− r)2 > 0 on obtient

1− 2r cos(t) + r2 > sin2 t

et donc∣∣∣∣ln(1− 2r cos(t) + r2

2

)∣∣∣∣ = ln 2− ln(1− 2r cos(t) + r2) 6 ln 2− 2 ln |sin t|

Ceci vaut pour tout t ∈ ]0, π[ mais aussi, plus généralement, pour t ∈ R\πZ.d) Pour t fixé avec t /∈ 2πZ

limr→1−

Kr(t) = −12 ln

(2− 2 cos(t)

2

)= −1

2 ln (1− cos(t))

Par changement de variable∫ π

−πKr(x− t)u(t) dt =

∫ π

−πKr(t)u(x− t) dt

On découpe en deux∫ π

−πKr(t)u(x− t) dt =

∫ 0

−πKr(t)u(x− t) dt+

∫ π

0Kr(t)u(x− t) dt

Pour t fixé dans ]0, π[

limr→1−

Kr(t)u(x− t) = −12 ln (1− cos(t))u(x− t)

et|Kr(t)u(x− t)| = (ln 2− 2 ln |sin t|) sup

x∈R|u(x)| = ϕ(t)

On vérifie que la fonction ϕ est intégrable et on peut justifier par convergencedominée ∫ π

0Kr(t)u(x− t) dt = −1

2

∫ π

0ln (1− cos(t))u(x− t) dt



On fait de même avec l’autre intégrale, on raccorde les deux et on réalise lechangement de variable inverse du précédent pour obtenir

limr→1−

∫ π

−πKr(x− t)u(t) dt = −1

2

∫ π

−πln (1− cos(x− t))u(t) dt

e) Soit f ∈ S1. Fixons x ∈ R et considérons

un(r) = cn(f)r|n|einx

Il y a convergence normale de la série des fonctions r 7→ un(r) car

|un(r)| 6 |cn(f)| avec f ∈ S1

etlimr→1−

un(r) = cn(f)einx

On en déduitlimr→1−

fr(x) = f(x)

Soit de plus u ∈ S0 telle que


π

Le résultat de la question d) donne

ϕ(u)(x) = limr→1−

fr(x) = f(x)

Inversement, soit u ∈ S0 et f déterminée de sorte que


π

La fonction f est dans S1 et par ce qui est dit ci-dessus

ϕ(u)(x) = f(x)

On en déduit que la fonction ϕ est bien définie de S0 dans S1, elle est évidemmentlinéaire mais aussi injective et surjective en vertu des affirmations qui précèdent.En fait, la fonction ϕ associe à une fonction u ∈ S0 la fonction f ∈ S1 déterminéepar les coefficients de Fourier

c0(f) = π ln 2c0(u) et ∀n ∈ Z?, cn(f) = πcn(u)|n|

et, en ce sens, c’est évidemment un isomorphisme.

Exercice 59 : [énoncé]a) Puisque f est C1, on a par intégration par parties cn(f ′) = incn(f).b) Puisque

∫ 2π0 f = 0, on a c0(f) = 0. Par l’égalité de Parseval :

∫ 2π

0|f(t)|2 dt = 2π

+∞∑n=−∞

|cn(f)|2

et ∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt = 2π

+∞∑n=−∞

|cn(f ′)|2 = 2π+∞∑

n=−∞n2 |cn(f)|2

Puisque c0(f) = 0, on peut écrire

+∞∑n=−∞

|cn(f)|2 6+∞∑

n=−∞n2 |cn(f)|2

donc ∫ 2π

0|f(t)|2 dt 6

∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt

avec égalité si, et seulement si,

∀n ∈ Z?, |cn(f)| = |cn(f ′)| = n |cn(f)|

Ceci implique cn(f) = 0 pour tout n 6= ±1 et, puisque la série convergenormalement vers f , f est de la forme t 7→ λeit + µe−it.La réciproque est immédiate.

Exercice 60 : [énoncé]a) On peut appliquer la formule de Parseval dès que les fonctions sont2π-périodiques et continues par morceaux.b) Puisque f est C1, on a par intégration par parties cn(f ′) = incn(f).c) Puisque

∫ 2π0 f = 0, on a c0(f) = 0. Par l’égalité de Parseval :

∫ 2π

0|f(t)|2 dt = 2π

+∞∑n=−∞

|cn(f)|2

et ∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt = 2π

+∞∑n=−∞

|cn(f ′)|2 = 2π+∞∑

n=−∞n2 |cn(f)|2



Puisque c0(f) = 0, on peut écrire

+∞∑n=−∞

|cn(f)|2 6+∞∑

n=−∞n2 |cn(f)|2

donc ∫ 2π

0|f(t)|2 dt 6

∫ 2π

0|f ′(t)|2 dt

d) S’il y a égalité alors∀n ∈ Z?, |cn(f)| = |cn(f ′)|

donc∀n ∈ Z?, |cn(f)| = n |cn(f)|

Ceci implique cn(f) = 0 pour tout n 6= ±1.Puisque la fonction f est de classe C1, la série de Fourier de f convergeuniformément vers f et donc

f(x) = c1(f)eix + c−1(f)e−ix

e) Les coefficients de Fourier de f(x) = Ae−ix +Beix sont immédiats car il s’agitd’un polynôme trigonométrique. On peut alors à nouveau appliquer la formule deParseval pour assurer l’égalité sans calcul.

Exercice 61 : [énoncé]Considérons la fonction g définie sur [−π, π] par

g(x) ={f(t/π) si t ∈ [0, π]−f(−t/π) si t ∈ [−π, 0[

La fonction g est continue en 0 car f(0) = 0.Par construction la fonction g est impaire.La fonction g est de classe C1 sur [−π, π] car g′d(0) = 1

πf′(0) = g′g(0).

Puisque g(π) = f(1) = 0 = g(−π), on peut prolonger la fonction g en une fonction2π-périodique et cette fonction est encore de classe C1 carg′g(π) = 1

πf′(1) = g′d(−π).

Enfin, par imparité de g ∫ π

−πg(x) dx = 0

En vertu de l’inégalité de Wirtinger∫ π

−πg(x)2 dx 6

∫ π

−πg′(x)2 dx

Par parité, on en déduit ∫ π

0g(x)2 dx 6

∫ π

0g′(x)2 dx

Puis on obtient alors facilement∫ 1

0f(t)2 dt 6 1

π2

∫ 1

0(f ′(t))2 dt

Pour f(t) = sin(πt) les hypothèses sont vérifiées avec∫ 1

0f(t)2 dt = 1

2 et∫ 1

0(f ′(t))2 dt = π2

2

La constante de majoration ne peut donc être améliorée.

Exercice 62 : [énoncé]Par le théorème de convergence normale, la fonction f est égale à la somme de sasérie de Fourier ce qui permet d’écrire

f(t) =+∞∑

n=−∞cn(f)eint

avec c0(f) = 0 car la fonction f est supposée d’intégrale nulle.Sachant cn(f ′) = incn(f), on a encore

f(t) =∑n∈Z?

1incn(f ′)eint

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

|f(t)|2 6∑n∈Z?

1n2

∑n∈Z?

|cn(f ′)|2

Or ∑n∈Z?

1n2 = 2

+∞∑n=1

1n2 = π2

3

et par la formule de Parseval

∑n∈Z?

|cn(f ′)|2 6+∞∑

n=−∞|cn(f ′)|2 = 1

2π

∫ 2π

0(f ′(t))2 dt



On en déduit|f(t)|2 6

π

6

∫ 2π

0(f ′(t))2 dt

et l’on peut donc conclure.

Exercice 63 : [énoncé]On sait

cn(f ′) = incn(f) et cn(f ′′) = −n2cn(f)

Par la formule de Parseval, l’inégalité demandée équivaut à

+∞∑n=−∞

(bn4 − n2 + a) |cn(f)|2 > 0

Or le trinôme bn4 − n2 + a est de signe constant positif (car b > 0 et∆ = 1− 4ab 6 0).Par sommation de quantités positives, l’inégalité proposée a bien lieu.

Exercice 64 : [énoncé]Une telle fonction f est nécessairement de classe C∞ et donc égale à la somme desa série de Fourier. On peut donc écrire

f(t) =+∞∑

n=−∞cneint

Puisque cn(f ′) = incn(f), la satisfaction de l’équation différentielle donne

n2cn(f) = cn−1(f)

On en déduit cn = 0 pour tout n < 0 et cn = c0/(n!)2 pour tout n ∈ N.Inversement, les coefficients proposés définissent une fonction qu’on vérifie être declasse C2 (par un argument de convergence normale) et par calcul on vérifie quecelle-ci est solution de l’équation différentielle.

Exercice 65 : [énoncé]a) On vérifie que

y : x 7→ e−αx(y(0) +

∫ x

0f(t)eαt dt

)

est solution de l’équation différentielle et vérifie y(0) = y(0) donc par le théorèmede Cauchy, y = y.b) Si y est 2π-périodique alors y(0) = y(2π).Inversement, si y(0) = y(2π) alors z : x 7→ y(x+ 2π) est solution de l’équationdifférentielle et vérifie z(0) = y(0) donc z = y.Par suite y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) i.e.

y(0)(e2πα − 1) =∫ 2π

0f(t)eαt dt

avec e2πα − 1 6= 0.c) Par suite, il existe une unique solution φ 2π-périodique à l’équationdifférentielle, solution déterminée par

φ(0) = 1e2πα − 1

∫ 2π

0f(t)eαt dt

(avec e2πα 6= 1 car α /∈ iZ).d) Cette solution est de classe C1 donc développable en série de Fourier.

φ(x) =+∞∑

n=−∞cneinx

aveccn = cn(φ) = 1

αcn(f − φ′) = 1

α(cn(f)− cn(φ′))

etcn(φ′) = incn(φ)

donccn = cn(f)

in+ α

Exercice 66 : [énoncé]a) On a par intégration par parties

cn(f ′) = incn(f)

et

cn(f ′) = 12π

∫2πf(t+ λ)e−int dt = 1

2π einλ∫

2πf(t+ λ)e−in(t+λ) dt = einλcn(f)

On en déduit la relation proposée.



b) Si l’égalitéin = einλ

est vérifiée alors nécessairement |n| = 1 et alorseiλ = iSi la condition eiλ = i n’est pas vérifiée alors la propriété

∀n ∈ Z, (in− einλ)cn(f) = 0

entraîne∀n ∈ Z, cn(f) = 0

et donc f est la fonction nulle (en vertu de la formule de Parseval ou parce que fest de classe C1 donc développable en série de Fourier. . . )Inversement, si eiλ = i alors les fonctions

f(t) = αeit + βe−it

vérifient la relation (*) (et ce sont les seules) et parmi celles-ci figurent desfonctions non nulles.On en déduit qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe desfonctions 2π-périodiques non nulles vérifiant (*) est que eiλ = i i.e.

λ ∈ π

2 + 2πZ

Exercice 67 : [énoncé]La fonction f est de classe C1 par morceaux et régularisée donc développable ensérie de Fourier.Puisque sur (eix − 1)f(x) = ix, on a sur ]−π, π[

(eix − 1)f ′(x) + ieixf(x) = i

donccn−1(f ′)− cn(f ′) + icn−1(f) = iδ0,n

Par intégration par parties (avec ici f(π−) 6= f(−π+))

cn(f ′) = i(−1)n+1

2 + incn(f)

ce qui donne(−1)n + n (cn−1(f)− cn(f)) = δ0,n

Pour n > 0, on obtient

cn(f) = cn−1(f) + (−1)n

n= c0(f) +

n∑k=1

(−1)k

k

Or cn(f)→ 0 donc c0(f) = ln 2 puis, pour n > 0,

cn(f) =+∞∑

k=n+1

(−1)k−1

k

De façon analogue, pour n > 0

c−n(f) =+∞∑k=n

(−1)k−1

k


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