Serie trigonometriche e di Fourier

Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomitrigonometrici di grado (o ordine) N :

SN (x) =N∑

n=0

(an cos (nx) + bn sin (nx)) , an, bn ∈ R

(periodiche di periodo 2π, con termini di periodo 2π/n) oppure

SN (x) =N∑

n=0

(an cos

(n2π

Tx

)+ bn sin

(n2π

Tx

)), an, bn ∈ R, T > 0

(periodo T , con termini di periodo T/n). Porremo ω :=2π

T.

Il nome e dovuto al fatto che, per identita trigonometriche,se P (X, Y ) e un polinomio algebrico di grado N alloraP (cos (ωx) , sin (ωx)) e un polinomio trigonometrico di grado N .

Non saremo interessati a studiare il carattere delle serie trigono-metriche

∞∑n=0

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

= a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

per an, bn generici.

Ad esempio e immediato osservare che c’e convergenza totale

(quindi assoluta ed uniforme) su R se le serie∞∑

n=0an e

∞∑n=0

bn

convergono assolutamente: ∀x ∈ R

|an cos (nωx) + bn sin (nωx)| ≤ |an cos (nωx)|+ |bn sin (nωx)|≤ |an|+ |bn|

e si applica il criterio di Weierstrass.

Discuteremo piuttosto condizioni sotto le quali una funzione f

sia sviluppabile in serie trigonometrica.

Quali funzioni considerare?

Poiche le ridotte SN : R → R sono periodiche di periodo T ,

considereremo (almeno inizialmente) funzioni

f periodiche di periodo T > 0

(vedremo che cio non e restrittivo quanto potrebbe sembrare).

Si noti che tali funzioni sono individuate dalla loro restrizione ad

un qualsiasi intervallo di ampiezza T , ad esempio [0, T ].

Quanto alla regolarita, chiederemo

f continua a tratti su [0, T ] (ossia su un qualsiasi periodo)

cioe continua in tutti i punti di [0, T ] tranne al piu un numero

finito (dove puo anche non essere definita), in cui abbia solo

discontinuita eliminabili o di salto.

Lo spazio (vettoriale) delle funzioni periodiche di periodo T > 0

e continue a tratti su [0, T ] sara indicato con CT .

Proprieta. Se f ∈ CT allora ∀a ∈ R∫ T

0f (x) dx =

∫ T/2

−T/2f (x) dx =

∫ a+T

af (x) dx .

Ad ogni f ∈ CT associamo una particolare serie trigonometrica,

detta serie di Fourier di f .

Definizione. Se f ∈ CT allora i numeri reali

a0 = a0 (f) :=1

T

∫ T

0f (x) dx, an = an (f) :=

2

T

∫ T

0f (x) cos (nωx) dx

bn = bn (f) :=2

T

∫ T

0f (x) sin (nωx) dx

sono detti coefficienti di Fourier di f . Con tale scelta di coef-

ficienti (che motiveremo piu avanti), scriviamo

f ≈ a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

dove la serie trigonometrica e detta serie di Fourier di f .

Finora non abbiamo concluso niente: abbiamo solo costruito una

serie a partire da f .

Proprieta (dei coefficienti di Fourier).

Se f ∈ CT e dispari, allora a0 (f) = an (f) = 0 e

bn (f) =4

T

∫ T/2

0f (x) sin (nωx) dx.

Se f ∈ CT e pari, allora bn (f) = 0 e

a0 (f) =2

T

∫ T/2

0f (x) dx, an (f) =

4

T

∫ T/2

0f (x) cos (nωx) dx.

Convergenza quadratica e identita di Parseval

Teorema. Sia f ∈ CT e sia SN,f la ridotta N-esima della serie diFourier di f . Allora

limN→∞

∫ T

0

∣∣∣f (x)− SN,f (x)∣∣∣2 dx = 0

e vale l’identita di Parseval

1

T

∫ T

0|f (x)|2 dx = a2

0 +1

2

∞∑n=1

(a2

n + b2n)

dove a0, an, bn sono i coefficienti di Fourier di f .

Dunque, senza ulteriori ipotesi, la serie di Fourier di una qual-siasi f ∈ CT converge ad f in media quadratica su un qualsiasiintervallo limitato: lim

N→∞

∥∥∥f − SN,f

∥∥∥2,[α,β]

= 0, ∀ [α, β] ⊂ R.

L’identita di Parseval

1

T

∫ T

0|f (x)|2 dx = a2

0 +1

2

∞∑n=1

(a2

n + b2n)

e utile per calcolare somme di serie numeriche.

Inoltre implica il seguente

Corollario (Lemma di Riemann-Lebesgue). Se f ∈ CT allora

limn→∞ an = lim

n→∞ bn = 0

dove an, bn sono i coefficienti di Fourier di f .

Convergenza puntuale

Per garantire convergenza puntuale serve regolarita maggiore

(“di un ordine”).

Definizione. Una funzione continua a tratti su [a, b] e regolare

a tratti su [a, b] se

• e derivabile in [a, b] tranne al piu in un numero finito di punti

• la sua funzione derivata e continua a tratti su [a, b].

Definizione. Una funzione e monotona a tratti su [a, b] se

esiste una suddivisione finita di [a, b] in sottointervalli su cui essa

e monotona.

Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti su [0, T ] oppure monotona

a tratti su [0, T ]. Allora

a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx)) =f(x−)+ f

(x+

)2

, ∀x ∈ R

dove a0, an, bn sono i coefficienti di Fourier di f e

f(x±):= lim

h→0±f (x + h) (limiti destro e sinistro di f in x).

In altri termini, la serie di Fourier di una f ∈ CT regolare o mono-

tona a tratti su [0, T ] converge puntualmente su R (e quindi

su ogni suo sottoinsieme) alla funzione regolarizzata f di f ,

definita da

f (x) :=f(x−)+ f

(x+

)2

, ∀x ∈ R.

Si noti che f (x) = f (x) se f e continua in x, da cui segue

f (x) = a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

in ogni x in cui f e continua (piu in generale, in cui f (x) = f (x)).

Convergenza uniforme

Data la continuita dei termini della serie, condizione necessariaper avere convergenza uniforme e la continuita della somma.Nell’ipotesi di regolarita a tratti del teorema precedente, la con-tinuita della somma e anche sufficiente.

Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti su [0, T ] e continua su[a, b]. Allora la serie di Fourier di f converge ad f uniformementesu [a, b].

Se in particolare [a, b] = [0, T ] (ossia f e continua su R), si haconvergenza uniforme su R.

Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti e continua su [0, T ] (sidice anche che f e di classe C1 a tratti su [0, T ]). Allora laserie di Fourier di f converge ad f uniformemente su R.

Riepilogo della discussione sulla convergenza

• Se f ∈ CT , allora la sua serie di Fourier converge ad f in media

quadratica su un qualsiasi intervallo limitato [α, β] ⊂ R.

• Se f ∈ CT e regolare o monotona a tratti su [0, T ], allora la sua

serie di Fourier converge puntualmente su R alla regolarizzata f

(e quindi ad f in ogni x in cui f(x) = f(x), in particolare in ogni

punto di continuita di f).

• Se f ∈ CT e regolare a tratti su [0, T ] e continua su [α, β], allora

la sua serie di Fourier converge ad f uniformemente su [α, β]

(su tutto R se f e continua su R).

Esempio (gradino unitario periodico)

Consideriamo la funzione (o segnale) definita da

f (x) :=

{0 se − (2k + 1)π < x < 2kπ

1 se 2kπ < x < (2k + 1)πk ∈ Z,

cioe la funzione 2π-periodica

non definita in x = kπ, k ∈ Z,

e tale che

f (x) =

{0 se − π < x < 0

1 se 0 < x < π-5 5 10 15

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f e continua a tratti su [0,2π], perche esistono finiti i limiti

limx→0+

x→π−

f (x) = 1 e limx→π+

x→(2π)−

f (x) = 0.

Dunque f ∈ CT con T = 2π.

Calcoliamo i coefficienti di Fourier di f (T = 2π, ω = 2π/T = 1):

a0 =1

T

∫ T

0f (x) dx =

1

2π

∫ 2π

0f (x) dx =

1

2π

∫ π

0dx =

1

2

an =2

T

∫ T

0f (x) cos (nωx) dx =

1

π

∫ 2π

0f (x) cos (nx) dx

=1

π

∫ π

0cos (nx) dx =

1

πn

∫ π

0cos (nx)ndx =

[sin (nx)]π0πn

= 0

bn =2

T

∫ T

0f (x) sin (nωx) dx =

1

π

∫ 2π

0f (x) sin (nωx) dx

=1

π

∫ π

0sin (nωx) dx =

[− cos (nx)]π0πn

=1− cos (nπ)

πn=

1− (−1)n

πn.

Dunque a0 =1

2, an = 0, bn =

1− (−1)n

πncon

1− (−1)n =

{0 se n = 2,4, ...

2 se n = 1,3, ... (cioe n = 2k + 1 con k ≥ 0)

e quindi risulta

f ≈1

2+

∞∑n=1

1− (−1)n

πnsin (nx) =

1

2+

2

π

∞∑k=0

sin ((2k + 1)x)

2k + 1.

La convergenza e quadratica su ogni intervallo limitato di R,

puntuale su R alla funzione regolarizzata di f , cioe

f (x) :=

{f (x) se x 6= 0,±π,±2π, ...

1/2 se x = 0,±π,±2π, ...,

uniforme ad f su ogni [α, β] non contenente alcuna discontinuita.

S1 = 1/2 + (2/π) sinx = S2 S3 = S1 + (2/π) sin(3x)/3

-2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

S11 = 1/2 + ... + (2/π) sin(11x)/11 S1, S3, S7, S11

-2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Scriviamo l’identita

1

T

∫ T

0|f (x)|2 dx = a2

0 +1

2

∞∑n=1

(a2

n + b2n)

di Parseval :

1

2π

∫ 2π

0|f (x)|2 dx =

(1

2

)2+

1

2

∞∑n=1

(1− (−1)n

πn

)2

cioe

1

2=

1

4+

1

2

∞∑k=0

(2

π (2k + 1)

)2

=1

4+

1

2

4

π2

∞∑n=0

1

(2n + 1)2

da cui si ottiene

∞∑n=0

1

(2n + 1)2=

π2

2

(1

2−

1

4

)=

π2

8.

Scriviamo la convergenza puntuale

f (x) =1

2+

2

π

∞∑n=0

sin ((2n + 1)x)

2n + 1

in x =π

2:

f

(π

2

)=

1

2+

2

π

∞∑n=0

sin((2n + 1) π

2

)2n + 1

cioe

1 =1

2+

2

π

∞∑n=0

(−1)n

2n + 1

da cui si ottiene∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1=

π

2

(1−

1

2

)=

π

4.

Funzioni definite su intervalli limitati

I risultati visti consentono di trattare anche funzioni f continuea tratti su un intervallo limitato qualsiasi [a, b] ∗, ottenendo unosviluppo in serie di Fourier su tale intervallo.Infatti, considerato il prolungamento periodico fp di f

fp(x) := f(x− kT ) se x ∈ [a + kT, b + kT ) , k ∈ Z

di periodo T := b− a , risulta fp ∈ CT e fp = f su [a, b) .

N.B. La scelta di riprodurre f|[a,b) invece di f|(a,b] e arbitraria:in generale si effettua la scelta piu comoda (se c’e) e la questionenon si pone se f (a) = f (b), o se nessuno dei due esiste.

∗Si osservi ad esempio che una funzione f definita e continua su [a, b) tranne alpiu in un numero finito di punti in cui abbia limiti unilaterali finiti e continuaa tratti su [a, b] se e solo se esiste finito anche f

(b−)

Quindi

fp ≈ a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

dove tutti i parametri possono essere calcolati in termini di f, a, b:

ω =2π

T=

2π

b− a

a0 =1

T

∫ T

0fp (x) dx =

1

T

∫ a+T

afp (x) dx =

1

b− a

∫ b

af (x) dx

an = an (fp) =2

b− a

∫ b

af (x) cos (nωx) dx

bn = bn (fp) =2

b− a

∫ b

af (x) sin (nωx) dx.

Inoltre

• limN→∞

∥∥∥f − SN,fp

∥∥∥2,[a,b]

= limN→∞

∥∥∥fp − SN,fp

∥∥∥2,[a,b]

= 0

• fp e regolare o monotona a tratti su [0, T ] se e solo se f e,rispettivamente, regolare o monotona a tratti su [a, b], quindi

limN→∞

SN,fp (x) =fp(x−) + fp(x+)

2=

f(x−) + f(x+)

2se x ∈ (a, b)

f(b−) + f(a+)

2se x = a, b.

Per la convergenza uniforme conviene ragionare caso per caso,applicando ad fp i risultati visti per funzioni periodichee particolarizzando poi all’intervallo [a, b] di partenza.

Serie di soli seni o coseni

Una funzione f continua a tratti su un intervallo del tipo [0, T/2]ammette sviluppi in serie di Fourier di soli seni e soli coseni,su tale intervallo.Infatti, estendendo f a tutto [−T/2, T/2] tramite disparificazione

fd (x) :=

f (x) se x ∈

[0, T

2

]−f (−x) se x ∈

[−T

2 ,0]

ovvero parificazione

fp (x) :=

f (x) se x ∈

[0, T

2

]f (−x) se x ∈

[−T

2 ,0]

ci si ritrova nella situazione gia considerata (di funzioni continuea tratti su un intervallo limitato qualsiasi).

I prolungamenti periodici fdp di fd ed f

pp di fp soddisfano pero

fdp ∈ CT dispari e f

pp ∈ CT pari

e quindi risulta

fdp ≈

∞∑n=1

bn sin (nωx) e fpp ≈ a0 +

∞∑n=1

an cos (nωx)

(con coefficienti calcolabili tramite integrali su [0, T/2]).

La discussione sulla convergenza procede come prima.

Derivabilita termine a termine

Data una f sviluppabile Fourier (almeno quadraticamente) cheabbia derivata f ′ sviluppabile Fourier (almeno quadraticamente),ci chiediamo: quando lo sviluppo di f ′ e la serie derivata dellosviluppo di f ?

Se f ∈ CT e regolare a tratti su [0, T ], allora f, f ′ ∈ CT e quindi

f ≈ a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

e

f ′ ≈ a′0 +∞∑

n=1

(a′n cos (nωx) + b′n sin (nωx)

);

sotto che condizioni risulta

a′0 = 0 , a′n = nω bn , b′n = −nω an ?

Una condizione sufficiente e senz’altro f ∈ C1(R)∩CT , che implica

(per il teorema fondamentale ed integrando per parti)

a′0 =1

T

∫ T

0f ′ (x) dx = f (T )− f (0) = 0

a′n =2

T

∫ T

0f ′ (x) cos (nωx) dx

= [f (x) cos (nωx)]T0 + nω2

T

∫ T

0f (x) sin (nωx) dx = nω bn

b′n =2

T

∫ T

0f ′ (x) sin (nωx) dx

= [f (x) sin (nωx)]T0 − nω2

T

∫ T

0f (x) cos (nωx) dx = −nω an.

Piu in generale, e sufficiente anche l’ipotesi del teorema di con-

vergenza uniforme su R, come espresso dal seguente

Teorema (di derivabilita termine a termine). Se f ∈ CT e

regolare a tratti e continua su [0, T ], allora

f ≈ a0 +∞∑

n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx))

e

f ′ ≈∞∑

n=1

nω (bn cos (nωx)− an sin (nωx)) .

Deduzione dei coefficienti di Fourier

Ricordiamo che se V e uno spazio vettoriale euclideo e W e unsuo sottospazio di dimensione finita dimW = k, allora

∀x ∈ V, ∃!xW ∈ W, x− xW ⊥ W

cioe (x− xW ,y) = 0, ∀y ∈ W.

Il vettore xW e detto proiezione ortogonale di x su W ed eanche l’unico elemento di W tale che

‖x− xW‖ = miny∈W

‖x− y‖ .

Se {e1, ..., ek} e una base ortonormale di W , allora

xW =k∑

i=1

(x, ei) ei e ‖x− xW‖2 = ‖x‖2 −k∑

i=1

(x, ei)2 . (1)

Consideriamo l’insieme CT delle funzioni f : R → R periodiche

di periodo T > 0, continue a tratti su [0, T ] e regolarizzate, che

forma spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni funzionali:

(f + g)(x) := f(x) + g(x) e (λf)(x) := λf(x).

La forma bilineare

(f, g) :=∫ T

0f (x) g (x) dx

e un prodotto scalare su CT (la regolarizzazione serve per avere

l’implicazione (f, f) = 0 ⇒ f = 0), la cui norma e

‖f‖2 :=√

(f, f) =

(∫ T

0|f (x)|2 dx

)1/2

cioe la norma quadratica.

Consideriamo ora in CT il sistema di vettori (funzioni) dato da

u0(x) := 1 , un(x) := cos (nωx) , vn(x) := sin (nωx) , n = 1,2, ... .

Poiche si verifica (tramite formule di Werner) che∫ T

0uh(x)uk(x)dx =

∫ T

0vh(x)vk(x)dx =

∫ T

0uh(x)vk(x)dx = 0

(con h 6= k nei primi due integrali), il sistema {u0, un, vn}n∈N e

ortogonale rispetto al prodotto scalare (f, g).

Un sistema ortonormale si ottiene allora normalizzando:

u0 :=u0

‖u0‖2, un :=

un

‖un‖2, vn :=

vn

‖vn‖2,

dove ‖u0‖2 =(∫ T

0 |u0 (x)|2 dx)1/2

=√

T e ‖un‖2 = ‖vn‖2 =√

T/2 .

Dunque, nello spazio CT , il sistema infinito {u0, un, vn}n∈N, cioe u0√T

,un√T/2

,vn√T/2

n∈N

=

1√T

,cos (nωx)√

T/2,sin (nωx)√

T/2

n∈N

,

e ortonormale rispetto al prodotto scalare (f, g)

(quindi e linearmente indipendente e dim CT = ∞).

L’insieme PN dei polinomi trigonometrici P di grado N ≥ 1 (e

periodo T ) e il sottospazio di CT generato da {u0, un, vn}n=1,...,N :

P (x) =α0√

T+

N∑n=1

αn√T/2

cos (nωx) +βn√T/2

sin (nωx)

, α0, αn, βn ∈ R.

{u0, un, vn}n=1,...,N e base ortonormale di PN e dimPN = 2N +1

(quindi ha senso proiettare ortogonalmente ogni f ∈ CT su PN).

La proiezione ortogonale fPNdi una qualsiasi f ∈ CT su PN e il

polinomio di Fourier di ordine N di f (ossia la ridotta N-esimaSf,N della sua serie di Fourier): infatti per la (1) si ha

fPN= (f, u0) u0 +

N∑n=1

((f, un) un + (f, vn) vn) con

(f, u0) =∫ T

0f (x)

1√T

dx =1√T

T a0 =√

T a0

(f, un) =∫ T

0f (x)

cos (nω x)√T/2

dx =1√T/2

T

2an =

√T/2 an

(f, vn) =∫ T

0f (x)

sin (nω x)√T/2

dx =√

T/2 bn

e quindi fPN= a0 +

N∑n=1

(an cos (nωx) + bn sin (nωx)) = Sf,N .

Di conseguenza vale la seguente

Proposizione. ∀f ∈ CT , il polinomio di Fourier Sf,N di f el’unico polinomio trigonometrico di grado N ≥ 1 (e periodo T )che minimizza lo scarto quadratico da f , cioe∥∥∥f − Sf,N

∥∥∥2

= minP∈PN

‖f − P‖2 .

Inoltre risulta (per la (1))

∥∥∥f − Sf,N

∥∥∥22

= ‖f‖22 − (f, u0)2 −

N∑i=1

((f, un)

2 + (f, vn)2)

=∫ T

0|f (x)|2 dx− T a2

0 −T

2

N∑i=1

(a2

n + b2n)

(che conduce all’identita di Parseval).

N.B. Il risultato vale anche per f ∈ CT , in quanto gli oggetti noncambiano passando alla regolarizzata f ∈ CT .