Respuesta de sistemas de un grado de libertad ante carga armónica

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Respuesta de sistemas de un grado de libertad ante carga armnica

Respuesta de sistemas de un grado de libertad ante carga armnicaDr. Ing. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguados

Ecuacin del movimiento de un sistema lineal, no amortiguado, sujeto a una excitacin armnica de amplitud p0 y frecuencia forzada (en rad/s)

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosDebido a que solo existen derivadas de orden par del lado izquierdo de la ecuacin anterior, su solucin particular; es decir, el movimiento forzado o de estado permanente ser de la forma:

Al sustituir la solucin propuesta en la ecuacin del movimiento se obtiene el valor de U

Considerando que :Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosSi se define:

El cual es un desplazamiento esttico, entonces se obtiene

Donde:

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosSi se define:

Funcin de respuesta en frecuencia A la magnitud:

Se le conoce como Factor de Magnificacin del Estado Permanente, o gananciaPor lo tanto up se puede expresar como:

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguados

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosSi r1, la respuesta est 180 fuerza de fase con la excitacin; por lo tanto, si este es el caso, up se puede reescribir como:

La solucin general est dado por la suma de la solucin particular y la solucin complementaria (vibracin libre). Por lo tanto

Las constantes A1 y A2 se determinan de las condiciones inicialesDr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosEl factor de magnificacin dinmica se define como:

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosLa resonanciaLa ecuaciones

No son vlidas cuando r=1 =. Se observa que cuando la frecuencia de la excitacin es cercana a la frecuencia natural del sistema, la respuesta es muy grande.Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosSolucin de la ecuacin del movimiento para la condicin de resonancia:

En este caso, la solucin particular supuesta es de la forma:Al sustituir en la ecuacin del movimiento, se obtiene el valor de C:

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas no amortiguadosPor lo tanto, la solucin particular para excitacin del tipo coseno, en la resonancia, es la siguiente:

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas con amortiguamiento viscoso

Por la presencia del amortiguador, la respuesta del estado permanente no estar en fase (ni 180 fuera de fase) con la excitacin y estar dada por:

En este caso U es la amplitud del estado permanente y es el ngulo de fase del estado permanente relativo a la excitacin.Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas con amortiguamiento viscoso

Al derivar la respuesta en estado permanente, se obtiene:

velocidaddesplazamientoaceleracinDr. Alberto Salgado Rodrguez

Sistemas con amortiguamiento viscosoAl sustituir las derivadas de la solucin particular propuesta en la ecuacin del movimiento, se obtiene:

Las proyecciones de los vectores punteados sobre el eje horizontal (de los reales) son los trminos del lado izquierdo de la ecuacin. Las proyecciones del vector continuo sobre el eje horizontal es el lado derecho de la ecuacin.Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas con amortiguamiento viscosoDe la figura anterior, se observa que:

Por lo tanto:

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas con amortiguamiento viscoso

Factor de magnificacinDinmica y ngulo de faseDr. Alberto Salgado RodrguezEl movimiento en estado permanente es senoidal y tiene la misma frecuencia que la excitacin.La amplitud de la respuesta en estado permanente es funcin de la amplitud y frecuencia de la excitacin, as como de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento del sistema.Sistemas con amortiguamiento viscosoSe observa los siguiente:Dr. Alberto Salgado RodrguezLa excitacin y la respuesta en estado permanente no estn en fase; es decir, no alcanzan su mximo valor al mismo tiempo. La respuesta en estado permanente precede a la excitacin mediante su ngulo de fase, con un tiempo de retraso de /.En la resonancia (r=1), la amplitud del movimiento est limitada solo por el amortiguamiento Sistemas con amortiguamiento viscoso

Dr. Alberto Salgado RodrguezSistemas con amortiguamiento viscosoYa que el factor de magnificacin dinmica puede ser muy grande cerca de la resonancia y la excitacin puede presentar un intervalo muy amplio de frecuencias, las curvas del factor de amplificacin dinmica y el ngulo de fase se pueden dibujar en escalas logartmicas; cuando sucede esto, se les conoce como grficas de Bode.

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaConsidere la respuesta de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso

El subndice R (para proyeccin sobre el eje de los reales) se utiliza para designar el movimiento en estado permanente (o forzado) debido a la excitacin costLa solucin del estado permanente es:

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaDe forma anloga, para una excitacin sent, la ecuacin del movimiento y solucin del estado permanente son:

El subndice I, seala la proyeccin sobre el eje imaginario. Si la ecuacin superior se multiplica por -1 y se le adiciona a la ecuacin del movimiento con la fuerza en trminos del coseno, se obtiene:

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaDonde la barra sobre las variables indica que se trata de un vector en el plano complejo, de manera que ahora se tendra una respuesta compleja, dada por:

Se entiende que el movimiento real en estado permanente estar dado por la parte real de o su parte imaginaria, dependiendo si la excitacin es del tipo cost o sent, respectivamente.La solucin del estado permanente se puede suponer que es de la forma:

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaU es la amplitud compleja, dada por:

donde es el ngulo de faseAl sustituir la ecuacin anterior en la ecuacin del movimiento, se tiene:

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaEn forma adimensional, se tiene:

Se le conoce como la respuesta compleja en frecuenciaDeterminar la amplitud y la fase de la respuesta en estado permanente requiere encontrar la amplitud y la fase de la ecuacin anterior.Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaDe la teora de los nmeros complejos, se tiene que un nmero se puede representar en forma rectangular como sigue

O en forma polar como sigue:

La amplitud de est dada por:

Y el ngulo de fase por:

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaCociente de dos nmeros complejos: si A y B son nmeros complejos

Tomando en cuenta lo anterior para la amplitud y la fase de la respuesta en estado permanente, se tiene:

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaEl polgono de vectores de fuerzas ahora se puede relacionar directamente con la ecuacin diferencial compleja. Si se diferencia la ecuacin de la respuesta compleja, se obtiene

Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaPor lo que se obtiene:

Se tiene que :Dr. Alberto Salgado RodrguezRespuesta compleja en frecuenciaLa informacin de la magnitud y la fase se pueden combinar en una grfica simple, al dibujar las componentes del vector Ho(r) en el plano complejo. A esta grfica se le llama grfica de respuesta vectorial o grfica de Nyquist.

Dr. Alberto Salgado Rodrguez1. La masa m, rigidez k y frecuencia natural n de un sistema no amortiguado de un grado de libertad son desconocidos. Estas propiedades se determinarn mediante pruebas ante excitacin armnica. Cuando se le aplica una excitacin con frecuencia de 4 Hz, se presenta la resonancia. Cuando se le agrega un incremento de peso de 5 libras al sistema, entonces la condicin de resonancia ocurre para una frecuencia de 3 HZ. Determine la masa y la rigidez del sistemaTareaDr. Alberto Salgado Rodrguez2. En una prueba de vibracin forzada bajo carga armnica se registr que la amplitud en la condicin de resonancia fue exactamente 4 veces la amplitud con una frecuencia de excitacin 20% ms grande que la frecuencia de resonancia. Determinar el porcentaje de amortiguamiento del sistema.3. Determine la expresin de respuesta y dibuje cuando menos 5 ciclos de la misma, de un sistema de un grado de libertad sujeto ala excitacin 105sen15t-30cos32t [ton]. El sistema pesa 50 ton, tiene una rigidez de 2500 Ton/m y un porcentaje de amortiguamiento del 8%.TareaDr. Alberto Salgado Rodrguez