DERET FOURIER

Fungsi Periodik

Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai periode T atau periodik dengan periode T jika untuk semua x berlaku f(x+T)=f(x), dimana T adalah suatu konstanta positif.

Nilai terkecil dari T>0 disebut periode terkecil atau periode dari f(x)

Contoh :

1. Fungsi sin x mempunyai periode 2,4,6,..karena sin(x+2)=sin(x+4)=.=sin x

sedangkan periode dari sin x adalah 2.

2. Fungsi sin nx atau cos nx mempunyai periode

3. Periode dari fungsi tan x adalah

2

n

Contoh soal : Gambarkan fungsi berikut :

3, 0 51.

3, 5 0

sin , 02.

0, 2

0,0 2

3. 1, 2 4

2, 4 6

xf x

x

x xf x

x

x

f x x

x

Periode 10

Periode 2

Periode 6

Deret Fourier

Misalkan f(x) didefinisikan pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut oleh f(x+2L)=f(x). Disini fungsi tersebut mempunyai periode 2L. Deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi tersebut diberikan oleh :

dimana koefisien an dan bn adalah :

0

1

cos sin2

n n

n

a n x n xa b

L L

1cos 0,1,2,...

1sin

L

n

L

L

n

L

n xa f x dx n

L L

n xb f x dx

L L

Jika f(x) mempunyai periode 2L, koefisien an dan bn dapat ditentukan sebagai berikut :

2

2

1cos 0,1,2,...

1sin

c L

n

c

c L

n

c

n xa f x dx n

L L

n xb f x dx

L L

dimana c adalah sebarang bilangan riil. Contoh : Tentukan ekspansi Fourier untuk fungsi berikut :

0, 5 0

1. 103, 0 5

xf x periode

x

Jawab :

Periode =2L=10, berarti L=5

Pilih interval c sampai c+2L sebagai -5 sampai dengan 5.

Berarti c=-5

5

5

0 5 5

5 0 0

5

0

1cos

1cos

5 5

1 30.cos 3.cos cos

5 5 5 5 5

3 5sin 0, 0

5 5

L

n

L

n xa f x dx

L L

n xf x dx

n x n x n xdx dx dx

n xn

n

5

0

0

5

0

5

5

0 0 5

5 5 0

5

0

3 0.0, cos

5 5

3 3.5 3

5 5

1sin

1sin

5 5

1 30.sin 3.sin sin

5 5 5 5 5

3 1 cos3 5cos

5 5

L

n

L

xJika n a dx

dx

n xb f x dx

L L

n xf x dx

n x n x n xdx dx dx

nn x

n n

Jadi deret Fouriernya adalah :

0

1

1

cos sin2

3 1 cos3sin

2 5

3 6 1 3 1 5sin sin sin .....

2 5 3 5 5 5

n n

n

n

a n x n xa b

L L

n n x

n

x x x

Misalkan bahwa :

1. f(x) didefinisikan dan bernilai tunggal, kecuali di

sejumlah berhingga titik di dalam (-L,L)

2. f(x) periodik di luar (-L,L) dengan periode 2L

3. f(x) dan f(x) kontinu sepotong-sepotong di dalam

(-L,L) maka deret Fourier (ekspansi Fourier) yang bersesuaian dengan f(x) konvergen ke :

(a) f(x) jika x adalah sebuah titik kontinuitas

(b) jika x adalah sebuah titik diskontinuitas

Disini

Kondisi Dirichlet

2

00 xfxf

xfxfxfxf00

lim0danlim0

Contoh :

Diketahui

(1) Tulis deret Fourier yang bersesuaian dengan f(x)

(2) Bagaimana seharusnya f(x) didefinisikan di

x=-5, x=0,dan x=5 supaya deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) untuk

Jawab :

(1) Periode : 2L=10, berarti L=5

10 periode50,3

05,0

x

xxf

55 x

2 5

5

0 5

5 0

55

00

1 1cos cos

5 5

10.cos 3cos

5 5 5

1 3 53cos sin

5 5 5 5

3sin sin 0 0, 0

c L

n

c

n x n xa f x dx f x dx

L L

n x n xdx dx

n x n xdx

n

n nn

Jika n=0, 5 5

0

0 0

1 33cos 0 3

5 5a dx dx

2 5

5

0 5

5 0

55

00

1 1sin sin

5 5

10.sin 3sin

5 5 5

1 3 53sin cos

5 5 5 5

3 1 cos3cos cos0 , 0

c L

n

c

n x n xb f x dx f x dx

L L

n x n xdx dx

n x n xdx

n

nn n

n n

Jadi deret Fourier dari f(x) adalah :

0

1

1

cos sin2

3 1 cos3sin

2 5

3 6 1 3 1 5sin sin sin .......

2 5 3 5 5 5

n n

n

n

a n x n xa b

L L

n n x

n

x x x

(2) Karena f(x) memenuhi kondisi Dirichlet, maka :

Deret tersebut konvergen ke f(x) disemua titik kontinu dan

konvergen ke di titik-titik diskontinu

Titik-titik diskontinunya adalah x=-5,x=0,X=5

Di titik-titik tersebut deret Fourier dari f(x) konvergen ke

Dengan demikian deret Fourier dari f(x) akan konvergen ke f(x)

untuk jika f(x) didefinisikan kembali sebagai berikut :

2

00 xfxf

0 3 3

2 2

5 5x

3/ 2, 5

0, 5 0

3/ 2, 0

3, 0 5

3/ 2, 5

x

x

f x x

x

x