Analyse de Fourier

Analyse de FourierCHAPITRES ETUDIESI Les sries de Fourier II Les espaces L1 et L2III La transformation de Fourier et la convolution IV Les distributionsIntroduction Une grandeur sinusodale est dcrite par l'quation :x(t)=A cos(2..f0.t+ )O f0 reprsente la frquenceA reprsente l'amplitude, reprsente la phase et f reprsente la frquence.Introduction Le graphe de x ondule avec une forme prcise et fixe par la fonction cosinus

IntroductionSuperposition de deux sinusodes

IntroductionExemple:Un son pur ne contient quune seule frquence, il est reprsent par une trajectoire sinusodale.Les sons que lon trouve dans la nature ne sont pas purs, mais sont des superpositions de sons purs : Ils contiennent une frquence f qui dtermine leur hauteur et toutes les frquences f, 2f, 3f,....,nf,... Srie de Fourier : DfinitionSoit f une fonction priodique de priode T et localement intgrable. On appelle srie de Fourier de f la srie

Srie de Fourier : Calcul des coefficientsLa valeur moyenne de f ou le fondamental

et pour

et

Srie de Fourier: Exemple Superposition du fondamental et de plusieurs harmoniques

Srie de Fourier: Remarquela fonction g dfinie par

est 2-priodique et localement intgrable, sa srie de Fourier est:

Srie de Fourier: En cosinusA laide de La relation trigonomtrique suivante:

La srie de Fourier de f scritavec

Srie de Fourier:Reprsentation spectrale unilatraleLa reprsentation spectrale qui lui est associe porte le nom de spectre unilatral. Elle reprsente le graphe des amplitudes An en fonction des frquences nf:

En tempsEn frquenceSrie de Fourier:Complexe

La forme complexe de La srie de Fourier de f :A l'aide des relations d'Euler:Pour tout n appartient IZSrie de Fourier complexe:Reprsentation bilatraleLa reprsentation spectrale qui lui est associe porte le nom de spectre bilatral. Elle reprsente le graphe des amplitudes |cn| en fonction des frquences nf, n un lment de IZ:

Proprits des coefficients: cas f est paire

Proprits des coefficients: cas f est impaire

Proprits des coefficients: cas f est semi symtrique

La fonction f est dite semi symtrique si:Proprits des coefficients: cas f est semi symtrique et paire

Proprits des coefficients: cas f est semi symtrique et impaire

Exemple 1

Soit la fonction f 2-priodique dfinie Par le graphe suivantLes coefficients de Fourier de f sont:Comme f est semi symtrique et paireExemple 2 Soit f une fonction dfinie par: f(x)=x sur [0,T[ , (T > 0).Dterminer les extensions paire, impaire, semi-symtrique et calculer les sries de Fourier correspondantes. Comparer.Exemple 2

Cas 2T-priodique paire

Exemple 2

Cas 2T-priodique et impaireExemple 2

Cas f semi symtrique 2T-priodiqueProprits des coefficientsLamplitude des hautes frquences diminue de plus en plus

On aEXEMPLE 3Soit f une fonction -priodique dfiniepar sur

EXEMPLE 3 f paire :

et pour

EXEMPLE 3

La srie de Fourier est doncConvergence des sries de Fourier Pour toute fonction f localement intgrable et T-priodique on associe une srie trigonomtrique appele srie de Fourier Sous quelles conditions la fonction f est dcomposable en srie de Fourier? C--d:

Convergence des sries de Fourier:Thorme de DirichletSoit f une fonction localement intgrable, T-priodique et drivable par morceaux. Alors

Si f est continue en t

Sinon

La converge est uniforme sur segment o f est continueThorme de DirichletLa fonction de lexemple 3 est continue

Graphe de S5Graphe de fThorme de DirichletLa fonction de lexemple 1 nest pas continue

Graphe de fGraphe de S5Convergence des sries de Fourier:Thorme de FejerSoit f une fonction relle ou complexe T-priodique sur et localement intgrable. Sa srie de Fourier converge au sens de Cesaro vers ((f(t)+f(t))/2) en tout point t tel que les limites f(t) et f(t) existent. i-e