BAB IV

DERET FOURIER

4.1 Fungsi Periodik

Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua

harga x berlaku:

f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif.

Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebut

perioda dari f(x).

Contoh :

Fungsi sin x mempunyai perioda 2π; 4 π; 6 π; ...... karena sin (x+2 π) =

sin (x+4 π) = sin (x+6 π) = ..........= sin x.

Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif

adalah 2 π /n.

Periode dari tan x adalah π.

Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif.

Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya :

IV - 1

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous

function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu

pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu

ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik

diskontinu (ujung masing-masing interval).

IV - 2

4.2 Deret Fourier

Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang

(gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier

yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan

mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa

dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari

sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal).

Definisi Deret Fourier :

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval tersebut

f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari

fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai :

dengan koefisien Fourier a n , bn ditentukan oleh :

Jika interval (–L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L

maka :

dengan C sembarang bilangan real.

Jika C = -L maka rumus (4-4) dan (4-5) akan sama dengan (4-2) dan (4-3).

Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet.

IV - 3

(4-1)

(4-2)

(4-3)

(4-4)

(4-5)

Syarat /Kondisi Dirichlet

Teorema : Jika,

1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik

yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L).

2. f(x) periodik dengan perioda 2L.

3.f(x) dan f’(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada

interval (-L;L).

Maka deret Fourier (4-1) dengan koefisien (4-2) dan (4-3) atau (4-4)

dan (4-5) konvergen ke :

Contoh :

1. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :

di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π.

Penyelesaian :

IV - 4

Fungsi f (x) pada contoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa

voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang dihasilkan akan

berkaitan dengan frekuensi frekuensi yang berbeda dari arus bolak balik yang

dihubungkan pada gelombang “bujur sangkar” dari voltase tadi.

2. Tentukan deret Fourier dari :

dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5

agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5.

IV - 5

Penyelesaian :

Periode = 2L ………. L=5

Deret Fouriernya :

f(x) memenuhi syarat Dirichlet , jadi deret Fourier akan konvergen ke:

- F (x) ; jika x titik kontinu

- f (x + ) + f (x - ) ; jika x titik diskontinu

2

titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) pada

interval (-5,5) sehingga :

di x = -5 ; deret akan konvergen ke :

di x = 0 ; deret akan konvergen ke :

di x = 5 ; deret akan konvergen ke :

IV - 6

Deret Fourier diatas akan konvergen ke f (x) pada interval -5 ≤ x ≤ 5

apabila f (x) ditentukan sbb:

diluar interval ini periodik dengan p = 10

3. Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0 < x < 2 kedalam deret Fourier jika f (x)

Periodik dengan periode 2 .

Penyelesaian :

periode 2L = 2 L =

IV - 7

4. Dengan menggunakan hasil dari contoh no. 3, buktikan bahwa :

Penyelesaian :

Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x2 konvergen ke f(x) =

IV - 8

2.3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x.

Contoh :

Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap

merupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka:

Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x.

Contoh :

IV - 9

(4-6)

Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil

merupakan fungsi ganjil. Jika f (x) fungsi ganjil maka:

4.4 Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half – Range)

Deret fourier dari fungsi genap :

Genap

Jadi , jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanyasuku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an.

Deret fourier dari fungsi ganjil:

IV - 10

(4-7)

Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-

suku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn.

Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier

yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan deret

setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang

dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval adari (-L;L) yaitu

pada interval (0;L) saja. Setengah lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan

penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan :

f(x) fungsi ganjil

Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:

f(x) fungsi genap

Contoh:

Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam :

a. deret sinus setengah jangkauan

b. deret cosinus setengah jangkauan

Penyelesaian :

a. deret sinus setengah jangkauan

IV - 11

(4-8)

(4-9)

f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang

interval-2 < x < 2

(dengan periode 4), sebagai berikut:

Sehingga :

an = 0

Jadi deret sinus:

b. Deret cosinus setengah jangkauan

IV - 12

f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-

2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:

an = 0

bn = 0

Jadi deret cosinus:

IV - 13

Jawaban

IV - 14