Serie di Fourier 1

Serie di Fourier

1 Rappresentazione Reale delle Serie di Fourier

In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigono-

metrica per le funzioni di periodo 2π, e ne identifichiamo i coefficienti. Affrontiamo quindi la

relazione tra la funzione e la sua serie di Fourier, e formuliamo un teorema di convergenza.

Esaminiamo anche come alcune proprieta della funzione (parita, realta, ecc.) si traducono in

termini dei suoi coefficienti di Fourier. Introduciamo poi la rappresentazione complessa delle

serie di Fourier, ed estendiamo la trattazione a funzioni di periodo qualsiasi. Infine assumiamo

il punto di vista dell’Analisi Funzionale, e trattiamo la convergenza delle serie di Fourier in L2.

1.1 Funzioni Periodiche

Si dice che una funzione f : R→ C e periodica di periodo T (> 0) se e solo se f(x+T ) = f(x)

per ogni x ∈ R. 1 Ovviamente, una funzione periodica di periodo T e pure periodica di periodo

kT per ogni intero k > 1. Ogni funzione periodica continua non costante ha un periodo minimo,

detto periodo fondamentale. Ad esempio le funzioni seno, coseno, esponenziale immaginario

(ovvero θ �→ eiθ) sono periodiche di periodo fondamentale 2π; la funzione tangente e pure

periodica di periodo 2π, ma ha periodo fondamentale π.

Siano a, b ∈ R, a < b; una qualsiasi funzione f : [a, b[→ C puo essere estesa in uno ed un

solo modo ad una funzione f : R → C periodica di periodo b − a, detta appunto estensione

periodica di f . Poiche ogni numero reale puo essere rappresentato nella forma x+ n(b− a) per

x ∈ [a, b[ e n ∈ Z opportuni, basta porre f(x + n(b− a)) := f(x) per ogni x ∈ [a, b[ ed ogni n.

Si puo allora studiare una funzione periodica di periodo T su tutto R o su un qualsi-

asi intervallo di lunghezza T ; spesso si identifica una funzione periodica con tale restrizione.

Quest’ultima rappresentazione presenta alcuni vantaggi; ad esempio, la funzione nulla e l’unica

funzione periodica di L2(R), mentre L2(a, b) contiene una gran quantita di funzioni periodiche.2 Si noti comunque che, per ogni funzione periodica f di periodo b− a,

f ∈ C0(R) ⇔ f ∈ C0([a, b[) e limx→b−

f(x) = f(a). (1.1)

Si dice che una funzione f : [a, b[→ C e continua a tratti se e continua in tutti i punti salvo

al piu in un numero finito, nei quali comunque esistono finiti sia il limite sinistro che quello

destro; si chiede anche che esistano il limite destro in a e quello sinistro in b. Si dice che una

funzione f : R → C e continua a tratti se lo e in ogni intervallo. Si noti che una funzione

continua a tratti e limitata, quindi integrabile, in ogni intervallo. Ad esempio, l’estensione

periodica della funzione f : [0, 1[→ R : x �→ x e continua a tratti, mentre la funzione tangente

non lo e.

Analogamente si dice che una funzione f :]a, b[→ C e monotona a tratti se esiste un insieme

finito di punti x0 = a < x1 < ... < xN = b tali che f e o non crescente o non decrescente in ogni

1Si definiscono anche la frequenza ν := 1/T e la pulsazione ω := 2πν. La frequenza e misurata in ciclinell’unita’ di tempo, la pulsazione in radianti nell’unita’ di tempo.

2Si potrebbe osservare che l’insieme delle funzioni periodiche di L2loc(R) e ancor piu vasto; tuttavia L2

loc(R)presenta l’inconveniente di non essere uno spazio normato.

2 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

intervallo ]xn, xn+1[ (n = 0, ..., N − 1). Ad esempio, le funzioni seno e coseno sono monotone

a tratti su ]0, 2π[; la funzione f : x �→ x sin(1/x) e monotona a tratti su ogni intervallo [a, 2π[

con a > 0, ma non su tutto ]0, 2π[.

Si noti che le funzioni periodiche di un certo periodo costituiscono uno spazio lineare, e che

lo stesso vale sia per le funzioni continue a tratti che per quelle monotone a tratti.

1.2 Identificazione dei Coefficienti di Fourier

In questo paragrafo assumiamo sistematicamente che f : R → C sia una funzione periodica

di periodo 2π, e la identifichiamo con la sua restrizione ad un qualsiasi intervallo di lunghezza

periodo 2π.

Lo sviluppo in serie di Fourier si applica a funzioni R→ C periodiche. Qui assumiamo che

il periodo sia uguale a 2π per semplificare certi conti; poi estenderemo facilmente la trattazione

a funzioni di periodo qualsiasi.

Studiamo allora la possibilita di approssimare f mediante una successione di funzioni della

forma

Sf,n(x) :=a0

2+

n∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) ∀x ∈ R,

dette polinomi trigonometrici. Poniamo poi

Sf (x) :=a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) ∀x ∈ R, (1.2)

detta serie di Fourier in forma trigonometrica, e ci chiediamo se Sf = f in R, per un’opportuna

scelta dei coefficienti di Fourier {a0, a1, a2, ....} e {b1, b2, ....}.Si noti la distinzione tra la funzione f e lo sviluppo in serie di Fourier Sf : la (1.2) e una

definizione, mentre “Sf = f” e una proprieta che puo valere o meno, e comunque richiede

l’indicazione di opportune condizioni di regolarita per f . A questo proposito si pongono diversi

problemi:

(i) Quali funzioni (periodiche di periodo 2π o definite su [0, 2π]) ammettono una tale

rappresentazione?

(ii) In che senso e da intendersi la convergenza della serie: puntuale, uniforme, in

L2(0, 2π), o altro?

(iii) I coefficienti di Fourier {a0, a1, a2, ....} e {b1, b2, ....} sono individuati da f?

(iv) In caso affermativo, questi coefficienti come possono essere espressi in termini di f?

(In teoria dei segnali si dice che le successioni {a0, a1, a2, ....} e {b1, b2, ....} costituiscono lo

spettro reale del segnale f .)

Le prime due questioni riguardano la regolarita di f (che potremmo pensare come un ele-

mento qualitativo), le altre due coinvolgono invece degli aspetti quantitativi.

Incominciamo proprio da queste ultime due questioni, che sono piu vicine alle esigenze

applicative. I coefficienti di Fourier a0 ed ak, bk (k = 1, 2, . . .) sono individuati da f , e per

calcolarli useremo le seguenti identita.

Lemma 1.1 (di Ortogonalita)

∫ π

−πcos kx cos �x dx =

0 se k = �

π se k = � = 0

2π se k = � = 0

∀k, � ∈ N, (1.3)

Serie di Fourier 3

∫ π

−πsin kx sin �x dx =

0 se k = �

π se k = � = 0

0 se k = � = 0

∀k, � ∈ N, (1.4)

∫ π

−πcos kx sin �x dx = 0 ∀k, � ∈ N. (1.5)

Dimostrazione. Grazie alla formula di Eulero,

∫ π

−πcos kx cos �x dx =

∫ π

−π

eikx + e−ikx

2

ei�x + e−i�x

2dx

=1

4

∫ π

−π(ei(k+�)x + ei(k−�)x + ei(�−k)x + e−i(k+�)x) dx ∀k, � ∈ N;

poiche ∫ π

−πeimx dx =

{2π se m = 0

0 se m = 0∀m ∈ N, (1.6)

ne consegue la (1.3). La dimostrazione di (1.4) e (1.5) e analoga. �

Secondo l’impostazione introdotta nel Cap. I, le (1.3)—(1.5) esprimono l’ortogonalita nel

senso del prodotto scalare di L2(−π, π) di ogni coppia di funzioni dell’insieme

{sin kx, cos kx : k ∈ N} = {0, 1, sinx, cosx, ..., sin kx, cos kx, ...}.

Si noti che queste funzioni appartengono a C0([−π, π]), quindi anche a L2(−π, π). 3

Siamo ora in grado di esprimere i coefficienti di Fourier {ak} e {bk.} in termini della funzione

periodica.

Teorema 1.2 Sia f : R→ C una funzione periodica di periodo 2π continua. Se vale la (1.2)

nel senso della convergenza uniforme e f = Sf , allora

ak =1

π

∫ π

−πf(x) cos kx dx per k = 0, 1, 2, ...

bk =1

π

∫ π

−πf(x) sin kx dx per k = 1, 2, ...

(1.7)

Dimostrazione. In seguito all’ipotesi di converga uniforme, possiamo scambiare le operazioni

di serie e di integrazione. Grazie al lemma di ortogonalita abbiamo

∫ π

−πf(x) cos �x dx =

a0

2

∫ π

−πcos �x dx +

∫ π

−π

( ∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx))

cos �x dx

=a0

2

∫ π

−πcos �x dx +

∞∑k=1

ak

∫ π

−πcos kx cos �x dx +

∞∑k=1

bk

∫ π

−πsin kx cos �x dx

= a�π per � = 0, 1, 2, ...

(1.8)

3Esse appartengono anche per gli altri Lp, tuttavia solo in L2 disponiamo di un prodotto scalare.

4 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

Si noti che questa formula vale anche per a0: proprio per ottenere questo abbiamo scritto il

termine costante della serie di Fourier nella forma a0/2.

Analogamente si ottiene

∫ π

−πf(x) sin �x dx = b�π per � = 1, 2, ... �

In quest’ultimo teorema abbiamo richiesto che la funzione f fosse continua, poiche la di-

mostrazione si basa sulla convergenza uniforme; tuttavia le formule (1.12) hanno senso per ogni

f ∈ Lp(−π, π) per ogni p. Questo lascia sperare di poter trattare le serie di Fourier anche per

funzioni meno regolari, ad esempio continue a tratti, o soltanto Lp per un qualche p.

Si noti anche che i coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione f . Ovvero,

definiti ak := ak(f) e bk := bk(f) come in (1.12) per ogni k, per ogni coppia di funzioni f1, f2

periodiche di periodo 2π e continue a tratti si ha

ak(λ1f1 + λ2f2) = λ1ak(f1) + λ2ak(f2) ∀λ1, λ2 ∈ R,∀k,

ed analogamente per i bk.

1.3 Teorema di Convergenza

Le (1.12) forniscono gli unici candidati a soddisfare la (1.2); tuttavia non sappiamo ancora se

questa formula e effettivamente soddisfatta. Il seguente risultato risponde alla questione.

Teorema 1.3 (di Convergenza) Sia f : R → C periodica di periodo 2π, continua a tratti e

tale che f ′ e continua a tratti oppure f e monotona a tratti. Si ponga

f(x) :=1

2

(limy→x+

f(y) + limy→x−

f(y))

∀x ∈ R. (1.9)

Allora la serie di Fourier di f converge puntualmente alla funzione f , ovvero

f(x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) (=: Sf (x)) ∀x ∈ R. (1.10)

Se f e anche continua in un intervallo [a, b] ⊂ [0, 2π], allora la serie di Fourier converge

uniformemente a f = f in [a, b]. 4

Sotto le ipotesi di questo teorema, essendo f = f in ogni punto in cui f e continua (quindi

quasi ovunque), la (1.10) implica che

f(x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) (=: Sf (x)) q∀x ∈ R. (1.11)

4Puo sembrare abbastanza naturale che, se la serie di Fourier converge in un punto in cui il limite sinistro �se quello destro �d della funzione esistono finiti, il limite della serie coincida con il valore intermedio (�s + �d)/2.Naturale o meno che sia, anche questa affermazione vale solo in quanto dimostrata. Indicandola come teorema,intendiamo che e stato dimostrata, anche se non ne riportiamo la dimostrazione. Comunque in matematica nonmancano affermazioni apparentemente altrettanto naturali , ma clamorosamente smentite da controesempi (equindi non dimostrabili).

Serie di Fourier 5

* Osservazioni. (i) Mediante la serie di Fourier si puo approssimare una qualsiasi funzione

periodica ad esempio di classe C1 (quindi soddisfacente le ipotesi del Teorema 1.3) con una

serie di funzioni di classe C∞. Questo puo apparire sorprendente, poiche per ogni k una somma

(finita!) di funzioni di classe Ck e essa pure di classe Ck. Tuttavia questo in generale non vale

per le serie di funzioni, ovvero per le somme infinite; infatti la derivata di una serie di funzioni

e uguale alla serie delle derivate solo sotto opportune ipotesi.

Ad esempio se f e di classe C1, allora in seguito al Teorema 1.3 la serie di Fourier di f

converge uniformemente a f , ma non e detto che la serie di Fourier di f ′ (di classe C0) converga

a f ′.

(ii) Per le (1.12), ciascun coefficiente di Fourier dipende da f attraverso un’integrazione, e

quindi non risente del comportamento di f in specifici punti; pertanto, se si modifica f solo in

un punto x, Sf (x) non puo cambiare. Quindi f puo coincidere con il suo sviluppo di Fourier

(ovvero, questo sviluppo puo convergere a f) solo sotto opportune ipotesi.

Il Teorema di convergenza 1.3 ci dice che f = Sf nei punti in cui f e continua. I motivi per

cui questo avvenga non sono ovvi: occorrerebbe esaminare la dimostrazione; tuttavia e chiaro

che per quei punti non si puo riprodurre il ragionamento appena esposto, perche modificando

la f in un punto ivi verrebbe meno la continuita.

(iii) Ciascun coefficiente di Fourier dipende dal comportamento globale di f , per via della

(1.12); tuttavia, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, in seguito all’affermazione

finale del Teorema 1.3 il valore della somma Sf (x) dipende solo dal comportamento di f in

prossimita di x; piu precisamente:

Corollario 1.4 * (Principio di Localizzazione) Se due funzioni f, g soddisfano le ipotesi del

Teorema 1.3, e se f = g in un intervallo ]a, b[⊂]0, 2π[, allora Sf = Sg in ]a, b[.

(iv) Nei pressi dei punti di discontinuita di f , per ogni intero n ≥ 1 la somma parzialea0

2+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) presenta delle oscillazioni; questo e noto come fenomeno di Gibbs. Per

n→∞ queste oscillazioni non si smorzano; pur conservando la loro ampiezza, esse comunque

agiscono in un insieme sempre piu piccolo. Questo consente la convergenza puntuale della serie

di Fourier nei punti di continuita, coerentemente col Teorema 1.3.

(v) La continuita di f non basta ad assicurare la convergenza della serie di Fourier Sf :

occorrono delle ipotesi aggiuntive su f , ad esempio quelle del Teorema 1.3 o altre condizioni piu

o meno elaborate. Elenchiamo schematicamente alcuni dei risultati piu significativi conseguiti

dagli studiosi di Analisi di Fourier: (i primi tre sono dei controesempi, ovvero sono in negativo;

gli altri due sono in positivo)

— Du Bois Reymond (1873): esiste f ∈ C0([0, 2π]) tale che Sf non converge in un punto.

— Kolmogorov (1926): esiste f ∈ L1(0, 2π) tale che Sf non converge in alcun punto.

— Kahane and Katznelson (1966): per qualsiasi insieme di misura nulla A ⊂ [0, 2π] esiste

f ∈ C0([0, 2π]) tale che Sf non converge In A.

— Carleson (1966): per ogni f ∈ L2(0, 2π), Sf converge ad f in quasi tutti i punti.

— Hunt (1967): per ogni p > 1, per ogni f ∈ Lp(0, 2π), Sf converge ad f in quasi tutti i

punti.

Alla luce di queste patologie sembra prudente distinguere la funzione di partenza f dalla sua

serie di Fourier Sf , e pensare che questi due oggetti coincidono solo sotto opportune ipotesi (ad

6 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

esempio quelle del Teorema 1.3 di convergenza). Naturalmente per poter scrivere i coefficienti

di Fourier occorre un minimo di regolarita; ma ne basta poca: f ∈ L1(−π, π) e sufficiente.

(vi) Non tutte le serie trigonometriche convergenti sono serie di Fourier di una qualche fun-

zione periodica: ad esempio si puo dimostrare che questo e il caso per la serie∑∞k=2(sin kx)/ log k.

Esercizi.

— Data una qualsiasi funzione f : R → C continua e periodica di periodo 2π, ed un

qualsiasi x0 ∈ R, si dica se i coefficienti di Fourier di f possono essere scritti nella seguente

forma:

ak =t

π

∫ x0+π

x0−πf(x) cos kx dx per k = 0, 1, 2, ...

bk =1

π

∫ x0+π

x0−πf(x) sin kx dx per k = 1, 2, ...

(1.12)

— Sia f : R → C una funzione periodica di periodo 2π e si assuma che la sua serie di

Fourier esista e converga uniformemente su tutto R. Si puo concludere che la serie di Fourier

converge a f?

— Si dica se le seguenti funzioni R → C ammettono sviluppo di Fourier, e nel caso lo si

calcoli:

(i) f1(x) = sin 2x

(ii) f2(x) = i sinx/3

(iii) f3(x) = cosx + i sinx/3

(iv) f4(x) = cos√

2x− i sinx

(v) f4(x) = sinx cosx

(vi) f5(x) = 1/(tanx) (x = kπ, k ∈ Z).

— Sotto quali condizioni l’estensione periodica di una funzione f : [a, b[→ C di classe C1 e

di classe C1?

— L’estensione periodica della funzione f : [−1, 1[→ C : x �→ x2 e di classe C0? E di classe

C1?

— Sia f una funzione f : R → C periodica di periodo 2π continua, e siano {ak} e {bk} i

suoi coefficienti di Fourier nella rappresentazione trigonometrica reale. Si verifichi che

a2h = b2h = 0 ∀k ∈ N (ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine dispari)

se e solo se f(x) = −f(x + π) per ogni x ∈ R. Si verifichi anche che

a2h+1 = b2h+1 = 0 ∀h ∈ N (ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine pari)

se e solo se f e anche periodica di periodo π.

1.4 Funzioni Pari e Dispari

In questo paragrafo trattiamo degli aspetti essenzialmente algoritmici; supponiamo quindi che

la funzione f sia cosı regolare da garantire che f = Sf . Ad esempio f ∈ C1(R) puo bastare,

grazie al Teorema 1.3 di convergenza. Pertanto assumiamo che f sia una funzione R → C

periodica di periodo 2π e di classe C1.

Serie di Fourier 7

Si dice chef e pari ⇔ f(−x) = f(x) ∀x ∈ R,

f e dispari ⇔ f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R.(1.13)

Se f e definita in un sottoinsieme di R simmetrico rispetto all’origine, queste definizioni si

estendono in modo ovvio.

Il prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari e pari, mentre il prodotto di una

funzioni pari ed una dispari e dispari. Questo puo forse spiegare queste denominazioni. Si noti

anche che la funzione potenza x �→ tn e pari se n e pari, mentre e dispari se n e dispari. Il

coseno e pari, seno e tangente sono sono dispari.

Ogni funzione f : R→ C puo essere decomposta nella somma di una funzione pari ed una

dispari:

fp(x) :=f(x) + f(−x)

2(pari)

fd(x) :=f(x)− f(−x)

2(dispari)

⇒ f(x) = fp(x) + fd(x) ∀x ∈ R. (1.14)

Si noti che

f e pari (dispari, risp.) ⇔ fd ≡ 0 (fp ≡ 0, risp.).5

Poiche il coseno e pari ed il seno e dispari, si ha

fp(x) =a0

2+∞∑k=1

ak cos kx, fd(x) =∞∑k=1

bk sin kx ∀x ∈ R;

queste sono dette rispettivamente serie di coseni e serie di seni. Quindi

f pari ⇔ f(x) = fp(x) =a0

2+∞∑k=1

ak cos kx ∀x ∈ R,

f dispari ⇔ f(x) = fd(x) =∞∑k=1

bk sin kx ∀x ∈ R.(1.15)

Inoltre

f pari ⇔ ak =2

π

∫ π

0f(x) cos kx dx, bk = 0 ∀k,

f dispari ⇔ ak = 0, bk =2

π

∫ π

0f(x) sin kx dx ∀k.

(1.16)

Per verificare la prima di queste ultime due affermazioni basta notare che i rispettivi integrandi

sono pari, e quindi i corrispondenti integrali estesi a [0, π] sono uguali alla meta degli integrali

su [−π, π].

Esempio 1. Si consideri la funzione [−π, π[→ R : x �→ x, e sia f la sua estensione periodica

(con periodo 2π) a tutto R. La funzione f e dispari, quindi si puo rappresentare come serie di

soli seni: essendo

bk =2

π

∫ π

0x sin kx dx = −2

kcos kπ = (−1)k+1 2

kper k = 1, 2...,

5 f ≡ 0 significa che f e identicamente nulla, ovvero f(x) = 0 per ogni x.

8 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

si ottiene

Sf (x) =∞∑k=1

(−1)k+1 2

ksin kx = 2 sinx− sin 2x +

2

3sin 3x + ... ∀x ∈]− π, π[.

Per applicare il Teorema 1.3 di convergenza occorre ora valutare la regolarita della funzione:

si verifica facilmente che sia f che f ′ sono continue a tratti, ed f e ha dei salti solo in kπ con

k ∈ Z. Quindi

f(x) = Sf (x) ∀x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}, f(x) = 0 ∀x ∈ {kπ : k ∈ Z}.

f e continua in ogni intervallo [a, b] ⊂] − π, π[, ma non in tutto [−π, π]; pertanto la serie di

Fourier Sf converge uniformemente a f in ogni intervallo [a, b] ⊂] − π, π[, ma non in tutto

[−π, π].

Esempio 2. Sia g l’estensione periodica della funzione [−π, π[→ R : x �→ |x|. Questa funzione

e pari, quindi puo essere rappresentata mediante una serie di soli coseni: essendo

ak =2

π

∫ π

0x cos kx dx = ... =

π per k = 0

0 per k = pari = 0

−4/(πk2) per k = dispari,

si perviene a

Sg(x) =π

2− 4

π

∞∑k=0

1

(2k + 1)2cos(2k + 1)x

=π

2− 4

π

(cosx− 1

32cos 3x +

1

52cos 5x + ...

)∀x ∈]− π, π[.

(1.17)

Si verifica facilmente che f e continua su tutto R e f ′ e continua a tratti. Per il Teorema

1.3 quindi f(x) = Sf (x) per ogni x ∈ R, e Sf converge uniformemente in tutto R.

In particolare per x = π si ottiene una rappresentazione di π2:

π =π

2+

4

π

∞∑k=1

1

(2k + 1)2, ovvero

π2

8=∞∑k=1

1

(2k + 1)2= 1 +

1

32+

1

52+ ....

Esempio 3. Sia h(x) := tanx per ogni x = π/2 + kπ con k ∈ Z. Questa funzione non e

continua a tratti, quindi non possiamo applicare i risultati precedenti.

* Osservazione. Le funzioni f e g dei due esempi precedenti coincidono in [0, π[, ed in questo

intervallo si possono rappresentare sia come serie di seni che come serie di coseni.

Questo non contraddice la (1.15), poiche questa doppia rappresentazione vale solo su una

parte dell’insieme di definizione delle funzioni f e g. D’altra parte i coefficienti della serie di

Fourier, in quanto integrali, dipendono dal comportamento della funzione in tutto l’intervallo

[−π, π[. E quindi naturale che due funzioni che coincidono solo in parte dell’insieme di definizione

abbiano due diverse rappresentazioni in serie di Fourier.

Sia ora f : R → R (si noti: a valori reali) periodica di periodo 2π. Si ponga ρ0 := a0/2,

θ0 = 0, e per ogni k ∈ N siano ρk e θk ∈ [0, 2π[ tali che

ρk :=√a2k + b2k , e, se ρk > 0, cos θk =

akρk

, sin θk = − bkρk

∀k ∈ N \ {0}; (1.18)

Serie di Fourier 9

si noti che i θk sono univocamente determinati se ρk > 0. Si puo allora riscrivere la serie (1.2)

nella forma equivalente

Sf =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) =∞∑k=0

ρk cos(kx + θk) ∀x ∈ R; (1.19)

In teoria dei segnali i numeri ρk e θk sono rispettivamente detti ampiezza e fase della frequenza

k-esima del segnale f ; le corrispondenti successioni {ρk} e {θk} sono rispettivamente dette

spettro di ampiezza e spettro di fase. Poiche cosα = sin(α + π/2) per ogni α ∈ R, ponendo

θk := θk + π/2 la (1.19) e anche equivalente a

Sf =∞∑k=0

ρk sin(kx + θk) ∀x ∈ R. (1.20)

2 Rappresentazione Complessa delle Serie di Fourier

La serie di Fourier

Sf,n(x) :=a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) ∀x ∈ R

puo essere espressa equivalentemente mediante esponenziali complessi, poiche grazie alla for-

mula di Eulero

cos kθ =eikθ + e−ikθ

2, sin kθ =

eikθ − e−ikθ

2i∀θ ∈ R.

Ponendo

c0 :=a0

2, ck :=

ak − ibk2

, c−k :=ak + ibk

2∀k ∈ N \ {0}, (2.1)

si ha

Sf (x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) =∑k∈Z

ckeikx .

In questo caso le relazioni di ortogonalita (1.3), (1.4), (1.5) assumono la forma

∫ π

−πeikxe−i�x dx =

{0 se k = �

2π se k = �∀k, � ∈ Z;

(1.12) e (2.1) allora forniscono

ck :=1

2π

∫ π

−πf(x)e−ikx dx ∀k ∈ Z. (2.2)

Si noti che le formule (2.1) sono equivalenti a

ak = ck + c−k per k = 0, 1, 2, ...

bk = i(ck − c−k) per k = 1, 2, ....[Es] (2.3)

(In teoria dei segnali la successione doppia {ck} e detta lo spettro complesso del segnale f .)

10 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

Valore Principale. Resta da definire la somma della serie doppia∑k∈Z

ckeikx, scrittura questa

che e da intendersi come equivalente a∞∑

k=−∞cke

ikx. Vi sono due alternative:

∑k∈Z

ckeikx = lim

n→∞

n∑k=0

ckeikx + lim

n→∞

+∞∑k=1

c−ke−ikx, (2.4)

oppure ∑k∈Z

ckeikx = lim

n→∞

n∑k=−n

ckeikx . (2.5)

Quest’ultima e la definizione corretta; e detta somma della serie doppia nel senso del valore

principale, e la si indica anche con V.P.∑k∈Z

ckeikx.

Si noti che la convergenza di due serie+∞∑k=0

αk e+∞∑k=1

α−k implica quella della serie

V.P.∑k∈Z

αk := limn→∞

n∑k=−n

αk =+∞∑k=0

αk ++∞∑k=1

α−k ,

ma non sempre vale il viceversa. Un semplice controesempio e fornito da αk := k, per ogni

k ∈ Z; infatti V.P.∑k∈Z

k = 0, mentre+∞∑k=0

k e+∞∑k=1

(−k) divergono a +∞ e −∞ (rispettivamente),

e quindi la loro somma e rappresentata dalla forma indeterminata (+∞) + (−∞).

Nel seguito trattando di serie doppie le intenderemo sempre nel senso del valore principale,

ed ometteremo di scrivere “V.P.”. 6

E facile verificare che intendere la serie di Fourier in forma complessa∑k∈Z

ckeikx nel senso

del valore principale equivale a scrivere la serie di Fourier in forma reale come∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) piuttosto che∞∑k=1

ak cos kx +∞∑k=1

bk sin kx.

(Ovviamente e piu restrittivo richiedere la convergenza di entrambe queste due ultime serie

piuttosto che quella della serie della somma.)

Funzioni Pari e Dispari. Denotando con c la funzione Z → C : k �→ ck e con iR l’insieme

dei numeri immaginari, abbiamo

f pari ⇔ c−k = ck ∀k ∈ Z,f dispari ⇔ c−k = −ck ∀k ∈ Z,f(x) ∈ R ∀x ⇔ c−k = c∗k ∀k ∈ Z,f(x) ∈ iR ∀x ⇔ ic−k = (ick)

∗ ∀k ∈ Z;

[Es] (2.6)

6Una definizione analoga puo essere introdotta a proposito degli integrali di funzioni limitate su insiemi

illimitati o di funzioni illimitate su insiemi limitati. Ad esempio gli integrali∫ +∞

−∞x dx e

∫ +1

−1

1/x dx non

esistono, ne come integrali di Riemann generalizzati ne come integrali di Lebesgue. Tuttavia si defniscono gliintegrali nel senso del valor principale:

V.P.

∫ +∞

−∞x dx := lim

m→+∞

∫ m

−mx dx (= 0),

V.P.

∫ +1

−1

1xdx := lim

ε→0+

( ∫ −ε−1

1xdx+

∫ 1

ε

1xdx

)(= 0).

Serie di Fourier 11

ovvero, denotando con c la successione doppia Z→ C : k �→ ck ,

f pari ⇔ c e pari,f dispari ⇔ c e dispari,f(x) ∈ R ∀x ⇔ Re(c) e pari, Im(c) e dispari,f(x) ∈ iR ∀x ⇔ Re(c) e dispari, Im(c) e pari.

[Es] (2.7)

Il passaggio dalla funzione f alle successioni dei coefficienti di Fourier {(ak, bk)} o {ck}e interpretato come un processo di analisi; l’operazione inversa che porta dai coefficienti di

Fourier alla funzione f e interpretato come sintesi. I coefficienti ck sono anche detto lo spettro

della funzione f (analogamente a quanto si vedra per la trasformata di Fourier).

Rappresentazione Complessa Alternativa. In analogia con la (1.19), nel caso di una

funzione f a valori reali si noti che per ogni k ∈ Z, ck = rkeiϕk , per rk ≥ 0 e ϕk ∈ R opportuni.

Pertanto ∑k∈Z

ckeikx =

∑k∈Z

rkei(kx+ϕk). (2.8)

Osservazione. Disponiamo quindi di quattro rappresentazioni S(1)f , ..., S

(4)f per lo sviluppo in

serie di Fourier di una funzione f periodica di periodo 2π:

(i) due rappresentazioni in forma trigonometrica per f : R→ R:

S(1)f (x) :=

a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) (ak, bk ∈ R), (2.9)

S(2)f (x) :=

∞∑k=1

ρk cos(kx + θk) (ρk, θk ∈ R); (2.10)

(ii) due rappresentazioni in forma esponenziale complessa per f : R→ C:

S(3)f (x) :=

∑k∈Z

ckeikx, (ck ∈ C), (2.11)

S(4)f (x) :=

∑k∈Z

rkei(kx+ϕk) (R �)rk > 0, ϕk ∈ R. (2.12)

Per alcuni scopi puo essere utile usare la rappresentazione complessa anche per funzioni a

valori reali: i conti con gli esponenziali possono essere piu agevoli che con le funzioni trigono-

metriche. Nulla poi vieta di scrivere la prima delle (2.9) anche per coefficienti ak, bk ∈ C (per

la seconda ci sarebbe qualche difficolta per θk ∈ C), oppure di considerare (2.11) per ck ∈ R:

in generale in entrambi i casi si otterranno funzioni complesse.

Come abbiamo visto, questi sviluppi in serie sono equivalenti: si passa da uno all’altro

mediante semplici formule di trasformazione lineari dei coefficienti di Fourier (siano essi reali o

complessi).

Sottolineamo che i coefficienti ak, bk, ck degli sviluppi di Fourier (2.9) e (2.11) dipendono

linearmente dalla funzione f ; questo invece non vale per i coefficienti ρk, θk, rk, ϕk delle rappre-

sentazioni equivalenti (2.10) e (2.12), che infatti sono ricavati dagli ak, bk, ck mediante trasfor-

mazioni non lineari.

Esercizi.

12 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

— Si sviluppino in serie di Fourier complessa le funzioni degli esempi del paragrafo 1.4.

— Si traducano le proprieta (2.6) in termini dei coefficienti ρk e θk per le serie reali (1.19),

o dei coefficienti rk e ϕk per le serie complesse (2.8).

— Sia f una funzione f : R → C periodica di periodo 2π continua, e siano {ck} i suoi

coefficienti di Fourier nella rappresentazione esponenziale complessa. Si verifichi che

c2h = 0 ∀k ∈ ζ (ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine dispari)

se e solo se f(x) = −f(x + π) per ogni x ∈ R. Si verifichi anche che

c2h+1 = 0 ∀h ∈ ζ (ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine pari)

se e solo se f e anche periodica di periodo π.

2.1 Funzioni con Periodo Diverso da 2π

Se f e periodica di periodo T = 2π, allora f(y) := f(Ty/2π) e una funzione periodica di periodo

2π. Partendo dallo sviluppo

Sf (y) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos ky + bk sin ky) ∀y ∈ R,

mediante la traformazione di variabile y �→ x := Ty/(2π) si ha

Sf (x) = Sf

(2π

Tx

)=

a0

2+∞∑k=1

(ak cos

2kπ

Tx + bk sin

2kπ

Tx

)∀x ∈ R,

con

ak =1

π

∫ π

−πf(y) cos ky dy =

2

T

∫ T/2

−T/2f(x) cos

2kπ

Tx dx

bk =1

π

∫ π

−πf(y) sin ky dy =

2

T

∫ T/2

−T/2f(x) sin

2kπ

Tx dx

per k = 1, 2, . . . ,

e la prima formula vale anche per a0. Pertanto tutti i risultati precedenti si estendono facilmente

a Sf . Analogamente

Sf (x) = Sf

(2π

Tx

) ∑k∈Z

cke2πikx/T ∀x ∈ R,

con

ck =1

2π

∫ π

−πf(y)e−iky dy =

1

T

∫ T/2

−T/2f(x)e−2πikx/T dx ∀k ∈ Z. (2.13)

3 * Il Punto di Vista dell’Analisi Funzionale

Secondo l’impostazione introdotta nel Cap. I le funzioni di energia finita sono considerate come

punti dello spazio di Hilbert L2(−π, π), dotato della norma

‖f‖ =( ∫ π

−π|f(x)|2 dx

)1/2 ∀f ∈ L2(−π, π),

indotta dal prodotto scalare

(f, f) :=∫ π

−πf(x)f(x)∗ dx ∀f, f ∈ L2(−π, π).

Serie di Fourier 13

Teorema 3.1 Ogni funzione f ∈ L2(−π, π) e sviluppabile in serie di Fourier. Piu precisa-

mente, definiti i coefficienti {ak}, {bk}, {ck} come in (1.12) e (2.13),

f(x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) =∑k∈Z

ckeikx q∀x ∈ R. (3.1)

Inoltre la serie di Fourier converge in L2(−π, π), ovvero

∥∥∥f(x)− a0

2−

n∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx)∥∥∥L2→ 0

∥∥∥f(x)−k=n∑k=−n

ckeikx

∥∥∥L2→ 0

per n→ +∞. (3.2)

Formule analoghe valgono per le rappresentazioni delle (??) e (??).

Teorema 3.2 (di Parseval) Siano f, f ∈ L2(−π, π), e siano (3.1) e

f(x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx) =∑k∈Z

ckeikx q∀x ∈ R. (3.3)

i rispettivi sviluppi in serie di Fourier. Allora

∫ π

−πf(x)f(x)∗ dx =

π

2a0a

∗0 + π

∞∑k=1

(aka∗k + bkb

∗k) = 2π

∑k∈Z

ckc∗k ; (3.4)

in particolare

∫ π

−π|f(x)|2 dx =

π

2|a0|2 + π

∞∑k=1

(|ak|2 + |bk|2) = 2π∑k∈Z|ck|2 (< +∞). (3.5)

Dimostrazione. Per verificare la prima uguaglianza di (3.4), basta scrivere f(x)f(x)∗ in

termini dei coefficienti di Fourier {ak} e {bk}, sviluppare il prodotto, quindi integrare ed usare

le proprieta di ortogonalita (1.3), (1.4), (1.5). [Es] Analogamente

∫ π

−πf(x)f(x)∗ dx =

∫ π

−π

( ∑k∈Z

ckeikx

)( ∑�∈Z

c∗�e−i�x

)dx

=∑k∈Z

∑�∈Z

ckc∗�

∫ π

−πei(k−�)x dx = (cf. (1.6)) 2π

∑k∈Z

ckc∗k = 2π

∑k∈Z|ck|2.

(Ancora una volta abbiamo scambiato le operazioni di serie e di integrale; questo risulta lecito

in L2(−π, π)...) Infine, ponendo f = f in (3.4) si ottiene (3.5). �

Quindi il passaggio da f ai suoi coefficienti di Fourier {ck} trasforma funzioni di L2(−π, π)

in successioni di �2, e conserva norma e prodotto scalare (a meno di un fattore costante).

14 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin

Proposizione 3.3 Sia f ∈ L2(−π, π) e sia (3.1) il suo sviluppo in serie di Fourier. Se f ′ ∈L2(−π, π) allora

f ′(x) =∞∑k=1

k(−ak sin kx + bk cos kx) =∑k∈Z

ikckeikx q∀x ∈ R. (3.6)

∫ π

−π|f ′(x)|2 dx = π

∞∑k=1

(|k2ak|2 + |k2bk|2) = 2π∑k∈Z|k2ck|2 (< +∞). (3.7)

Analogamente, per ogni intero n ≥ 1, se f, ..., f (n) ∈ L2(−π, π) allora 7

f (n)(x) = ... =∑|k|≥n

(ik)nckeikx q∀x ∈ R, (3.8)

∫ π

−π|f (n)(x)|2 dx = π

∞∑k=n

(|knak|2 + |knbk|2) = 2π∑|k|≥n|knck|2 (< +∞). (3.9)

Osservazioni. (i) La convergenza delle serie in (3.5) ha una notevole conseguenza. Se f ∈L2(−π, π) allora

ak → 0, bk → 0, ck → 0 per k → +∞. (3.10)

Analogamente, se f ′ ∈ L2(−π, π) allora per la (3.7)

kak → 0, kbk → 0, kck → 0 per k → +∞, (3.11)

ovvero i coefficienti di Fourier si annullano piu rapidamente all’infinito.

Grazie alla (3.9), si puo ripetere questo ragionamento per le derivate successive (se esistono):

per ogni intero n ≥ 1

f, ..., f (n) ∈ L2(−π, π) ⇒

knak → 0, knbk → 0, knck → 0 per k → +∞.

Quindi: quanto piu la funzione f e regolare, tanto piu rapidamente i suoi coefficienti di

Fourier si annullano all’infinito.

(ii) La condizione f ′ ∈ L2(−π, π) puo essere interpretata come una proprieta di regolarita

per la funzione f : ad esempio si puo dimostrare che essa implica la continuita di f . 8 Se poi

f ′ e derivabile e f ′′ ∈ L2(−π, π), allora f ′ e continua e quindi f e di classe C1. Piu in generale,

per ogni intero n ≥ 1 (ancora supponendo l’esistenza delle derivate)

f, ..., f (n) ∈ L2(−π, π) ⇒ f ∈ Cn−1([−π, π]).

D’altra parte, e noto che ogni funzione continua e limitata in ogni insieme chiuso e limitato,

quindi essa e di quadrato integrabile in [−π, π]; pertanto per ogni intero n

f ∈ Cn([−π, π]) ⇒ f, ..., f (n) ∈ L2(−π, π).

7Omettiamo la formula della derivata n-esima della serie Sf (x) = a02 +

∑∞k=1(ak cos kx + bk sin kx) perche

richiederebbe una distinzione dei diversi valori di n, in quanto la derivazione trasforma seni in coseni e viceversa.E invece molto agevole derivare la serie

∑|k|≥n ikcke

ikx, poiche la derivata di un esponenziale e un esponenziale:questo e uno dei vari vantaggi offerti dalla rappresentazione complessa.

8Non dimostriamo questa affermazione, che comunque non dovrebbe apparire troppo sorprendente: se f ediscontinua in un punto allora f ′ contiene una massa di Dirac in quel punto, quindi f ′ ∈ L2.

Serie di Fourier 15

Possiamo quindi concludere che la quadrato-integrabilita delle derivate e un indice di regolarita

delle funzioni. Si puo anche notare che non c’e perfetta corrispondenza tra la continuita di f e

la sommabilita di f e f ′.

(iii) Combinando le due ultime osservazioni, possiamo concludere che quanto piu f e rego-

lare, tanto piu rapidamente i coefficienti di Fourier {ak}, {bk}, {ck} si annullano per k →∞.

* Gli Spazi Ck e Hk. E noto che la derivabilita di una funzione e rappresentativa della sua

regolarita; nell’ambito della teoria classica questo conduce alla definizione degli spazi Ck delle

funzioni continue dotate di derivate continue fino all’ordine k (con k ∈ N). Analogamente nella

teoria piu moderna si definisce la classe Hk delle funzioni di quadrato integrabile dotate di

derivate (nel senso delle distribuzioni) di quadrato integrabile fino all’ordine k (in particolare

H0 = L2):

Ck(R) = {f : R→ C : f, f ′, ..., f (k) ∈ C0(R)},

Hk(R) = {f : R→ C : f, f ′, ..., f (k) ∈ L2(R)};

e per un qualsiasi intervallo [a, b]:

Ck([a, b]) = {f : [a, b]→ C : f, f ′, ..., f (k) ∈ C0([a, b])},

Hk(a, b) = {f : [a, b]→ C : f, f ′, ..., f (k) ∈ L2(a, b)}.

(Per i motivi gia visti per L2, si usa scrivere Hk(a, b) invece di Hk([a, b]).)

I Ck([a, b]) sono spazi normati dotati della norma

‖f‖Ck([a,b]) :=k∑

n=0

maxx∈[a,b]

|f (n)(x)| ∀f ∈ Ck([a, b]);

lo stesso pero non si puo dire per C0(R) (perche?).

Gli Hk(a, b) sono spazi lineari dotati del prodotto scalare

(f, f)Hk(a,b) :=k∑

n=0

∫ b

af (n)(x) f (n)(x)∗ dx ∀f, f ∈ Hk(a, b),

e quindi anche della norma

‖f‖Hk(a,b) := (f, f)1/2

Hk(a,b) =( k∑n=0

∫ b

a|f (n)(x)|2 dx

)1/2

∀f ∈ Hk(a, b).

Gli spazi classici Ck e gli spazi di Sobolev Hk. sono strumenti fondamentali dell’analisi

moderna delle serie di Fourier e di altri settori dell’analisi matematica.