Series de Fourier-Legendre

Coordenadas Esfricas(2)Franco Espejel Rodrigo AugustoMartnez Ruz PabloRodrguez Crdenas Jess GuillermoTovar Melecio Ricardo

EJEMPLO Temperaturas de estado estable en una esfera

Cmo?

Sabiendo que:

Derivando parcialmente y sustituyendo queda:

Separando se tiene:

Terminando de separar e igualando a :

Obtenemos las 2 ecuaciones:

Despus de sustituir x=cos():

Series de Fourier-LegendrePara la resolucin del ejemplo de coordenadas esfricasEcuacin de Bessel orden vEcuacin de Legendre orden n

En la ecuacin de Legendre sustituir la serie:

Quedara:

Si cada uno de los trminos lo igualamos a 0:

10Y despejando el coeficiente ms grande:

Necesitamos ms valores, entonces encontramos c4,c5,c6,c7:

Los pares estn en trminos de c0, y los impares de c1, agrupamos:

Para c: Si par, n=0,c0=1;n=2,4,6,:

Si no par, n=1,c1=1; n=3,5,7:

Ejemplo n=4, si es par, la serie termina:

Obteniendo el polinomio para n=4

Seis primeros polinomios:

Definicin de la serie de Fourier-Legendre

Ejemplo:

Forma alternativa:

Por lo tanto se concluye que

Solucin general

Solucin del ejemplo 1:

Polinomios de Legendre(0-5)

Usando la solucin general se sustituye en los valores de n el valor de subndice de la constante.

En la primera sustitucin, con n=0, se obtiene el siguiente resultado.

Se separa el 50 ya que al hacer la sumatoria de las soluciones se factorizar

Con n=1A partir de este clculo se omitir el 50 por razones previamente explicadas.

Con n=2Con n=3

Con n=4Con n=5

Sabiendo que la solucin general del problema se escribe de la siguiente manera:Sustituimos los resultados obtenidos, sin olvidar el 50 que se omiti en las operaciones.