TEORI DERET FOURIER

Pengertian fungsi periodik:

Suatu fungi f(t) dikatakan fungsi periodik dengan periode T, jika untuk setiap harga t, f (t+T) = f

(t) dimana T konstanta positif.

Contoh 1.: sin t fungsi periodic dengan periode 2π, 4π, 6π karena sin ( t + 2π ), sin ( t + 4π ),…. =

sin t. 2π disebut periode dasar.

Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks.

F(t) periodic dengan periode T, diuraikan menjadi deret fourier dalam bentuk kompleks.

F (t) = a0 + a1e

KOSOOOOONGGGGGGG!!!!! Kerja sendiri…….

Maka:

An = cos n tdt

Bn = I (an – a-n) = sin n tdt

a0 = . e0 dt = dt

F(t) = a0 + An cos n t + Bn sin n t)

Contoh:

Tentukan deret Fourier dari fungsi yang grafiknya adalah:

Jawab:

Fungsi F (t) adalah:

A jika 0 < t <

F (t) = periode = T

- A jika < t < T

An = cos n tdt

= [ cos n tdt + cos n tdt ]

= [ sin n t | + t | ]

= (0-0) - (0-0) ]

An = 0

Bn = sin n tdt

= [ sin n tdt + sin n tdt ]

= [ cos n t | + t | ]

= (-1)n – 1 ) + ( 1 – ( -1 ) n) ]

= ( 2 – 2 (-1)n ) ]

Untuk n ganjil adalah Bn = . 4] =

Untuk n genap adalah : Bn = 0

Sehingga deret fouriernya adalah:

F (t) = n sin n t = n ganjil

Dari rumus (3) :

Jika F (t) fungsi genap, maka Bn = 0 sebab F 9t) fungsi genap dan sin ( n t )fungsi ganjil,

perkalian keduamya menghasilkan fungsi ganjil.

Bn = sin n xdx

Batas integrasi diubah dari - T sampai T

Bn = sin n xdx = 0

Jika F (x) fungsi ganjil, mak An = 0, karena F(x) ganjil, cos ( n x ) adalah fungsi genap,

sehingga peralian keduanya menghasilkan ungsi ganjil, sehingga :

An = cos n xdx = 0

ganjil

ganjil

Jadi:

Jika F(x) genap :

F (x) = a0 + n cos n x

Jika F(x) ganjil:

F(x) = n sin n x ( a0 = 0 )

Deret Fourier dalam Bentuk Cosinus

F(x) dianggap bagian dari fungsi genap (dalam interval 0 sampai T)

y

-T 0 T x

a0 = dx = dx

An = cos n xdx = cos n xdx

Bn = sin n xdx = sin n xdx = 0 ( nol)

Sehingga dret fourier dalam bentuk cosines adalah:

F (x) = a0 + n cos (n x)

Deret Fourier dalam Benuk Sinusi

F(x) dalam selang 0 sampai T dianggap sebagai bagian dari fungsi ganjil.

y

-T

T x

a0 = 0 (karena F(x) ganjil, sehingga dx = 0

An = 0 karena F(x) ganjil, cos n x genap, perkalian keduanya menghasilkan fungsi ganjil).

ganjil

Bn = = sin n xdx

Sehingga deret Fourier dalam bentuk sinus adalah:

F(x) = n sin (n x)

IDENTITAS PARSEVAL

Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan F(x) dx, lalu di integrasikan dari 0 sampai T:

2dx=

Lalu kedua ruasnya dikalikan dengan :

2dx=

= 2 . +

2dx = 2 2 + 2 + 2 IDENTITAS PARSEVAL

Identitas Parseval untuk Deret Fouriier Cosinus:

2dx = 2 + 2

Identitas Parseval untuk Deret Fourier Sinus:

2dx = 2

INTEGRAL FOURIER

F(x) tidak periodic antara -∞ dan ∞, fungsi tersebut dapat dinggap periodic dengan periode ∞.

F(x) = nein

an = in dx

Dipergunakan variabel baru:

an = = in

an = = -in

F(x) = -in .e in x

= in e -in u du

Misalkan =Δs, maka:

F(x) = ein2Δs(x-u) du

Dimana n. Δs = s (interval antara 0 dan s dibagi n bagian masing-masing Δs).

Untuk T ∞, s 0, maka:

F(x) = du

Jika 2π s dimisalkan = v, maka:

F(x) = du (Integral Fourier dalam bentuk kompleks)

Dalam Bentuk Riil:

F(x) = du

= (Integral Fourier dalam bentuk riil)

Keterangan:

TRANSFORMASI FOURIER

F(x) = du

=

f(v) = disebut Transformasi Fourier dari F(x)

dan F(x) = disebut Transformasi Invers dari f(v)

Transformasi Fourier dalam bentuk riil:

ganjil

F(x) =

=

=

Transformasi Fourier dalam bentuk cosines:

Dianggap F(u) fungsi genap:

F(x) =

=

F(v) = disebut transfomasi Fourier dalam bentuk cosinus

F(x) =

Transformasi Fourier dalam bentuk sinus:

F(v) =

F(x) =

IDENTITAS PARSEVAL UNTUK INTEGRAL FOURIER

Jika f(v) dan g(v) adalah transformasi sinus Fourier dari F(x dan G(x) maka:

=

Jika f(v) dan g(v adalah transformasi cosinusFourier dari F(x) dan G(x) maka:

=

Jika F(x) = G(x) , maka:

2 dv = 2 dx

2 dv = 2 dx