DA N D Y RAMADIT YA (34996) FA N N Y A R D H Y P R ATA M A(35018) MUHAMMAD ABDULL AH (35099) AWANG FA I Z A L ( 3

5145) RIDWAN ONO (35189) A D I T YA S A P TA AHA (35217)

WICAKS NUGR

sekilas

Maclaurin (Power) Series

x2 f ( x) f (0) f ' (0) x f ' ' (0) 2! xn f ( n ) (0) n!Deret infinite (tak hing ga) menyataka n bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, buka n penaksiran lagi!

Deret TAYLOR

Taylor Series> Jadi, Deret MacL aurin mer upa kan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0;

deret Taylor

f ( x)

f ( x0 ) f )

f ( x0)( x(n)

x0 ) x )0 n

xf )

( (0 x

x0 ) 2 2!

(x 0

( x

n!

f (x ) f (x ) f (x )i 1 i i

x

f (x ) i 2!f ' ' (a)

x

2

f (x )i

n

x n! Rn

1!f ( x) f (a) f ' (a)2 n

( x a)

(

x

a)

....

f

n

(a)

(x

1!

a) 2!

n

... n!

x

xi

1

xi

Truncated Taylor Seriestid ak tak terhingga; Kita seb ut sebagai Truncated Taylor Series.f ( x) f ( x0 ) f ) f ( x0)( x(n) 2

x0 ) x0 )n n!

x f ( x0 ( )

x0 ) 2!

(x

(x 0

Truncated Taylor ep Ini sa ma deng an kons Series

polynomial

CONTOH SOALContoh soal 1 Ben tuklah Deret Taylor un tuk :

f (x) ln (x),

x0 1

Car i nilai fungsi dan tur un ann ya untuk fungsi pada x0=1

Contoh soal 1

f ( x) ln(x) 1 x 1 2 x 2 x3

f ( x0 )

ln(1) 0

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f(n)

f ( x0 )

1 1 1 1 f ( x0 ) 12 f ( x0 )1

1 2

2 13

(n 1)!( 1)n x(n) n

( x0 )

(n 1)!( 1)n

1

1 (n 1)!(n

Contoh soal 1

1)

n 1

Men ggu nak an rumu s umum =>f ( x) f ( x0 ) x f f ( x0)( x(n)

x0 ) x )n

f ( x0) x

(

x0 ) 2 2!

( 0)

( x

0

n!2

( x 1) ln(x) 0 ( x 1) 2!

2!( x 1) 3 3! ( x 1)n (n 1)!( 1) n 1 n! ( x 1)2 ( x 1)3 ln(x) ( x 1) 2 3 n n 1 (x 1) ( 1)

n

Con toh soal 2 Ca ri de ret taylor dari f(x) = 1/ x pada a=2? Apakah deret terseb ut kon verge n pada 1/x?

Contoh soal 2

Contoh soal 2

Deret Taylornya

Contoh soal 2

Deret ter sebut berupa de ret geometris: a= r=-(x-2)/2 Konvergen saat | x-2 | < 2 Jumlah = a/ (1+r)

Con toh soal 3 Ca ri de ret Taylor dar i f(x)=ex sa at x=0

Contoh soal 3

Kita tentukan rumus umum utuk : f(n) (a) Kita da patkan bahwa f(n) (x) = ex untuk => n =0,1 ,2,3 maka: f(n) (0) = e0 = 1

Contoh soal 3

Maka deret Tayl or untuk f(x) = ex untuk x=0

Con toh soal 4 Ca ri de ret Taylor dar i f(x) = sin x untuk x= 0

Contoh soal 4

Contoh soal 4

Con toh soal 5 Ca ri de ret taylor dari x=3 f(x)=x 3-10x2+6 saa t

Contoh soal 5

Contoh soal 5

Deret taylor ini akan be rak hir set elah n=3 . Hal ini akan selalu terj adi ketika kita menemukan deret taylor polin omial. Penyeles aian untuk deret taylor ini :

Con toh soal 6 Ca ri de ret taylor dari f(x)= os(x) sa at c x=0

Contoh soal 6

Contoh soal 6

Setelah itu kita masukka n yan g telah kita dapat kan ke dalam deret taylor

Contoh soal 6

Lalu kita keluarkan nilai nol dan kita urutkan kembali, dan di da pat :

Setelah renumbe ring, dapa t kita buat perumusan deret taylornya sbb :