Cromo-­‐Dinámica  Cuántica  

Mauro  Napsuciale      

Departamento de Física DCI-UG-Campus León

Contenido

1.  Introducción, simetría SU(2), hadrones y quarks.

2.  Simetría SU(3): Modelo de Quarks.

3.  Teorías de Norma: QCD.

4.  QCD perturbativa.

5.  Teorías Efectivas: QCD No-perturbativa.

100  años  de  historia…    

q q

Mesones

q q q

Bariones

RH~ 10 m -­‐15  

Materia

q=u,d,c,s,t,b

γ electromagnética

g fuertes

W+, W-, Z0 débiles

Gravitón ? gravitacionales

Interacciones

+   -­‐  

RA~ 10 m -­‐  -­‐10  

RN~ 10 m -­‐  -­‐13  

RM> 10 m      -­‐7  

Rq< 10 m -­‐18  

H  

34*$,5 . 34*(,6 . 4**,7!"#"$ !3#$,& %&## 5%)M6

,- '#((! )*E,8

%".)/"-4#12$.&3

.)F*/)F*".)F*/&"/2.&/)F*"

.&/&"

#   Par8cula   Electro-­‐magné<ca  

Fuerte   Débil   Yukawa   Gravitacional  

18   u,d,c,s,t,b   x   x   x   x   x  

6   e,µ,τ,νe,νµ,ντ   x   x   x   x  

1 γ x  

3   W+  ,W-­‐  ,Z   x   x   x  

8   g   x   x  

1   H   x   x  

Par@culas  e  interacciones  

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≈

−=

−=

,12070,73,35.1

MeVmMeVmMeVm

s

d

u

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

.174,20.4,25.1

GeVmGeVmGeVm

t

b

c

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

,77.1,65.105

,54.0

GeVmMeVm

MeVme

τ

µ

eVm ≈ν

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

=

,0,18.91,40.80

g

Z

W

mmGeVmGeVm

γ

mH =125.5GeV

Los nucleones (estables) están constituidos de tres quarks .

0.7x10^(-15) m

Los quarks tienen distintos “sabores” (u, d) y “espin” ( ½). ±

Quark d Quark u

3/1−=de 3/2=ue

protón neutrón

qp = 2/3 + 2/3 - 1/3 = 1 qn = 2/3 - 1/3 - 1/3 = 0 d u

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Caracterizacion de un sistema cuantico

Mecanica Cuantica:

Informacion contenida en el vector de estado | i 2 H.Observables representados por operadores hermıticos en H.

1 Los eigenestados de un operador hermıtico forma una base delespacio correspondiente,

2 Los subespacios correspondientes a dos eigenvalores distintosson ortogonales entre si.

H puede descomponerse en suma de subespacios ortogonalesasociados a un conjunto de observables que conmutan entre sı(C.C.O.C): {H, A,B,C...}.H se escoge en el CCOC porque nos interesa la dinamica:i@

t

| (t)i = H| (t)i.Los eigen-estados comunes {|E , a, b, c , ...i} forman una basede H.

[H,A] = [H,B] = [H,C ] = ... = 0

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Simetrıas

Las transformaciones de simetrıa (T ) dejan invariante el sistema:HT

= H

En Mecanica Cuantica (T $ UT

):| i ! | 0i = U

T

| iLas probabilidades son invariantes:

|h�0| 0i|2 = |hU�|U i|2 = |h�|U†U i|2 = |h�| i|2

Las transformaciones de simetria son implementadas poroperadores unitarios:

U†U = 1

Los operators cambian como

O0 = UOU†

Si el sistema es invariante, entonces

H 0 = UHU† = H ) [H,U] = 0

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Las simetrıas pueden ser discretas o continuas. En losubsiguiente trataremos con simetrıas continuas.Todo operador unitario puede ser escrito en su formaexponencial (Ejercicio 1)

U = e iG donde G † = G

Generadores de simetrias continuas son observables.[U,H] = 0 ) [G ,H] = 0. Los generadores de lastransformaciones de simetrıa son constantes de movimiento ycandidatos naturales a ser parte del CCOC.

Las transformaciones de simetrıa forman una estructura de Grupo

Los buenos numeros cuanticos corresponden a los eigenvalores de(algunos de) los generadores de las simetrıas del sistema. Losestados correspondientes se agrupan en subespacios minimosinvariantes ante la transformacion (representaciones irreducibles,irreps).

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Ejemplo 1: Espectro continuo: T 3

(r + a) = (r) + a ·r (r) +1

2!(a ·r)2 (r) + ...

= exp(a ·r) (r)⌘ exp(ia · P

op

) (r)

Pop

= �ir es el generador de translaciones espaciales em H!Si el sistema es invariante ante translaciones en la direccion ientonces

[P ,H] = 0 ) h (t)|Pi

| (t)i = cte

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Ejemplo 2: Espectro discreto. SU(2)R

r

0

r

d✓dr

n

dr = n ⇥ rd✓

x 0i

= xi

+ ✏ijk

nj

xk

d✓

= (�ik

+ ✏ijk

nj

d✓)xk

= (�ik

� i(J · n)ik

d✓)xk

(Ji

)jk

= �i✏ijk

[Ji

, Jj

] = i✏ijk

Jk

Mecanica Cuantica

J ⌘ Generador de rotaciones en HR(n, ✓) ! D

R

(n, ✓) = e�iJ·n✓

[J2,H] = [Ji

,H] = [J2, Ji

] = 0

J± = Jx

± iJy

[Jz

, J±] = ±Jz

, [J+

, J�] = 2Jz

Eigenestados de J2 y Jz

(Ej. 2)

J2|j ,mi = j(j + 1)|j ,miJz

|j ,mi = m|j ,miJ±|j ,mi = r±(j ,m)|j ,m ± 1ir±(j ,m) =

p(j ⌥m)(j ±m + 1)

j =n

2, m = �j ,�j + 1, .., j .

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Notese que:1 Para un j fijo el estado mas general es

| i =jX

m=�j

cjm

|j ,mi

2 Ante una rotacion

| i0 = DR

(n, ✓)| i = e�iJ·n✓(jX

m=�j

cjm

|j ,mi) =jX

m

0=�j

djm

0 |j ,m0i

3 En otras palabras

h|j 0,m0|DR

(n, ✓)|jmi ⇠ �j

0j

4

Los subespacios mınimos invariantes bajo rotaciones

(irreps) estan caracterizados por el numero cuantico j .5 Si las interacciones son invariantes ante rotaciones (V (|r |),

entonces los estados fısicos pertenecen a estas irreps.

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Representacion fundamental: j = 12

En este caso, m = 1

2

,�1

2

. Notacion: |12

, 12

i ⌘ | "i , |12

,�1

2

i ⌘ | #i.Representaciones de J

hjm0|Jz

|jmi =✓

h" |Jz

| "i h" |Jz

| #ih# |J

z

| "i h# |Jz

| #i

◆=

~2

✓1 00 �1

◆⌘ ~

2�z

,

hjm0|J+

|jmi =✓

h" |J+

| "i h" |J+

| #ih# |J

+

| "i h# |J+

| #i

◆=

~2

✓0 10 0

◆⌘ ~

2�+

,

hjm0|J�|jmi =✓

h" |J�| "i h" |J�| #ih# |J�| "i h# |J�| #i

◆=

~2

✓0 01 0

◆⌘ ~

2��.

Jx

=~2

✓0 11 0

◆⌘ ~

2�x

Jy

=~2

✓0 �ii 0

◆~2�y

En resumen,

J =~2�

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Estas matrices satisfacen

[�i

,�j

] = 2i✏ijk

�k

, {�i

,�j

} = 2�ij

.

D(

1

2

)(n, ✓) = exp(�i�

2· n✓) = cos

✓

21� i� · n sin

✓

2.

Representacion de los estados

| "i !✓

10

◆, | #i !

✓01

◆

Mas importante

J�| #i = 0, J�| "i = | #i, J+

| #i = | "i, J+

| "i = 0.

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Partıculas y simetrıas espacio-temporales.

Partıculas libres $ simetrıas del espacio-tiempo:1 Rotaciones + cambios de sistemas de referencia (boosts) :

HLG ⇠ SL2(C ) ⇠ SU(2)R

⌦ SU(2)L

.2 Translaciones espacio-temporales: T 4.3 ¿Supersimetrıa?.

Grupo de Poincare: HLG ⌦ T 4

Operadores de Casimir: P2,W 2.Numeros cuanticos asociados: :m2 y j .Estados de partıcula libre: |m, j ,�..i .

Interacciones fundamentales: Principio de norma

Calculo de probabilidades: Teorıa de campo

|m, j ,�..i = a†�(p)|0i

(x) =X

p,�

a�(p)u(p,�)e�ip·x + b†�(p)uc(p,�)e ip·x

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Simetrıas en Fısica de Partıculas: Isoespin. SU(2)I .

Las masas del proton y el neutron son casi iguales:m

p

= 938.27MeV , mn

= 939.56MeV .

Las interacciones pp, pn y nn son muy parecidas:Vpp

⇡ Vpn

⇡ Vnn

.

Heisenberg (1932): si ”apagaramos” la caraga electrica nopodrıamos distinguir entre en estado cuantico del proton y eldel nucleon.

Sistema de dos estados: igualito que el sistema de j = 1/2

|pi ⌘ |12,1

2i !

✓10

◆, |ni ⌘ |1

2,�1

2i !

✓01

◆

Diferente fısica-misma matematica: Interacciones nuclearesfuertes invariantes ante rotaciones en este espacio de isoespin.

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Simetrıa de Isoespın en el formalismo Lagrangiano

Lagrangiano para la interaccion nuclear fuerte:

L = Lp

+ Ln

+ Lint

= p(i /@ �mp

)p + n(i /@ �mn

)n + Lint

= (p, n)

✓i /@ 00 i /@

◆�✓

mp

00 m

n

◆�✓pn

◆+ L

int

= N[i /@1�M]N + Lint

Si mp

= mn

⌘ m y Lint

no distingue p de n, el Lagrangiano esinvariante ante rotaciones en el espacio de isoespın.

N ! N 0 = DI

(n, ✓)N = e�iT ·n✓N = e�i

�2

·n✓N

T es el generador de rotaciones de isoespın en H. Mismamatematica que rotaciones: J ! T , j ! I , m ! I

3

.

T 2|I , I3

i = I (I + 1)|I , I3

i, Tz

|I , I3

i = I3

|I , I3

i,

T±|I , I3i = r±(I , I3)|I , I3 ± 1i, I =n

2, I

3

= �I ,�I + 1, .., I .

Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)

Consecuencias de la simetrıa de Isoespın

1 p y n pertenecen al mutiplete de I = 1

2

. ¿Hay otrosmultipletes?

JPC = 0�+, I = 1 : ⇡±(140),⇡0(135)

JPC = 1��, I = 1 : ⇢±(775), ⇢0(775)

JPC =3

2

+�, I =

3

2: �++(1232),�±(1232),�0(1232)

......

2 Lint

debe ser invariante ante SU(2)I

. Interaccionesfuertemente restringidas. Por ejemplo:

Lint

= gN(� · ⇡)N

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Simetrıa de sabor SU(3)F : Modelo de quarks

Entre 1940-1960 : proliferacion de estados hadronicos.

Lagrangianos efectivos basados en isoespın funcionaban pero:1 Proliferacion de constantes de acoplamiento g

i

.2 Constantes de acoplamiento grandes. Expansion perturbativa

no valida.

Gell-Man (1964): Eightfold Way. Clasificacion de hadrones enmultipletes de SU(3)

F

.

Gell-Man y Zweig: Modelo de Quarks.

Las simetrıas a nivel de hadrones (interacciones nuclearesfuertes) son remanentes de simetrıas a nivel mas fundamental(quarks).

La clasificacion y estudio de las propiedades de hadronesrequiere el calculo de las irreps de SU(3). Construcciongrafica en terminos de los estados de quarks.

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Identical particles

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U  

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Generalizacion a SU(n)

Estructura muy similar:

[Gm

]ij

= �ij

mX

k=1

�ik

�m�i ,m+1

!y

hZ↵�

i

ij

=1p2�↵i��j ,

Explıcitamente

[G1

] =

0

BBB@

1 0 0 · · ·0 �1 0 · · ·0 0 0 · · ·...

......

. . .

1

CCCA[G

2

] =

0

BBB@

1 0 0 · · ·0 1 0 · · ·0 0 �2 · · ·...

......

. . .

1

CCCA

⇥Z 12

⇤=

1p2

0

BBB@

0 1 0 · · ·0 0 0 · · ·0 0 0 · · ·...

......

. . .

1

CCCA⇥Z 21

⇤=

1p2

0

BBB@

0 0 0 · · ·1 0 0 · · ·0 0 0 · · ·...

......

. . .

1

CCCAetcetera

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????????

Hasta ahora: •  Quarks no interactuantes (producto tensorial de estados) confinados.

•  ¿Interacciones entre quarks?

•  ¿Confinamiento?

Fig from A. Courtoy talk

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