Tema3 Dinmica de fluidos

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1. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0 Tema 3 Dinmica de uidos U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u1/41 2. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 PreliminaresSea F (r, t) un campo denido en el uido (T , , ui, etc). d F F d = d + F uA dA dt (t)(t) t A(t)donde A(t) es la supercie que encierra a (t) y uA la velocidad de los puntos de esa supercie.Volumen jo (V ): uA = 0.dF F dV = dVdt V V t Volumen material (V): uA = u.D F F dV =dV + F u dADt VV t A(t)U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 2/41 3. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0 Teorema del transporte de Reynolds Osborne REYNOLDS, 18421912 Aplicando el teorema de la divergencia [AM18] obtenemosD FF dV =+ (F u) dV Dt VV t o equivalentementeD F F dV =+ (F uj ) dV Dt VV t xjdonde se ha empleado el criterio de suma sobre ndices repetidos.U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u3/41 4. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 Circulacin a lo largo de un camino material DDF F dxi = dxi +F dui Dt C(t) C(t) Dt C(t) (vase J. H. Spurk, Fluid Mechanics, pgina 34). Corolario Sea F = ui y C un camino material cerrado. EntoncesDDui 1 2ui dxi = dxi +d (ui) =Dt C(t) C(t) Dt2 C(t)=0 DDuud = dDt C(t) C(t) Dt U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 4/41 5. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Flujo msico Masa entre dS1 y dS2 u dt dA cos = u dA dtMasa que atraviesa la supercie dA en la unidad de tiempo: u dA. U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 5/41 6. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 Ecuacin de continuidadV : volumen jo arbitrario d dV =dV = u dA dt VV t A [AM18] dV = u dA = (u) dVV tA V 1 D+ (u) = 0+ u=0 t DtU i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 6/41 7. C ro2 0 -0 7us 0 62 0Fuerzas de supercief : fuerza por unidad de rea.n: vector unitario normal.f (n) = f (n).Fuerza de supercie total: f (n)dA + f (ej )dAj = f (n)dA f (ej )dAjdAj = ej n dA = nj dA fi(n) dA fi(ej ) dAj = fi(n) fi(ej ) nj dAji fi(ej )U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u7/41 8. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Tensor de tensiones jinj fi(n) ji es la tensin en la direccin i sobre una supercie normal al eje Xj .U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u8/41 9. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Conservacin del momentoU i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 9/41 10. C ro2 0 -0 7us 0 62 0La fuerza neta en la direccin del eje X1 es 11 dx1 11 dx1 11 + 11 +dx2dx3 x1 2x1 2 21 dx2 21 dx2+21 + 21 +dx1dx3 x2 2x2 2 31 dx3 31 dx3j1+31 + 31 +dx1dx2 =dV x3 2x3 2 xjAplicando la segunda ley de Newton al elemento de masa dm = dV obtenemos la ecuacin de Cauchy Dui ji = gi +Dtxj Agustin Louis CAUCHY, 17891857U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u10/41 11. C ro2 0 -0 7us 0 62 0Deduccin alternativa de la ecuacin de CauchySegunda ley de NewtonD uidV = gidV +jidAjDt V VAUtilizando el teorema de Reynolds tendremosD uidV =(ui) + (uiuj ) dVDt V V t xj ui ui= + ui +(uj ) +uj dV V t t xj xj =0 Dui= dV V Dt U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u11/41 12. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Por otra parte, empleando el teorema de la divergencia [AM18] jijidAj =dVAV xj tenemos nalmenteDui ji gi dV = 0V DtxjObtenemos la ecuacin de Cauchy considerando que la relacin anterior es vlida para cualquier volumen material. Por tanto, se cumple queDu= g +DtU i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u12/41 13. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 Momento de las fuerzasD r u dV = r g dV + r f (n)dADt VV A Por el teorema de Reynolds, la componente i esD ijk xj uk dV = ijk (xj uk ) + (xj uk ul ) dVDt V V t xl El trmino entre corchetes es igual a xj xj . . . = xj(uk ) + uk +xj (uk ul ) + uk ulttxlxl=0=jl U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 13/41 14. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Derivando los productos obtenemos ukuk. . . = xj uk+(ul ) +xj + ul+uk uj . t xltxl =0 Duk =Dt Por tanto Duk ijk . . . dV =ijk xj dV + ijk uj uk dV VVDt V(uu)i =0y nalmente Dur dV = r g dV +r f (n)dAVDt V AU i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 14/41 15. C ro2 0 -0 7us 0 62 0El tensor de tensiones es simtricoLa componente i de la ecuacin del momento de la fuerza esDuk ijk xj gk dV =ijk xj lk nl dA V Dt Alk = ijk (xj lk ) dV = ijk xjdV +ijk lk jl dV = VxlV xlV Duk lk ijk xj gk dV = ijk jk dV = ijk jk = 0 , i VDtxl V =0 Como el tensor es completamente antisimtrico resulta nalmentejk = kj U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 15/41 16. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Ecuacin constitutiva de un uido newtonianoLa ecuacin constitutiva de un medio relaciona la tensin con la deforma- cin. Cuando este medio es un uido en reposo ij = P ijCuando el uido se mueve tendremos que, en general, ij = P ij + ijij = ji donde el tensor debe depender de los gradientes del ujo.Proponemos una combinacin lineal de la siguiente manera:umij = Kijmn = Kijmnemn + KijmnmnxnU i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 16/41 17. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Si el medio es istropo Kijmn = ij mn + 2imjn, que es simtrico tambin en los dos ltimos subndices. Como se cumple que111Kijmnmn = Kijmnmn + Kijnmnm = Kijmn (mn + nm) = 0222=0tendremosij = (ij mn + 2imjn) emn = emmij + 2eij = u ij + 2eijCuando se cumple la hiptesis de Stokes 3 + 2 = 0 se obtiene 2 ij = P + u ij + 2eij3que fue propuesta por Saint-Venant en 1843 y Stokes en 1845.Adhmar BARR, Conde de Saint-Venant, 17971886U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u17/41 18. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Ecuacin de NavierStokesHenri NAVIER, 17851836.George Gabriel STOKES, 18191903 Partiendo de la ecuacin de Cauchy y de la ecuacin constitutiva (supo- niendo que es constante)DuiP 1 = + gi + 2 eij u ijDt xixj 31 ui uj Recordando la denicin del tensor eij =+2 xj xiDuiP 21 = + gi + ui + ( u)Dt xi 3 xi U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u18/41 19. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0En los lquidos ordinarios las variaciones espaciales de u son muy pe- queas (estrictamente nulas si el uido es incompresible). As obtenemos la ecuacin de NavierStokes para uidos newtonianos incompresiblesu 2 + (u )u = P + g + u tCuando las fuerzas de viscosidad son despreciables obtenemos la ecuacin de Euler u + (u )u = P + g t U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u19/41 20. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 Flujo unidimensional incompresible Como u(x, y, z, t) = u(x, y, z, t) tendremos u = u y el trmino x u advectivo resulta ser (u )u = u = u( u) = 0 x Flujo de CouetteSean dos planos paralelos horizontales, uno de los cuales se mueve respecto al otro con velocidad uniforme V0. Entre ambos planos existe un uido de viscosidad no sometido a gradientes externos de presin.U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 20/41 21. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0 En estado estacionario el ujo ser unidimensional u(x, y, z) = u(x, y, z) . Si el uido es incompresible u = u(y, z). Dada la simetra de traslacin a lo largo del eje Z, la velocidad tampoco puede depender de z, por lo que u = u(y). La ecuacin de Navier-Stokes se reduce aP d2u P = 2 = gx dyyU i ri dC mp tn en es a o l e s v d u21/41 22. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0La segunda ecuacin nos dice que el gradiente de presin en la direccin vertical Y es el mismo que habra si el uido estuviera en resposo. Como no hay gradiente aplicado en la direccin X, u (y) = 0. Con u(y = 0) = 0 y u(y = a) = V0 obtenemos un perl lineal de velocidady u(y) = V0a La fuerza por unidad de rea que debemos aplicar al plano uV0 |fx| = |xy | = = ya U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 22/41 23. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Flujo de PoiseuilleJean Louis POISEUILLE, 17991869Consideremos el movimiento de un uido incompresible en estado estacio- nario en una tubera horizontal sometido a un gradiente de presin uniforme. U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 23/41 24. C ro2 0 -0 7us 0 62 0La componente z de la ecuacin de NavierStokes esP1 uz (r)0=+rzr rr El gradiente de presin a lo largo de la tubera se supone uniforme P1 P2P K=L z Como uz (r = R) = 0 y uz (r = 0) = 0 obtenemos r2 KR2uz = V01 2V0 R 4R KR4 Q= u dA = 2 uz (r)r dr =A 0 8 que es la ley de Poiseuille. U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 24/41 25. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Energa mecnica en un uidoMultiplicando la ecuacin de Cauchy por ui y sumando sobre i 1 1 ij uiui + ujuiui = uigi + ui t 2xj2 xj Multiplicando la ecuacin de continuidad por (1/2)uiui1 1uiui+ uiui (uj ) = 02t 2xj Sumando ambas ecuaciones resulta E ij1+ (uj E) = uigi + uiE uiui t xj xj 2 U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u25/41 26. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 E El trmino es la variacin local de la densidad de energa cintica ent un punto del uido. El trmino (uj E) representa el transporte de densidad de energa cin-xj tica de un punto a otro del uido, como consecuencia del transporte de masa.El trmino uigi es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por el peso por unidad de volumen. ij El trmino uies el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado xj por la fuerza neta de supercie por unidad de volumen, que se invierte en modicar E. U i ri dC mp tn e n es a o l e sv d u 26/41 27. C ro2 0 -0 7us 0 62 0La potencia neta debida a las fuerzas de supercie por unidad de volumen es uiij (uiij ) = ij + uixj xjxj Lo comprobamos integrando dicho trmino en un volumen arbitrario y em- pleando el teorema de la divergencia [AM18] u df = u dA =uiij dAj = (uiij ) dV AAA V xjui El trmino ijrepresenta la potencia de deformacin. Por tanto, la xj potencia neta debida a las fuerzas de supercie por unidad de volumen se invierte tanto en modicar la densidad de energa cintica como en deformar el uido.U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 27/41 28. C ro2 0 -0 7 us 0 62 0Para un uido newtoniano tendremos ui2 ij = ij eij = P ( u) + 2eij eij ( u)2 xj P DV3= V Dt 2 2 siendo eij eij (1/3)( u)2 = [eij (1/3) u ij ] una magnitud positiva. En consecuencia, la potencia de deformacin es la contribucin de la potencia debida a las fuerzas de presin por unidad de volumen y la disipacin debida a la viscosidad.Finalmente, el balance de energa resulta serE + (uj E) = uigi + (uiij ) + P ( u) 2 t xjxj U i ri dC mp tn en es a o l e s v d u 28/41 29. C ro2 0 -0 7us 0 62 0 Ecuacin de Bernoulli Daniel BERNOULLI, 17001782Consideremos un uido sin viscosidad, donde es vlida la ecuacin de Euleruiui1 P+ uj = (gz) t xjxi xi Podemos obtener queui 1 1 P + uj uj ++(