capitulo fluidos 12

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Cap tulo 12

Fluidos12.1. Conceptos Preliminarespasador

placaFigura 12.1

La densidad de una sustancia es la razn entre su masa y volumen: = m/V . La densidad o del agua, a 4 C, es 1.00 g/cm3 (es el valor mximo de la densidad del agua). a Los uidos se dividen en dos subclases: los l quidos y los gases. Los l quidos se caracterizan por ocupar un volumen denido independiente del volumen del recipiente que lo contiene. Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente que lo contiene. La compresibilidad del uido es otra propiedad marcadamente distinta en los l quidos y en los gases. Un l quido es bastante incompresible y en la gran mayor de las a aplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los gases. Estos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que su densidad sea constante. A pesar de que los uidos estn constituidos por molculas, en le presente cap a e tulo se tratan como un medio continuo. El uso de los aspectos macroscpicos de un uido est juso a ticado cuando el camino libre medio (es decir, la distancia media que alcanza a recorrer una molcula del uido antes de colisionar con otra) es mucho menor que las distancias e involucradas del sistema bajo consideracin. o 317

F

Un uido es una substancia incapaz de soportar fuerzas de cizalla. Es sta la propiee dad que distingue a un slido de un uido. o En la gura 12.1 se muestra una placa, la cual se intenta deslizar hacia la derecha mediante la aplicacin de una fuerza F . o Un pasador slido evita que esto ocurra. o Sin embargo, cuando el pasador es sustituido por un l quido o un gas, la placa comenzar a deslizarse (aun para fuerzas F a pequeas). El uido no es capaz de ejern cer una fuerza de cizalla para mantener el equilibrio.

F

318

Fluidos

Sea F una fuerza que acta en forma perpendicular sobre un rea A. Se dene la presin u a o P por la relacin o F P A Considere un uido en reposo (por ejemplo, un vaso de agua, una piscina o una lago). Al sumergir un objeto en el uido, ste ejercer una fuerza sobre las supercies del objeto. La e a fuerza por unidad de rea (o presin) que ejerce un uido sobre los objetos (o supercies) a o con las que est en contacto, tiene varias propiedades importantes: a a) La fuerza que un uido en reposo ejerce sobre una supercie es siempre perpendicular a ella. Esto est directamente relacionado con el hecho de que un uido es incapaz de a ejercer una fuerza de cizalla. b) Un uido, en un punto particular, ejerce la misma presin en todas las direcciones o (Principio de Pascal ). En otras palabras, la presin es una magnitud escalar. Si suo mergimos en el uido un cubo innitesimal, la fuerza sobre todas las caras del cubito ser la misma, siendo su magnitud F = P A. Aqu A es el rea de una de las caras del a a cubito y P es la presin del uido en el lugar donde se encuentra el cubo (estamos o despreciando variaciones de la presin sobre distancias del tamao del cubito). o n c) Los lugares isobricos (de igual presin) en un uido en reposo (y de densidad consa o tante) son los planos horizontales. En la gura 12.2, en los puntos A, B, C, D y E la presin es la misma. Tambin la presin es igual en los puntos F , G, H e I. La o e o presin es mayor en puntos ubicados a mayor profundidad. En el punto J la presin o o es menor que en el punto F .

aire F G B

J H E

I

A

C

D

lquido

Figura 12.2

12.2.

La presin atmosfrica P0 o e

La presin en la supercie de un uido que se encuentra en un recipiente abierto a la o atmsfera no es nula, sino igual a la presin atmosfrica. Esta ultima se debe a que estamos o o e inmersos en un uido (compresible) constituido por el aire. La atmsfera de la Tierra ejerce o una presin sobre todos los objetos con los que est en contacto, en particular sobre otros o a

12.2 La presin atmosfrica P0 o e

319

uidos. La presin atmosfrica sobre la supercie terrestre la denotaremos por P0 , y es igual o e a la presin ejercida por el peso de toda la columna de aire que est por encima. o a P0 no es despreciable o insignicante como algunas personas suelen creer. Por el contrario, la presin atmosfrica juega un papel importante en numerosos aparatos y mquinas de la o e a vida diaria. Antes de continuar digamos algo sobre las unidades de la presin: o En el sistema SI, la unidad de presin es el Pascal: 1 Pa = 1 N/m2 . A 105 Pa se le suele o llamar bar , o sea 1 bar = 105 Pa. Observe que 1 bar es aproximadamente la presin que o 2 . En efecto, ejerce una masa de 1 kg si sta est apoyada sobre un rea de 1 cm e a a 1 Kg/cm2 = 9,81 N = 0,981 105 N/m2 = 0,981 bar. 2 0,0001 m

Tambin observe que 1 kg es la masa de una columna de agua de 10 m de altura y 1 cm2 e de seccin transversal. o Otra unidad frecuentemente usada para medir la presin es la atmsfera (atm). 1 atm o o corresponde a la presin promedio que ejerce la atmsfera terrestre a nivel del mar. Expeo o rimentalmente se encuentra que sta es aproximadamente 1,013 105 N/m2 = 1.013 bar. Se e dene la atmsfera estndar por o a 1atm = 1,0135 105 N/m2 = 1,0135bar . O sea, y esto es util recordar, 1 atm es aproximadamente igual a un bar e igual a la presin o que ejerce el peso de una masa de 1 kg sobre 1 cm2 , que a su vez es igual a la presin o adicional ejercida por una columna de agua a 10 metros de altura. La palma de una mano tiene un rea de aproximadamente 100 cm2 , luego la fuerza que a ejerce la atmsfera sobre la palma extendida es aproximadamente igual a la que ejercer o a una masa de 100 kg apoyada sobre ella. La fuerza sobre la palma es balanceada por una fuerza igual y contraria aplicada sobre el dorso de la mano. Considere un tubo de 1 m de largo y seccin o transversal A, cerrado por uno de los extremos. Llenemos el tubo con mercurio y coloquemos el tubo, con el extremo abierto hacia abajo, en un recipiente con mercurio. Observaremos que el nivel de mercurio se situar a a aproximadamente 760 mm del nivel del recipiente (ver gura 12.3). El extremo superior del tubo queda al vac o. Apliquemos la segunda ley de Newton a la columna de mercurio (que sobresale de la supercie del l quido en el recipiente). Cules a son las fuerzas que actan sobre ella? u

vaco presin 0

h = 760 mm presin P0

Hg

Figura 12.3

320

Fluidos

Hay slo dos: por una parte est la presin que el uido que est en el recipiente ejerce o a o a sobre el mercurio que est en el tubo: tal fuerza es F1 = P0 A; por otra, est el peso del a z a mercurio al interior de la columna, F2 = AhHg g. Como el uido est en reposo la fuerza z a neta debe ser nula, o sea P0 A = AhHg g . La densidad del mercurio es Hg = 13,6 g/cm3 . Con esto obtenemos par P0 el valor P0 1,014 105 Pa = 1 atm .

La fuerza que eleva l mercurio al interior del tubo es la presin atmosfrica! El dispositivo o e que acabamos de describir es un barmetro de mercurio. La altura de la columna de mercurio o mide la presin atmosfrica. La presin atmosfrica promedio a nivel del mar corresponde o e o e a 760 mm de mercurio. Al repetir el mismo experimento, pero con una columna de agua, la altura ser 13.6 vea ces mayor (recuerde que la densidad del mercurio es 13.6 g/cm3 y la del agua 1 g/cm3 ). Multiplicando los 76 cm por 13.6 se obtienen 10.34 m. Este dato es muy importante, ya que interviene en varias aplicaciones tecnolgicas. Por ejemplo, al intentar elevar agua de o un pozo (cuya supercie est en contacto con el aire que nos rodea) succionando por el a extremo superior de un tubo largo, slo se tendr xito si el nivel de agua no est a ms de o ae a a 10.34 metros de profundidad (en la prctica esta altura es menor ya que el agua comienza a a hervir bastante antes de llegar a los 10.34 metros).

12.3.

Principio de Arqu medes^ z P0 A

Al sumergirnos en un uido, la presin auo menta. Evaluemos este aumento de presin o para un uido incompresible (l quido) de densidad . para ello consideremos el uido contenido en un paralelep pedo imaginario de altura h y rea A. Una de las caras de rea a a A la ubicamos de manera que coincida con la supercie del l quido mientras que la otra queda a una profundidad h (ver gura 12.4). Por lo dicho en la seccin anterior, la presin o o P = P (h) es slo una funcin de la profundio o dad h.

h

g

Figura 12.4

Es claro que las fuerzas netas horizontales ejercidas por el uido externo sobre el paralelep pedo son nulas, de lo contrario el uido del paralelep pedo acelerar lo que estar a a en contradiccin con la suposicin de que el uido se encuentra en reposo. o o Las fuerzas que actan sobre el paralelep u pedo en la direccin vertical son: i) la fuerza o que el aire ejerce sobre la cara superior, que es F1 = P0 A, ii) la fuerza que el uido z (exterior) ejerce sobre la cara inferior, que es F2 = P (h)A y iii) la fuerza debida al peso z del paralelep pedo con su uido. Esta fuerza de gravedad es F3 = (Ah)g. Como el z

12.3 Principio de Arqu medes paralelep pedo est en equilibrio, la fuerza total debe ser nula, es decir, a 0 = F1 + F2 + F3 = (P0 A + P (h)A Ahg) . z De la ecuacin anterior se deduce que o P (h) = P0 + gh ,

321

donde P0 es la presin atmosfrica que acta sobre la supercie del uido. Observe que el o e u aumento de la presin con la profundidad es igual a la presin ejercida por el peso de la o o columna del uido que se encuentra por encima. Estamos en condiciones de demostrar el Principio de Arqu medes:

Al sumergir un cuerpo parcial o totalmente en un uido aparece una fuerza llamada empuje que acta sobre el cuerpo y apunta en la direccin opuesta a u o la gravedad. La magnitud del empuje es Fe = gV , donde es la densidad del uido y V es el volumen del uido que fue desplazado por el cuerpo.

Para demostrar este principio observe primeramente que la fuerza que el l quido ejerce sobre cada parte de la supercie del cuerpo sumergido o parcialmente sumergido es independiente del material de que est hecho. a Por lo tanto, en lo que a empuje respecta, podemos reemplazar la parte sumergida del cuerpo A por un l quido igual al l quido que lo rodea (ver gura 12.5). Si es la densidad del l quido y Vs el volumen de la parte sumergida del cuerpo A, entonces el peso del cuerpo B es W = Vs g. Por supuesz to que el cuerpo B estar en equilibrio, por a consiguiente la fuerza de empuje que el l quido exterior ejerce sobre B debe exactamente contrarrestar el peso. Luego la fuerza de empuje es Fe = Vs g. z

^ z

A

B

Figura 12.5

Ms an, el cuerpo B est en equilibrio neutro (es decir, dentro del l a u a quido lo podemos trasladar a cualquier punto y orientarlo en cualquier direccin, quedando en reposo), luego o la fuerza de empuje debe estar actuando como si estuviera aplicada en el centro de gravedad de B. Esto es un dato de importancia para analizar el equilibrio de objetos otantes o sumergidos.

322 Ejemplo: Considere tres cubos del mismo tamao, adheridos tal como se muestra en la n gura 12.6. El material del cual estn hechos a los dos cubos A y B es 1 = 0,5 g/cm3 , mientras que el cubo C est hecho de un material a de densidad 2 = 2 g/cm3 . Observe que la densidad media de los tres cubos es igual a la del agua ( = 1 g/cm3 ) y, por lo tanto, al sumergirlo en agua, la fuerza de empuje exactamente cancela el peso. Cul ser la a a orientacin de equilibrio estable que el objeo to adquirir cuando est otando rodeado a a de agua?

Fluidos

B A C

Figura 12.6

Las unicas fuerzas que estn actuando sobre el objeto son el peso W y el empuje Fe . Ya a sabemos que ambas fuerzas tienen la misma magnitud y apuntan en direcciones opuestas y, por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto es nula. Pero para que se encuentre en equilibrio tambin el torque neto debe ser nulo. Esto se logra slo si ambas fuerzas son e o colineales (actan a lo largo de la misma recta). Encontremos los puntos en que actan las u u dos fuerzas. La gravedad acta en el centro de masas. El u B A centro de masas de los cubos A y B se encuentra en a y el centro de masas de C se a encuentra en b. El centro de masas del objeL 2 to completo se encontrar sobre la recta que a une a con b. Como el cubo C tiene el doble de masa de los dos cubos A + B juntos, el 1 centro de masas del objeto completo se ubicar ms cerca de b que de a. En la gura 12.7 a a C b hemos designado el centro de masas del objeto completo con el nmero 1. Se tiene que u b, 1 = a, b/3. L La fuerza de empuje, por otra parte, acta en u el centro de masas que se obtiene al sustituir Figura 12.7 los tres cubos por agua (en la gura lo hemos designado con el nmero 2). u Nuevamente el centro de masas de los cubos A+B se encuentra en a, mientras que el de C se encuentra en b. El centro de masas de los centros de masas nuevamente se encontrar sobre a la recta a, b. Pero ahora los cubos A + B pesan el doble de lo que pesa C, luego el centro de masas ahora estar ms cerca de a que de b. De hecho, el centro de masas cuando los a a tres cubos estn hechos de agua debe estar sobre el plano de simetr indicado en la gura a a con una l nea punteada. En resumen, la fuerza de gravedad acta en 1 y el empuje acta en 2. Para que no haya u u torque sobre el sistema la recta a, b debe orientarse a lo largo de la vertical. Concluimos que

12.4 La frmula baromtrica o e

323

el ngulo de la gura 12.6 debe coincidir con el de la gura 12.7. Se deduce inmediatamente a que tan = 1/2. Convnzase de que el equilibrio es estable cuando el punto 2 est sobre el e a punto 1 e inestable cuando 1 est sobre 2. a

12.4.

La frmula baromtrica o e

Considere N molculas de un gas connadas en un volumen V y a una temperatura T . Si e la ecuacin de los gases ideales es aplicable se tiene que o P V = N kB T . Aqu P es la presin del gas y kB = 1,38 1016 erg/K es la constante de Boltzmann. Sea o m la masa de cada molcula, entonces e P = N m kB T kB T = , V m m

donde es la densidad de masa del gas. De esta relacin se deduce que, mientras la temo peratura se mantenga constante, la presin de un gas es proporcional a su densidad. En o particular, si 0 y P0 son la densidad y presin de la atmsfera al nivel del mar (z = 0) y o o (z)y P (z) son las mismas magnitudes, pero a una altura z (por sobre el nivel del mar), entonces P0 0 = . P (z) (z) Por otra parte (ver gura 12.8), la presin a o una altura z es la misma que la que hay a una altura z es la misma que la que hay a una altura z + dz ms la presin ejercida por a o el peso del gas que hay entre las alturas z y z + dz, o sea, P (z) = P (z + dz) + (z)g dz . Esta ecuacin se puede reescribir de la forma o dP g0 = (z)g = P (z) . dz P0 (12.1) Figura 12.8^ z z+dz g z

Esta es la ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento de la presin atmosfrica o o e (a temperatura constante). Para resolver esta ecuacin debemos antes discutir la funcin o o exponencial . La funcin exponencial o La ecuacin diferencial del tipo o df (t) = f (t) , f(t) = dt (12.2)

324

Fluidos

donde es una constante (real o compleja), aparece frecuentemente en las ciencias naturales (y tambin en las ciencias econmicas). Es muy importante discutir y analizar sus soluciones. e o Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra una funcin y sus derivadas (primera, o o o segunda, etc.). La derivada de ms alto orden que aparece en la ecuacin dene el orden a o de la ecuacin diferencial. La ecuacin diferencial (12.2) es de primer orden. o o Nos interesa encontrar la solucin ms general de (12.2). Un resultado importante de la o a teor de ecuaciones diferencial (y que no demostraremos aqu es que la solucin general a ) o de una ecuacin diferencial de orden n tiene n constantes arbitrarias. En otras palabras, o sabremos que tenemos la solucin general de la ecuacin (12.2) si sta tiene una constante o o e que se puede elegir arbitrariamente. Una vez que se ha encontrado la solucin general, la o constante arbitraria se elige de manera que la solucin corresponda a la solucin del proo o blema planteado (o sea, cumpla con las condiciones iniciales). Ejemplo: Consideremos la ecuacin diferencial z = a0 . Esta es una ecuacin diferencial de o o segundo orden. La solucin general es z(t) = z0 + v0 t + a0 t2 /2. La solucin general tiene dos o o constantes arbitrarias z0 y v0 , las que deben elegirse de manera que la solucin corresponda o a la situacin f o sica concreta que se est considerando. a Denamos la funcin exp(t) mediante la serie o exp(t) = 1 + t t2 t3 + + + . 1! 2! 3! (12.3)

Es evidente que su derivada es igual a la funcin, es decir, o d exp(t) = exp(t) . dt Ejercicio: Demuestre que la funcin f (t) = A exp(t), donde A es una constante arbitraria, o es la solucin general de la ecuacin o o f(t) = f (t) . Como consecuencia del ejercicio anterior concluimos que la solucin general de la ecuacin o o (12.1) es g0 P (z) = A exp z , P0 donde la constante arbitraria A se determina exigiendo que la presin en z = 0 sea P0 . Esto o nos da la condicin A = P0 . De esta manera obtenemos la frmula baromtrica o o e P (z) = P0 exp g0 z P0 .

Reiteramos que este resultado, que nos da la presin baromtrica en funcin de la altura, o e o es slo aproximadamente correcto ya que, contrariamente a nuestra suposicin, la tempeo o ratura de la atmsfera normalmente disminuye a medida que uno se eleva. o

12.4 La frmula baromtrica o e

325

Ejercicio: Demuestre que la funcin f (t) = exp(1 t) exp(2 t) es una solucin de la ecuacin o o o diferencial f(t) = (1 + 2 )f (t) . Por consiguiente, f (t) = exp(1 t) exp(2 t) debe poder escribirse de la forma f (t) = A exp((1 + 2 )t). Demuestre que en ese caso A = 1, o sea exp(1 t) exp(2 t) = exp((1 + 2 )t) . Observe que esta relacin justica la introduccin de la notacin o o o exp(t) = et . La funcin et = exp(t) se llama funcin exponencial . o o Ejercicio: Evaluando la serie (12.3) para t = 1, demuestre que e = 2,718 . . . Problemas (relacionados con la funcin exponencial) o 1. Suponiendo que la atmsfera tiene una temperatura constante, determine la presin o o atmosfrica a 10 km de altura. (La densidad del aire, en la vecindad de la supercie e terrestre, a 20 C, es aproximadamente 0 = 1,29 kg/m3 .) Considere un cilindro de radio R sobre el cual se apoya una cuerda. Sea e el coeciente de roce esttico entre la cuerda y el cilindro. Suponga que en uno de los extremos a de la cuerda est colgando una masa M . Cul es la m a a nima masa que debe colgarse en el otro extremo para que la cuerda no resbale? Respuesta: m = M ee . 3. La cantidad de ncleos de un elemento radiactivo que decae en un intervalo [t, t ] u es proporcional al nmero de ncleos no deca u u dos que se ten inicialmente (en el a instante t). Demuestre que la armacin anterior implica que o N (t) = N0 et , donde N (t) es el nmero de ncleos en el instante t que no ha deca u u do, N0 la misma magnitud pero en el instante t = 0 y es una constante positiva (la as llamada constante de desintegracin). o Para el caso en que = 0,01 s1 , determine el tiempo que debe transcurrir para que decaiga la mitad de los ncleos. u 4. Suponga que cierto banco (en el pa de las maravillas) para intereses a una tasa de s 100 % anual sobre los depsitos, y ms an, los paga en forma continua, sumando los o a u intereses al capital depositado. Si una persona deposita $1000, cunto le devolver el a a banco al cabo de un ao? n Respuesta: $ 2 718.28. . . = e 1000. (12.4)

2.

326

Fluidos

12.5.

Tensin supercial o

Entre dos molculas de un uido actan fuerzas. Estas fuerzas, llamadas fuerzas de van e u der Waals o fuerzas cohesivas son de origen elctrico. Una de las caracter e sticas de estas fuerzas es que su alcance es muy pequeo (rpidamente se desvanecen cuando la distancia n a entre las molculas es dos o tres veces su tamao); otra caracter e n stica es que mientras las molculas no se traslapan, la fuerza es atractiva. e El efecto neto de las fuerzas de cohesin soo bre una molcula que est en el interior del e a l quido es nulo, pero no as para una molcula e que se encuentra en la supercie (ver gura 12.9). Para poner una molcula en la supere cie hay que realizar un trabajo. O sea, la existencia de una supercie en un uido introduce una energ potencial. Esta energ a a es proporcional a la supercie y se tiene que dW = dA .

Figura 12.9

Aqu es una constante que depende del uido y se llama tensin supercial y dA es un o elemento (innitesimal) de supercie. En realidad la tensin supercial depende de las dos o substancia que estn en contacto. La siguiente tabla da valores de la tensin supercial a o para algunos casos. Substancia Agua Agua Agua Hg Hg Alcohol met lico Glicerol C3 H8 O3 Solucin jabonosa o En contacto con aire aire aire vac o aire aire aire aire Temp. C 0 20 80 20 20 20 20 20 [N/m] 0.0756 0.07275 0.0626 0.475 0.436 0.0227 0.0634 0,025F

Para medir la tensin supercial se pueo de usar el dispositivo mostrado en la gura 12.10. Un alambre movible, inicialmente sumergido, se tira lentamente, extrayndolo del e l quido (con una pel cula del l quido adosada). Midiendo la fuerza F se puede deducir . En efecto, al mover el alambre movible a una altura h a h+dh, el trabajo que se realiza es dW = F dh.

h

L

Figura 12.10

12.5 Tensin supercial o

327

Por otra parte, la supercie de la pel cula aumenta en dA = 2L dh (el factor 2 se debe a que la pel cula tiene una supercie a cada lado). Se tiene

=

dW F dh F = = . dA 2L dh 2L

Problema: Deseamos encontrar la diferencia de presin entre el interior y exterior de una o pompa de jabn de radio R = 1 cm. o Si, soplando con una pajita, aumentamos el radio de la pompa de R a R + dR, entonces la supercie aumenta en dA = 2 (4(R + dr)2 4R2 ) = 16R dR .

El factor 2 nuevamente se debe a que hay que considerar tanto la supercie interior como exterior de la pompa. El cambio de energ debido al aumento de la supercie es por lo a tanto dW = dA = 16R dR .

Por otra parte, podemos evaluar el trabajo directamente, multiplicando el desplazamiento dR por la fuerza P 4R2 , es decir, dW = P 4R2 dR .

Igualando las dos ultimas expresiones se encuentra la diferencia de presin o 4 . R

P =

Con = 0,025 N/m y R = 0,01 m se obtiene P = 10 N/m2 . Si se deja de soplar por la pajita, la pompa se desina. Observe que la presin al interior de una pompa de jabn es mayor tanto ms pequeo o o a n es su radio. De esta observacin se deduce que al juntarse una pompa de jabn grande o o con una pequea, la pequea inar a la ms grande. De esta manera la pompa grande n n a a aumentar su tamao mientras que la pequea disminuir: en otras palabras, la ms grande a n n a a absorber a la ms pequea. a a n

328

Fluidos

12.6.

Capilaridad

Por otra parte, si la fuerza de adhesin es mucho menor que la fuerza de cohesin, entonces o o el l quido tender a concentrarse, adquiriendo una forma compacta tipo gota (ver gura a 12.11 b). Como resultado de esta competencia entre las distintas fuerzas de adhesin y cohesin, o o se forma un ngulo de contacto bien caracter a stico entre el l quido y el slido. Experio mentalmente se determina que este ngulo de contacto para las substancias aguavidrio es a aproximadamente 0 , mientras que para mercuriovidrio = 140 . Considere la l nea a lo largo de la cual conviven las tres fases. Conocemos la magnitud y la direccin de la fuerza sobre proveniente de la tensin supercial del l o o quido. Por el principio de accin y reaccin, el slido ejercer sobre el l o o o a quido una fuerza de la misma magnitud pero en direccin opuesta. Esta fuerza es la que hace subir un uido por un o capilar. Consideremos un tubo jo, de dimetro ina terior muy pequeo 2r y con un extremo inn merso verticalmente en un l quido cuya tensin supercial es . El largo de la l o nea en este caso es 2r. La fuerza que el tubo ejerce sobre el l quido a travs de la tensin e o supercial es F = (2r) cos , donde es el ngulo de contacto del l a quido con el material del tubo. Esta fuerza debe compensarse exactamente con el peso del l quido (que est por sobre el nivel exterior). a2r

La fuerza entre molculas de dos substancias e distintas se llama fuerza de adhesin. Cono sideremos una pequea cantidad de l n quido (medio #2) en contacto con una supercie slida plana(medio #3) y ambos en contacto o con un gas (medio #1) (ver gura 12.11). Sea {i,j }, con i, j = 1, 2, 3 las tensiones superciales para las distintas interfases de la gura 12.11. Si la fuerza de adhesin (entre el l o quido y el slido) es mucho mayor que la fuerza de o cohesin (entre las molculas del l o e quido), entonces el l quido tender a esparcirse sobre el a slido (ver gura 12.6a). En este caso se dice o que el l quido moja al slido. o

Figura 12.11

h

Figura 12.12

12.7 Fluidos en movimiento El peso del l quido que subi por el tubo capilar es o Fg = 0 (r2 h)g ,

329

donde 0 es la densidad del l quido. Igualando las dos fuerzas se obtiene para la altura mxima h a la que sube el l a quido la expresin o h= 2 cos . 0 gr

Ejemplo: Los xilemas que trasportan los nutrientes en una plante t picamente tienen un radio de 103 cm. Evaluemos la altura mxima a la que podrn llegar los nutrientes. Sua a pondremos que el ngulo de contacto = 0 y para la densidad y tensin supercial del a o l quido usaremos la del agua. Usando la frmula expuesta ms arriba se encuentra que h o a 1,5 m. La capilaridad es efectivamente uno de los mecanismos que las plantas usan para elevar la savia, sin embargo, no puede ser el mecanismo responsable para elevar el agua de las ra ces hasta la punta de los rboles grandes (cuya altura puede superar los 100 metros), ya que para ello los xilemas a tendr que tener un dimetro 100 veces menor. an a

12.7.

Fluidos en movimiento

Consideraciones preliminares Los uidos en movimiento se pueden clasicar con respecto a varios aspectos. Uno de ellos es la compresibilidad. La hidrodinmica se preocupa de estudiar el ujo de uidos a incompresibles, mientras que la aerodinmica analiza los ujos de uidos compresibles. a Notamos, sin embargo, que incluso los gases pueden aproximadamente como incompresibles mientras su velocidad no supere a la tercera parte de la velocidad del sonido. Otro aspecto clasicatorio se introduce respecto al roce interno. Se tiene el ujo de un uido ideal si se ignoran todos los efectos debido al roce interno (es decir, se ignora la viscosidad del uido). En caso contrario se estar considerando ujos de l a quidos y gases reales. La trayectoria de un pequeo elemento de n uido dene una l nea de corriente o l nea 2 A2 de ujo. A su vez todo un haz de l neas de 1 v2 ujo dene un tubo de ujo (ver gura 12.13) tambin podemos clasicar los uidos en moe A1 vimiento con respecto al comportamiento de v1 sus l neas de corriente. Si stas no var a e an medida que transcurre el tiempo se tiene un Figura 12.13 ujo estacionario o ujo laminar ; en caso contrario, el ujo es turbulento. En un ujo laminar, dos l neas de corriente cercanas entre s en cierto lugar, se mantendrn a cercanas en todas partes. Tambin dos l e neas de corriente del uido nunca se cruzan. Cuando el ujo es turbulento entonces elementos de uido que inicialmente estn innitea simalmente cerca pueden llegar a estar separados por distancias macroscpicas a medida o

330

Fluidos

que transcurre el tiempo. El ujo del uido en este caso es catico y se forman remolinos o errticos (llamadas tambin corrientes parsitas). a e a

Flujo laminar

Flujo turbulento

Figura 12.14 La disipacin de energ es mucho mayor cuando el ujo es turbulento que cuando es o a laminar. Ecuacin de continuidad o Consideremos un tubo de ujo como, por ejemplo, el que se muestra en la gura 12.7. Sean A1 , 1 y v1 el rea transversal del tubo, la densidad y velocidad del uido en la entrada a del tubo y A2 , 2 y v2 las mismas magnitudes pero a la salida del tubo. Para un ujo estacionario, la cantidad de uido que ingresa por el tubo durante un intervalo de tiempo dt debe coincidir con la que emerge en ese mismo intervalo por el otro extremo, luego 1 A1 v1 dt = 2 A2 v2 dt , relacin a la que se denomina ecuacin de continuidad . Cuando el ujo es incompresible, o o la densidad no cambia (o sea, 1 = 2 ), luego, para uidos incompresibles, la ecuacin de o continuidad es A1 v1 = A2 v2 . Ecuacin de Bernoulli o En lo que sigue consideraremos el ujo estacionario de un uido ideal incompresible. Sean P1 y P2 las presiones a la entrada y salida de un tubo de ujo, respectivamente. Evaluemos el trabajo neto en el punto de entrada realizado por la presin sobre el uido que est al o a interior del tubo. En un tiempo dt la seccin transversal inicial avanza una distancia v1 dt, o siendo el trabajo sobre el uido W1 = F1 v1 dt = P1 A1 v1 dt . Por otra parte, el uido que emerge del tubo realiza un trabajo igual a W2 = F2 v2 dt = P2 A2 v2 dt . La diferencia es el trabajo neto realizado sobre el uido: dW = W1 W2 = (P1 A1 v1 P2 A2 v2 ) dt .

12.8 Aplicaciones del principio de Bernoulli

331

Este trabajo neto hecho sobre el uido debe ser igual al cambio de energ (potencial y a cintica) del uido: e dW = dU + dK . Si z1 es la altura del uido a la entrada del tubo y z2 la altura a la salida, el cambio de energ potencial es a dU = (A2 v2 dt)z2 g (A1 v1 dt)z1 g . El cambio de energ cintica es a e 1 1 2 2 dK = (A2 v2 dt)v2 (A1 v1 dt)v1 . 2 2 De las ecuaciones anteriores se obtiene (P1 A1 v1 P2 A2 v2 ) dt = [(A2 v2 dt)z2 g (A1 v1 dt)z1 g] 1 1 2 2 + (A2 v2 dt)v2 (A1 v1 dt)v1 . 2 2 Usando la ecuacin de continuidad, se encuentra o 1 2 2 P1 P2 = g(z2 z1 ) v2 v1 2 o sea, para cualquier punto a lo largo de un tubo de ujo, 1 P + gz + v 2 = constante . 2 Esta ultima relacin, consecuencia directa del teorema de conservacin de la energ se o o a, conoce con el nombre de ecuacin de Bernoulli . Es importante recalcar que la ecuacin de o o Bernoulli recin deducida es slo vlida para uidos ideales, o sea aplicable slo a situaciones e o a o en las cuales la viscosidad es despreciable. ,

12.8.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

Supondremos impl citamente que en todos los casos analizados en la presente seccin que o el uido bajo consideracin es ideal y que el ujo es estacionario. En la prctica los resultao a dos obtenidos aqu sern slo una primera aproximacin al problema estudiado. Para una a o o descripcin ms precisa es necesario incluir en el formalismo los efectos introducidos por la o a viscosidad.

332 Problema 1: Un tambor de altura h y rea a A, parado y abierto por la tapa superior (es decir, en contacto con la atmsfera), se o encuentra lleno de agua. Asuma que en la parte inferior del manto se abre un tapn o de seccin transversal a. Cunto tiempo o a tardar en vaciarse el tambor? a Solucin: Apliquemos la ecuacin de Bero o noulli en los puntos 1 y 2, en la parte superior del uido en el tambor y una vez que ha emergido del tambor (gura 12.14). En ambos lugares la presin del uido es igual a la o presin atmosfrica P0 . o e

Fluidos

A 1

h

2

Figura 12.15

Elijamos el origen del eje vertical en la base del tambor. De acuerdo a la ecuacin de o Bernoulli se tiene 1 P0 + gh + 0 = P0 + 0 + v 2 , 2 donde v es la velocidad del uido a la salida del tambor. La velocidad, por lo tanto, es v= 2gh .

Esta ultima relacin se llama teorema de Torricelli . Observe que la velocidad del uido es o la misma que la que adquiere un objeto cuando cae una distancia h. Supongamos ahora que en cierto instante el uido dentro del tambor est a una altura z. a El volumen de uido que emerge en un tiempo dt es av dt, lo que hace bajar el nivel del tambor en dz = av dt/A. Tenemos que o, escribindolo de otra forma, e dz a = A z 2g dt . dz a a = v= dt A A 2gz ,

Integrando la ultima ecuacin desde que se comienza a evacuar el tambor hasta que est vac o e o, se obtiene: a dz = A z z=h 0 a 2z 1/2 = A h a 2 h= Az=0 t=T

2gt=0 T

dt

2gt0

2gT .

El tiempo que demora en evacuarse el tambor es T = 2A a h . 2g

12.8 Aplicaciones del principio de Bernoulli Problema 2: Considere un sifn consistente o de un tubo con un dimetro constante de a 10 cm, con el cual se extrae agua de una represa. Con las alturas mostradas en la gura 2.15, evale el ujo que pasa por el tubo. u Solucin: Apliquemos la ecuacin de Bero o noulli en los puntos 1 y 2. Se tiene que 1 P0 + g(h2 h1 ) + 0 = P0 + 0 + v 2 , 24 ^ z h 1= 2 m 1 3 agua 2 O h 2= 6 m

333

Figura 12.16

donde v es la velocidad del agua al interior del tubo. Como el uido es incompresible y el dimetro del tubo no cambia, la velocidad para un uido ideal al interior del tubo en todos a los lugares es la misma. Para la velocidad v se obtiene v= 2g(h2 h1 ) .

El volumen de agua que pasa por el tubo en un tiempo dt es dV = Av dt , donde A es la seccin transversal del tubo. Sustituyendo los valores del enunciado se obtiene o dV = (0,05)2 dt 2 9,81 4 m3 /s 70 litros/s .

Cul es la presin en el punto 3 (al interior del tubo, a la altura del nivel de agua del a o tranque)? Para responder esta interrogante aplicamos la ecuacin de Bernoulli en los puntos 2 y 3. o Tenemos 1 1 P0 + 0 + v 2 = P3 + g(h2 h1 ) + v 2 . 2 2 Ac P3 es la presin del agua en el punto 3. Se obtiene a o P3 = P0 g(h2 h1 ) . Una columna de agua de 10 metros corresponde a aproximadamente la presin atmosfrica o e P0 . Por lo tanto, g(h2 h1 ) = 0,4P0 . Luego P3 0,6P0 . Anlogamente, para la presin en el punto 4 se obtiene a o P4 = P0 gh2 0,4P0 .

Observe que h2 no puede sobrepasar los 10 metros, ya que de lo contrario la columna de agua se corta.

334 Otras aplicaciones i) Atomizador: Al pasar una corriente de aire por encima de un tubo abierto, se reduce la presin al interior del tubo. Si la veloo cidad del aire es v, la presin P justo o encima del tubo es 1 P = P0 v 2 . 2 La disminucin de presin provoca que o o el l quido suba por el tubo. Una vez que el l quido llega a estar en contacto con la corriente de aire, ste se atomiza. Ese te principio es usado en las botellas de perfume y en los aspersores de pintura. ii) Tubo de Venturi: Al hacer pasar un l quido por una tuber estrechada, en el lugar consa treido baja la presin. La disminucin n o o de la presin permite determinar la veo locidad del uido. Apliquemos la ecuacin de Bernoulli en o los puntos 1 y 2 (gura 12.18).

Fluidos

aire P0

v

Figura 12.17

P1

P2 2

A1

1

A2

Figura 12.18

Si la tuber es horizontal (o sea, no hay cambios en la energ potencial del uido) se tiene a a que 1 2 1 2 P1 + v1 = P2 + v2 . 2 2 Por otra parte, la ecuacin de continuidad nos da la relacin o o A1 v1 = A2 v2 . De las ecuaciones anteriores se deduce que v2 = A1 2(P1 P2 ) . A2 A2 1 2

Si el ujo es sucientemente alto, el tubo de Venturi puede usarse para bombear. Por ejemplo, los extractores de saliva usados por los dentistas se basan en este principio.

12.9 *Viscosidad iii) Efecto Magnus: Consideremos un cilindro (o una esfera) en un uido en movimiento. Si el cilindro rota en torno a un eje perpendicular a la corriente del uido, y adems hay roce viscoso ena tre le cilindro y el uido, entonces el cilindro arrastrar al uido haciendo que las velocidaa des del uido a ambos lados del cilindro no sean iguales. En el caso mostrado en la gura adjunta, la velocidad es mayor arriba que abajo.F1

335

2

Figura 12.18

De acuerdo a la ecuacin de Bernoulli, la presin en el lugar 1 sern inferior que en el lado 2 o o a (P1 < P2 ). Esta diferencia de presin genera una fuerza neta sobre el cilindro hacia arriba. o Es este efecto, llamado efecto Magnus, el responsable de los as llamados efectos que pueden observarse en numerosos juegos de pelota. Justamente para aumentar el efecto las pelotas no deben ser completamente suaves en la supercie (pelusas en la pelota de tenis). iv) Bomba de chorro (jet) de agua: Por una tobera inyectora P se hace ingresar agua a alta velocidad en una cmara. De esta a manera se genera una disminucin de la preo sin en la vecindad de P , lo que a su vez pero mite aspirar el aire de un recipiente. El l mite inferior a que puede bombear este dispositivo (usando agua y a temperatura ambiente) es de aproximadamente P 2,7 104 Pa (la 1/40 ava parte de la presin atmosfrica) o eagua

aire P

Figura 12.20

12.9.

*Viscosidad

Entre las distintas molculas de un uido actan fuerzas de adhesin. Por esta razn, cuando e u o o uyen y distintas partes del uido se mueven con velocidades relativas, aparecen fuerzas de roce interno, tambin llamada viscosidad . A pesar de que los uidos no maniestan e resistencia a fuerzas de cizalla, la viscosidad hace que s presenten cierta resistencia al deslizamiento. Otra consecuencia de la viscosidad es que la velocidad del uido que est en contacto con a una supercie (de un slido) es nula (con respecto a la supercie). o En esta seccin slo analizaremos casos en que el ujo es laminar. o o

336 Consideremos dos placas paralelas de rea A, a separadas por una distancia D y con un uido entre ellas. Una de las placas la mantenemos ja y la otra se mueve (paralelamente) con velocidad v0 (ver gura 12.21). El uido en contacto con la placa superior se mueve con velocidad v0 , mientras que el que est en a contacto con la placa inferior est en reposo. a^ z rea A v0

Fluidos

Fr

en reposo

Figura 12.21 Newton experimentalmente encontr que para muchos uidos la fuerza que se debe realizar o para mantener la placa en movimiento es Fr = A dv v0 = A , D dz

o sea, es proporcional al rea A y al gradiente (derivada) de la velocidad. La constante de a proporcionalidad es la viscosidad dinmica. Los uidos que cumplen con esta relacin se a o llaman uidos newtonianos. La siguiente tabla da la viscosidad para algunas substancias: Fluido Agua Agua Agua Alcohol et lico Glicerina Glicerina Aire Aire Aire Helio Temp. C 0 20 100 20 0 20 -31.6 20 230 20 viscosidad [Ns/m2 ] 1,79 103 1,00 103 0,28 103 1,2 103 12.11 1.49 1,54 105 1,83 105 2,64 105 1,94 105

(Otra unidad usada para medir la viscosidad es el poise [P]: 1 [P] = 10 [Ns/m2 ].) De la tabla se observa que la viscosidad es mucho mayor para los l quidos que para los gases. Tambin se e observa una fuerte dependencia de la temperatura. Para los l quidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, mientras que para los gases aumenta. Flujo laminar en tubos El efecto de la viscosidad en el ujo de uidos por tubos de seccin redonda es de gran o importancia en muchas aplicaciones. Consideremos aqu un caso: el ujo estacionario de un l quido newtoniano por un tubo horizontal de largo L y radio R. Sean P1 y P2 las presiones del l quido en los dos extremos del tubo y determinemos el perl de velocidad v(r) del uido al interior del tubo y el ujo por unidad de tiempo.

12.9 *Viscosidad

337

Sea v(r) la velocidad del uido al interior del tubo. Sabemos que v(R) = 0, o sea, el uido en contacto con el tubo est en reposo. Consideremos ahora el uido encerrado al interior a de un cilindro de radio r (ver gura 12.22). Llamemos A al uido interior y B al uido que est ubicado a distancia mayores que r. El rea de contacto del uido A con B es 2rL. a aFluido A Fluido B

P 1

r

R L

P 2

Figura 12.22

La fuerza que B ejerce sobre A es, por lo tanto, Fr = (2rL) dv(r) x. dr

Observe que dv/dr es negativo y, por lo tanto, la fuerza que el uido exterior ejerce sobre A es contraria a la direccin del uido. Como el ujo es estacionario, la fuerza total sobre o el uido A debe ser nula, o sea, la fuerza ejercida por las presiones P1 y P2 sobre el cilindro interno debe cancelar exactamente a la fuerza Fr debida a la viscosidad: P1 r2 x P2 r2 x + Fr = 0 . De esta manera se deduce que dv P1 P2 = r. dr 2L Integrando sobre r y jando la constante de integracin de manera que v(R) = 0 se eno cuentra el perl de velocidades al interior del tubo (ecuacin de Poiseuille): o v(r) = P1 P2 2 (R r2 ) . 4L

Este perl es de forma parablica. o Conocido el perl de velocidades podemos evaluar el ujo dV /dt (la cantidad de uido que atraviesa la seccin transversal del tubo por unidad de tiempo). La cantidad de uido que o pasa entre dos cilindros concntricos de radios r y r + dr en un tiempo dt es (2r dr)v(r) dt. e Sumando sobre todos los cilindros (integrando sobre r) se obtiene la cantidad de uido dV que pasa por el tubo en un tiempo dt:R

dV =0

(2r dr)v(r) dt .R

Se obtiene dV P1 P2 = 2 dt 4L0

r(R2 r2 ) dr =

P1 P2 R4 . 8L

338

Fluidos

Observe que la cantidad de agua que se puede hacer pasar por un tubo aumenta dramtia camente cuando se aumenta su dimetro. Aumentar la diferencia de presin en un factor 2 a o aumenta el ujo en ese mismo factor; aumentar el dimetro en un factor 2 (sin aumentar a la diferencia de presin) aumenta el ujo en un factor 16. o Tambin podemos escribir la ultima ecuacin como sigue: e o P = P1 P2 = 8L dV , R4 dt

o sea, la prdida de presin al pasar un ujo dV /dt por un tubo es proporcional a su largo e o L y a la viscosidad e inversamente proporcional a la cuarta potencia de R. Flujo laminar alrededor de una esfera Usando matemticas ms avanzadas se puede evaluar la fuerza de roce Fr debido a la a a viscosidad que acta sobre una esfera de radio R cuando sta se mueve respecto a un uido u e con velocidad v0 . Si el ujo es laminar la fuerza es (ley de Stokes) Fr = 6rv0 . Esta ecuacin, midiendo la velocidad terminal de esferas cayendo en el uido, permite o determinar su coeciente de viscosidad.

12.10.1.

Problemas

El rey Hiern de Siracusa pidi a Arqu o o medes que examinara una corona maciza que hab ordenado hacer de oro puro. La corona pesaba 10 kg en el aire y 9.375 kg a sumergida en agua. Arqu medes concluy que la corona no era de puro oro. Asumiendo o que en su interior conten plata, cunto oro ten la corona de Hiern? La densidad a a a o 3 ; la de la plata, 10.5 g/cm3 . del oro es 19.3 g/cm Considere un vaso de agua lleno hasta el borde, con un trozo de hielo otando en l. Por supuesto que el hielo, al otar, sobrepasar por encima del borde del vaso. A e a medida que el hielo se derrite. Se derramar el vaso? a Suponga ahora que en el mismo vaso ota un pequeo barco de juguete hecho de n latn. Suponga adems que el barquito tiene un pequeo oricio por el cual penetra o a n agua, haciendo que el barquito lentamente se llene de agua. Durante este proceso, o sea mientras el barco se llena de agua pero an no se hunde, el nivel del agua del vaso u baja, queda a igual altura o sube? Cuando nalmente el barquito se hunde, que pasa con el nivel del agua?

2.

3.

Considere un cilindro de masa M , rea A y altura h, que ota parado en un l a quido de densidad 0 .

12.10 Problemas

339

b) Si el recipiente que contiene le l quido es muy grande (por ejemplo, un lago), qu trabajo debe realizarse e para sacar el cilindro del l quido? c) Var la respuesta si el recipiente a que contiene el l quido es un tambor cil ndrico de rea A0 ? a

0

Figura 12.23

4.

Considere una varilla de madera muy liviana, de largo L, seccin transversal A y o densidad , que se hace otar en el agua (designe la densidad del agua por 0 ). a) Convnzase de que no es posible que e la varilla ote parada. b) Para lograr que la varilla ote parada, agregumosle una masa puntual e m en el extremo inferior. Cul es la a m nima masa m que debe agregarse para lograr el objetivo?

L

0

m

Figura 12.24

5.

Figura 12.25

d

Considere un vaso comunicante de 2 cm2 de seccin transversal que contiene mercuo rio ( = 13,6 g/cm3 ). A un lado se echan 360 gramos de glicerina ( = 1,2 g/cm3 ) y en el otro 1/4 de litro de alcohol ( = 0,8 g/cm3 ). Encuentre el desnivel d que glicerina existe entre los niveles superiores de la glicerina y el alcohol. Haga un grco cuaa litativo de la presin hidrosttica en o a funcin de la profundidad para cada uno o de los dos brazos del vaso comunicante (graque las dos curvas en el mismo gra co).

a) Hasta qu alguna estar sumergido e a el cilindro en el l quido?

A

h

alcohol

mercurio

340 6. Considere un cilindro de seccin A y altuo ra h que se encuentra otando en la interfase de dos uidos de densidades 1 y 2 , respectivamente (1 > 2 ). Encuentre la densidad del cilindro si ste se encuentra e sumergido en el uido 1 en una magnitud d.

Fluidos

2

d

h 1

Figura 12.26 7. Qu volumen de helio se requiere si debe elevarse un globo con una carga de 800 kg e (incluido el peso del globo vac o)? Las densidades del aire y del helio, a la presin de o una atmsfera, son aire = 1,29 kg/m3 y He = 0,18 kg/m3 , respectivamente. o Una varilla de largo L y densidad 1 ota en un l quido de densidad 0 (0 > 1 ). Un extremo de la varilla se amarra a un hilo a una profundidad h (ver gura adjunta). a) Encuentre el ngulo . a b) Cul es el m a nimo valor de h para el cual la varilla se mantiene en posicin vertical? o c) Si A es la seccin transversal de la o varilla, encuentre la tensin del hilo. o 9.

8.

1

aire L h

0

fluido

hilo

Considere las tres mediciones mostradas en la gura adjunta:

P1

P2

Figura 12.28

P1 es el peso de un recipiente con agua con un objeto sumergido en l. e P2 es el peso cuando el objeto est sumergido en el agua, pero colgado de una a cuerda sin que toque el fondo del recipiente. P3 es el peso del recipiente con agua. Encuentre la densidad promedio del objeto.

Figura 12.27

P3

12.10 Problemas 10.

341

En un canal horizontal, de ancho b, uye agua con velocidad v, siendo el nivel de agua h. Asuma que en cierto lugar el canal se ensancha en una pequea cantidad db. n Demuestre que el nivel del agua cambiar en a dh = hv 2 db . b(gh v 2 )S1 h m1 L

Note que si v 2 < gh el nivel del agua sube. 11. Un corcho cil ndrico de masa m1 y seccin o transversal S1 ota en un l quido de densidad . El corcho est conectado por medio a de una cuerda sin masa, de largo L, a un cilindro de aluminio de masa m2 y seccin transversal S2 . El cilindro de alumio nio puede deslizarse sin roce por un oricio hermtico en el fondo del tiesto. Calcular e la profundidad h a la que debe hallarse la base del corcho para que el sistema de los dos cilindros est en equilibrio. La presin e o atmosfrica, juega algn rol? e u Un prado es regado con un regador hechizo que consiste en una botella plstia ca, con numerosos agujeros de 1 mm de dimetro, acostada sobre el prado y coa nectada aun a manguera. Asuma que una bomba de agua se encarga de generar un ujo de agua constante de 0.2 litros por segundo. Cuntos agujeros debe tener la a botella para que el agua llegue a mojar el prado a 8 metros de distancia de la botella? Cul es la presin al interior de la a o manguera si sta tiene una seccin transe o versal de 4 cm2 ? Un tubo de largo L, lleno de agua, gira en el plano horizontal en torno a un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. En el extremo junto al eje, el tubo est abiera to, coincidiendo por lo tanto la presin del o uido con la presin atmosfrica. El tubo o e gira con velocidad angular constante . Si en el otro extremo, en cierto instante, se abre un pequeo oricio, con qu velocin e dad emerger el agua del tubo? (Especia que la rapidez y direccin de la velocio dad.)

m2

S2

Figura 12.29Vista lateral

12.

Vista frontal

Figura 12.30

13.

LFigura 12.31

342 14. Para abastecer de agua a una casa de dos pisos se recurre a un hidropack. Este sistema consiste en una depsito subterrneo, o a 5m una bomba y un cilindro con agua y aire. La bomba inyecta agua a presin al cilindro, que en o su parte superior queda con ai1m re comprimido. Un medidor de depsito presin detiene la bomba cuano do la presi n del cilindro alcanza o el valor deseado (el mismo medibomba dor vuelve a encender la bomba cuando la presin baja de cierto o Figura 12.32 nivel).

Fluidos

llave

aire comprimido

Si el nivel del agua en el cilindro se sita 1 metro por debajo del suelo, calcule la u presin necesaria en el aire comprimido para que una llave de 1 cm2 de seccin, a una o o altura de 5 metros sobre el suelo, entregue un caudal de 12 litros por minuto. (La seccin transversal del cilindro es grande respecto a la de la llave.) Tambin encuentre o e la presin del aire al interior del cilindro. o

15.

La fuerza de sustentacin de un avin moo o por metro derno es del orden de 1000N cuadrado de ala. Suponiendo que el aire es un uido ideal y que la velocidad del aire por debajo del ala es de 100 m/s, cul a debe ser la velocidad requerida por sobre el ala para tener la sustentacin deseada? o (La densidad del aire es 1.3 kg/m3 .)

Figura 12.33

16.

Un bombero lanza agua con su manguera hacia un incendio formando un ngulo de a 45 con la horizontal. El agua que emerge del pistn penetra horizontalmente por una o ventana del tercer piso que se encuentra a una altura h = 10 metros. La manguera que transporta el agua desde el carro bomba tiene un dimetro D de 6 cm y concluye a en un pistn cuya abertura tiene un dimetro d de 1.5 cm. o a

a) Cuntos litros de agua emergen del pistn por minuto? a o b) Cul es la presin P que debe soportar la manguera (en atmsferas)? a o o

12.10 Problemas 17. Considere la tuber que lleva el agua a de una represa hacia una turbina. Suponga que la bocatoma se encuentra a 10 metros bajo el nivel de las aguas y que la turbina se encuentra 80 metros por debajo de ese nivel. Al inicio, es decir a la salida de la represa, la tuber a tiene un dimetro de 40 cm. Suponga a que el uido se comporta como un uido ideal. a) Cul es el dimetro mximo que a a a puede tener la tuber en su exa tremo inferior para que no se produzcan cortes de la columna de agua al interior de la tuber a?

343

10 m

80 m

Figura 12.34

b) Cul ser la cantidad de agua que pasar en ese caso por la tuber y cul la a a a a a velocidad del agua emergente? c) Si el proceso de generacin de energ elctrica usando la presente turbina fuese o a e 100 % eciente, cul ser la potencia de esta central? Esto corresponde al a a consumo promedio de cuntas casas? a d) Haga un grco cualitativo de la presin al interior de la tuber en funcin de a o a o la altura. Cmo cambia esta presin si la seccin de la tuber en el punto o o o a, emergente, se disminuye a la mitad? A la centsima parte? e 18. Considere una tuber de una calefaccin. En el stano su dimetro es de 4.0 cm y en a o o a el segundo piso, 5 metros ms arriba, la tuber tiene un dimetro de slo 2.6 cm. Si a a a o en el stano una bomba se encarga de bombear el agua con una velocidad de 0.5 m/s o bajo una presin de 3.0 atmsferas, cul ser la rapidez de ujo y la presin en el o o a a o segundo piso? Suponga que el nivel de un l quido (agua) en un tambor tiene una altura h. A una altura b se hace una pequea n perforacin lateral que permite que o el agua emerja horizontalmente. A qu altura debe hacerse la perforacin e o para que el alcance d del agua se mximo? a Respuesta: b = h/2. 20.

19.

h

b

d

Figura 12.35

En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, tal como se muestra en la gura adjunta. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v = 2,5 m/s. La parte superior del tubo se encuentra a h0 = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeo agujero. n

344 A qu altura h subir el chorro de agua que sale por el agujero? e a

Fluidos

h h0 v

Figura 12.36

21.

Considere una masa esfrica homognea en equilibrio hidrosttico. Sea RT el radio y e e a 0 la densidad de masa. a) Muestre que la presin a una distancia r del centro viene dada por o p= 2 2 G R2 r 2 3 0 .

b) Evale la presin al centro de la Tierra. RT = 6,3 108 cm y densidad uniforme u o promedio 0 = 5,5 g/cm3 . 22. En un baln el gas en su interior se encuentra a una presin P . Demuestre que la o o velocidad con que escapa el gas, al abrir la vlvula, es a 2(P P0 ) ,

v=

donde es la densidad del gas y P0 la presin atmosfrica. (Esta ecuacin se conoce o e o por ley de Bunsen.) 23. Considere una prensa hidrulica (ver gura 12.37). Sean R1 = 25 cm y R2 = 150 cm a los radios de los mbolos de bombeo y de presin, respectivamente. e o Si de la palanca que acta sobre el mbolo de bombeo se tira con una fuerza F1 = u e 100 [N] (ver gura), qu fuerza ejercer el mbolo de presin sobre el objeto S? e a e o 24. Se quiere confeccionar aluminio poroso (algo as como queso suizo) que se mantenga en suspensin en agua. Determine la razn entre el volumen de los poros y el volumen o o del aluminio poroso. (La densidad del aluminio slido es = 2700 kg/m3 .) o

12.10 ProblemasF2 L mbolo de presin S mbolo de bombeo L F1 estanque de reserva

345

vlvula de retorno

vlvula

vlvula

Figura 12.37

25.

Considere un cuerpo l quido de densidad uniforme 0 , que se mantiene unido debido a la gravedad y que gira con una velocidad angular 0 . Si bien el cuerpo es esfrico si e 0 = 0, cuando 0 = 0 (pero no demasiado grande), el cuerpo adquiere la forma de un esferoide oblato. Demuestre que si la desviacin de la esfericidad es pequea, o n entonces2 R1 R2 3 0 = , R 8 0 G

0

R1

O R2

donde R R1 R2 . Evale (R1 R2 )/R u para la Tierra y comprelo con el valor a experimental, que es 1/298,4.

Figura 12.38

26.

Considere la situacin mostrada en la o gura 12.39. Un cilindro de radio R y largo L evita que el agua de cierto recipiente se rebase. El cilindro se puede mover libremente. La densidad del cilindro es tal que, cuando el agua llega a la parte superior del cilindro, la posicin del cilindro o es la mostrada en la gura. Encuentre la fuerza que ejerce el agua sobre el cilindro. Encuentre la densidad del material del que est hecho el cilindro. a

^ z ^ x

cilindro

R agua 0

Figura 12.39

346 27.

Fluidos Considere una caja de dimensiones a, b y h, llena de agua. Todos los lados de la caja estn rmemente unidos entre s exa , cepto uno de los lados laterales (de dimensin b h). Evale la magnitud de la fuerza o u exterior m nima con que debe presionarse ese lado contra el resto de la caja para que el agua no escurra. Si la fuerza se aplica en un solo lugar, encuentre la posicin en o la que debe aplicarla.

agua F h b a

Figura 12.40

28.

Un mol de aire en condiciones normales (a nivel del mar y a 20 C de temperatura) ocupa un volumen de 22.4 litros. Estime la densidad del aire si gran parte de l e est constituido por nitrgeno. (Resp.: 1,28 kg/m3 .) a o Cul es el m a nimo volumen que debe tener un globo de helio ( = 0,18 kg/m3 ) para levantar un veh culo de 1200 kg?

29.

Dos globos esfricos inados con aire, ame bos de radio R, se unen mediante una cuerda de longitud L. Los dos globos se mantienen bajo el agua con el punto medio de la cuerda jo al fondo. Calcular la fuerza de contacto entre los globos.

R

L /2

L /2

Figura 12.41

30.

Figura 12.42

Una varilla yace en el fondo de un recipiente con agua formando un ngulo de a con la vertical. La varilla es de seccin 60 o uniforme y est formada por dos pedazos a iguales en longitud pero de distinta densidad. La densidad de una de las porciones de la varilla es la mitad de la del agua. Determine la densidad de la otra porcin. o

30 o

12.10 Problemasa

347

31.

Considere un bloque de hielo ( = 920 kg/m3 ) en forma de L, formado de tres cubos de 25 cm por lado. Mediante un peso se desea sumergir el hielo en agua como se indica en la gura. Determine la masa del peso y la ubicacin en el hielo o donde deber adherirse de modo que el a hielo se mantenga justo sumergido lo ms a estable posible. Considere un sistema de vasos comunicantes formado por dos tubos de seccin o transversal de 50 cm2 que estn unidos por a un tubito corto de seccin transversal muy o pequea (o sea, para efectos de este pron blema podemos despreciar la cantidad de uido que se encontrar en el tubito). Inia cialmente en este sistema de vasos comunicantes se encuentran dos litros de agua.

hielo

P

Figura 12.43

32.

Figura 12.44 a) Encuentre la altura en que se encontrarn las interfases entre los l a quidos y el aire en cada uno de los tubos si en uno de los tubos se le agregan 2 litros de un l quido cuya densidad es = 0,8 g/cm3 . b) Para la situacin descrita en la parte a), encuentre la presin en el fondo de los o o vasos comunicantes. c) Encuentre la altura en que se encontrarn las interfases entre los l a quidos y el aire en cada uno de los tubos si en uno de los tubos, en lugar de 2, se le agregan 3 litros de un l quido cuya densidad es = 0,8 g/cm3 . 33. Un tubo horizontal por el que uye l quido de densidad 0 a razn de Q m3 /s, se o bifurca en dos ramas en el plano vertical, una superior y otra inferior, de secciones transversales a1 = a2 = a, abiertas a la atmsfera (ver gura 12.45). Si la distancia o entre las ramas es h, determinar: a) Las cantidades q1 y q2 de l quido (en m3 /s) que uyen por ambas ramas. b) La condicin que debe cumplir Q para que haya ujo en la rama superior. o

34.

Una gotita de agua de 1 mm de radio se pulveriza en gotitas de 104 mm de radio. En qu factor aumenta la energ supercial (debido a la tensin supercial)? e a o

348q1 Q h g

Fluidos

q2

Figura 12.45

35.

La gura 12.46 muestra un tubo de Pitot, instrumento que se usa para medir la velocidad del aire. Si el l quido que indica el nivel es agua y h = 12 cm, encuentre la velocidad del aire. La densidad del aire es aire = 1,25 kg/m3 . Respuesta: v0 = 43,4 m/s = 156 km/h.

aire agua

h

Figura 12.46

36.

Considere dos placas planas de vidrio, separadas por una distancia de 0,1 mm, con un extremo sumergidas en agua en forma vertical. Qu distancia se elevar el agua e a entre las placas debido a la capilaridad?

37.

Encuentre la velocidad terminal que adquiere una esfera de cobre de 0,5 cm de dimetro, cuando cae en agua (Cu = 8,92 g/cm3 ). En qu factor disminuye la a e velocidad terminal si el dimetro se achica en un factor 10? a

38.

Considere un oleoducto de 5 km y 50 cm de dimetro por el cual se desea bombear a 1 m3 por segundo. Si uno de los extremos est abierto a la presin atmosfrica, a o e qu presin P1 debe existir en el otro extremo? Suponga que la densidad del petrleo e o o es = 950 kg/m3 y el coeciente de viscosidad es aproximadamente = 0,2 Pa s. Cul es la potencia dW/dt (energ por unidad de tiempo) disipada por la friccin a a o interna originada por la viscosidad? Respuesta: P1 7,5 atm; dW/dt 650 kW.

12.11 Solucin a algunos de los problemas o

349

12.11.

Solucin a algunos de los problemas o rea A a h 0 fluido

Solucin al problema 8 o El largo a de la parte de la varilla sumergida es a = h/ sen . La fuerza de empuje se aplica en el lugar a/2 y la fuerza de gravedad en el lugar L/2 (medidos desde O). Sea A la seccin transversal de la varilla. o Entonces la fuerza de empuje viene dada por Fe = 0 Aag = 0 A z h g . z sen 1

Fe aire

Fg O T

hilo

Figura 12.47 La fuerza de gravedad es Fg = 1 LAg . z El torque ejercido por ambas fuerzas respecto a O debe ser nulo, o sea, a L Fe cos = Fg cos . 2 2 Simplicando se obtiene Fe a = Fg L . Sustituyendo las expresiones par Fe y Fg se deduce que 0 Aa2 g = 1 AL2 g , h2 = 1 L2 . sen2 Despejando se encuentra nalmente que 0 sen = 0 h . 1 L o sea

Si el lado derecho de la ultima ecuacin es mayor o igual a uno, la varilla se mantendr en o a posicin vertical. El m o nimo valor de h para que la varilla est en posicin vertical es e o hmin = L 1 . 0

La tensin del hilo se obtiene exigiendo que la fuerza total sea nula. De esta manera se o obtiene que T = Fe Fg = 0 A = ALg1 donde M es la masa de la varilla. h g 1 LAg sen 0 0 1 = Mg 1 1 1

,

350 Solucin al problema 16 o

Fluidos

a) Si v es velocidad con que emerge el agua del pistn, la velocidad hacia arriba la o ser v/ 2. El agua alcanza a subir una altura h, luego su velocidad es a v = 2 gh = 20 m/s . La cantidad de agua V que emerge del pistn en t = 60 segundos es o V = vt d 22

1 = 20 60 3,14 (0,015)2 m3 = 212 litros . 4

b) Usemos el teorema de Bernoulli para comparar el ujo del agua justo a la salida del pistn con el ujo en la manguera justo detrs del pistn. No hay cambio en la o a o energ potencial. Como la seccin transversal de la manguera es 16 veces mayor que a o la abertura del pistn, la velocidad del agua en la manguera ser 16 veces menor que o a la velocidad emergente v. A la salida del pistn la presin es la presin atmosfrica, o o o e que ignoraremos en el presente clculo, ya que slo estamos interesados en la presin a o o adicional p que debe soportar la manguera debido al agua que uye en su interior. Se tiene 1 v 2 1 p + 0 = 0 v 2 . 2 16 2 Ignorando la energ cintica del agua al interior de la manguera (convnzase de que a e e modica el resultado nal en menos de un 0.5 %), se obtiene 1 1 kg m2 kg p = 0 v 2 = 1000 3 400 2 = 2 105 , 2 2 m s m s2 lo que corresponde a aproximadamente 2 atmsferas. o Solucin al problema 27 o Elijamos el eje z a lo largo de la vertical, con el origen al fondo de la caja sobre la tapa mvil. o La presin a una altura z es P (z) = 0 g(h z). Dividamos la tapa en franjas horizontales o de largo b y ancho (altura) dz. La fuerza que ejerce el uido sobre la franja que est a la a altura z es dF = P (z)b dz . Sumando (integrando) la fuerza que el l quido ejerce sobre cada una de las franjas se obtiene la fuerza total h h 1 F = P (z)b dz = 0 gb (h z) dz = 0 bgh2 . 2 0 0 Para encontrar a qu altura h0 debemos aplicar esta fuerza sobre la tapa, evaluemos el e torque que ejerce el uido sobre la tapa respecto al origen. El torque que el uido ejerce sobre la franja que est a la altura z es a d = zP (z)b dz .

12.11 Solucin a algunos de los problemas o

351

Sumando (integrando) el torque que el l quido ejerce sobre cada una de las franjas se obtiene el torque totalh h

=0

zP (z)b dz = 0 gb0

1 z(h z) dz = 0 bgh3 . 6

Para que la tapa est en equilibrio el torque que ejerce la fuerza total externa F debe e coincidir en magnitud con , es decir, F h0 = , o sea 1 1 0 bgh2 h0 = 0 bgh3 . 2 6 De esta ecuacin se deduce nalmente que h0 = h/3. o Solucin al problema 33 o La relacin de Bernoulli se puede aplicar entre los puntos A y B1 y tambin entre A y B2 . o e Por transitividad, la relacin de Bernoulli tambin es vlida entre los puntos B1 y B2 . Se o e a tiene 1 2 1 2 P1 + gh1 + v1 = P2 + gh2 + v2 . 2 2 Pero P1 = P2 = P0 (la presin atmosfrica), h1 = 0 y h2 = h, luego o e 1 2 1 2 v1 = gh + v2 . 2 2

q1 B1 Q A h B2 q2Figura 12.48

^ z g

O

Los ujos que circulan por la rama superior e inferior vienen dados por q1 = av1 y q2 = av2 , respectivamente. Tambin se tiene que Q = q1 + q2 . De las relaciones anteriores se deduce e que Q2 2a2 gh q1 = 2Q y Q2 + 2a2 gh q2 = . 2Q

352 Para que circule l quido por la rama superior se debe tener que Q > a 2gh .

Fluidos