Fluidos no newtonianos

Desde el punto de vista de la reología, los fluidos más sencillos son los newtonianos, llamados así porque su comportamiento sigue la ley de Newton: “El esfuerzo de corte es proporcional al gradiente de velocidad o velocidad de corte”

γμ=∂∂

μ−=τr

v zrz (1)

La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad y se mide en Pa.s (en SI), en la práctica se utiliza comúnmente el centipoise (cp).

Por definición, todos aquellos fluidos que no siguen la ec. (1) son “no newtonianos”.

Una primera clasificación de los fluidos no newtonianos los divide en tres categorías:

1.- Comportamiento independiente del tiempo.

2.- Comportamiento dependiente del tiempo.

3.- Viscoelásticos.

1.- Comportamiento independiente del tiempo: el esfuerzo de corte sólo depende de la velocidad de corte γ .

0

50

100

150

200

250

300

0 40 80

Velocidad de corte (γ)

Esfu

erzo

de

cort

e ( τ

)

120

Newtoniano

Plástico de BinghamHerschel-Bulkley

Pseudoplástico

Dilatante

Figura 1. Representación de esfuerzo de corte vs. velocidad de corte para distintos fluidos

Se conocen varios modelos reológicos para representar estos fluidos, entre ellos:

Modelos de Ostwald de Waele o Ley de la Potencia:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−μ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=γ=τ−

drdv

drdv

drdvK

drdvKK z

apz

1nz

nzn

rz (2)

donde K y n son parámetros empíricos, K es el índice de consistencia y n es el índice de comportamiento de flujo. El término entre corchetes se denomina “viscosidad aparente” y es evidente que no es constante, dependiendo directamente de la velocidad de corte

. γ

Debido a que n determina precisamente el modo en que se desarrolla el flujo, si n<1 el fluido se denomina pseudoplástico (shear-thinning), estos fluidos fluyen más fácilmente aumentando la velocidad de deformación.

Por el contrario, cuando n>1 la resistencia a fluir aumenta con un aumento de la velocidad de corte, y el fluido se denomina dilatante (shear-thickenning)

La mayoría de los fluidos no newtonianos son pseudoplásticos: alimentos (jugos y puré de frutas, salsas), polímeros fundidos (poliestireno, acrilonitrilo, polipropileno, etc.), cosméticos, latex, tinta de imprenta.

En Steffe (1996) encontrarán una amplia base de datos reológicos de distintas sustancias.

Los fluidos dilatantes son más raros, entre otros el cemento y las suspensiones concentradas (ej: almidón de maíz) siguen este comportamiento. A bajas velocidades, el líquido presente llena los espacios libres, a medida que la velocidad de corte aumenta, el material se expande o dilata y comienzan a aparecer esfuerzos de interacción sólido-sólido que se traducen en un aumento de la viscosidad aparente.

Una limitación importante de la ley de la potencia es que es aplicable a un rango limitado de velocidades de corte. Además el valor de K depende del valor numérico de n, con lo cual valores de K de distintos fluidos no son comparables.

Generalmente, los fluidos pseudoplásticos se comportan como newtonianos, a bajas y altos valores de , en la figura 2 se puede observar que los valores de viscosidad aparente tienden a dos valores límites, μ

γ0 y μ∞.

En la misma figura se observan los rangos típicos de velocidades de corte que pueden medirse en los distintos equipos usados para el estudio de la reología.

Otros fluidos pueden mostrar comportamiento pseudoplástico en un rango de , y comportamiento dilatante en otros rangos de , como es el caso de las soluciones de PVC que se muestran en la figura 4.

γγ

Figura 2. Solución de un polímero pseudoplástico: viscosidades aparentes límites

Figura 3. Solución de un polímero pseudoplástico: esfuerzo de corte y viscosidades aparentes en función de la velocidad de corte

Figura 4: Comportamiento de dispersiones de PVC en dioctilftalato (DOP)

Desviaciones de la ley de la potencia:

Modelo de Carreau: Toma en cuenta los valores extremos de viscosidad aparente, mediante cuatro parámetros empíricos: n, μ0, μ∞ y λ. Predice comportamiento newtoniano con n=1 y/o λ=0.

2/)1n(2

z

0 drdu1

−

∞

∞

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−λ+=

μ−μμ−μ

(3)

Modelo de Ellis: Se aplica cuando las desviaciones de la ley de la potencia son significativas a bajos valores de . γ

12/1

0

)/(1 −+= αττ

μμ

rz

(4)

En este modelo, μ0 es la viscosidad extrapolada a bajos valores de velocidad de corte, y los dos parámetros restantes, α y τ1/2 son empíricos. α mide el grado de comportamiento pseudoplástico (en sentido contrario a n) y τ1/2 representa el valor de esfuerzo de corte en el que la viscosidad aparente vale la mitad del valor μ0. Predice comportamiento newtoniano cuando τ1/2 tiende a infinito.

Fluidos viscoplásticos: estas sustancias presentan un comportamiento sólido mientras el esfuerzo de corte no supere un valor de fluencia τ0, una vez superado este valor

pueden adoptar un comportamiento newtoniando (Plástico de Bingham) o que sigue la ley de la potencia (Herschel- Bulkley).

Estas características pueden ser deseables en ciertos fluidos, un caso típico es la pasta dental que se pretende que permanezca en reposo cuando está aplicada sobre el cepillo pero que fluya con el cepillado, otro ejemplo son las cremas que fluyen de los pomos a partir de un cierto esfuerzo aplicado.

Plástico de Bingham (pasta dental, puré de tomate, extracto de carne)

00

00

=⇒<

+=⇒≥

rzrz

rzrzrz

γττ

γμττττ (5)

Herschel- Bulkley (dulce de leche, chocolate fundido, solución de carbopol)

00

00

=⇒<

+=⇒≥

rzrz

nrzrzrz

γττ

γμττττ (6)

Casson: Aplicable a materiales biológicos (sangre)

( ) ( ) ( )0

)(

0

2/12/1

02/1

0

=⇒<

+=⇒≥

rzrz

rzcrzrz

γττ

γμττττ (7)

2.- Comportamiento dependiente del tiempo. En algunas situaciones prácticas, la viscosidad aparente depende también del tiempo durante el cual el fluido es sometido a esfuerzo, dicha respuesta se divide en:

Tixotropía: la viscosidad aparente disminuye con el tiempo, como se observa en el ejemplo de la figura 5, que corresponde a una suspensión de arcillas. Algunas otras sustancias que exhiben este comportamiento son las suspensiones concentradas, las soluciones de proteínas y ciertos alimentos.

Esta dependencia de la viscosidad con el tiempo se suma a las otras características del material, que bien puede ser viscoplástico presentando un valor de fluencia.

Figura 5: Tixotropía de suspensiones de arcilla.

Reopexia es el fenómeno inverso a la tixotropía, que se manifiesta en un aumento de la viscosidad aparente con el aumento de la velocidad de corte. Ejemplos: poliéster.

Ambos tipos de comportamientos presentan el fenómeno de histéresis cuando se realiza la curva τ vs. γ

No es sencillo expresar la dependencia con el tiempo en expresiones sencillas, muchas veces es necesario realizar medidas en el rango de trabajo específico del material.

Figura 6: Histéresis característica.

3.- Viscoelásticos. Estas sustancias fluyen cuando se aplica en ellas un esfuerzo de corte, pero tienen la particularidad de recuperar parcialmente su estado inicial, presentando entonces

características de los cuerpos elásticos. Un ejemplo típico es la agitación de un líquido en una taza con una cuchara, si el fluido es viscoso, cuando se retira la cuchara cesa el movimiento. Si el material es viscoelástico, al sacar la cuchara se puede observar que el movimiento se hace más lento e incluso puede llegar a cambiar levemente el sentido de giro antes de detenerse por completo. En esta categoría podemos mencionar a polímeros fundidos, soluciones de polímeros.

El comportamiento reológico de los materiales viscoelásticos durante la relajación (ensayos a deformación constante) puede modelarse mediante analogías mecánicas compuestas de resortes y amortiguadores. El resorte es considerado un elemento elástico ideal, obedece la ley de Hooke, y el amortiguador es representado por un sistema cilindro-pistón en el cual se manifiesta la parte viscosa, considerando un líquido ideal, de comportamiento newtoniano.

Tiempo

Tens

ión

Sólido Líquido ideal Sólido ideal

Figura 7. Representación de la evolución de la tensión en función del tiempo, a deformación constante.

En la figura 7 se observa que en un líquido ideal, la tensión necesaria para mantener una deformación es instantánea, es decir la tensión provoca la deformación y aunque caiga a cero la deformación permanece. En un sólido ideal para mantener una deformación, se debe mantener aplicada una cierta tensión, si se quita la tensión el material recupera la forma inicial debido a su elasticidad.

En un sólido viscoelástico, debido a las características viscosas la tensión va disminuyendo, hacia un valor asintótico. El líquido viscoelástico se comporta de modo similar, salvo que la tensión tiende a cero con un tiempo suficiente.

Si σ es la tensión a un elemento elástico y u es la deformación (adimensional, m/m):

Eu=σ (8)

donde E es la constante elástica del resorte.

dtd

Edtdu σ1

= (9)

Para el elemento viscoso:

dtduησ = (10)

donde σ es análogo a τ y η es análogo a μ, la viscosidad del fluido, que refleja la fricción interna.

Modelo de Maxwell: Mecánicamente, este modelo se compone de un resorte y un pistón dispuestos en serie, el cual se representa en forma esquemática en la figura 1.8.

Figura 8. Esquema del modelo mecánico básico de Maxwell.

Los dos elementos están sufriendo el mismo esfuerzo, la deformación total es igual a la suma de la deformación de ambos elementos.

ση

σ 11+=

dtd

Edtdu

(11)

Si el ensayo se realiza a deformación constante será dtdu

= 0 e integrando la ecuación

anterior con σ =σ0 para t = 0 resulta una ecuación exponencial de la forma:

( )τσσ /exp0 t−= (12)

donde τ es denominado tiempo de relajación y representa la rapidez con que el cuerpo se relaja. Si se dividen los dos miembros de la ecuación anterior por el área de compresión a resulta:

( )τ−σ=σ /texp0 (13)

donde σ es la tensión aplicada. Dado que σ = E u, donde u representa la deformación relativa, resulta:

( )τ/exp0 tEE −= (14)

donde E es el módulo de elasticidad.

Modelo de Maxwell Generalizado: generalmente los materiales viscoelásticos, y en particular los materiales biológicos, no se relajan siguiendo una velocidad uniforme sino que lo hacen en distintas etapas con tiempos de relajación diferentes, comportamiento que puede ser analizado usando el modelo de Maxwell generalizado: un número infinito de elementos de Maxwell colocados en paralelo, a veces con un elemento elástico puro en paralelo a los otros elementos (en líquidos viscoelásticos no aparece este elemento elástico).

Entonces se puede expresar el decaimiento de la tensión como:

(15) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

∞∞ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=−+=

n

n

n

niiii τtEEετtσσtσ

1 1

/exp/exp

donde E∞ es el módulo de elasticidad de equilibrio y corresponde en este modelo al elemento elástico puro.

Expresado en función de la fuerza, recordando que F = σ a (donde a es el área de la muestra):

(16) ( ) ( ) ( )in

1ni0

* /texpAAF/tFtF τ−+== ∑=

∞

donde F(t) es la fuerza instantánea a lo largo del ensayo de relajación. F0 es el valor inicial (antes del decaimiento de la tensión), Ai son coeficientes que dependen de las propiedades viscoelásticas del material y τi los tiempos de relajación. A partir de los coeficientes (Ai) podemos calcular los módulos elásticos (Ei).

auFAE 0i

i = y (17) iii E τ=η

La interpretación del sentido físico de varios módulos de elasticidad y otros tantos tiempos de relajación no es fácil ni directa. Además, las constantes de dicho modelo teórico son dependientes del tiempo del ensayo, por lo que sus resultados sólo tienen valor comparativo en ensayos que se hayan realizado en idénticas condiciones experimentales.

Flujo en cañerías de fluidos no newtonianos

El análisis en esta sección se restringirá a los fluidos independientes del tiempo y al flujo en conductos de sección circular. Como ya se ha visto en fluidos newtonianos, el objetivo primordial es contar con expresiones que vinculen la pérdida de carga con el caudal circulante.

En general, dado los altos valores de viscosidad aparente de estos fluidos, circulan en régimen laminar. No obstante veremos las expresiones aplicables tanto a laminar como turbulento.

Para el desarrollo de las expresiones a utilizar en régimen laminar, plantearemos el caudal en función de los esfuerzos de corte en la pared (ec. de Rabinowitsch-Mooney):

En general

∫ π=⇒π=R

0zz rdrv2Qv.rdr2dQ (18)

Integrando por partes resulta:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=π= ∫∫

R

0

z2R

0z

2R

0z dr

rv

2rv

2r2rdrv2Q (19)

El primer término de esta ecuación es nulo, tanto en r=0 como en r=R donde se cumple la condición de velocidad nula, independientemente del fluido que circule.

El gradiente de velocidad se puede escribir en función de la velocidad de corte γ .

Recordemos además que en un conducto de sección circular la distribución de esfuerzos de corte será lineal, y el esfuerzo de corte en la pared está vinculado a la pérdida de carga (-ΔP)

L2R)P(

Rr

w

w

rz

Δ−=τ

=ττ

(20)

La ec. (20) vale tanto para flujo laminar como turbulento, ya que se obtiene de un balance de fuerzas en el fluido, independiente del régimen de circulación.

Entonces, el caudal puede expresarse en general como:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τγ−τ

τπ

= ∫τ

d)(RQw

0

23w

3

(21)

Una magnitud derivada de esta es la característica del flujo, definida como 8V/D:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τγ−τ

τ= ∫

τ

d)(4DV8 w

0

23w

(22)

Fluidos que siguen la ley de la potencia: Integrando el balance microscópico en un conducto de sección circular, llegamos a la distribución de velocidades vz en régimen laminar:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

=

++

n1n

n1nn/1

z Rr1

n1nR

KL2Pv (23)

En la figura 9 se han representado perfiles de fluidos pseudoplásticos y dilatantes.

Figura 9 Perfiles de velocidad para fluidos que siguen la ley de la potencia

Luego, integrando esta expresión o usando la forma de la ec. (22), recordando la ec. constitutiva de estos fluidos, llegamos a una expresión para la velocidad media V :

( )

n1n3n/1

n

n

1n

n

n1nn/1

RKL2

P1n3

nVRQ

n1n3

RKLV2P

1n3nR

KL2PV

+

+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

+π=π=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=Δ−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

=

(24)

De la ec. (24) se observa que la pérdida de carga depende del caudal Q a la potencia n, para un fluido pseudoplástico (-ΔP) es menos sensible a cambios de caudal que para un newtoniano. Por otro lado también se debe analizar la dependencia del caudal con el tamaño del conducto, para un newtoniano Q es proporcional a R4, en cambio para un pseudoplástico con n=0.5 es proporcional a R5.

Nótese que el enfoque de la ec. (22) permite calcular la velocidad media o el caudal, pero no predice el perfil de velocidad. Si sólo se quiere estimar la velocidad media, la ec. (22) es más sencilla de resolver.

Número de Reynolds generalizado Como se mencionó, el objetivo es encontrar expresiones para el cálculo de la pérdida de carga (-ΔP), similares a las utilizadas con fluidos newtonianos, en función del factor de fricción:

DLVf2)P(

DLV21f

4D)P(

2

22

ρ=Δ−

πρ=πΔ−

(25)

Un enfoque general, aplicable a distintos fluidos no newtonianos, parte de suponer que la relación entre el esfuerzo de corte y la característica de flujo puede escribirse como:

'n

w DV8'm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=τ (26)

Por otro lado, partiendo de la ec. (21) y aplicando la regla de Leibnitz de derivada de un producto, se llega a una solución que es función únicamente del esfuerzo de corte en la pared, τw.

'n41'n3

DV8

logd)D/V8log(d

41

43

DV8

drdv

wR

zw

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=τ

γ (27)

El exponente n’ es la pendiente de la gráfica (log τw) vs. log (8V/D), y no es necesariamente constante con el esfuerzo de corte.

En un fluido newtoniano, n’ es igual a 1, y en consecuencia:

'n41'n3

drdv

New,wR

zw

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= γγ (28)

Recordando la definición de factor de fricción, y obligando a que al igual que en fluidos newtonianos este valga 16/Re surge el número de Reynolds modificado (también llamado de Metzner-Reed)

'm8DVRe

Re16

DV8

V'm2

V21f

1'n

'n'n2

m

m

'n

22

w

−

−ρ=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ρ=

ρ

τ=

(29)

Para un fluido que sigue la ley de la potencia, n’ = n y m’ = K ((3n+1)/4n)n

Factores de fricción en régimen laminar, para el flujo laminar de polímeros y otras sustancias viscoelásticas.

La transición de laminar a turbulento en pseudoplásticos se produce a valores de Re entre 2100 y 3500 que dependen del índice de comportamiento de flujo n:

( )( )( )2critical,PL 1n33

3n52n42100Re+

++= (30)

En régimen turbulento, para el cálculo del factor de fricción en tubos lisos se propone la siguiente ec. (Dodge-Metzner), que cuando n=1 se transforma en la ec. de Nikuradse:

( ) 2.12/)n2(

m75.0 n4.0fRelog

n4

f1

−= − (31)

Irvine (1988) propone otra ecuación, del estilo de la de Blasius, válida para 2000< Rem < 50000 y 0.35<n<0.89:

( )2n3

n7

4n

)1n3/(1m

1n3n4

72)n(D

Re/)n(Df

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

=+

+

(32)

Fluidos viscoplásticos: Partiendo del balance microscópico podemos conocer el perfil de velocidades en un plástico de Bingham, en un conducto circular y en régimen laminar:

τμ μ

μ

⎡ ⎤⎛ ⎞Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − >⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

220

z 0

220

z 0

Rp R r rv 1 1L 4 R R

Rp Rv 1 r RL 4 R

r R

(33)

Partiendo del enfoque propuesto en la ec. (22), y recordando que en estos fluidos cuando el esfuerzo de corte es menor al valor de fluencia, la velocidad de corte es nula se puede calcular el caudal en régimen laminar.

( )

τ τ

τ

ττ

τ τ

⎡ ⎤π= τ −γ τ + τ −γ τ = τ⎢ ⎥

τ ⎢ ⎥⎣ ⎦τ − τ

−γ = τ > τμ

⎡ ⎤⎡ ⎤τ − τ τ τ τ τ τ ττπ π τ π= τ τ = − = − − +⎢ ⎥⎢ ⎥τ μ μτ μτ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−Δτφ = = τ =

τ

π −Δ ⎛ ⎞= − φ + φ⎜ ⎟μ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫

0 w

0

ww

0 0

32 2

3w 0

00

3 4 443 3 4 32 0 0 0 ww

3 3 3w w w

0 0w

w w

4

RQ ( )d ( )d

R R RQ d4 3 4 3 4 3

pR RR L 2

( p) 4 1Q 18 L 3 3

0 0 (34)

Es importante notar que la relación entre caudal y (-ΔP) es directa si se conoce la pérdida de carga, en cambio el cálculo de (-ΔP) necesario para que circule determinado caudal resulta iterativo.

Introduciendo los números adimensionales de Reynolds y Hëdstrom se obtiene la siguiente expresión para el factor de fricción en régimen laminar:

4

3 7

20

2 2

16 He 1 Hef 1Re 6Re 3 f Re

D( p)D VDf Re He2 V L

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ρ τ−Δ ρ

= = =ρ μ μ

)

(35)

En régimen completamente turbulento:

( −

−

−

=

= − +5

a 0.193BP

2.9 10 He

f 10 Re

a 1.47 1 0.146e (36)

En regímenes de transición se propone calcular un factor de transición promediando los dos anteriores de acuerdo a la siguiente ecuación empírica, donde fL es el factor de fricción calculado por la ec. (35) y fT es calculado mediante la ec. (36):

= +

= +

b b 1/ bL Tf (f f )

40000b 1.7Re

(37)

Análogamente a las soluciones presentadas para plásticos de Bingham, se llega al perfil de velocidad y caudal para fluidos que siguen el modelo de Herschel Bulkley en régimen laminar:

( )

1/( 1) / ( 1) /

0 0

1/ 2 23 ( 1) /

(1 )( 1)

2

(1 ) 2 (1 )(1 )3 1 2 1 1

nn n n nw

z

ww w

nn nw

nR rvn K R

pR RR L

Q nRK n n

τ φ φ

τφ ττ

τ φ φ φ φπ φ

+ +

+

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎝ ⎠−Δ

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟n+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠

(38)

Cálculo del factor de correción α

De manera análoga al planteo con fluidos newtonianos, al calcular el término de energía cinética en el balance macroscópico de energía mecánica, se introduce un factor de correción α, que expresa la relación entre la media de la velocidad al cuadrado y la velocidad media al cuadrado.

Las siguientes expresiones dan cuenta de esa relación, para fluidos que siguen la ley de la potencia y plásticos de Bingham respectivamente:

2

(2 1)(5 3)3(3 1)

12

n nn

α

αφ

+ +=

+

=−

(39)

En fluidos que siguen la ley de la potencia, cuando n 0, α tiende a la unidad, en el otro extremo a valores muy altos de n, α tiende al valor 0.37.

Bibliografía: R.P. Chhabra & J.F. Richardson (1999) Non-Newtonian Flow in the Process Industries -

Fundamentals and Engineering Applications. Ed. Butterworth-Heinemann J.F. Steffe (1992) Rheological methods in food process engineering. Ed. Freeman

Press.