La funzione di ambiguità

Maria S. Greco

Corso di Fondamenti di Radar

Ing. delle Telecomunicazioni

Dicembre 2014

Definizione e principali proprietà

( ) ( ) ( )*, ( ) exp 2u uA x t x t j t dtτ ν τ πν+∞

−∞= −∫

( )( )u

x

x tx t

E=Normalizziamo l’inviluppo del segnale complesso in

modo che la sua energia sia unitaria:

Risulta evidente dalla definizione che la funzione di ambiguità rappresenta il

modulo dell’uscita del filtro adattato quando l’ingresso è una versione shiftata in

frequenza del segnale trasmesso, cioè

La funzione di ambiguità è funzione di 2 variabili: il ritardo relativo τ e lo shift

frequenziale ν.

( )( )exp 2ux t j tπν

( ) ( ), 0,0 1A A Eτ ν ≤ = =1) Valor massimo:

2) Volume costante: ( )2 2, 1V A d d Eτ ν τ ν+∞ +∞

−∞ −∞= = =∫ ∫

( ) ( ), ,A Aτ ν τ ν− − =3) Simmetria rispetto all’origine:

( )( ) ,u t A τ ν⇔4) Effetto dell’FM lineare: ( ) ( )2( )exp ,u t j kt A kπ τ ν τ⇔ −

Definizione e principali proprietà

La funzione di ambiguità gode di queste proprietà:

Dimostriamo la prima proprietà. Scriviamo

( ) ( ) ( )2

2 *, ( ) exp 2u uA x t x t j t dtτ ν τ πν+∞

−∞= −∫

Per la disuguaglianza di Schwartz si ha

( ) ( ) ( )

( )

22 2 *

22 *

, ( ) exp 2

( )

u u

u u

A x t dt x t j t dt

x t dt x t dt

τ ν τ πν

τ

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

≤ −

= −

∫ ∫

∫ ∫

Ciascun integrale è proprio uguale all’energia del segnale (unitaria per la

normalizzazione) quindi

L’uguaglianza si ha quando i due segnali nei due integrali sono uguali, cioè per τ=0e ν=0.

( ), 1A Eτ ν ≤ =

La seconda proprietà è la più lunga da dimostrare (v. Richards, p. 172) ma è

fondamentale. Questo principio di «conservazione dell’energia» stabilisce che non

è possibile rimuovere energia da una specifica zona tempo-frequenza senza

aggiungerla da qualche altra parte.

Dimostriamo la terza proprietà.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

*

*

, ( ) exp 2

exp 2 ( ) exp 2

exp 2 ,

,

u u

u u

A x t x t j t dt

j x s x s j s ds

j A

A

τ ν τ πν

πντ τ πν

πντ τ ν

τ ν

+∞

−∞

+∞

−∞

∗

− − = + −

= − −

=

=

∫

∫

Funzione di ambiguità di un impulso rettangolare

1( )u

pp

tx t rect

TT

=

( ) ( ) ( )

( )( )( )

*

2

2

, ( ) exp 2

sin1exp 2

p

p

u u

T p

Tp p

A x t x t j t dt

Tj t dt

T Tτ

τ ν τ πν

πν τπν

πν

+∞

−∞

+

− +

= −

−= =

∫

∫

Applichiamo la definizione di

funzione di ambiguità per τ>0

Per τ>0 si ottiene la stessa espressione, ma funzione di . Quindi, in

conclusione, per un impulso rettangolare la funzione di ambiguità è data da

( )pT τ+

( )( )( )sin

,p

p

TA

T

πν ττ ν

πν−

= pTτ ≤

Absolute value of the CAF, 3D-graph.

Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.

Absolute value of the CAF, contour-plot.

Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.

AF of a Rectangular Pulse

=0.1spT

( ) ( )sin0,

p

p

TA

T

πνν

πν=

( ),0 p

p

TA

T

ττ

−=

( )21( ) exp , where

p pp

t Bx t j kt rect k

T TTπ

= ⋅ =

( )( )( )

( )( )sin 1

, 1 ,1

p p

pp p p

T k TA T

T T k T

π ν τ τττ ν τ

π ν τ τ

− − = − < − −

AF di un chirp

LFM pulse (chirp):

La frequenza istantanea è data da f(t)=kt, quindi –B/2<f(t)<B/2

Absolute value of the CAF, 3D-graph.

Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.

Absolute value of the CAF, contour-plot.

=0.1s,

5

50Hz

p

p

T

B T=

=

AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal

Absolute value of the CAF, 3D-graph.

Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.

Absolute value of the CAF, contour-plot.

Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.

AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal

=0.1s,

10

100Hz

p

p

T

B T=

=

Funzione di ambiguità di un treno di impulsi

Indichiamo con x(t) il treno di impulsi

Ricaviamone la funzione di ambiguità.

( )1

0

( )M

p rm

x t x t mT−

=

= −∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

0 0

1 1

0 0

, exp 2

exp 2

M M

p r p rm m

M M

p r p rm n

A x t mT x t nT j t dt

x t mT x t nT j t dt

τ ν τ πν

τ πν

− −+∞ ∗

−∞= =

− − +∞ ∗

−∞= =

= − − −

= − − −

∑ ∑∫

∑∑∫

Facciamo la sostituzione rs t mT= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

, exp 2 exp 2M M

r p p r rm n

A j mT x s x s nT mT j s dsτ ν πν τ πν− − +∞ ∗

−∞= =

= − − +∑ ∑∫

Chiamiamo ora con la funzione di ambiguità complessa del singolo

impulso (cioè senza valore assoluto) e otteniamo

( )ˆ ,pA τ ν

( ) ( ) ( )( )1 1

0 0

ˆ, exp 2 ,M M

r p rm n

A j mT A m n Tτ ν πν τ ν− −

= =

= − −∑ ∑

Lavorare con la doppia sommatoria non è per niente facile. E’ possibile però

dimostrare (Richards, p. 184) che vale la relazione

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

1

1

sinˆ, , exp 2 1

sin

Mr

p r rm M r

M m TA A mT j M m T

T

πντ ν τ ν πν

πν

−

=− −

−= − − +∑

( )ˆ ,pA τ ν

Osservando che la durata della funzione di ambiguità del singolo impulso è

, se, come succede sempre, Tr>2Tp, allora le varie repliche della

non si sovrappongono e

( ) ( ) ( )( )( )( )

1

1

sin, ,

sin

Mr

p rm M r

M m TA A mT

T

πντ ν τ ν

πν

−

=− −

−= −∑

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)

1

0

1( ) ,

Mr

pm pp

t mTx t rect T pulse duration

TMT

−

=

−= =

∑

N.Levanon, E. Mozeson, Radar Signals, J. Wiley&Sons, 2004

( ) ( )( )

( )[ ]

1

1

sin1, , ,

sin

Mr

S r rm M r

M m TA A mT MT

M T

πντ ν τ ν τ

πν

−

=− −

− = − <∑

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)

La risoluzione in distanza è controllata dalla durata dell’impulso T, la risoluzione in frequenza dal tempo di integrazione MTr

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)

AF di un Chirp e risoluzione in range

( ) ( )2( )exp ,u t j kt A kπ τ ν τ⇔ −

Improved delay/range resolution by linear_FM shearing