Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S....
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La funzione di ambiguità
Maria S. Greco
Corso di Fondamenti di Radar
Ing. delle Telecomunicazioni
Dicembre 2014
Definizione e principali proprietà
( ) ( ) ( )*, ( ) exp 2u uA x t x t j t dtτ ν τ πν+∞
−∞= −∫
( )( )u
x
x tx t
E=Normalizziamo l’inviluppo del segnale complesso in
modo che la sua energia sia unitaria:
Risulta evidente dalla definizione che la funzione di ambiguità rappresenta il
modulo dell’uscita del filtro adattato quando l’ingresso è una versione shiftata in
frequenza del segnale trasmesso, cioè
La funzione di ambiguità è funzione di 2 variabili: il ritardo relativo τ e lo shift
frequenziale ν.
( )( )exp 2ux t j tπν
( ) ( ), 0,0 1A A Eτ ν ≤ = =1) Valor massimo:
2) Volume costante: ( )2 2, 1V A d d Eτ ν τ ν+∞ +∞
−∞ −∞= = =∫ ∫
( ) ( ), ,A Aτ ν τ ν− − =3) Simmetria rispetto all’origine:
( )( ) ,u t A τ ν⇔4) Effetto dell’FM lineare: ( ) ( )2( )exp ,u t j kt A kπ τ ν τ⇔ −
Definizione e principali proprietà
La funzione di ambiguità gode di queste proprietà:
Dimostriamo la prima proprietà. Scriviamo
( ) ( ) ( )2
2 *, ( ) exp 2u uA x t x t j t dtτ ν τ πν+∞
−∞= −∫
Per la disuguaglianza di Schwartz si ha
( ) ( ) ( )
( )
22 2 *
22 *
, ( ) exp 2
( )
u u
u u
A x t dt x t j t dt
x t dt x t dt
τ ν τ πν
τ
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
−∞ −∞
≤ −
= −
∫ ∫
∫ ∫
Ciascun integrale è proprio uguale all’energia del segnale (unitaria per la
normalizzazione) quindi
L’uguaglianza si ha quando i due segnali nei due integrali sono uguali, cioè per τ=0e ν=0.
( ), 1A Eτ ν ≤ =
La seconda proprietà è la più lunga da dimostrare (v. Richards, p. 172) ma è
fondamentale. Questo principio di «conservazione dell’energia» stabilisce che non
è possibile rimuovere energia da una specifica zona tempo-frequenza senza
aggiungerla da qualche altra parte.
Dimostriamo la terza proprietà.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
*
*
, ( ) exp 2
exp 2 ( ) exp 2
exp 2 ,
,
u u
u u
A x t x t j t dt
j x s x s j s ds
j A
A
τ ν τ πν
πντ τ πν
πντ τ ν
τ ν
+∞
−∞
+∞
−∞
∗
− − = + −
= − −
=
=
∫
∫
Funzione di ambiguità di un impulso rettangolare
1( )u
pp
tx t rect
TT
=
( ) ( ) ( )
( )( )( )
*
2
2
, ( ) exp 2
sin1exp 2
p
p
u u
T p
Tp p
A x t x t j t dt
Tj t dt
T Tτ
τ ν τ πν
πν τπν
πν
+∞
−∞
+
− +
= −
−= =
∫
∫
Applichiamo la definizione di
funzione di ambiguità per τ>0
Per τ>0 si ottiene la stessa espressione, ma funzione di . Quindi, in
conclusione, per un impulso rettangolare la funzione di ambiguità è data da
( )pT τ+
( )( )( )sin
,p
p
TA
T
πν ττ ν
πν−
= pTτ ≤
Absolute value of the CAF, 3D-graph.
Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.
Absolute value of the CAF, contour-plot.
Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.
AF of a Rectangular Pulse
=0.1spT
( ) ( )sin0,
p
p
TA
T
πνν
πν=
( ),0 p
p
TA
T
ττ
−=
( )21( ) exp , where
p pp
t Bx t j kt rect k
T TTπ
= ⋅ =
( )( )( )
( )( )sin 1
, 1 ,1
p p
pp p p
T k TA T
T T k T
π ν τ τττ ν τ
π ν τ τ
− − = − < − −
AF di un chirp
LFM pulse (chirp):
La frequenza istantanea è data da f(t)=kt, quindi –B/2<f(t)<B/2
Absolute value of the CAF, 3D-graph.
Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.
Absolute value of the CAF, contour-plot.
=0.1s,
5
50Hz
p
p
T
B T=
=
AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal
Absolute value of the CAF, 3D-graph.
Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.
Absolute value of the CAF, contour-plot.
Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.
AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal
=0.1s,
10
100Hz
p
p
T
B T=
=
Funzione di ambiguità di un treno di impulsi
Indichiamo con x(t) il treno di impulsi
Ricaviamone la funzione di ambiguità.
( )1
0
( )M
p rm
x t x t mT−
=
= −∑
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1
0 0
, exp 2
exp 2
M M
p r p rm m
M M
p r p rm n
A x t mT x t nT j t dt
x t mT x t nT j t dt
τ ν τ πν
τ πν
− −+∞ ∗
−∞= =
− − +∞ ∗
−∞= =
= − − −
= − − −
∑ ∑∫
∑∑∫
Facciamo la sostituzione rs t mT= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 0
, exp 2 exp 2M M
r p p r rm n
A j mT x s x s nT mT j s dsτ ν πν τ πν− − +∞ ∗
−∞= =
= − − +∑ ∑∫
Chiamiamo ora con la funzione di ambiguità complessa del singolo
impulso (cioè senza valore assoluto) e otteniamo
( )ˆ ,pA τ ν
( ) ( ) ( )( )1 1
0 0
ˆ, exp 2 ,M M
r p rm n
A j mT A m n Tτ ν πν τ ν− −
= =
= − −∑ ∑
Lavorare con la doppia sommatoria non è per niente facile. E’ possibile però
dimostrare (Richards, p. 184) che vale la relazione
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )
1
1
sinˆ, , exp 2 1
sin
Mr
p r rm M r
M m TA A mT j M m T
T
πντ ν τ ν πν
πν
−
=− −
−= − − +∑
( )ˆ ,pA τ ν
Osservando che la durata della funzione di ambiguità del singolo impulso è
, se, come succede sempre, Tr>2Tp, allora le varie repliche della
non si sovrappongono e
( ) ( ) ( )( )( )( )
1
1
sin, ,
sin
Mr
p rm M r
M m TA A mT
T
πντ ν τ ν
πν
−
=− −
−= −∑
AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)
1
0
1( ) ,
Mr
pm pp
t mTx t rect T pulse duration
TMT
−
=
−= =
∑
N.Levanon, E. Mozeson, Radar Signals, J. Wiley&Sons, 2004
( ) ( )( )
( )[ ]
1
1
sin1, , ,
sin
Mr
S r rm M r
M m TA A mT MT
M T
πντ ν τ ν τ
πν
−
=− −
− = − <∑
AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)
La risoluzione in distanza è controllata dalla durata dell’impulso T, la risoluzione in frequenza dal tempo di integrazione MTr
AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)
AF di un Chirp e risoluzione in range
( ) ( )2( )exp ,u t j kt A kπ τ ν τ⇔ −
Improved delay/range resolution by linear_FM shearing