Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S....

16
La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Transcript of Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S....

Page 1: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

La funzione di ambiguità

Maria S. Greco

Corso di Fondamenti di Radar

Ing. delle Telecomunicazioni

Dicembre 2014

Page 2: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Definizione e principali proprietà

( ) ( ) ( )*, ( ) exp 2u uA x t x t j t dtτ ν τ πν+∞

−∞= −∫

( )( )u

x

x tx t

E=Normalizziamo l’inviluppo del segnale complesso in

modo che la sua energia sia unitaria:

Risulta evidente dalla definizione che la funzione di ambiguità rappresenta il

modulo dell’uscita del filtro adattato quando l’ingresso è una versione shiftata in

frequenza del segnale trasmesso, cioè

La funzione di ambiguità è funzione di 2 variabili: il ritardo relativo τ e lo shift

frequenziale ν.

( )( )exp 2ux t j tπν

Page 3: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

( ) ( ), 0,0 1A A Eτ ν ≤ = =1) Valor massimo:

2) Volume costante: ( )2 2, 1V A d d Eτ ν τ ν+∞ +∞

−∞ −∞= = =∫ ∫

( ) ( ), ,A Aτ ν τ ν− − =3) Simmetria rispetto all’origine:

( )( ) ,u t A τ ν⇔4) Effetto dell’FM lineare: ( ) ( )2( )exp ,u t j kt A kπ τ ν τ⇔ −

Definizione e principali proprietà

La funzione di ambiguità gode di queste proprietà:

Page 4: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Dimostriamo la prima proprietà. Scriviamo

( ) ( ) ( )2

2 *, ( ) exp 2u uA x t x t j t dtτ ν τ πν+∞

−∞= −∫

Per la disuguaglianza di Schwartz si ha

( ) ( ) ( )

( )

22 2 *

22 *

, ( ) exp 2

( )

u u

u u

A x t dt x t j t dt

x t dt x t dt

τ ν τ πν

τ

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

≤ −

= −

∫ ∫

∫ ∫

Ciascun integrale è proprio uguale all’energia del segnale (unitaria per la

normalizzazione) quindi

L’uguaglianza si ha quando i due segnali nei due integrali sono uguali, cioè per τ=0e ν=0.

( ), 1A Eτ ν ≤ =

Page 5: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

La seconda proprietà è la più lunga da dimostrare (v. Richards, p. 172) ma è

fondamentale. Questo principio di «conservazione dell’energia» stabilisce che non

è possibile rimuovere energia da una specifica zona tempo-frequenza senza

aggiungerla da qualche altra parte.

Dimostriamo la terza proprietà.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

*

*

, ( ) exp 2

exp 2 ( ) exp 2

exp 2 ,

,

u u

u u

A x t x t j t dt

j x s x s j s ds

j A

A

τ ν τ πν

πντ τ πν

πντ τ ν

τ ν

+∞

−∞

+∞

−∞

− − = + −

= − −

=

=

Page 6: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Funzione di ambiguità di un impulso rettangolare

1( )u

pp

tx t rect

TT

=

( ) ( ) ( )

( )( )( )

*

2

2

, ( ) exp 2

sin1exp 2

p

p

u u

T p

Tp p

A x t x t j t dt

Tj t dt

T Tτ

τ ν τ πν

πν τπν

πν

+∞

−∞

+

− +

= −

−= =

Applichiamo la definizione di

funzione di ambiguità per τ>0

Per τ>0 si ottiene la stessa espressione, ma funzione di . Quindi, in

conclusione, per un impulso rettangolare la funzione di ambiguità è data da

( )pT τ+

( )( )( )sin

,p

p

TA

T

πν ττ ν

πν−

= pTτ ≤

Page 7: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Absolute value of the CAF, 3D-graph.

Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.

Absolute value of the CAF, contour-plot.

Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.

AF of a Rectangular Pulse

=0.1spT

( ) ( )sin0,

p

p

TA

T

πνν

πν=

( ),0 p

p

TA

T

ττ

−=

Page 8: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

( )21( ) exp , where

p pp

t Bx t j kt rect k

T TTπ

= ⋅ =

( )( )( )

( )( )sin 1

, 1 ,1

p p

pp p p

T k TA T

T T k T

π ν τ τττ ν τ

π ν τ τ

− − = − < − −

AF di un chirp

LFM pulse (chirp):

La frequenza istantanea è data da f(t)=kt, quindi –B/2<f(t)<B/2

Page 9: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Absolute value of the CAF, 3D-graph.

Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.

Absolute value of the CAF, contour-plot.

=0.1s,

5

50Hz

p

p

T

B T=

=

AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal

Page 10: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Absolute value of the CAF, 3D-graph.

Absolute value of the CAF, 0-Doppler Cut.

Absolute value of the CAF, contour-plot.

Absolute value of the CAF, 0-Delay Cut.

AF of a Linear Frequency Modulated (chirp) Signal

=0.1s,

10

100Hz

p

p

T

B T=

=

Page 11: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Funzione di ambiguità di un treno di impulsi

Indichiamo con x(t) il treno di impulsi

Ricaviamone la funzione di ambiguità.

( )1

0

( )M

p rm

x t x t mT−

=

= −∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

0 0

1 1

0 0

, exp 2

exp 2

M M

p r p rm m

M M

p r p rm n

A x t mT x t nT j t dt

x t mT x t nT j t dt

τ ν τ πν

τ πν

− −+∞ ∗

−∞= =

− − +∞ ∗

−∞= =

= − − −

= − − −

∑ ∑∫

∑∑∫

Facciamo la sostituzione rs t mT= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

, exp 2 exp 2M M

r p p r rm n

A j mT x s x s nT mT j s dsτ ν πν τ πν− − +∞ ∗

−∞= =

= − − +∑ ∑∫

Page 12: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

Chiamiamo ora con la funzione di ambiguità complessa del singolo

impulso (cioè senza valore assoluto) e otteniamo

( )ˆ ,pA τ ν

( ) ( ) ( )( )1 1

0 0

ˆ, exp 2 ,M M

r p rm n

A j mT A m n Tτ ν πν τ ν− −

= =

= − −∑ ∑

Lavorare con la doppia sommatoria non è per niente facile. E’ possibile però

dimostrare (Richards, p. 184) che vale la relazione

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

1

1

sinˆ, , exp 2 1

sin

Mr

p r rm M r

M m TA A mT j M m T

T

πντ ν τ ν πν

πν

=− −

−= − − +∑

( )ˆ ,pA τ ν

Osservando che la durata della funzione di ambiguità del singolo impulso è

, se, come succede sempre, Tr>2Tp, allora le varie repliche della

non si sovrappongono e

( ) ( ) ( )( )( )( )

1

1

sin, ,

sin

Mr

p rm M r

M m TA A mT

T

πντ ν τ ν

πν

=− −

−= −∑

Page 13: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)

1

0

1( ) ,

Mr

pm pp

t mTx t rect T pulse duration

TMT

=

−= =

Page 14: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

N.Levanon, E. Mozeson, Radar Signals, J. Wiley&Sons, 2004

( ) ( )( )

( )[ ]

1

1

sin1, , ,

sin

Mr

S r rm M r

M m TA A mT MT

M T

πντ ν τ ν τ

πν

=− −

− = − <∑

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)

Page 15: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

La risoluzione in distanza è controllata dalla durata dell’impulso T, la risoluzione in frequenza dal tempo di integrazione MTr

AF di M impulsi coerenti non modulati (bed of nails)

Page 16: Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni ... · La funzione di ambiguità Maria S. Greco Corso di Fondamenti di Radar Ing. delle Telecomunicazioni Dicembre 2014

AF di un Chirp e risoluzione in range

( ) ( )2( )exp ,u t j kt A kπ τ ν τ⇔ −

Improved delay/range resolution by linear_FM shearing