Tema A - Soluzioni

Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Meccanica dei Fluidi – Tema A

29 Febbraio 2016

Esercizio 1 – Spinta su portello rettangolare Si consideri il recipiente prismatico riportato in figura con profondità (cioè dimensione perpendicolare al piano del foglio, non indicata nella figura) pari a w=5 cm. Il recipiente contiene olio (ρ=0.8 g/cm3) fino ad un’altezza h=75 cm. Sul fondo è presente un portello rettangolare di lato AB pari a 25 cm, inclinato rispetto al piano orizzontale secondo un angolo α=35° e libero di ruotare intorno alla cerniera A. Il portello ha una massa complessiva di 1.5 kg. Si vuol garantire la chiusura del portello utilizzando un pallone sferico riempito di elio (PM=4 g/mol) del diametro di 3.0 m legato al portello (in corrispondenza del punto C) attraverso un filo rigido di lunghezza pari a 5 m e massa trascurabile. Si consideri l’aria, in equilibrio con l’elio, ad un temperatura di 25 °C e pressione atmosferica. Si chiede di determinare la posizione del punto C (ovvero la lunghezza del tratto AC) in grado di garantire la chiusura del portello. Soluzione Calcolo della spinta dell’olio sul portello:

80.6085GS z A N (1.1)

1.432592

h AByG m

sen (1.2)

0 1.43622mI

yC yGM

(1.3)

int 0.12136

2sp a

ABb e m (1.4)

Per quanto concerne la forza peso si ottiene che:

Tema A - Soluzioni

14.715Fp N (1.5)

cos 0.102392

forzaPeso

ABb m (1.6)

Per quanto concerne la spinta del palloncino è necessario calcolare la densità relativa tra elio e aria

3

3

0.16359

1.17947

HeHe

airair

P PM kgmRT

P PM kgmRT

(1.7)

140.888palloncinoF V g N (1.8)

Applicando l’equilibrio dei momenti nel punto A si ottiene:

int

0.08013

0.09782cos

peso forzaPeso sp a palloncino palloncino

palloncino

palloncino

F b S b F b

b m

bAC m

(1.9)

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Esercizio 2 – Tubazioni in parallelo Si consideri il serbatoio A da cui parte una tubazione scabra (ε=0.03 mm) di sezione circolare, con diametro interno pari a D1=4.3 cm e lunghezza pari a L1=130 m. La tubazione principale si biforca poi in una coppia di tubazioni scabre (ε=0.05 mm) (secondo quanto riportato in figura), aventi lo stesso diametro interno D2=D3=1.75 cm e lunghezze pari L2=43 m e L3=65 m. Noti i dislivelli Y2 e Y3 tra il pelo libero del serbatoio A e i peli liberi dei serbatoi B e C, rispettivamente pari a 130 m e 145 m, si chiede di determinare, nelle condizioni assegnate, le portate di acqua (ρ=1 g/cm3, µ=10E-03 Pa·s) che scorrono all’interno dei tre tratti di tubazione. Si utilizzi la seguente correlazione per il calcolo del fattore di attrito:

10

1 14log

3.71 Df

Soluzione Equazioni di Bernoulli per i due possibili percorsi:

𝑌2 = ∆𝐻1 + ∆𝐻2

𝑌3 = ∆𝐻1 + ∆𝐻3

Da qui si ricava che:

𝑌2 − 𝑌3 = ∆𝐻2 − ∆𝐻3 Dunque, scrivendo le perdite di carico in funzione del coefficiente di attrito, si ha:

𝑌2 − 𝑌3 = 4𝑓2

𝐿2

𝐷2

𝑣22

2𝑔− 4𝑓3

𝐿3

𝐷3

𝑣32

2𝑔=

2

𝑔(𝑓2

𝐿2

𝐷2𝑣2

2 − 𝑓3

𝐿3

𝐷3𝑣3

2)

Possiamo scrivere le velocità in funzione delle portate volumetriche:

(𝑌2 − 𝑌3)𝑔

2= 𝑓2

𝐿2

𝐷2

𝑄22

𝐴22 − 𝑓3

𝐿3

𝐷3

𝑄32

𝐴32

Quindi, possiamo esprimere una delle due portate in funzione dell’altra:

𝑄22 =

𝐷2𝐴22

𝑓2𝐿2[(𝑌2 − 𝑌3)𝑔

2+ 𝑓3

𝐿3

𝐷3

𝑄32

𝐴32 ]

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Ovvero, sapendo che i diametri delle tubazioni 2 e 3 sono identici:

𝑄22 =

𝐷2𝐴22

𝑓2𝐿2

(𝑌2 − 𝑌3)𝑔

2+

𝑓3

𝑓2

𝐿3

𝐿2𝑄3

2

Per semplicità, possiamo scrivere:

𝑄22 = 𝛼 + 𝛽𝑄3

2

Dove: 𝛼 = 𝐷2𝐴2

2

𝑓2𝐿2

(𝑌2−𝑌3)𝑔

2 e 𝛽 =

𝑓3

𝑓2

𝐿3

𝐿2

Adesso possiamo tornare su una delle due equazioni di Bernoulli:

𝑌3 =2

𝑔(𝑓1

𝐿1

𝐷1𝑣1

2 + 𝑓3

𝐿3

𝐷3𝑣3

2) =2

𝑔(𝑓1

𝐿1

𝐷1

𝑄12

𝐴12 + 𝑓3

𝐿3

𝐷3

𝑄32

𝐴32 )

Dall’equazione di continuità sappiamo che:

𝑄1 = 𝑄2 + 𝑄3 E quindi:

𝑄1 = √𝛼 + 𝛽𝑄32 + 𝑄3

L’equazione di Bernoulli diventa dunque la seguente:

𝑌3 =2

𝑔(𝑓1

𝐿1

𝐷1

[√𝛼 + 𝛽𝑄32 + 𝑄3]

2

𝐴12 + 𝑓3

𝐿3

𝐷3

𝑄32

𝐴32)

𝑌3 =2

𝑔(

𝑓1𝐿1

𝐷1𝐴12 [√𝛼 + 𝛽𝑄3

2 + 𝑄3]

2

+𝑓3𝐿3

𝐷3𝐴32 𝑄3

2)

𝑌3𝑔

2= 𝛿1 [√𝛼 + 𝛽𝑄3

2 + 𝑄3]

2

+ 𝛿3𝑄32

Dove 𝛿1 =𝑓1𝐿1

𝐷1𝐴12 e 𝛿3 =

𝑓3𝐿3

𝐷3𝐴32.

L’equazione sopra riportata può essere risolta numericamente. s Q1 = 0.002645 m3/s Q2= 0.001377m3/s Q3= 0.001268 m3/s

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Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Meccanica dei Fluidi – Tema B

29 Febbraio 2016

Esercizio 1 – Altezza acqua salata

Una paratoia divide due bacini, per evitare che l’acqua dolce sia invasa da quella salata. L’acqua dolce (di

altezza a), a sua volta galleggia su uno strato di acqua salata (di altezza b). Verificare l’altezza di acqua salata

(h) per la quale si abbia equilibrio alla traslazione e quella di equilibrio alla rotazione rispetto al piede della

paratoia (O).

Dati:

dolce = 1000 kg/m3

salata = 1050 kg/m3

a = 20 m

b = 5m

Soluzione

Calcolo delle spinte (chiamiamo l la lunghezza della paratia, che ovviamente non interviene nella soluzione):

12

s

hS g hl 2

2 d

aS g al

Per il calcolo della S3 (che può essere fatto in altri modi) si può considerare che il pelo libero dello strato di

acqua salata si trova non alla pressione atmosferica, ma a una pressione p=dga dovuto al peso dell’acqua

dolce sovrastante.

3 d sdS ga gy : 32 2

d s d s d s d s d s

A A

b bS ga gy dA gaA g ydA gaA gM gaA g A gbl a

Equilibrio traslazionale 1 2 3 S S S :

2 2 2

s d d s

h a bg hl g al gbl a

2 2 2

2 2 2 s d d s

h a bab

2 221 24.4

d

s

bh a b m

a

Calcolo dei momenti rispetto al piede della paratoia. Occorre ricordare che il centro di spinta su una

superficie rettangolare verticale si trova a 1/3 dalla base.

1 13 2 3

s

h h hM S g hl 2 2

3 2 3

d

a a aM S b g al b

Per il calcolo di M3 si può ricorrere alla definizione:

h

a

b

O

salata

salata

dolceS2

S3S1

y3y1

Tema B - Soluzioni

2

3 3 3

2 2 3 3 32

02 2 2 12 4 2 3

d s d s d s

A A A

d s d s s d s

M S y y ga gy dA ga ydA g y dA gaM gI

b b b b b gl bga bl g I bl ga l gl gl ab

Equilibrio traslazionale 1 2 3 M M M :

32

2 3 2 3 2 3

s d d s

h h a a gl bg hl g al b ab da cui:

3 3 3 32 2 2 2

3 3 3 3 3

s d d s d d d s

h a b a ba b ab a b ab

32 2 3

3 3 24.63

d

s

ah a b ab b m

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Esercizio 2 – Dislivello condotta

Si calcoli il dislivello necessario tra 2 serbatoi a superficie libera, affinché venga convogliata una portata di

acqua pari a 0.3 m3/s. A tale scopo viene utilizzata una condotta lunga 150 m e con diametro di 20 cm e una

scabrezza di 0.05 mm. Si ricorda che la costante K delle perdite di imbocco è pari a 0.5, mentre quella delle

perdite di sbocco vale 1 e che la viscosità dell’acqua in queste condizioni è pari a 0.001 Pa×s.

Se il dislivello fosse doppio, calcolare la portata fluente.

Soluzione.

Il dislivello è pari alle perdite di carico. 2 2 2 22 4

2 2 2

i sb i sb

v fv L v v fLK K K K

g gD g g D

220.03

4

DA m 9.55

V mv

A s Re 1909859

vD

0.00025

D

Per il calcolo del fattore di attrito uso formula iterativa inizializzata con Haaland:

10

1 6.9 13.6log

Re 3.7

Df

0

0.0036f

Utilizzando quindi la formula di Colebrook:

10

1 1.255 14log

3.71Re

Df f

1

0.0037f siamo a convergenza

Il dislivello quindi risulta: 2 4

58.62

i sb

v fLK K m

g D

Se il dislivello fosse doppio: =117.2 m devo calcolare f, quindi mi servirebbe numero di Reynolds. Primo

tentativo si assume Re∞:

10

1 14log

3.71

Df

0

0.0036f (molto simile a prima perché Re molto elevato

2 320.43

4

i sb

gA mV

fL sK K

D

13.7 V m

vA s

Re 2738233 vD

In teoria con questo nuovo Re devo ricalcolare il fattore di attrito, quindi la nuova portata ecc. Essendo Re

ancora maggiore del precedente, quindi asintotico, non posso aspettarmi variazioni su f. Sono quindi a

convergenza: la portata con il dislivello doppio è pari a 0.43.