Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 02/02/2005.

ESERCIZIO Del sistema rappresentato in figura sono note geometria, masse e curva caratteristica del motore.

M T

10α = °

JmJ1, R1

J2, R2, m2

J3, R3, m3

A

B

C

D

E F

H

Cr

v,a

, ,r dη η τ

Cm

mωmsω

Cm0

45°

fv, fa

Dati: m3=30 kg R3=0.5 m J3=4.125 kgm2

J1=J2=1 kgm2 R1=R2=0.3 m m2=10 kg α =10° Cr=50 Nm Jm=2 kgm2

dη = rη =0.9 τ =1/3 fv=0.02 fa=0.5 Cm0=34 Nm

msω =200 rad/s Determinare: 1. coppia motrice a regime con il disco 3 in discesa (verso di a, v assegnati) 2. velocità angolare del motore a regime 3. accelerazione allo spunto del disco 3 in discesa 4. tiri nelle funi nei rami AB e CD nelle condizioni di moto del punto 3 5. reazioni vincolari delle cerniere in E e F nelle condizioni di moto del punto 3 6. verifica di aderenza in H nelle condizioni di moto del punto 3

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Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O.

II prova in itinere del 2 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: domanda di teoria

Si enunci l’equazione simbolica della statica e si ricavi a partire da essa l’espres-sione delle Qk (componenti della sollecitazione attiva secondo le coordinate libere qk)per un sistema olonomo.

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O.

II prova in itinere del 2 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: esercizio

Il sistema di figura e posto in un piano

PSfrag replacements

O

A

B

α

β

C1

m, l

m, l

m, l

verticale. L’asta OA e incernierata a terranell’estremo O. L’asta AB e collegata allaprima asta con una cerniera mobile nell’e-stremo A. Entrambe le aste hanno massam e lunghezza l. Sull’asta OA agisce unacoppia di momento C1.

1. Si scrivano le equazioni di Lagrangeper il sistema.

2. Si determini la coppia C1 (funzione del tempo) in modo che le velocita angolaridelle aste α e β siano costanti nel tempo e con α = 2β.

3. In tale situazione determinare la velocita angolare α dell’asta OA.

Fondamenti di meccanica teorica ed applicata

Prova in itinere 16/02/2005

Dell’autoveicolo di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali:

1 1 mp = distanza del baricentro dall’asse anteriore del veicolo; 2 1.5 mp = distanza del baricentro dall’asse posteriore del veicolo;

h 0.6 m= altezza del baricentro rispetto al suolo; H 0.8 m= altezza rispetto al suolo del centro delle pressioni; R 0.25 m= raggio di rotolamento delle ruote; M = 800 kg massa veicolo; JR= 0.5 kgm2 momento d’inerzia di una singola ruota; S = 2 m2 sezione maestra del veicolo;

0.40XC = coefficiente di resistenza aerodinamica;

p1 p2

h

G H R

JR

M

α = 10°

v

P1

P2

JR

H

h

α=10°

M, G

R

Sono inoltre noti i dati relativi alla linea di trasmissione: Jm=0.2 kgm2 momento d’inerzia masse rotanti lato motore; τp = 0.5 rapporto al ponte; ηp = 0.85 rendimento del differenziale;

(C C marcia)τ τ= = 0.8 rapporto di trasmissione degli ingranaggi del cambio; (C C marcia)η η= = 0.95 rendimento della trasmissione;

A τC, ηC Differenziale Jm τP, ηP

Motore Ruote motrici

Cambio

Sez. A-

Si chiede di determinare: 1) coppia motrice Cm a regime per garantire una velocità v = 30 [m/s]; 2) accelerazione a con Cm’= 2*Cm di regime (punto 1) alla stessa velocità v di avanzamento; 3) verificare l’aderenza del punto 2; 4) coppia all’albero in corrispondenza della sezione A-A; 5) accelerazione a con Cm’’= - C * (sempre alla medesima v);

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno Recupero I del 16 febbraio 2005

ESERCIZIO Del sistema articolato, posto nel piano verticale, rappresentato in figura sono completamente note le caratteristiche geometriche ed inerziali

/ 6α π=

JD, R, M

P

H

Cmω

fv, fa

/ 4π

3L

JA, L, m

RO

A

B

Cr

Dati: L=0.2 m R=0.1 m P=400 N

fv=0.01 fa=0.5 M=10 kg JD=0.05 kgm2 m=2 kg JA=0.1 kgm2 Cr=10 Nm Considerando la velocità angolare della asta OA costante e α=π/6, determinare:

1. La velocità e l’accelerazione del punto B 2. Velocità ed accelerazione angolare del disco di centro B 3. La coppia motrice in assenza di attrito 4. Reazioni vincolari in O

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Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O.

Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: domanda di teoria

Definire il momento d’inerzia e il momento delle quantita di moto per un sistemameccanico. Ricavare l’espressione del momento delle quantita di moto per un atto dimoto rigido piano.

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O.

Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: esercizio

Il sistema di figura giace in un piano ver-

PSfrag replacements

R

M, 2R

H

m2

m1

ticale ed e costituito da due punti materialidi masse rispettive m1 e m2 = 9

4m1 vincolati

a scorrere senza attrito in direzione vertica-le, da un disco di massa M = 2m1 e raggio2R che rotola senza strisciare su di un asseorizzontale, e da un disco di raggio R privodi massa concentrico al primo disco e saldato su di esso.

Un filo si avvolge senza strisciare intorno al primo disco, scorre senza attrito sudi un piolo fisso e reca all’estremo libero il punto materiale di massa m2. Un altrofilo si avvolge senza strisciare intorno al secondo disco, scorre senza attrito su di unpiolo fisso e reca all’estremo libero il punto materiale di massa m1. I tratti liberi deifili sono tutti orizzontali o verticali.1. Determinare l’accelerazione angolare dei dischi.2. Determinare le tensioni nei fili e le reazioni vincolari nel punto H di contatto delprimo disco con l’asse di appoggio.

Allievi MECC. II Anno N.O.

Corso di Fondamenti di Meccanica

Meccanica Razionale

Appello del 5 luglio 2005

Domanda di teoria:

Definire l’equazione simbolica della dinamica, spiegandone il significato. Ricavare,illustrando i passaggi, l’espressione della componente generalizzata dell’oppposto delleforze d’inerzia (τn) in funzione dell’energia cinetica per un sistema olonomo.

Esercizio.

In un piano verticale un disco di

PSfrag replacements

A

C

M, RB Dm, l

α

massa M e raggio R ha il proprio cen-tro A vincolato a scorrere senza attritolungo una guida orizzontale. Un’astadi massa m e lunghezza l e vincolataa cerniera sulla circonferenza nel suoestremo B. L’altro estremo D dell’a-sta e vincolato mediante un pattino ascorrere senza attrito lungo una guida verticale. L’asta si mantiene sempre orizzontalein virtu del pattino D.

Usando come coordinata libera l’angolo α di rotazione del disco:1. Determinare la velocita dell’asta e del centro A.2. Scrivere l’energia cinetica del sistema.3. Scrivere la quantita di moto del sistema.4. Determinare la coppia C in modo da mantenere

.

α= costante.5. Nella situazione del punto 4 (

.

α costante), determinare la reazione vincolareesterna in A.

Esercizio n° 2 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia Jm), da due trasmissioni in serie, di cui la seconda del tipo vite senza fine – ruota elicoidale, da una puleggia di raggio R su cui si avvolge una fune, supposte inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m e da una pressa di massa M.

Si chiede di determinare:

1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare la pressa a regime; 2. l’accelerazione della pressa nel caso in cui il motore applichi una coppia doppia rispetto a quella calcolata al

punto precedente; 3. il tiro della fune nel ramo BC, nelle condizioni di moto del punto 2); 4. la coppia che il motore deve applicare affinchè la pressa scenda con velocità costante; 5. l’accelerazione della pressa nel caso in cui la coppia del motore sia nulla; 6. facoltativamente, la massima accelerazione con cui può scendere la pressa nella condizione limite in cui la

fune nel ramo BC va in bando (ossia quando il tiro nel ramo BC si annulla). Determinare inoltre la coppia che deve fornire il motore per garantire questa condizione di moto e il momento torcente agente nella sezione A-A.

Dati numerici: R = 1 m τ1 = 0.1 J = 200 kgm2 η1d = 0.9 Jm = 0.1 kgm2 η1r = 0.8 M = 1000 kg τ2 = 0.2 m = 200 kg η2d = 0.8 η2r = 0.7

M

J, R

m

τ1, η1d, η1r

τ2, η2d, η2r A

A

Jm

B

C

Allievi MECC. II Anno N.O.

Corso di Fondamenti di Meccanica

Meccanica Razionale

Appello del 19 luglio 2005

Domanda di teoria.

A partire dalla definizione di quantita di moto e di momento delle quantita di motoper un sistema di punti materiali, ricavare le formule di queste quantita per l’atto dimoto piano di un corpo rigido.

Esercizio.

Il sistema di figura e posto in

PSfrag replacements

A

C

B

m, l

C1C2

un piano verticale. L’asta AC epriva di massa mentre l’asta BC

e omogenea di massa m e lun-ghezza l. Gli estremi A e B del-le due aste scorrono senza attritolungo due guide rispettivamenteverticale ed orizzontale.

Determinare le coppie ester-ne C1(t) e C2(t) da applicare sul-le due aste in modo che esse abbiano velocita angolari ω1 e ω2 costanti nel tempo.

Fondamenti di meccanica teorica ed applicata

Prova in itinere 19/07/2005

Della trattrice di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali: p = 2 m distanza del baricentro dall’asse

posteriore del veicolo; Jm= 0.1 kgm2 momento d’inerzia del motore

(asse longitudinale); a = 1.5 m distanza del baricentro dall’asse

anteriore del veicolo; Jp= 2.5 kgm2 momento d’inerzia singola ruota

posteriore; H = 1 m altezza del baricentro rispetto al

suolo; Ja=0.5 kgm2 momento d’inerzia singola ruota

anteriore; h = 0.5 m altezza del gancio di traino rispetto

all’asse posteriore; ηc,d = ηp,d = 0.95 rendimento diretto del cambio e

del ponte; Rp = 1 m raggio di rotolamento delle ruote

posteriori; ηc,r = ηp,r = 0.9 rendimento retrogrado del

cambio e del ponte; Ra = 0.5 m raggio di rotolamento delle ruote

anteriori; τc = 0.3 rapporto di trasmissione del

cambio; M = 7000 kg massa veicolo; τp = 0.1 rapporto di trasmissione del

ponte; F = 5000 N forza trainata ωmin = 500 giri/min regime minimo del motore; fv = 0.02 coeff. di attrito volvente; ωmax = 2000 giri/min regime massimo del motore; fa = 0.9 coeff. di aderenza; α = 10° inclinazione della strada

Si chiede di determinare: 1) coppia motrice Cm a regime in salita; 2) accelerazione del trattore con coppia motrice pari a 1,5 volte quella del punto 1; 3) verifica di aderenza della condizione di moto del punto 2; 4) verifica di ribaltamento della condizione di moto del punto 2; 5) coppia frenante da applicare a tutte e 4 le ruote per avere una decelerazione del trattore pari a -3 m/s2,

imponendo Cm = -200 Nm e F = 0 N; 6) velocità di avanzamento del trattore minima e massima, conoscendo il campo di funzionamento del motore.

Allievi MECC. II Anno N.O.

Corso di Fondamenti di Meccanica

Meccanica Razionale

Appello del 21 settembre 2005

Domanda di teoria.

Ricavare per il moto piano del corpo rigido l’espressione dell’energia cinetica in funzio-ne della velocita angolare e della velocita del baricentro, e l’espressione della potenzadelle forze in funzione della risultante e del momento risultante. Enunciare quindi ilteorema dell’energia cinetica per un corpo rigido.

Esercizio.

Il sistema di figura e po-

PSfrag replacements

O M, RC

r

A

G m, rH

α

sto in un piano verticale. Ildisco di centro G, massa m

e raggio r rotola senza stri-sciare sul profilo inclinatodi un angolo α. Un filo ine-stendibile di massa trascu-rabile e attaccato in G, siappoggia senza attrito sul-la carrucola A e si avvolgesenza strisciare sul disco O di massa M e raggio R. Un profilo circolare di raggio r

privo di massa e saldato sul disco O e concentrico con esso. Detto profilo circolarerotola senza strisciare su una guida orizzontale.

Il centro G del disco di massa m ha inizialmente una velocita V0. Calcolare il valoredella coppia C da applicare sul disco O affinche il centro G si muova con velocitacostante V0. In tali circostanze calcolare le reazioni vincolari in H e la tensione nelfilo.

Esercizio n° 2 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia Jm), da una trasmissione del tipo vite senza fine – ruota elicoidale, da una puleggia di raggio RP su cui si avvolge una fune, supposta inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m che striscia lungo un piano inclinato, e da un carrello di massa M che porta un carico di massa Mc.

Si chiede di determinare:

1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime; 2. l’accelerazione del carrello nel caso in cui il motore applichi una coppia il 50% superiore a

quella calcolata al punto precedente; 3. il tiro della fune nei due rami AB e CD, nelle condizioni di moto del punto 2; 4. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime, nel caso in cui il

carrello sia privo di carico Mc; 5. la massima coppia che il motore deve applicare affinché la fune nel tratto CD rimanga

sempre in tensione, una volta che il sistema è stato avviato. In questa condizione di moto, verificare che il carico Mc non cada dal carrello.

Dati numerici: RP = 0.5 m τ = 0.1JP = 10 kgm2 ηd = 0.8Jm = 0.02 kgm2 ηr = 0.6JR = 0.05 kgm2 fs = 0.6 M = 200 kg fd = 0.5; Mc = 100 kg fv = 0.01; r = 0.1 m α = 20 deg m = 120 kg β = 60 deg

JP, RP

m

τ, ηd, ηr

A

Jm

BC

JR, r M

MC

D

fd

β

α

fv

fs

Corso di Fondamenti di Meccanica – Allievi MECC. II Anno N.O.

I Prova in itinere del 21/11/2005 ESERCIZIO 1 Il sistema rappresentato in figura, disposto nel piano verticale, è costituito da due dischi omogenei, incernierati a terra rispettivamente in O1 e O2, di raggio R e 2R e massa m1 e m2. Sui due dischi rotola senza strisciare un’asta omogenea AB di massa M e lunghezza L. Conoscendo la velocità angolare ω1=αt del disco 1 in funzione del tempo:

1) determinare la velocità angolare ω2 del disco 2 in funzione del tempo; 2) calcolare il vettore accelerazione del baricentro dell’asta AB; 3) sapendo che la configurazione in figura rappresenta la condizione iniziale di moto (contatto

tra disco 2 e asta in corrispondenza dell’estremo B dell’asta) calcolare il tempo dopo il quale il punto A dell’asta coincide con il punto di contatto con il disco 1;

4) calcolare la coppia Cm in grado di garantire il moto; 5) nella configurazione di moto iniziale, calcolare le reazioni vincolari nei punti di contatto tra

asta e dischi.

A

O1 O2

m1, R

m2, 2R

B

d

Cm

ω1

ω2

M, L

ESERCIZIO 2

Il sistema articolato rappresentato in figura si muove nel piano verticale. Il solo disco (saldato all’asta OD) è dotato di massa.

Note la geometria del sistema (a=L, b=3L, x=2L e α , R) e la massa del disco M si chiede di:

1. Scrivere le relazioni tra le velocità angolari delle aste (determinare β& in funzione di α , β ed α& ).

2. Scrivere la potenza delle forze e coppie applicate al sistema.

3. Calcolare la coppia C (funzione di α ,β , α& , β& e β&& ) in modo che la velocità angolare dell’asta AB sia costante.

4. Determinare in funzione della posizione le reazioni vincolari agenti sull’asta AB (in A ed in B).

β

, ,α α α& &&

M,R

γ c

b

x

a

O

A

B

D

C