Fondamenti di GeotecnicaFascicolo 7/ 1

Fondamenti di Geotecnica Fascicolo 7/1

Compressione sferica

’1 = ’2= ’3

(compressibilità)

Compressione

edometrica

’2= ’3≠ 0 ; ε2 = ε3 = 0

(compressibilità)

Compressione triassiale

drenata

’2= ’3 = cost.

(deformabilità e

resistenza)

’1

’3

’1

’1

’3


ε1

’1

E’

Eed

3K’

compressione triassiale

compressione sferica

compressione edometrica

Mezzo elastico lineare

Comportamento rilevato sperimentalmente

compressione triassiale

’1

compressione sferica

compressione edometrica

ε1

rottura

Il comportamento di un terreno non è lineare, inoltre dipende fortemente dal tipo di sollecitazione:- K’ e Eed aumentano al crescere di ε1

- E’ diminuisce al crescere di ε1


Compressione edometrica

t

-H

a = N/A εa = δ/H0

r = 0

N

effetto del generico passo di carico

c

cv

H0

'

'

-H

log t


H0Hs

H

0

20

40

60

0 2000 4000 6000 8000

εa (%)

’a (kPa)

s 0 sv v

s s s s

H H H HV He

V H H H

0

0.4

0.8

1.2

1.6

10 100 1000 10000

Cc

Cs

e

log ’a (kPa)


s sv v v

a0 0 0 s 0 s v,0 s 0

V VV V VV e

H V V V V V V V 1 e

Le deformazioni assiali sono funzione univoca delle variazioni di indice dei vuoti:

Il modulo edometrico si definisce come modulo tangente:

aed

a

'E

εa (%)

’a (kPa)

0 20 40 60

020

0040

0060

0080

00

Eed

Eed


Ad esempio, lungo la retta vergine:

e

log ’a (kPa)

Cc

a0 c

0

a aed 0

a

c aa

aed 0

c

'e e C log

'

d ' d 'E (1 e )

d de

1 1Dlogx de C d '

x ln10 ' 2.302

'E 2.302 (1 e )

C

Nel caso di terreni molto deformabili si è soliti calcolare il modulo edometrico rapportando le variazioni di altezza del provino alla sua altezza corrente

a

ed0

'E

H/H

aed

'E

H/H

Se si utilizza questa espressione, lungo la retta vergine si ha:

a aed

a

a 0 aed a

c c 0

d ' d 'E (1 e)

d de

' 1 e 'E 2.302 (1 e) 2.302 ' log

C C '


Terreno Eed (kg/cm2)

Torba 1 - 20

Argilla 5 – 200

Limo 30 – 300

Sabbia 100 – 800

Ghiaia 300 - 2000

Roccia Eed (kg/cm2)

Tufo piroclastico 10’000 -30’000

Arenaria 200’000 – 300’000

Basalto 400’000 – 500’000

Granito 500’000 – 800’000

Conglomerato cementizio: E = 200’000 kg/cm2

Acciaio: E = 2’000’000 kg/cm2

aumenta con la consistenza

aumenta con la densità relativa


Minerali argillosi Cc

Montmorillonite 1.6 – 2.6

Illite 0.5 – 1.1

Caolinite 0.19 – 0.28

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 void ratio at liquid limit e L

Cc*

Ponza bentonite

Bisaccia clay

Marino clay

kaolin

data reported by Burland, 1990

Bisaccia - distilled water

C c* = 0.256e L - 0.04

Bisaccia - cyclohexane

Bisaccia - ethanol

Per materiali ricostituiti esiste una forte correlazione tra Cc e l’indice dei vuoti al limite liquido

Nel caso delle prove sui materiali naturali, è altamente probabile che i primi valori delle tensioni verticali applicate durante le prove edometriche (qualche frazione di kg/cm2) siano minori della tensione litostatica alla profondità di prelievo del campione.

Pertanto, qualsiasi terreno, sia esso in sito normal-consolidato o sovraconsolidato, ripercorrerà un ramo di ricarico del legame tensione-deformazione.

RICORDANDO CHE LUNGO TALI RAMI LA vc CORRISPONDE AL “GINOCCHIO” DELLA CURVA

e:v, SI PUÒ QUINDI AFFERMARE CHE ESSA È

RAPPRESENTATA DALLL’ASCISSA DI UN PUNTO NELLA ZONA EVIDENZIATA IN FIGURA.

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

0.1 1 10 100Tensione verticale, 'v (kg/ cm2)

Indic

e d

i poro

sità

, e

2


SI DEFINISCE UN INTERVALLO DI POSSIBILI VALORI, MEDIANTE LA COSTRUZIONE INDICATA IN

FIGURA

• SE LA TENSIONE LITOSTATICA ALLA PROFONDITÀ DI PRELIEVO DEL CAMPIONE (v) RICADE NELL’INTER-VALLO TROVATO (OCR=1) IL TERRENO IN SITO È NORMALMENTE CONSOLIDATO (la maggiore rigidezza mostrata nel ramo AB è quindi dovuta ai ridotti valori di carico inizialmente imposti nella prova);

• SE LA v RICADE A SINISTRA DELL’INTERVALLO (OCR>1) , IL MATERIALE È SOVRACONSOLIDATO (la maggiore rigidezza nel ramo AB è dovuta sia ai ridotti valori di carico inizialmente imposti nella prova, sia allo stato di sovraconsolidazione in sito).

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

0.1 1 10 100Tensione verticale, 'v (kg/ cm2)

Indic

e d

i poro

sità

, e

indic

e d

i poro

sità

iniz

iale

vc,min vc,max

tangente alla curva nel punto C (di max curvatura)

orizzontale per C

bisettrice delloangolo in C

C

2

A

B



Compressione isotropa di una sabbia con due diversi valori di densità

relativa iniziale

Per una sabbia, nel campo di tensioni che interessa l’ingegneria geotecnica :

• la compressibilità è di norma molto bassa;• il punto che nel piano (p', e) rappresenta lo stato corrente giace su un tratto di curva che, per un’argilla, corrisponderebbe a condizioni di sovraconsolidazione.

Dal punto di vista qualitativo, comunque, il comportamento osservato non differisce da quello di un’argilla.

1 +

e

sabbia(inizialmente) sciolta

sabbia densa

p' (kPa)


Ipotesi:- Terreno saturo- Particelle solide e acqua incompressibili;- Regime di piccole deformazioni;- Validità della legge di Darcy;- Modulo edometrico e permeabilità costanti;- Assenza di deformazioni viscose.

H

satH

wH’H

v, ’v

z

q

dz

Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi

v v sat

v v v

' u z q

' 'u u0 [1]

t t t t t

NB: La [1] vale anche per gli incrementi di stato tensionale ’

e u indotti dal carico applicato. Per semplicità, da qui in poi si

indicano con , ’ ed u gli incrementi di stato tensionale.


Variazione di volume dell’elemento di terreno nell’intervallo di tempo dt:

z

q

dz

Variazione del volume dell’acqua di porosità dell’elemento di terreno nell’intervallo di tempo dt:

z

q

dz

u/w u + ’v = v

u ’v u0 = v

t = 0 t > 0

v

ed ed

'1 1 udt dz dt dz

E t E t

div q dz dt


/

yx z

zw

qq qdiv q

x y z

h k uq k

z z

/

2

2ed w

1 u k udt dz dz dt

E t z

Quindi si ottiene [ΔV = ΔVw]:

da cui, ponendo cv=kEed/w:

2

v 2

u uc

t z

(equazione della consolidazione monodimensionale di Terzaghi)


z

q

dz

u0/w

u + ’v = v

u ’v

u0 = v

t = 0

t > 0

v

z

q

dz

u/w

’v

t = ∞

z

q

dz

’v = v

u = 0

v


strato impermeabile

strato drenante

Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in sommità, esiste una soluzione analitica (che si estende banalmente al caso di drenaggio solo in sommità).

Ponendo Z = z/H e T = cvt/H2, ossia adimensionalizzando le variabili spaziale e temporale, l’equazione della consolidazione diviene :

con soluzione:

2

2

u u

T Z

M T0

m 0

2uu(Z,T) sen(M Z) e

M

M (2m 1)2

H

2H


Si definisce grado di consolidazione medio U il rapporto tra l’area delle tensioni efficaci ’ e l’area delle tensioni totali .

Il grado di consolidazione medio è quindi pari al rapporto tra l’area tratteggiata del diagramma e l’area totale.

2H 2H

0 0

( u)dz udz

U 1 f(T)2 H 2 H

Sostituendo u con la soluzione indicata si ha:

2 2

2 2n 0

8 (2n 1)U 1 exp T

(2n 1) 4

È risolto anche il problema dell’andamento dei cedimenti nel tempo:

2H 2H

t= ted ed ed0 0

1 1 2 Hw = ' dz dz

E E E

2H 2H

ed ed0 0

1 1w(t) 'dz ( u)dz

E E

t

w(t)U(t)

w


Soluzione per isocrona iniziale rettangolare e contorno drenante in sommità ed impermeabile alla base : ad ogni istante T è associata una isocrona.

Soluzioni per contorno drenante in sommità ed impermeabile alla base: sono risolti anche i casi di isocrona iniziale triangolare.


Contorno drenante in sommità ed alla base: si può dimostrare che in termini di U(T) la soluzione di questi tre casi è identica.

2H

2H

2H

2

2

1

1

q

q

w

w


Limite liquido (%)

Ricompressione

Compressione vergine (indisturbat

o)

Compressione vergine

(rimaneggiato)

30 3.510-2 5.010-3 1.210-3

60 3.510-3 1.010-3 3.010-4

100 4.010-4 2.010-4 1.010-4

Valori tipici del coefficiente di consolidazione cv (cm2/s)

Esempio

Valutare i tempi di consolidazione di un limo argilloso (cv=110-3 cm2/s)

H (m) Tempo (giorni)

1 115 4 mesi

2 463 15 mesi

3 1035 3 anni

4 1840 5 anni

T 1 U 93%

H

q

Nonostante le condizioni di flusso e deformazione monodimen-sionali imposte, per la presenza di deformazioni a tensione efficace costante i terreni hanno comportamento più articolato rispetto alla teoria della consolidazione.

deformazioni viscose dei

complessi di adsorbimento

CONSOLIDAZIONE PRIMARIA

CONSOLIDAZIONE SECONDARIA


Si considerino nuovamente, alla luce della teoria della consolidazione, i risultati di una prova edometrica.

H (

mm

)

[qui, si sta indicando con H la variazione di altezza del provino in valore assoluto]

Determinazione di cv

dai risultati di una prova edometrica

Per determinare cv si sfrutta la relazione teorica tra il

fattore di tempo T ed il tempo fisico t, ossia: T=cvt/H2

Ricordando che U=H(t)/Hc, si sovrappone la curva

sperimentale H:t con quella teorica U:T, dopo avere corretto la prima per:• eliminare gli errori sub-sperimentali che portano ad

avere un H (t=0)>0 nella prova (p.e., contatto scabro tra provino e piastra porosa, deformazioni delle parti meccaniche, ...);

• eliminare il cedimento di consolidazione secondario.Per U60% la curva (a) di Terzaghi è ben interpolata dalla relazione U = (4T/): se t quadruplica H raddoppia

*

*

H=0

H=100%

U=

0

10

0%

tangente nel punto di flesso

pro

lungam

ento

del tr

att

o d

idefo

rmazi

one s

eco

ndari

a

Costruzione di Casagrande

t*4t*


H (

mm

)

Depurata la curva sperimentale :t dagli errori sub-sperimentali e dal cedimento di consolidazione secondario, è possibile individuare il tempo t50, in corrispondenza del

quale è stato raggiunto il 50% di consolidazione primaria nel passo della prova edometrica preso in considerazione:

È quindi possibile imporre la condizione:

* 2v 50 50

50 v* 250

c t T (H )T c

t(H )

dove T50 (=0.197) è il valore teorico corrispondente ad

U=50% sulla curva (a) ed H* è il percorso di drenaggio nella prova sperimentale (in un edometro doppiamente drenato pari a metà spessore del provino).


H=0

H=100%

H=50%

t=t50

H (

mm

)

T50=0.197

(a)

U=50%

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