7. Serie di Fourier - Politecnico di Torino · 7. Serie di Fourier 49 Un problema che si pone in...

7. Serie di Fourier

Consideriamo nuovamente, come abbiamo fatto nell’esempio 3.4, lo spazio L2[−π, π]e la famiglia ortogonale in esso

1/2, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, . . . ,

sinx, sin 2x, . . . , sinnx, . . . .

Il quadrato della norma di 1/2 vale π/2, mentre tutte le restanti funzioni hanno comequadrato della norma π.

Chiamiamo Fn il sottospazio di L2 di dimensione 2n + 1 costituito dalle funzioni

1/2, cos kx, sin kx, k = 1, 2, . . . , n.

Se f ∈ L2, la sua proiezione ortogonale sul sottospazio Fn si scrive

sn(x) =a0

2+

n∑k=1

(ak cos kx + bk sin kx), (1)

dove i coefficienti si calcolano in base a quanto ci insegna la Proposizione 4.1, dunque

ak =1π

∫ π

−π

f(t) cos kt dt, k = 0, 1, 2, . . . , n,

bk =1π

∫ π

−π

f(t) sin kt dt, k = 1, 2, . . . , n.

(2)

polinomi di FourierLa funzione sn e un cosiddetto polinomio trigonometrico di ordine n, e precisa-mente il polinomio di Fourier della funzione f , cioe quello che meglio approssima talefunzione tra tutti i polinomi trigonometrici di ordine n.

Se f e pari, allora i coefficienti bk sono nulli e gli ak si scrivono

ak =2π

∫ π

0

f(t) cos kt dt;

se f e dispari, sono nulli i coefficienti ak e i bk si scrivono

bk =2π

∫ π

0

f(t) sin kt dt.

La funzione f viene considerata come la restrizione all’intervallo [−π, π] di unafunzione di ugual nome definita su tutta la retta reale e periodica di periodo 2π.

Quanto detto per le funzioni periodiche di periodo 2π si estende senza difficoltaalle funzioni periodiche di periodo T > 0 ad arbitrio. Introduciamo la pulsazione

ω =2π

T= 2πν,

dove ν e la frequenza del fenomeno oscillatorio descritto dalla funzione f . Nellospazio L2[−T/2, T/2], o se si preferisce L2[0, T ], una base ortogonale e costituitadalle funzioni

1/2, cos ω x, cos 2 ω x, . . . , cos n ω x, . . . ,

sin ω x, sin 2ω x, . . . , sin n ω x, . . . .

48 G.C. Barozzi: Ortogonalita

Attualmente il quadrato della norma di 1/2 vale T/4, mentre tutte le restantifunzioni hanno come quadrato della norma T/2. Dunque il polinomio di Fourier di fsi scrive

sn(x) =a0

2+

n∑k=1

(ak cos k ω x + bk sin k ω x),

dove i coefficienti sono dati dalle formule

ak =2T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos kωt dt, k = 0, 1, 2, . . . , n, . . . ,

bk =2T

∫ T/2

−T/2

f(t) sin kωt dt, k = 1, 2, . . . , n, . . . .

Per semplicita di esposizione, nel seguito continueremo a riferirci a funzioni perio-diche di periodo 2π.

Se riscriviamo le formule che danno i coefficienti di Fourier nella forma

ak =‖f‖√

π

∫ π

−πf(t) cos kt dt

‖f‖ √π

,

bk =‖f‖√

π

∫ π

−πf(t) sin kt dt

‖f‖ √π

,

(2′)

riconosciamo che i coefficienti ak e bk sono proporzionali, a meno della costante‖f‖/√π, ai coefficienti di correlazione di f con le funzioni cos kx e sin kx rispetti-vamente. Essi misurano dunque il “grado di somiglianza” tra la funzione f e talifunzioni.

serie di Fourier La successione n �→ sn dei polinomi di Fourier della funzione f si chiama serie diFourier della stessa funzione. Siamo interessati a sapere se, e in che senso, sn tendead f per n → ∞. Diamo di seguito alcuni risultati, rimandando, per le dimostrazioniad un qualunque testo che tratti le serie di Fourier, ad esempio al Cap. 3 di MI2.

Proposizione 7.1. Per ogni f ∈ L2[−π, π] si ha

‖sn − f‖ → 0,

e di conseguenza ‖sn‖ → ‖f‖ per n → ∞.

A parole: per ogni funzione di quadrato sommabile, la successione dei suoi poli-nomi di Fourier, cioe la relativa serie di Fourier, converge alla funzione stessa nel sensodella norma quadratica, cioe la norma di L2.

Ricordiamo che la diseguaglianza di Bessel si scrive ‖sn‖ ≤ ‖f‖, cioe, elevando alquadrato entrambi i membri,

π( |a0|2

2+

n∑k=1

[|ak|2 + |bk|2

])≤ ‖ f ‖2.

Abbiamo calcolato il quadrato della norma di sn sfruttando il teorema di Pitagora.Il fatto che la norma di sn tenda alla norma di f per n → ∞, significa che, se nelladiseguaglianza scritta facciamo tendere n all’infinito, otteniamo un’uguaglianza, lacosiddetta uguaglianza di Parseval :

π( |a0|2

2+

∞∑k=1

[|ak|2 + |bk|2

])= ‖ f ‖2.

Osserviamo che da tale identita discende, in particolare, che le due serie∑∞

k=1 |ak|2e

∑∞k=1 |bk|2 sono convergenti, vale a dire le successioni (ak) e (bk) appartengono

allo spazio �2, che abbiamo introdotto nell’esempio 3.3. Come tali, le successioni inquestione tendono a 0 per n → ∞.

7. Serie di Fourier 49

Un problema che si pone in molte applicazioni e quello del comportamento pun-tuale della successione sn, vale a dire, scelto x ∈ [−π, π], ci si chiede sotto qualicondizioni su f la successione numerica sn(x) converga e, in particolare, sotto qualicondizioni converga a f(x). Si trova che la continuita di f nel punto x non e suffi-ciente a garantire la convergenza di sn(x) a f(x), e, in un certo senso, non e neppurenecessaria, in quanto sn(x) puo convergere anche in assenza della continuita di f nelpunto x.

Il comportamento puntuale di sn, cioe il comportamento nel punto x, dipende dalcomportamento locale di f in x, cioe dal comportamento di f in un intorno, di raggioperaltro arbitrario, del punto stesso. Se f e “abbastanza regolare” in un intorno dix, allora la successione sn(x) converge.

condizioni di DiniUna condizione sufficiente che traduce la frase, piuttosto vaga, f e “abbastanzaregolare” e espressa dalle cosiddette condizioni di Dini (dal nome del matematicoitaliano U. Dini, 1845-1918), relative alla funzione f in un intorno di x.

Proposizione 7.2. Se esistono finiti i limiti a sinistra e a destra della funzione fnel punto x:

f(x+) := limt→0+

f(x + t), f(x−) := limt→0+

f(x − t),

e se, per due costanti positive L e α sono verificate (per t > 0 abbastanza piccolo)le condizioni

|f(x + t) − f(x+)| ≤ L tα, |f(x − t) − f(x−)| ≤ L tα,

la serie di Fourier di f converge in x alla somma

s(x) =f(x+) + f(x−)

2.

Le due relazioni

|f(x + t) − f(x+)| ≤ L tα, |f(x − t) − f(x−)| ≤ L tα,

sono certamente verificate se, nel punto x, f ammette pseudo-derivate a sinistra e adestra, cioe esistono finiti i due limiti

limt→0+

f(x + t) − f(x+)t

, limt→0+

f(x − t) − f(x−)t

.

In tutti gli esempi che mostreremo tali condizioni sono soddisfatte.Torniamo alle formule che forniscono i coefficienti di Fourier. Osserviamo che il

primo termine della serie valea0

2=

12π

∫ π

−π

f(t) dt,

dunque fornisce la media integrale di f su un periodo. Sottraendo da f la sua mediaintegrale ci possiamo sempre riportare ad una funzione con media integrale nulla.In termini grafici: possiamo traslare il grafico di f in senso parallelo all’asse delleordinate in modo da avere una funzione periodica con media integrale nulla su ogniperiodo.

Lo sviluppo in serie di una tale funzione si scrive dunque

f(x) =∞∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx

). (3)

Diamo una forma diversa al termine k-esimo, ak cos kx + bk sin kx. Se, per unassegnato k, i coefficienti ak e bk non sono entrambi nulli, ponendo

Ak :=√

a2k + b2

k

si puo scrivere tale termine nella forma


ak cos kx + bk sin kx = Ak

( ak

Akcos kx +

bk

Aksin kx

),

dove (ak/Ak)2 + (bk/Ak)2 = 1. Se dunque si pone

φk := Arg(ak + ibk) ∈ (−π, π],

si ha ak/Ak = cos φk, bk/Ak = sinφk. Ne segue

ak cos kx + bk sin kx = Ak(cos kx cos φk + sin kx sinφk) == Ak cos(kx − φk).

Si puo in definitiva scrivere la serie di Fourier nella forma

f(x) =∞∑

k=1

Ak cos(kx − φk),

intendendo che sia Ak = 0 (e φk arbitrario) per i valori di k per cui risulta ak = bk = 0.Il numero Ak e l’ampiezza del termine oscillatorio cos(k x−φk), cioe, come si dice

in gergo, l’ampiezza della k-esima armonica della funzione f .La successione (Ak) tende a 0, per quanto sappiamo, e cio tanto piu velocemente

quanto piu f e regolare. Possiamo visualizzare alcuni termini di tale successione,ottenendo lo spettro di ampiezza della funzione f . E quanto faremo in alcuni degliesempi con cui chiuderemo il capitolo.

Osserviamo ancora che, in luogo della base ortogonale reale che abbiamo piuvolte considerato, si puo considerare la base costituita da funzioni a valori complessin �→ einx, n ∈ Z, per cui si ha

(einx|eimx) =∫ π

−π

einx e−imx dx ={

2π, se n = m,0, altrimenti.

La serie di Fourier prende la forma

f(x) =∞∑−∞

cn einx,

con

cn :=12π

∫ π

−π

f(x) e−inx dx.

Si ha 2cn = an − ibn, e dunque An = 2|cn|; se la funzione f e a valori reali, si ha poic−n = cn.

Se la variabile x denota il tempo, e abbastanza naturale chiedersi quale legameintercorra tra lo sviluppo di Fourier della funzione x �→ f(x) e quello della funzionex �→ f(x − x0); entrambe descrivono lo stesso fenomeno periodico, ma con scelte di-verse dell’origine dei tempi. In generale, non esiste una scelta privilegiata per l’istantea partire dal quale si inizia ad osservare un fenomeno periodico.

La risposta al quesito posto e particolarmente semplice se si usa la base complessa;infatti i coefficienti dello sviluppo della funzione x �→ f(x − x0) sono dati da

c′n :=12π

∫ π

−π

f(x − x0) e−inx dx =12π

∫ π

−π

f(ξ) e−in(ξ+x0) dξ = e−inx0 cn.

Non si dimentichi che l’integrale di una funzione periodica su un intervallo di lunghezzauguale al periodo e invariante rispetto alla collocazione dello stesso intervallo.

Dunque |c′n| = |cn|, e pertanto lo spettro di ampiezza e invariante rispetto allascelta dell’istante iniziale, come l’intuizione fisica ci suggerisce.


Un elenco di sviluppi in serie di Fourier in forma visuale

1. f(x) =4π

[cos b sinx +

cos 3b

3sin 3x +

cos 5b

5sin 5x + . . .

]

-6 -4 -2 2 4 6

-1

1

π−π

π − bb

La restrizione di f all’intervallo [−π, π] si scrive χ[b,π−b](x) · sgn(x), con 0 < b < π/2.La funzione caratteristica χE(x), con E ⊂ R, vale 1 per x ∈ E, 0 altrimenti; per lafunzione segno si ha sgn(x) = 1 per x > 0, sgn(0) = 0, sgn(x) = −1 per x < 0.

Nel caso limite b = 0 si ottiene lo sviluppo della funzione segno, prolungata inmodo periodico fuori dell’intervallo [−π, π]. La figura seguente mostra i primi cinquepolinomi di Fourier di ordine dispari di tale funzione.

-5

05

-2

-1

0

1

2

5

05

Ed ecco i primi 10 termini dello spettro di ampiezza della funzione segno.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

1

1.5

2

2.5


2. f(x) =2π

[ b

2+ sin b cos x +

sin 3b

3cos 3x +

sin 5b

5cos 5x + . . .

]

-6 -4 -2 2 4 6

1

−π π

−b b

La restrizione di f all’intervallo [−π, π] si scrive χ[−b,b](x), con 0 < b < π/2.

3. f(x) =4π

[cos x − cos 3x

3+

cos 5x

5− cos 7x

7+ . . .

]

-6 -4 -2 2 4 6

-1

1

−π π

La restrizione di f all’intervallo [−π, π] si scrive sgn(π/2 − |x|).

4. f(x) = −2[sin x +

sin 2x

2+

sin 3x

3+ . . .

](↓ grafico monometrico)

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

π

−π

La restrizione di f all’intervallo [−π, π] si scrive x − sgn(x) · π. La figura seguentemostra i primi cinque polinomi di Fourier della funzione considerata.


-5

0

5

-2

0

2

5

0

5

I primi 10 termini dello spettro di ampiezza della funzione f :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

1

1.5

2

5. f(x) =8π2

[sinx − sin 3x

32+

sin 5x

52+ . . .

](↓ grafico monometrico)

-6 -4 -2 2 4 6-1

1

La restrizione di f all’intervallo [−π, π] vale x per |x| ≤ π/2, vale sgn(x) · π − x perπ/2 ≤ |x| ≤ π. La figura seguente mostra i primi cinque polinomi di Fourier dellafunzione considerata.

-50

5-1

0

1

50

5



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

6. f(x) =b

2π+

2π2

[(1 − cos b) cos x +

1 − cos 2b

22cos 2x +

1 − cos 3b

32cos 3x + . . .

]

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

1

−b b

La restrizione di f all’intervallo [−π, π] vale (1 − |x/b|)+ = max{1 − |x/b|, 0}.7. f(x) = (cos x)+ = max{0, cos x} =

=1π

+cos x

2+

2π

(cos 2x

1 · 3 − cos 4x

3 · 5 +cos 6x

5 · 7 + . . .

).

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

1

La figura seguente mostra i primi cinque polinomi di Fourier della funzione f .

-5

0

5

0

0.5

1

5

0

5



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

8. f(x) = | cos x| =2π

+4π

(cos 2x

1 · 3 − cos 4x

3 · 5 +cos 6x

5 · 7 + . . .

).

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

1

La figura seguente mostra i primi cinque polinomi di Fourier della funzione f .

-50

50

0.5

1

05

La funzione f e periodica di periodo π. I primi 10 termini dello spettro di ampiezzadella funzione f :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

8. Polinomi ortogonali

Nell’esempio 4.7 abbiamo introdotto i polinomi di Legendre; si tratta dei polinomiche si ottengono se si applica il procedimento di Gram-Schmidt alla successione deimonomi

1, x, x2, x3, . . .

considerati come appartenenti allo spazio L2[−1, 1]. In questo capitolo passeremobrevemente in rassegna tali polinomi, ad altri polinomi ortogonali analoghi, limitan-doci a fornire i principali risultati ma senza fornire dimostrazioni. Tali dimostrazionisono reperibili nell’ultima versione del Capitolo 8 del volume

Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli 2001.http://eulero.ing.unibo.it/~barozzi/MI2/PDF/MI2-Cap.8-A.pdf

I polinomi di Legendre a suo tempo ottenuti sono in forma monica, cioe hanno ilcoefficiente del termine di grado massimo uguale a 1. Per tali polinomi e disponibileuna forma compatta, nota come formula di Rodrigues:

zn(x) :=n!

(2n)!dn

dxn(x2 − 1)n.

Si preferisce tuttavia usare un diverso coefficiente moltiplicativo per ottenere poli-nomi che valgono 1 per x = 1. La definizione e data nel riquadro seguente.

Polinomi di Legendre

Spazio: L2[−1, 1]

Definizione:

Pn(x) :=1

2n n!dn

dxn(x2 − 1)n.

Relazioni di ortogonalita:

(Pn|Pm) =∫ 1

1

Pn(x) Pm(x) dx =

{0, se n = m,

22n + 1

, se n = m.

Equazione differenziale:[(1 − x2) P ′

n(x)]′ + n(n + 1)Pn(x) = 0.

Funzione generatrice:

F (x, z) :=∑n≥0

Pn(x) zn =1√

1 − 2xz + z2,

x ∈ [−1, 1], |z| < 1.

Relazione ricorsiva a tre termini: P0(x) = 1, P1(x) = x,

∀n > 0, (n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)x Pn(x) − n Pn−1(x).

La Tabella 7.1 mostra alcuni polinomi Pn e la figura 7.1 ne mostra i grafici.

8. Polinomi ortogonali 57

Tabella 8.1. Alcuni polinomi di Legendre

grado n Pn(x)

0 1

1 x

2 3x2/2 − 1/2

3 5x3/2 − 3x/2

4 35x4/8 − 15x2/4 + 3/8

5 63x5/8 − 35x3/4 + 15x/8

6 231x6/16 − 315x4/16 + 105x2/16 − 5/16

-1

-0.5 0.5

1

-1

-0.5

0.5

1

P1

P2

P3P4

Figura 8.1.

Grafici dei polinomi

di Legendre Pn(x),

n = 1, 2, 3, 4.

La conoscenza delle norma dei polinomi Pn ci consente la loro utilizzazione a scopodi approssimazione, esattamente come si fa con le funzioni circolari o le funzioni diWalsh.

-1 1

-1

1

-1 1

-0.01

0.01

Figura 8.2. A sinistra: grafico della funzione f(x) = sin(πx) (in grigio) a cui e sovrapposto

il grafico della sua approssimazione mediante il polinomio s5 = c1P1 + c3P3 + c5P5; a destra

viene mostrato l’errore f − s5 (si osservi l’unita di misura sull’asse delle ordinate).

Esempio 8.1. Consideriamo la funzione f(x) = sin(πx) sull’intervallo [−1, 1]; sevogliamo approssimarla con un polinomio di grado ≤ 5 possiamo utilizzare unacombinazione lineare di polinomi di Legendre dello stesso grado. Trattandosi diuna funzione dispari, compariranno soltanto i termini di indice dispari. La figura


8.2 mostra, in grigio, il grafico della funzione f e in nero il grafico del polinomios5(x) = c1P1(x) + c3P3(x) + c5P5(x); a destra viene mostrato l’errore f − s5.

Passiamo brevemente a trattare dei polinomi di Cebysev, cosı denominati dal nomedel matematico russo P.L. Cebysev (1821-1894). Si tratta di polinomi ortogonali sullospazio L2

w[−1, 1], con peso w(x) = 1/√

1 − x2.Per comprendere la genesi di tali polinomi, consideriamo in seguente problema: e

possibile calcolare cos nt, con n intero, noto cos t ?Posto c := cos t e s := sin t, abbiamo

eint = (eit)n = (c + is)n;

Supposto n ≥ 2, si sviluppa il secondo membro con la formula del binomio e siuguagliano a primo e a secondo membro le parti reali, ottenendo l’identita

cos nt =∑

0≤k≤n/2

(n

2k

)(−1)kcn−2ks2k.

Tenendo presente che s2 = 1− c2, si deduce che cos nt si puo scrivere sotto formadi polinomio di grado n nella variabile c:

cos nt =∑

0≤k≤n/2

(n

2k

)(−1)kcn−2k(1 − c2)k =: Tn(c).

Tn e pari per n pari, dispari per n dispari.La Tabella 8.2 mostra alcuni polinomi di Cebysev e la figura 8.3 ne mostra i grafici.

Polinomi di Cebysev

Spazio: L2w[−1, 1], con peso w(x) = 1/

√1 − x2.

Definizione:

Tn(x) := cos(n arccos x) =∑

0≤k≤n/2

(n

2k

)(−1)kxn−2k(1 − x2)k,

n ∈ N, x ∈ [−1, 1].

Relazioni di ortogonalita:∫ 1

−1

Tn(x)Tm(x)√1 − x2

dx =∫ π

0

cos nt cos mt dt =

{ 0, se n = m,π/2, se n = m > 0,π, se n = m = 0.

Equazione differenziale:

(1 − x2)T ′′n (x) − x T ′

n(x) + n2 Tn(x) = 0.


F (x, z) =∑n≥0

Tn(x) zn =12

[ 11 − eit z

+1

1 − e−it z

]=

=1 − xz

1 − 2xz + z2,

x ∈ [−1, 1], |z| < 1.

Relazione ricorsiva a tre termini: T0(x) = 1, T1(x) = x,

∀n > 0, Tn+1(x) = 2x Tn(x) − Tn−1(x), n ≥ 1.


Tabella 8.2. Alcuni polinomi di Cebysev

grado n Tn(x)

0 1

1 x

2 −1 + 2x2

3 −3x + 4x3

4 1 − 8x2 + 8x4

5 5x − 20x3 + 16x5

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

T1

T2

T3 T4

Figura 8.3.

Grafici dei polinomi

di Cebysev Tn(x),

n = 1, 2, 3, 4.

Possiamo utilizzare i polinomi di Cebysev a scopo di approssimazione esattamentecome abbiamo fatto con i polinomi di Legendre.

-1 1

-1

1

-1 1

0.006

Figura 8.4. A sinistra: grafico della funzione f(x) = sin(πx) (in grigio) a cui e sovrapposto

il grafico della sua approssimazione mediante il polinomio s5 = c1T1 + c3T3 + c5T5; a destra

viene mostrato l’errore f − s5 (si osservi l’unita di misura sull’asse delle ordinate).

Esempio 8.2. Riprendiamo in considerazione la funzione f(x) = sin(πx) sull’inter-vallo [−1, 1]; vogliamo approssimarla con una somma del tipo s5(x) = c1T1(x)++c3T3(x) + c5T5(x), analogamente a quanto abbiamo fatto nell’esempio precedente.I coefficienti sono dati dalla formula

cn =(f |Tn)w

‖Tn‖2w

=2π

∫ 1

−1

f(x) Tn(x)√1 − x2

dx,

che puo essere valutata con metodi numerici. L’indice w posto in basso specifica ilfatto che stiamo utilizzando il prodotto scalare pesato


(f | g)w :=∫ 1

−1

f(x) g(x)√1 − x2

dx.

e la norma da esso indotta. La figura 8.4 mostra, in grigio, il grafico della funzione fe in nero il grafico del polinomio s5; a destra viene mostrato l’errore f − s5.

Possiamo considerare spazi di tipo L2 su intervalli illimitati, ad esempio sull’inter-vallo [0,+∞). Le funzioni polinomiali non sono sommabili su tale intervallo, ma losono rispetto al peso w(x) = e−x. Ricordiamo, incidentalmente, che si ha∫ +∞

0

e−x xn dx = n!,

come si puo mostrare per induzione. Il procedimento di ortogonalizzazione dei monomi1, x, x2, . . . conduce ai polinomi di Laguerre, cosı denominati dal nome del matematicofrancese E.N. Laguerre (1834-1886).

Polinomi di Laguerre

Spazio: L2w[R+], con peso w(x) = e−x.

Definizione:

Ln(x) :=ex

n!Dn[e−x xn], n ∈ N.


(Ln |Lm)w =∫ +∞

0

Ln(x) Lm(x) e−x dx ={

0, se n = m,1, se n = m.


xL′′n(x) + (1 − x)L′

n(x) + nLn(x) = 0.


∑n≥0

Ln(x) zn =e−xz/(1−z)

1 − z, |z| < 1.

Relazione ricorsiva a tre termini: L0(x) = 1, L1(x) = 1 − x,

∀n > 0, (n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1 − x) Ln(x) − n Ln−1(x) = 0.

La tabella seguente mostra alcuni polinomi di Laguerre.

Tabella 8.3. Alcuni polinomi di Laguerre

grado n Ln(x)

0 1

1 1 − x

2 1 − 2x + x2/2

3 1 − 3x + 3x3/2 − x3/6

4 1 − 4x + 3x2 − 2x3/3 + x4/24

5 1 − 5x + 5x2 − 5x3/3 + 5x4/24 − x5/120


Possiamo finalmente considerare i polinomi di Hermite, cosı chiamati dal nomedel matematico francese C. Hermite (1822-1901); si tratta di polinomi ortogonali sullospazio L2

w[R], con peso w(x) = e−x2. A tale spazio, come nel caso dei polinomi di

Laguerre, appartengono le funzioni polinomiali.

Polinomi di Hermite

Spazio: L2w[R], con peso w(x) = e−x2

.

Definizione:

Hn(x) := (−1)nex2Dn[e−x2

], n ∈ N.


(Hn |Hm)w =∫

R

e−x2Hn(x) Hm(x) dx =

{0, se n = m,2n n!

√π, se n = m.


H ′′n(x) − 2x H ′

n(x) + 2n Hn(x) = 0.

Funzione generatrice:∑n≥0

Hn(x) zn = e2xz−z2

Formula ricorsiva a tre termini: H0(x) = 1, H1(x) = 2x

∀n > 0, Hn+1(x) = 2x Hn(x) − 2n Hn−1(x).

Appendice 8.A. Polinomi ortogonali e formule di quadratura

In questa appendice vogliamo occuparci del calcolo approssimato di integrali del tipo∫I

w(x) f(x) dx

dove I e un intervallo, limitato o meno, della retta reale e w un’assegnata funzionepeso. Il problema si pone ogniqualvolta non sia possibile esprimere in termini elemen-tari una primitiva della funzione integranda.

Faremo alcune ipotesi sulla funzione peso:1. w e non negativa e sommabile su I, e non e identicamente nulla su alcun sottoin-

tervallo compatto [α, β] ⊆ I, con α < β;2. tutti i “momenti” µk :=

∫Ixk w(x) dx, k ∈ N, esistono finiti;

3. µ0 :=∫

Iw(x) dx > 0.

Non e difficile dimostrare che le ipotesi ammesse sulla funzione peso w implicanoche

∫Iw(x) p(x) dx > 0, per ogni polinomio non negativo p :

Lemma. Sia p(x) ≥ 0 un polinomio non identicamente nullo; allora∫I

w(x) p(x) dx > 0.

Dimostrazione. Sia, per assurdo,∫

Iw(x) p(x) dx = 0. Poiche gli zeri di p sono in

numero finito, scegliamo un intervallo [α, β], con α < β, su cui p sia positivo; siam := minx∈[α,β] p(x) > 0. Per la non-negativita del prodotto w(x) p(x) avremmo

0 ≤ m

∫ β

α

w(x) dx ≤∫ β

α

w(x) p(x) dx ≤∫

I

w(x) p(x) dx = 0,

e questo implicherebbe che w e identicamente nulla su [α, β].


Riprendiamo in considerazione i polinomi ortogonali che abbiamo studiato inprecedenza. Salvo fattori di normalizzazione, tutti sono stati ottenuti mediante or-togonalizzazione della successione dei monomi xk, k ∈ N, rispetto ad un prodottoscalare del tipo

(f | g)w :=∫

I

w(x) f(x) g(x) dx,

dove I e un opportuno intervallo e w una funzione peso definita su di esso. La tabellaseguente specifica le scelte fatte caso per caso.

E immediato verificare che la funzione peso w verifica, in ciascuno dei quattro casiconsiderati, le ipotesi ammesse all’inizio.

Tabella 8.A-1. Polinomi ortogonali

I w(x) Simbolo Denominazione

[−1, 1] 1 Pn Polinomi di Legendre

[−1, 1] (1 − x2)−1/2 Tn Polinomi di Cebysev

R+ = [0,+∞) e−x Ln Polinomi di Laguerre

R = (−∞,+∞) e−x2Hn Polinomi di Hermite

Nel seguito indichiamo genericamente col simbolo pn il polinomio ortogonale digrado n, appartenente ad una qualunque delle quattro famiglie considerate. Poichesiamo esclusivamente interessati alle proprieta di ortogonalita e agli zeri di ciascunpolinomio, possiamo supporre che i polinomi in esame siano monici (= aventi coeffi-ciente direttivo uguale a 1); in particolare si ha p0(x) = 1.

Sappiamo che, per ogni n, i polinomi p0, p1, . . . , pn costituiscono una base or-togonale dello spazio Pn dei polinomi di grado ≤ n, dove l’ortogonalita si riferisceall’appropriato prodotto scalare. Se q e un polinomio di grado r < n, esso puoscriversi come combinazione lineare dei polinomi p0, p1, . . . , pr: q(x) =

∑rk=0 ckpk(x);

ne segue che esso e ortogonale a pn:

(q | pn)w = 0. (1)

Generalizziamo quanto gia avevamo congetturato sugli zeri dei polinomi di Le-gendre e di Cebysev, in base all’esame dei grafici:

Proposizione 8.A-1. Gli zeri xi, i = 1, 2, . . . , n, di pn sono reali, semplici edinterni all’intervallo I.

Dimostrazione. Siano x1, x2, . . . , xr, r ≤ n, gli zeri di pn interni ad I e di molteplicitadispari, cioe quelli in corrispondenza dei quali pn cambia segno. La nostra tesi saradimostrata se faremo vedere che r = n. Sia

q(x) :=r∏

k=1

(x − xk);

il polinomio pn(x)q(x) non cambia segno su I (in quanto pn e q cambiano segno neglistessi punti) e, salvo cambiare q in −q, possiamo supporre che sia pn(x)q(x) ≥ 0. Sefosse r < n, in virtu della (1) avremmo che q e ortogonale a pn:

0 = (q | pn)w =∫

I

w(x) pn(x) q(x) dx,

in contraddizione con quanto ci assicura il lemma precedente.

La proposizione seguente ci assicura che, campionando i polinomi ortogonali p0,p1, . . . , pn−1 in n punti distinti dell’intervallo I, si ottiene una matrice invertibile.


Proposizione 8.A-2. Se i punti ti, i = 1, 2, . . . , n, sono a due a due distinti,allora la matrice

A :=

p0(t1) p0(t2) . . . p0(tn)p1(t1) p1(t2) . . . p1(tn)

......

. . ....

pn−1(t1) pn−1(t2) . . . pn−1(tn)

e invertibile.

Dimostrazione. Se A fosse singolare, tale sarebbe anche la sua trasposta AT ; per-tanto esisterebbe un vettore non nullo c = (c0, c1, . . . , cn−1)T tale che AT c = 0. Ciosignifica che

∑n−1k=0 ck pk(ti) = 0 per i = 1, 2, . . . , n.

Allora il polinomio q(x) :=∑n−1

k=0 ck pk(x), di grado < n, e identicamente nulloin quanto possiede n zeri distinti. Cio e in contraddizione col fatto che i polinomip0, p1, . . . , pn−1 sono linearmente indipendenti, in quanto ortogonali.

Il risultato seguente mostra che e possibile calcolare in modo approssimato unintegrale del tipo considerato all’inizio, cioe

∫Iw(x) f(x) dx, mediante una somma del

tipo∑n

i=1 wi f(xi), dove i punti xi sono gli zeri dell’n-esimo polinomio ortogonale pn

e i “pesi” wi sono scelti in modo opportuno:∫I

w(x) f(x) dx ≈n∑

i=1

wi f(xi).

La scelta dei punti base xi e dei pesi ad essi relativi fa sı che la formula sia esattaogniqualvolta f e una funzione polinomiale di grado ≤ 2n − 1.

Proposizione 8.A-3. Siano xi, i = 1, 2, . . . , n, gli zeri di pn e sia (w1, w2, . . . , wn)la soluzione del sistema

n∑i=1

pk(xi)wi ={

(p0 | p0)w, se k = 0,0, se k = 1, 2, . . . , n − 1;

(2)

allora wi > 0, e∫I

w(x) p(x) dx =n∑

i=1

wi p(xi) (3)

per ogni polinomio p di grado ≤ 2n − 1.

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che la matrice del sistema (2), cioe

A :=

p0(x1) p0(x2) . . . p0(xn)p1(x1) p1(x2) . . . p1(xn)

......

. . ....

pn−1(x1) pn−1(x2) . . . pn−1(xn)

e invertibile in virtu delle due proposizioni appena dimostrate. Dunque tale sistemaammette una ed una sola soluzione. Sia p un arbitrario polinomio di grado ≤ 2n− 1;calcoliamo il quoziente e il resto della divisione di p per pn:

p(x) = q(x) pn(x) + r(x),

dove q e r hanno grado ≤ n−1, quindi q(x) =∑n−1

k=0 αk pk(x), r(x) =∑n−1

k=0 βk pk(x).Allora, in base all’ortogonalita tra i polinomi pk, si ha∫

I

w(x) p(x) dx =∫

I

w(x) q(x) pn(x) dx +∫

I

w(x) r(x) dx =

= (q | pn) + (r| p0) =n−1∑k=0

βk(pk| p0) =

= β0(p0| p0).


D’altra parte p(xi) = r(xi), in quanto pn(xi) = 0 per ogni i, quindi, sfruttando ilfatto che i pesi wi sono soluzioni del sistema (3), si ha

n∑i=1

wi p(xi) =n∑

i=1

wi r(xi) =n∑

i=1

wi

( n−1∑k=0

βkpk(xi))

=n−1∑k=0

βk

( n∑i=1

pk(xi)wi

)=

= β0(p0 | p0).

La (3) e dunque dimostrata. Se xi, i = 1, 2, . . . , n, sono n punti interni all’inter-vallo I e wi sono pesi corrispondenti per cui valga la (3) per ogni polinomio p di grado≤ 2n− 1, allora necessariamente i pesi sono tutti positivi. Basta infatti considerare ipolinomi di grado 2n − 2

qj(x) :=n∏

h=1h�=j

(x − xh)2.

In virtu del lemma iniziale e di quanto appena dimostrato si ha

0 <

∫I

w(x) qj(x) dx =n∑

i=1

wi qj(xi) = wj qj(xj) = wj

n∏h=1h�=j

(xj − xh)2,

dunque ciascun wj e positivo in quanto rapporto tra quantita positive.

Osserviamo che le piu semplici formule di quadratura, cioe la formula dei rettan-goli, quella di trapezi e la formula di Simpson, approssimano l’integrale di f su unintervallo compatto [a, b] mediante una somma del tipo

∑ni=1 wi f(xi), dove i punti

xi sono equispaziati nell’intervallo in questione.La scelta dei punti xi come zeri del polinomio pn (si tratta di punti non equis-

paziati) consente di ottenere una piu elevata precisione rispetto alle formule citate.Un integrale sull’intervallo compatto I = [a, b] con peso w(x) = 1 puo sempre

essere riportato ad un integrale analogo su [−1, 1] mediante il cambiamento di variabilet = (2x − a − b)/(b − a). Siamo dunque nel caso dei polinomi di Legendre; i risultatiche stiamo riportando sono dovuti a Gauss, e sono spesso citati come formule diquadratura gaussiane.

Nalla Tabella seguente diamo alcuni valori dei punti xi e dei relativi pesi wi, pervalori di n da 1 a 5.

Tabella 8.A-2. Formule di quadratura gaussiane

n wi xi

1 w1 = 2 x1 = 0

2 w1 = w2 = 1 x2 = −x1 = 0.577 350 . . .

3 w1 = w3 = 5/9 x3 = −x1 = 0.774 596 . . .w2 = 8/9 x2 = 0

4 w1 = w4 = 0.347 854 . . . x4 = −x1 = 0.861 136 . . .w2 = w3 = 0.652 145 . . . x3 = −x2 = 0.339 981 . . .

5 w1 = w5 = 0.236 926 . . . x5 = −x1 = 0.906 179 . . .w2 = w4 = 0.478 628 . . . x4 = −x2 = 0.538 469 . . .w3 = 0.568 888 . . . x3 = 0

Si osservi che la prima equazione del sistema (2) si scrive semplicemente∑n

i=1 wi ==

∫Iw(x) dx; essa corrisponde al fatto che la (3) e esatta per la funzione costante 1.

Nel caso dei polinomi di Legendre l’ultimo integrale vale 2.

9. Elaborazione di immagini

Siano [a, b] e [c, d] due intervalli della retta reale; lo spazio L2([a, b]× [c, d]) e costituitodalle funzioni f : [a, b] × [c, d] → C, per cui risulta∫ b

a

∫ d

c

|f(x, y)|2 dx dy < +∞.

Se f e g sono due funzioni di tale spazio, il loro prodotto scalare e

(f |g) =∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) g(x, y) dx dy;

poiche in questo capitolo ci limiteremo a considerare funzioni a valori reali, tale for-mula si scrive semplicemente

(f |g) =∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) g(x, y) dx dy. (1)

Se poi le funzioni f e g sono entrambe il prodotto di una funzione della sola x peruna funzione della sola y, cioe f(x, y) = f1(x) f2(y), g(x, y) = g1(x) g2(y), allora

(f |g) =∫ b

a

f1(x) g1(x) dx

∫ d

c

f2(y) g2(y) dy. (2)

Se dunque f1 e g1 sono ortogonali in L2[a, b], oppure f2 e g2 sono ortogonali inL2[c, d], allora f e g sono ortogonali in L2([a, b] × [c, d]). Inoltre, per f = g si trova

‖f‖2 =∫ b

a

f1(x)2 dx

∫ d

c

f2(y)2 dy = ‖f1‖2 ‖f2‖2.

Esempio 9.1. Le funzioni di Walsh wn,i(x), che possiamo considerare definite sull’in-tervallo [0, 1], sono tra loro ortogonali in L2[0, 1].

Possiamo allora costruire una famiglia di funzioni ortogonali in L2([0, 1] × [0, 1])ponendo

wn,i,j(x, y) := wn,i(x)wn,j(y), i, j = 1, 2, . . . , 2n.

La figura 9.1 illustra le 64 funzioni w3,i,j(x, y).

La formula (1), che definisce il prodotto scalare tra due funzioni f(x, y) e g(x, y)dello spazio L2([a, b] × [c, d]), si semplifica se una delle funzioni e costante a tratti,come nel caso delle funzioni di Walsh.

Siano

xh := a + h(b − a)/m, h = 0, 1, 2, . . . , m,

i punti che operano una scomposizione dell’intervallo [a, b] in m parti uguali e siano

yk := a + k(b − a)/n, k = 0, 1, 2, . . . , n,

i punti che operano una scomposizione dell’intervallo [c, d] in n parti uguali. Se g ecostante su ciascuno dei rettangoli ]xh−1, xh[×]yk−1, yk[ e ivi vale ghk, allora si ha

(f |g) =m∑

h=1

n∑k=1

ghk

∫ xh

xh−1

∫ yk

yk−1

f(x, y) dx dy. (1′)


Figura 9.1.

Le 8 funzioni

w3,i(x), i = 1, . . . , 8,

generano 64 funzioni

w3,i,j(x, y) := w3,i(x) w3,j(y),

i = 1, . . . , 8, j = 1, . . . , 8.

La figura utilizza il

codice: 1 = nero,

−1 = bianco.

Se poi anche f e costante a tratti relativamente alla scomposizione gia considerata,e i valori che essa assume sono fhk, allora la formula precedente diventa

(f |g) =b − a

m

d − c

n

m∑h=1

n∑k=1

fhk ghk. (1′′)

Possiamo allora introdurre le matrici F := [fhk] e G := [ghk] di dimensione m×ne definire il prodotto scalare canonico tra esse ponendo

F • G :=m∑

h=1

n∑k=1

fhk ghk. (3)

In effetti si tratta del prodotto scalare canonico tra i due vettori ad m · n compo-nenti che si ottengono concatenando le righe delle due matrici in gioco, cioe “appiat-tendo” tali matrici.

Con questa notazione abbiamo finalmente

(f |g) =b − a

m

d − c

nF • G. (1′′′)

In realta la figura 9.1 e stata costruita lavorando direttamente sulle righe dellamatrice di Walsh W3. Se indichiamo col simbolo w3,i, i = 1, 2, . . . , 8, le righe di talematrice, intese come matrici 8 × 1, abbiamo costruito le 64 matrici 8 × 8

W3,i,j := wT3,i w3,j , i, j = 1, 2, . . . , 8

e le abbiamo rappresentate col codice 1 = nero, −1 = bianco. I quadrati delle normedi tali matrici valgono tutte 64.

La stessa cosa puo essere fatta a partire dalle righe della matrice C8 che abbiamocostruito nell’esempio 3.6. Le 64 matrici

C8,i,j := cT8,i c8,j , i, j = 0, 1, 2, . . . , 7

sono tra loro ortogonali, come conseguenza dell’ortogonalita dei vettori c8,i e sonorappresentate dalla figura 9.2, usando livelli di grigio che vanno da −1 = bianco, a1 = nero.

Quanto ai quadrati delle norme di tali matrici, tenendo conto del fatto che

9. Elaborazione di immagini 67

Figura 9.2.

Rappresentazione delle matrici

cT8,i c8,j , i, j = 0, 1, 2, . . . , 7. La

figura utilizza livelli di grigio

che vanno da 1 = nero, a

−1 = bianco.

‖c8,i‖2 ={

8, per i = 0,4 per 0 < i ≤ 7,

si trova

‖cT8,i c8,j‖2 =

{ 64, per i = j = 0,32, per i = 0, 0 < j ≤ 7 oppure 0 < i ≤ 7, j = 0,16 per 0 < i ≤ 7, 0 < j ≤ 7.

Nell’era digitale un’immagine e una collezione di punti sullo schermo o sulla pagi-na, detti pixel (picture elements). Nel caso di un’immagine in bianco e nero, in defini-tiva si ha una matrice di numeri che corrispondono a vari livelli di grigio. Scarichiamodalla rete un’immagine JPEG, ad esempio un ritratto di F.W. Bessel; il lettore lo tro-vera all’indirizzo

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Bessel.html.

Figura 9.3.

Questo ritratto di Bessel e

un’immagine in formato

JPEG costituita da una

matrice di 326 × 268

punti.


Utilizzando il software Mathematica possiamo estrarre la matrice di interi (com-presi tra 0 e 255) che rappresentano i livelli di grigio dei punti che formano l’immagine.Sia B tale matrice.

Possiamo comprimere tale immagine in vari modi. Ad esempio possiamo imma-ginare di suddividere, in un primo tempo, le righe della matrice B a coppie e poi disostituire ogni coppia di elementi allineati in verticale con un unico elemento ugualealla media aritmetica degli elementi considerati. Per fare cio basta pre-moltiplicarela matrice data per una matrice di compressione, secondo la definizione che abbiamointrodotto a termine del Capitolo 4; in questo caso si trattera della matrice M326,2.

Figura 9.4.

L’immagine precedente e stata

compressa di un fattore 2 in

senso verticale.

Dal punto di vista dell’immagine: ogni coppia di pixel allineati in verticale vienesostituita da un singolo pixel. Il risultato e mostrato nella figura 9.4.

Analoga compressione possiamo applicare ora alle colonne della matrice ottenuta,post-moltiplicando per la trasposta della matrice di compressione M268,2, ottenendofinalmente la matrice M326,2 B MT

268,2.In definitiva abbiamo sostituito ad ogni blocco di 2×2 pixel dell’immagine originale

un singolo pixel, mediando 4 valori di grigio. L’immagine iniziale e stata ridotta diun fattore 4, e la perdita di definizione puo essere ritenuta ancora accettabile perdeterminati usi dell’immagine stessa.

Figura 9.5.

L’immagine iniziale,

mostrata nella figura

9.3, e stata compressa

di un fattore 4.


Da un punto di vista matematico abbiamo proceduto nel seguente modo. Lamatrice B e un elemento dello spazio R

326×268. Un sottospazio di tale spazio, aventedimensione 326/2 × 268/2 = 163 × 134 e costituito dalle matrici a blocchi 2 × 2, incui i 4 elementi di ciascun blocco sono uguali tra loro.

Un base ortogonale di tale sottospazio e costituita dalle matrici (che siamo tentatidi chiamare canoniche) che sono nulle tranne un blocco 2 × 2 di elementi unitari,all’incrocio tra le righe di indici 2i − 1, 2i, e le colonne di indice 2j − 1, 2j, dovei = 1, 2, . . . , 163, j = 1, 2, . . . , 134.

Formalmente

Ei,j :=[ei,j [h, k]

],

dove gli elementi ei,j [h, k] sono definiti nel modo seguente:

ei,j [h, k] :={

1, se (h = 2i − 1 ∨ h = 2i) ∧ (k = 2j − 1 ∨ k = 2j),0, altrimenti.

Cio che noi abbiamo fatto e stato semplicemente proiettare B sul sottospazioconsiderato, calcolando le coordinate di B rispetto alle matrici Ei,j della sua baseortogonale, e finalmente sostituire B con la matrice delle coordinate calcolate.

Possiamo procedere in molti altri modi per comprimere un’immagine. Ad esem-pio, eliminiamo alcune righe e alcune colonne della matrice B in modo che le suedimensioni siano multiple di 8. Bastera scartare 6 righe e 4 colonne per ottenere unamatrice 320 × 264, che indicheremo ancora col simbolo B.

Immaginiamo ora di suddividere B in blocchi 8×8, e poi di approssimare ciascunblocco proiettandolo sul sottospazio di R

64 generato da alcune delle funzioni di Walshw3,i,j(x, y) := w3,i(x) w3,j(y), per i, j = 1, 2, . . . , 8.

Piu precisamente, consideriamo il sottospazio generato dalle funzioni w3,i,j(x, y)per i, j che vanno da 1 a n, dove ci riserviamo di scegliere in un secondo tempo ncompreso tra 1 e 8.

Ad esempio scegliendo n = 4, utilizziamo le 16 funzioni che sono rappresentatenelle prime 4 righe e nelle prime 4 colonne della figura 9.1. E chiaro che quantomaggiore e n, tanto piu utilizziamo funzioni di Walsh che sono in grado di mostraredettagli “fini” dell’immagine che vogliamo approssimare.

Se ora indichiamo con T un qualunque “tassello” 8 × 8 della matrice B, la suaproiezione ortogonale sul sottospazio che stiamo considerando e rappresentata dallamatrice

n∑i,j=1

W3,i,j • T

64W3,i,j .

Dopodiche ricomponiamo una matrice 320× 264 assemblando le proiezioni calcolate.I risultati delle successive approssimazioni, per n = 1, 2, 4, 6, sono rappresentati

nella figura seguente. Per n = 8 avremmo ottenuto un’immagine identica a quella dipartenza.

Si osservi che, per n = 4, abbiamo sostanzialmente ottenuto nuovamente l’imma-gine mostrata nella figura 9.5, nel senso che si tratta di un’immagine suddivisa inblocchi 2 × 2, formati da pixel con lo stesso livello di grigio.

I rapporti

cij :=W3,i,j • T

64sono i “coefficienti di Fourier-Walsh” della matrice T rispetto al sistema ortogonalecostituito dalle matrici W3,i,j , per i, j = 1, 2, . . . , 8.

Possiamo evidenziare tali coefficienti partendo da immagini di maggiori dimen-sioni. Ad esempio, nella figura 9.7, vengono mostrate, nella prima fila, alcune imma-gini 64 × 64, e, nella seconda fila, le corrispondenti matrici [ |cij | ], dove i coefficienti


Figura 9.6. Ciascun bloccco 8 × 8 della matrice corrispondente all’immagine della figura

9.1 viene proiettato sul sottospazio generato dalle funzioni w3,i,j(x, y) per i, j che vanno da

1 a n. Dall’alto al basso, da sinistra a destra: n = 1, n = 2, n = 4, n = 6.

sono calcolati rispetto alla matrici di Walsh W6,i,j , i, j = 1, 2, . . . , 64. Si tratta dunquedegli spettri di ampiezza delle immagini della prima riga.

Per una migliore leggibilita, abbiamo invertito il criterio utilizzato per le immaginidella seconda riga: i valori assoluti maggiori sono in scuro, quelli minori in chiaro (inparticolare i valori nulli sono in bianco).

La prima immagine e un particolare del ritratto di Bessel. Come si vede, i coeffi-cienti cij hanno un andamento irregolare, quelli di valore maggiore essendo concentrativicino all’origine degli assi: si tratta dunque di coefficienti relativi a funzioni di Walshpoco oscillanti. Se si parte da immagini dotate di forte regolarita si ottengono spettridi ampiezza dotati di forti simmetrie.

Quello che abbiamo fatto utilizzando le funzioni di Walsh e le relative matrici


Figura 9.7. Nella prima riga vengono mostrate alcune immagini 64× 64, nella seconda riga

i valori assoluti dei corrispondenti coefficienti di Fourier-Walsh; i valori nulli sono in bianco,

i valori massimi in nero.

puo essere ripetuto utilizzando le funzioni e le matrici introdotto nell’esempio 3.6,costruite a partire dalla funzione coseno. Si tratta delle funzioni rappresentate dalle64 matrici

C8,i,j = cT8,i c8,j , i, j = 0, 1, 2, . . . , 7.

Alcuni esperimenti al riguardo sono mostrati nella figura 9.8.

Figura 9.8. Ciascun bloccco 8 × 8 della matrice corrispondente all’immagine della figura

8.1 viene proiettato sul sottospazio generato dalle matrici C8,i,j per i, j che vanno da 1 a n.

A sinistra n = 2, a destra n = 4.

Se si confrontano le due immagini appena ottenute con la seconda e la terzaimmagine mostrate nella figura 9.6, si constata che l’uso delle matrici C8,i,j da risultatipiu accurati di quelli che si ottengono con le matrici W3,i,j .

Esercizi

9.1. Siano a1, a2 due vettori di Rm, b1, b2 due vettori di R

n. Verificare che, per lematrici m × n, aT

1 b1 e aT2 b2 si ha


(aT

1 b1

)•(aT

2 b2

)=

(a1 • a2

)(b1 • b2

).

Dunque se a1 e a2 sono tra loro ortogonali (oppure b1 e b2 sono tra loro ortogonali)tali sono le matrici aT

1 b1 e aT2 b2.

Nell’ipotesi che sia a1 = a2 = a, b1 = b2 = b, verificare che

‖aT b‖2 = ‖a‖2 ‖b‖2.

Suggerimento. Se indichiamo con ak[i] e bk[j], k = 1, 2, le componenti dei vettori ingioco, abbiamo

(aT

1 b1

)•(aT

2 b2

)=

∑mi=1

∑nji=1 a1[i] b1[j] a2[i] b2[j] = . . .

Bibliografia

[1] G.C. Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli, 1998;[2] G.C. Barozzi: Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli, 2001:[3] G.B. Folland: Fourier Analysis, Wadsworth & Brooks/Cole, 1992;[4] R.W. Hamming: The Art of Doing Science and Engineering, Gordon and Breach,

1997;[5] A.V. Oppenheim, R.W. Schafer: Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall,

1989.[6] S. Wolfram: A New Kind of Science, Wolfram Media, 2002.

7. Serie di Fourier - Politecnico di Torino · 7. Serie di Fourier 49 Un problema che si pone in...

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