Post on 15-Jun-2015
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RESISTENCIARESISTENCIADEDEMATERIALESMATERIALES
DEFORMACIONESDEL SÓLIDO ELÁSTICO
ESTADO DE DEFORMACIÓN
DEFORMACIONES LONGITUDINALES Y DISTORSION EFECTO POISSON - “μ” : COEFICIENTE DE POISSON
RELACION TENSION-DEFORMACION
)1.(2.
.
E
G
G
E
xyxy
xx
E – μ – G: CONSTANTES ELASTICAS DEL MATERIAL
AC
CC
AC
ACCA
AB
BB
AB
ABBA
y
x
´´´´
)(´´´´
221xy
DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTOPARA EL ESTADO ELÁSTICO PLANO
VARIACION LONGITUDINAL ESPECIFICA
DISTORSION = VARIACION ANGULO RECTO
ESTADO PLANO DE DEFORMACIÓN
ESTADO PLANO DE DEFORMACIONAPLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
DEFORMACIONES DEBIDAS AL ALARGAMIENTO EN LA DIRECCION “x”
cos...."
,1,1 sends
sendx
ds
DDtg x
xxx
2
, cos.cos.cos.cos..´´´
xxx
s ds
dx
ds
DDx
cos..cos.."
,1,1 sends
dy
ds
DDtg y
y
yy
2
, .....´´´
sensensends
sendy
ds
DDyy
ys y
DEFORMACIONES DEBIDAS AL ALARGAMIENTO EN LA DIRECCION “y”
DEFORMACIONES DEBIDAS A LA DISTORSION
""
2
,1,1 ..."
sends
sendy
ds
DDtg xy
xy
xyxy
2..2
1.cos.
cos..´´´, sensen
ds
dy
ds
DDxyxy
xys xy
2..2
1
.
cos.
,
2,
2,
sen
sen
xys
ys
xs
xy
y
x
2..2
1.cos. 22
,,, sensen xyyxssss xyyx
SUMA DE LOS EFECTOS DEBIDOS A LAS TRES CAUSAS
21 .cos.)..( sensen xyyx
)2
(.)2
cos().2
()..( 22
sensen xyyx
).(coscos.)...(2 2221 sensen xyyxsr
2cos.2
2.2
).(
2xyyxsr sen
GIROS DE LOS EJES “S” Y “R” Y CALCULO DE LA DISTORSIÓN ASOCIADA A ELLOS
RESUMIENDO:ECUACIONES DE TRANSFORMACION
PARA EL ESTADO PLANO
2..2
1.cos. 22 sensen xyyxs
2cos.2
2.2
).(
2xyyxsr sen
)2
(2..2
1)
2(.)
2(cos. 22 sensen xyyxr
DEFORMACIONES ASOCIADAS A UN PAR DE EJES ORTOGONALES “s” y “r”EN FUNCION DE LAS DEFORMACIONES SEGÚN LOS EJES “x” e “y”
STRAIN GAGE = ELEMENTO PARA MEDIR DEFORMACIONES
ROSETAS FORMADAS POR TRES STRAIN GAGE
2..2
1.cos. 22 sensen xyyxa
yb
2cos.2
2.2
).(
2xyyxsr sen
212
1
2,1
)(2cos
22
02cos.2
2.2
).(
pp
p
yx
xyp
xyyx
sentg
sen
DEFORMACIONES PRINCIPALESEN EL ESTADO PLANO
REEMPLAZANDO EN LA ECUACION ANTERIOR SE OBTIENE EL VALOR DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES:
2,12,12
2,12
2,1 2..2
1.cos. ppxyppyppx sensen
QUE ADEMAS SATISFACEN EL INVARIANTE DE DEFORMACION:
rsyx 21
TAMBIEN LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES SE PUEDEN CALCULAR ASI:
22
2,1 222
xyyxyx
Y LAS DISTORSIONES o DEFORMACIONES ANGULARES MAXIMAS:
22
max
222
xyyx
DEFORMACIONES PRINCIPALESEN EL ESTADO PLANO
[ D ] =
zyzxz
zyy
xy
zxyxx
22
22
22
EL TENSOR DE DEFORMACIONES
AL IGUAL QUE EL TENSOR DE TENSIONES EL TENSOR DE DEFORMACIONESRESULTA SIMETRICO RESPECTO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL
EL TENSOR DE DEFORMACIONES DEFINE EL ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO
[ D ] =
3
2
1
00
00
00
TENSOR DE DEFORMACIONESREFERIDO A LA TERNA PRINCIPAL
ESTADO TRIPLE
321
DEFORMACIONES TRANSVERSALES REFERIDAS A LA TERNA PRINCIPAL
EFECTO POISSON - “μ” : COEFICIENTE DE POISSON
ε1 = 1/E ε2 = ε3 = -μ.1/E por POISSON ε2 = ε3 = -μ.ε1 pero luego
ECUACIONES CONSTITUTIVASDE LOS MATERIALES
RELACIONES TENSIONES-DEFORMACIONES
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
*
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
Como la influencia de σy sobre εx es la misma que la de σx sobre εx , etc...los coeficientes a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32 son iguales. Las tensiones tangenciales no causan deformaciones longitudinales y las tensiones normales no causan deformaciones angulares (coeficientes nulos) Las deformaciones angulares sólo son causadas por las tensiones tangenciales que actúan en el mismo plano que la deformación
MATERIAL CON COMPORTAMIENTO ISÓTROPO
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
a
a
a
aaa
aaa
aaa
*
00000
00000
00000
000
000
000
36
29
22
1593
982
321
MATERIAL CON COMPORTAMIENTO ISÓTROPO
E
μ).(.τ
G
τγ
E
μ).(.τ
G
τγ
E
μ).(.τ
G
τγ
)σμ.(σσ.EE
σ
E
μ.σ
E
μ.σε
)σμ.(σσ.EE
μ.σ
E
σ
E
μ.σε
)σμ.(σσ.EE
μ.σ
E
μ.σ
E
σε
zxzx
zx
yzyz
yz
xyxy
xy
yxzzyx
z
zxyzyx
y
zyxzyx
x
12
12
12
1
1
1
RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONESECUACIONES CONSTITUTIVAS
LEY DE HOOKE GENERALIZADA
EXPRESION MATRICIAL DE LA LEY DE HOOKE GENERALIZADA
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
*
1
1
1
1
1
1
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
*
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
*1
REEMPLAZANDO:EG
)1(21 PODEMOS ESCRIBIR LA LEY DE HOOKE:
EXPRESION MATRICIAL DE LA LEY DE HOOKE GENERALIZADAREFERIDA A LA TERNA PRINCIPAL
0
*
1
1
1
.1
2
1
3
2
1
E
3
2
1
3
2
1
*
1
1
1
.1
E
ESTADO DOBLE DE TENSION Y TRIPLE DE DEFORMACION(ESTADO PLANO)
ESTADO TRIPLE DE TENSION Y DE DEFORMACION
CALCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES CONOCIDAS LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES
ECUACIONES DE LAMÉ
iiii MM ** 1
3
2
1
1
3
2
1
*
1
1
1
.
E
33
22
11
..2.
..2.
..2.
Ge
Ge
Ge
v
v
v
Ee
E
v
)).(21.(3
)21).(1(
.
321
Donde:
FIN
ESTADO DE DEFORMACIÓN
RESISTENCIARESISTENCIADEDEMATERIALESMATERIALES
ENERGÍA INTERNA DE
DEFORMACIÓN
ENERGÍA ESPECÍFICA DE DEFORMACIÓN
E
σ.
2
1.ε.σ
2
1u
2x
xx
LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN ES LA ENERGIA ALMACENADA EN UN VOLUMEN UNITARIO DE MATERIAL Y VIENE EXPRESADA POR EL AREA ENCERRADA BAJO
LA CURVA “-ε” , DESDE EL INSTANTE EN QUE COMIENZA A ACTUAR LA CARGA. (Ver figura).
G
τ.
2
1.γ.τ
2
1u
2xy
xyxy
SI EL COMPORTAMIENTO DEL MATERIAL ES LINEAL EL AREA ES LA DEL TRIANGULO COMO SE VE EN LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:
ANTES DE ESTUDIAR LA ENERGÍA DE
DEFORMACIÓN Y EN QUE SE UTILIZA
VEAMOS COMO SE PUEDE DESCOMPONER
UN ESTADO DE TENSIÓN
IMAGINEMOS PRIMERO DESCOMPUESTO EL ESTADO DE TENSIÓN EN DOS ESTADOS:
1) UN ESTADO HIDROSTÁTICO: QUE ORIGINA EL CAMBIO DE VOLUMEN
2. UN ESTADO DE DISTORSIÓN: QUE ORIGINA EL CAMBIO DE FORMA
DONDE:3
εεεε
3
σσσσ 321
m321
m
)ε(εε)ε(εε)ε(εε
)σ(σσ)σ(σσ)σ(σσ
m3*3m2
*2m1
*1
m3*3m3
*2m1
*1
m
m
m
e
σ00
0σ0
00σ
T
[Te] = TENSOR ESFÉRICO
Tm
m
m
m
m
m
1
2
3
1
2
3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
[Td] = TENSOR DESVIADOR
REFERIDOS A LA TERNA PRINCIPAL
m3
m2
m1
d
σσ00
0σσ0
00σσ
T
mzyzxz
zymyxy
zxyxmx
d
σσττ
τσστ
ττσσ
T
[Td] = TENSOR DESVIADOR
m
m
m
e
σ00
0σ0
00σ
T
[Te] = TENSOR ESFÉRICO
REFERIDOS A LA TERNA “X - Y - Z”
3
)σσ(σ
3
)σσ(σσ 321zyx
m
de TTT
VARIACIÓN VOLUMÉTRICA ESPECÍFICA
TERNA “X - Y - Z”
VARIACIÓN VOLUMÉTRICA ESPECÍFICA
TERNA PRINCIPAL
LA ENERGÍA EN LOS DISTINTOS ESTADOS DE TENSIÓN
COMPONENTES DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
Si el estado es HIDROSTÁTICO:
I.- ESTADO HIDROSTÁTICO: EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA
m321 εεεεε
μ)2.(1σ.E
1)σμ(σσ
E
1ε m321
pσσσσσ m321
μ)2.(1σ.E
3ε3.εεεe m321v
0τττ 0n0m0
2mm
mmv σ].
E
μ)2.3(1.[
2
1σ].
E
σμ).2.3(1.[
2
1σ.e.
2
1u
LA EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA EN EL ESTADO HIDROSTÁTICO UTILIZANDO LA LEY DE HOOKE RESULTA:
v2
v
2m
vv up.
E2.
1σ.
E2.
1u
μ)23(1
EE
EV : MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICO
ESTA ENERGIA LA VAMOS A LLAMAR “uv” POR SER LA QUE PRODUCE EL CAMBIO DE VOLUMEN
μ)2.(1σ.E
3e mv VIMOS QUE
OTRA PARTE DE LA ENERGÍA PRODUCE EL CAMBIO DE FORMA ó DISTORSIÓN Y LA
LLAMAMOS ENERGÍA DE DISTORSIÓN “ud”
dv uuu vd uuu
213
232
221d σσσσσσ.
E6.
μ)(1u
LUEGO:
]σσE
μ
E
σ[ε]σσ
E
μ
E
σ[ε]σσ
E
μ
E
σ[ε 21
3331
2232
11
II.-ESTADO TRIPLE: ENERGÍA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES
2
εσ
2
εσ
2
εσu 332211
REEMPLAZANDO CADA DEFORMACIÓN EN LA Ec. (1)
)]σμ(σ[σE2
σ)]σμ(σ[σ
E2
σ)]σμ(σ[σ
E2
σu 213
3312
2321
1
31322123
22
21 σσσσσσμ2σσσ
E2
1u
(1)
OBTENEMOS LA EXPRESIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA TOTAL
E2.
σ
E2.
σ
E2.
σu
23
22
21 (NO)X
III.- ESTADO SIMPLE: SOLICITACION AXIL 0σσ0σσ 321
[1]σ.E2.
1σ.
E6.
3u
μ)22μ2.(1E6.
σσ.
E6.
μ)2(1σ.
E6.
μ)2(1uuu
σ.E3.
μ)(1uσ.
E6.
μ)2(1u[1]σ.
E2.
1u
22
222
dv
2d
2v
2
0σ0σσσ 321
221
22
21d
22221v
222
2122
21
σ.E3.
μ)(1)σσσ(σ
E3.
μ)(1u
σ.E3.
μ)22(1σ).(2
E6.
μ)2(1)σ.(σ
E6.
μ)2(1u
μ).(1E
σ)μσ.(σ
E
1)]σμ(σ2σσ.
E2.
1u
IV.- ESTADO DOBLE DE TENSIÓN: CHAPA CARGADA EN SU PLANO MEDIO
V.- ESTADO DE RESBALAMIENTO SIMPLE: TORSIÓN – CORTE PURO
0σστσσ 2máx31
[2]μ).(1E
τμ).(1
E
σσ.3
E3.
μ)(1)σσσ(σ
E3.
μ)(1u
0σ).(σE6.
μ)2(1)σ.(σ
E6.
μ)2(1u
[2]μ).(1E
τμ).(1
E
σ)μσ.(σ
E
1)]σμ(σ2σσ.
E2.
1u
2máx
22
3123
21d
2231v
2máx
222
3123
21
(1) DOS TENSIONES PRINCIPALES DEL MISMO VALOR Y SIGNO
(2) DOS TENSIONES PRINCIPALES DEL MISMO VALOR Y DISTINTO SIGNO
0σσσ0σσσ 3121
HAY CAMBIO DE DIMENSIONES DE LAS ARISTAS Y DE VOLUMEN DEL CUBO ELEMENTAL, PERO NO DE FORMA. EL CUBO SIGUE SIENDO UN CUBO Y SUS CARAS SIGUEN SIENDO CUADRADAS → CAMBIA EL VOLUMEN PERO NO LA FORMA
máx31 τσσσ NO HAY CAMBIO DE DIMENSIONES DE LAS ARISTAS NI DE VOLUMEN DEL CUBO ELEMENTAL, PERO LOS ANGULOS RECTOS DEJAN DE SER RECTOS Y CAMBIA LA FORMA DE LAS CARAS QUE SE DISTORSIONAN. LAS CARAS CUADRADAS SE TRANSFORMAN EN ROMBOS Y EL CUBO DEJA DE SER UN CUBO → NO HAY CAMBIO DE VOLUMEN PERO SI DE FORMA
FIN ENERGÍA DE DEFORMACIÓN