Cinematica de Una Particula

CURSO: FISICA I

CINEMATICA DE UNA PARTICULA

FFIILLIIAALL -- AARREEQQUUIIPPAA

MECANICA

MECÁNICA DE FLUIDOS

MECÁNICA DE CUERPO

DEFORMABLE

MECANICA DE CUERPO RIGIDOS

DINAMICAESTATICA

CINETICACINEMATICA

La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para

describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

1. ESPACIO ABSOLUTO. Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales

e independiente de la existencia de estos.

Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.

El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.

2. TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

2. MOVIL El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o

partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la

Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico.

Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.

Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado.

Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.

En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes.a. un origen O, que es un punto del espacio físico.b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.

En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial.

De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

En la Figura hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P.

Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente.

Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi circular en torno a la TIERRA.

Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea ondulante.

Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán reconciliar sus observaciones

Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta

1. POSICIÓN.

La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O.

Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

2. DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición

inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo

'ˆ ˆ' '

r r r x i xi

3. VELOCIDAD MEDIASi la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será

ˆ ˆ' '' '

x xxvt t t

r r r x i xivt t t t t

3. VELOCIDAD MEDIA La velocidad media también puede

interpretarse geométricamente para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura x y base t.

La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de

tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto:

lim( )

ˆlim( )

x dxvt dtr dr dxv it dt dt

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más

y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

5. RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,

( ) Trap

6. ACELERACIÓN MEDIA . Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:

La aceleración media se define como

v v vat t t

6. ACELERACIÓN INSTANTANEA . La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando t tiende a cero es decir

lim( )

v dvat dt

d dx d xadt dt dt

La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

2 36x t t

La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

326 ttx 2312 tt

xddtdva 6122

• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).

Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).

Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir

4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constanteA este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es

Cuando t = 3 s, resulta

ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s

Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

Velocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es

POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt

Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B

Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm

La velocidad cuando S = 0,2 m es

El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo es

Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente

tvtvdtdv

v81.981.9

sm81.9

m81.9sm10

10 9.81

10 9.81 10 9.81y t t

dy v tdt

dy t dt y t y t t

m905.4sm10m20 ttty

Solución

0sm81.9

sm10 2

s019.1t

• Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene.

s019.1sm905.4s019.1

sm10m20

sm905.4

sm10m20

m1.25y

Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene

Solución

• Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos.

0sm905.4

sm10m20 2

smeaningles s243.1

s28.3sm81.9

sm10s28.3

sm81.9

sm2.22v

Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A será.

La velocidad relativa d A con respecto a B será.

La aceleración relativa se expresa en la forma

B A B Ax x x ABAB xxx

B A B Av v v ABAB vvv

B A B Aa a a ABAB aaa

Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque

SOLUCION:• Remplazando la posición, velocidad inicial

y el valor de la aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene.

sm905.4

sm18m12

sm81.9

ttattvyy

• La posición y la velocidad del ascensor será.

• Escribiendo la ecuación para las posiciones relativas de la bola con respect al elevador y asumiendo que cuando chocan la posición relativa es nula, se tiene.

025905.41812 2 ttty EB0.39s

3.65stt

• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene

65.325Ey m3.12Ey

65.381.916

281.918

sm81.19EBv

La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras partículas.

En la figura la posición de B depende de la posición de A.

Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene

2 tan2 02 0

x x cons tev va a

Debido a que sólo una de las coordenadas de posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad

Aquí la posición de una partícula depende de dos posiciones más.

En la figura la posición de B depende de la posición de A y de C

Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene

Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS grados de libertad

2 2A B Cx x x ctte

022or022

CBACBA

El collar A y el bloque B están enlazados como se muestra en la figura mediante una cuerda que pasa a través de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3 pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variación de altura, la velocidad y la aceleración del bloque B cuando el collar pasa por L

Se analiza en primer lugar el movimiento de A.

El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleración y el tiempo

sin.9in.82

sin.12

s 333.1sin.9

sin.12 2

tavv AAA

• Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posición en el tiempo t.

in. 4s333.1s

• El movimiento del bloque B depende del movimiento de collar y la polea. El cambio de posición de B será

0in.42in.8

BBDDAA

BDABDA

xxxxxx

in.160 BB xx

• Derivando la relación entre las posiciones se obtiene las ecuaciones para la velocidad y la aceleración

2 constant2 0

in. in.12 2 3 0s s

18 lg/

x x xv v v

v pu s

in.18sBv

2 0in.9 0s

a pu s

La caja C está siendo levantada moviendo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de vA =4m/s a lo largo de la guía. Determine la velocidad y la aceleración de la caja en el instante en que s = 1 m . Cuando el rodillo está en B la caja se apoya sobre el piso.

La relación de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

Cuando s = 1 m, la posición de la caja C será

Se determina ahora la posición xA, cuando s = 1 m

2 24 8C Ax x m

4 4 1 3C Cx m s m m x m

2 23 4 8 3A Am x m x m

La velocidad se determina derivando la relación entre las posiciones con respecto al tiempo

La aceleración será

1 16 (2 ) 02

3 (4 / )

16 16 3

2, 4 /

C AA A

dx dxx xdt dt

x m m sv vx

2 2 2 2 3

16 16 16 [16 ]

4 3(0) 3 (4 )16 9 16 9 [16 9]

2,048 /

C A A A A A AC A

A A A A

dv x v x a x vda vdt dt x x x x

El sistema representado parte del reposo y cada componente se mueve a aceleración constante. Si la aceleración relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la aceleración relativa del bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a) la aceleración del bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de posición del bloque D al cabo de 5 s

Un hombre en A está sosteniendo una caja S como se muestra en la figura, caminando hacia la derecha con una velocidad constante de 0,5 m/s. Determine la velocidad y la aceleración cuando llega al punto E. La cuerda es de 30 m de longitud y pasa por una pequeña polea D.

La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas por las ecuaciones,

La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante.

La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante

v dx dta dv dt

Integrando la ecuación de la velocidad tenemos

El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo

El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo

1 12 1 2 1;

t tA x x vdt A v v adt

• El momento de área se puede utilizar para determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo directamente de la curva v-t:

area bajo la curva v

x x v t

v t t t dv

usando dv = a dt ,

vdtatttvxx

vdtatt Momento de primer orden de area

bajo la curva a-t con repecto a la línea t = t1

1 0 0 1 1área bajo la curva

abscisa del centroide

x x v t a - t t t

• Método para determinar la aceleración de una partícula de la curva v-x

tan a BC

dva vdx

ABa BC subnormal

Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0≤ t ≤ 30 s

Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una línea recta acelerando a razón constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razón constante hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse

La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la condición inicial v = 0 cuando t = 0

Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene

tvdtdvasttv

10,10;1010000

1202,2;2;1010100

tvdtdvattstv

Cuando t = t´, la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t’ + 120

t’ = 60 s

La gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0 cuando t = 0

Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene

Cuando t = t´, la posición

S = 3000 m

005,10;10;100 tsdttdstvst

600120

1202;1202;60102

dttdstvststs

La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m

Grafico a-s.Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds

;15;12060

6.004.0

32.0;600

dsdvva

sdsdvva

Calculo del tiempo.El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0

Cuando s = 60 m, t = 8,05 s

3ln5)32.0ln(532.0

32.0;32.0;600

dsvdsdtsvms

Calculo del tiempo.Para el segundo tramo de movimiento

Cuando S = 120 m, t´= 12 s

05.415

15;15;12060

6005.8

dsvdsdtvms

Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo una línea recta, su aceleración de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuación la aceleración adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleración durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo , ya que a = constante.

La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto

Como la aceleración es la pendiente de la curva v-t, tenemos

2 21 1

5 / ( ) 5 / (12 )60 / (1)

vtg a m st

v m s t m s sv m s

1 2 1 2 1 3 3

1 1780 ( ) ( )2 2

1 1(12 )60 / ( ) 780 (2)2 2

Td A A m t t v t v

s t m s t v m

El desplazamiento viene expresado por

1 2 1 2 1 3 3

1 1180 ( ) ( )2 2

1 1(12 )60 / ( ) 180 (3)2 2

x A A m t t v t v

s t m s t v m

Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta

(12 )60 / 9604 (4)

s t m s mt s

La aceleración en el segundo intervalo tiempo es

15 / (5)

v m sa tgt s

Se determina t3

15 / ( ) (6)

va tg m s

v m s t

Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene

1 1(12 4 )60 / ( )(15 ) 1802 2

15 /480 ( ) 1802

s s m s t t m

m sm t m

El intervalo total de tiempo será

1 2 3 12 4 6,3322,33

t t t t s s st seg

Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales están separados 90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos últimos segundos antes de llegar a B.

1. El movimiento de una partícula se define por la relación donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando la velocidad es nula.

2. El movimiento de una partícula se define mediante la relación donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posición y la distancia total recorrida cuando t = 8 s

3 22 6 15x t t

22 20 60x t t

3. La aceleración de una partícula se define mediante la relación . La partícula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s.

4. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partícula se reduzca al1% de su valor inicial

2 2(64 12 ) /a t pul s

5. El bloque A tiene una velocidad de 3,6 m/s hacia la derecha. Determine la velocidad del cilindro B

6. Los collares A y B deslizan a lo largo de las barrar fija que forman un ángulo recto y están conectadas por un cordón de longitud L. Determine la aceleración ax del collar B como una función de y si el collar A se mueve con una velocidad constante hacia arriba vA

7. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante , tiene una velocidad de 1,5 m/s en el sentido negativo de las x para t = 0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres segundos más tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. ¿Hasta qué coordenada negativa se ha desplazado dicha partícula?.

8. Determine la rapidez vP a la cual el punto P localizado sobre el cable debe viajar hacia el motor M para levantar la plataforma A a razón de vA = 2 m/s.

9. Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia arriba

10. Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia arriba

10. Determine la velocidad con la cual el bloque asciende si el extremo del cable en A es halado hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo

Para levantar el embalaje mostrado mediante el aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza con una velocidad vA. Determine una expresión para la velocidad ascendente vB del embalaje en función de x. Desprecie la pequeña distancia entre el tractor y su polea de modo que ambos tengan la misma velocidad.

Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.

OBJETIVOS

1. Describir el movimiento de una partícula que viaja a lo largo de una trayectoria curva

2. Expresar las cantidades cinemáticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, así como radial y transversal

Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.

1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).

2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un pequeño intervalo de tiempo t hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa

'( ) ( )r r t t r t

3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como

r r rvt t t

La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento es decir es secante a la curva.

La velocidad media depende del intervalo de tiempo.

4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño (t0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir.

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria.

'lim lim't t

r r r drvt t t dt

3. Velocidad Instantánea: Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la

longitud del arco s = acrPQ, obtenemos

0 0 0lim lim lim

r s r svs t s t

A medida que Q se acerca a P la magnitud de r se aproxima a s, entonces se tiene

Además se tiene

0lim tt

dr r eds s

s dsvt dt

dsv edt

5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un vector paralelo a v y también depende de la duración del intervalo de tiempo

v vvat t t

3. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un vector paralelo a v y también depende de la duración del intervalo de tiempo

v vvat t t

6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo

La aceleración instantánea es un vector que tiene misma dirección que el cambio instantáneo de la velocidad es decir apunta hacia la concavidad de la curva

v dvat dt

d dr d radt dt dt

1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y, z es

kzjyixr

Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t)

La magnitud del vector de posición será

222 zyxr

2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo de tiempo t. El desplazamiento está dado por:

ˆˆ ˆ'r r r xi yj zk

2 2 2( ) ( ) ( )r x y z

3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media será

Es un vector secante a la trayectoria

ˆˆ ˆm

r x y zv i j kt t t t

4. Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al límite cuando t 0, la velocidad media es decir:

Es un vector tangente a la curva y tiene una magnitud definida por

kvjviv

kzjyixkdtdzj

222zyx vvvv

5. Aceleración media. Cuando la partícula cambia de posición su velocidad tambien cambia. Entonces la aceleración media será

Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo del cambio de velocidades

ˆˆ ˆyx zm

vv vva i j kt t t t

5. Aceleración instantanea. Se obtiene llevando al límite la aceleración media.

Es un vector que se encuentra dirigido hacia la concavidad de la curva y su magnitud es

dva a i a j a kdt

dondea v xa v y

222zyx aaaa

En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico está definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuación de la trayectoria es y = xª/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estación A, la magnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

Cuando t = 2 s, la posición del globo es

La distancia en línea recta será

Las componentes de la velocidad son

La magnitud y dirección de la velocidad para t = 2 s son

9 9 / (2 ) 18

18( ) 10,830 30

x t m s s m

2 218 10,8 21r m

81/ 30 10.8 /15 15

dv x t m sdtd x dx tv y x m sdt dt

2 29 10.8 14.1 /v m s

1tan 50.2yv

Las componentes de la aceleración será

La magnitud y dirección de la aceleración son

81 5.4 /15

d ta v m sdt

2 2 20 5.4 5.4 /a m s

1 5.4tan 900a

El movimiento de la caja B está definida por el vector de posición

donde t esta en segundos y el argumento para el seno y el coseno está en radianes. Determine la localización de la caja cuando t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y aceleración en este instante

ˆˆ ˆ[0,5 (2 ) 0,5cos(2 ) 0,2 ]r sen t i t j tk m

La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es

La distancia medida desde el origen será

La dirección es

0.75 {0.5s n(1.5 ) 0.5cos(1.5 ) 0.2(0.75) }t sr e rad i rad j k m

0,75 {0.499 0.0354 0.150 }sr i j k m

2 2 2(0.499) (0.0354) ( 0.150) 0.522r m

0.499 0.0352 0.1500.522 0.522 0.522

0.955 0.0678 0.287

cos (0.955) 17.2

rru i j kr

La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s es

La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s

a = 2 m/s2

{1cos(2 ) 1sin(2 ) 0.2 } /drv t i t j k m sdt

2 2 2 1.02 /x y zv v v v m s

2{ 2sin(2 ) 2cos(2 ) } /dva t i t j m sdt

Los movimientos x e y de las guías A y B, cuyas ranuras forman un ángulo recto, controlan el movimiento del pasador de enlace P, que resbala por ambas ranuras. Durante un corto intervalo de tiempo esos movimientos están regidos por

donde x e y están en milímetros y t en segundos. Calcular los módulos de las velocidad y de la aceleración a del pasador para t = 2 s. esquematizar la forma de la trayectoria e indicar su curvatura en ese instante.

2 31 120 y 154 6

x t y t

El rodillo A de la figura está restringido a deslizar sobre la trayectoria curva mientras se desplaza en la ranura vertical del miembro BC. El miembro BC se desplaza horizontalmente. (a) Obtenga las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de A, exprésela en términos de

(b) Calcule la velocidad y la aceleración cuando

, , ,b x x x

ˆ ˆ10 ; 4 ; 10 / ;ˆ8 /

b cm x icm x icm s

x icm s

Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano.

r t x t i y t j

2 1 2 1

r r t r t

r x x i y y j

x yv t v t i v t j

v t x t i y t j

a t a t i a t j

a t v t i v t j

a t x t i y t j

Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria

Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis

(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie);

(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) terrestre con la altura;

(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y

(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.

Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0

2 20 0

2 ( );

v v a t

x x v t a t

v v a x x

( )( )

v vx x v t

Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2

2 20 0

2 ( );

v v a t

y y v t a t

v v a y y

2 20 0

( ) 2 ( )

v v gt

y y v t gt

v v g y y

Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son de especial interés.1.El alcance R, es la máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil

2. La altura máxima h alcanzada por el proyectil

2 2sin2

i ivhg

2 sin2i ivRg

El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45°

Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza

La máquina de picar está diseñada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m

La pista de carreras de este evento fue diseñado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30°, desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el conductor permaneció en el aire 1,5 s. Determine la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de ambos.

Un jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto según el ángulo de θ = 50° con la horizontal. Determine la rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste en el centro del aro. ¿Con qué rapidez pasa la pelota a través del aro?.

Un bombero desea saber la altura máxima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. ¿A qué ángulo, θ, respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo?

La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de 40°respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo que permanece en el aire

El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de θA = 25° y aterriza en el punto B de la pendiente. Determine la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire

El hombre lanza una pelota con una velocidad inicial v0 = 15 m/s . Determine el ángulo θ bajo el cual podría lanzar la pelota del tal manera que choque contra la valla en un punto de máxima altura posible. El gimnasio tiene una altura de 6 m.

Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva.

Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad. ¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?.

Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte más alta de su trayectoria.

Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria.

En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un

El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partícula.

El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura

En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un

El radio de curvatura ρ, es la distancia perpendicular desde curva hasta el centro de curvatura en aquel punto.

La posición es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo

Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el tiempo.

La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se tiene

/tv vu

v s dS dt

Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana

En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal)

La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidadLa aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la velocidad

Tracemos en A un vector unitario . La aceleración será

Si la trayectoria es una recta, el vector sería constante en magnitud y dirección, por tanto

Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de cambia por lo tanto

ˆ ˆ( ) ˆt tt

d ve dedv dva e vdt dt dt dt

ˆ0tde

Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene

La derivada del vector unitario tangente será

ˆˆ cos

ˆˆ cos( ) ( )2 2

ˆˆ cos

e i sen j

e sen i j

ˆ ˆ( ) cos

de d dsen i jdt dt dt

de d edt dt

Por otro lado se tiene que

Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt.

Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces

La razón de cambio del vector unitario tangencial es

d d dS dvdt dS dt dS

1dS dddS

ˆ 1 ˆtn

de edt

Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene

Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben

La magnitud de la aceleración total será

t t n n

dedva e vdt dtdv va e edt

a a e a e

ˆ ˆ: t t t ndv va e a edt

2 2t na a a

1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

=> an = v2/ a = at = v

La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad

2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0 => a = an = v2/La componente normal representa la razón de cambiode

la dirección de la velocidad127

3) La componente tangencial de la aceleracón es constante, at = (at)c.

So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0

4. La partícula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es

2 20 0

1 ( )2

2( ) ( )

s s v t a t

v v a t

v v a s s

2 3/ 2

[1 ( / ) ]/

dy dxd y dx

CASOS ESPECIALES

Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos el tamaño del esquiador.

Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.

La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su dirección será

Por lo tanto en A la velocidad forma 45° con el eje x

La aceleración se determina aplicando la ecuación

Para ello se determina el radio de curvatura

ˆ ˆt ndv va e edt

2 3/ 2

[1 ( / ) ]/

[1 ( /10) ]1/10

dy dxd y dx

6ˆ ˆ228,3

ˆ ˆ2 1,27

dv va e edt

La magnitud y la dirección de la aceleración serán

2 1.237 2.37 /

2tan 57.51.327

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.

Se sabe que la aceleración tangencial es constante e igual a

La aceleración normal será

La aceleración total será

La velocidad en este instante será

a m sEntonces

v v a tv t

2 22 2(2,1 ) 0.049 /

90nv ta t m s

2 2 2 2

ˆ ˆ2,1 0.049

2,1 [0.049 ]

2,4 2,1 [0.049 ]4,87

va a e e

a e t e

2.1 10.2 /v t m s

Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B

La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es

0.2 (1)

0.1 (2)

dv tdt

Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir

De la geometría se tiene sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

0,0333 (3)

dsv tdt

ds t dt

36,142 0,03335,69

Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será

La aceleración total será

Su modulo y dirección serán

( ) 0.2(5.69) 1.138 /

0.1(5.69) 3.238 /B t B

a v m s

22( ) 5.242 /B

va m s

, ˆ ˆ

ˆ ˆ1,138 5,242

BB t B t n

va a e e

1,138 [5, 242]

5,36 /

1 5.242[ ] 77,75

1,138tg

Una partícula se mueve en una trayectoria curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación

1 vxav

Sabemos que la aceleración en cualquier instante es

Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos

Debido a que la aceleración tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos

Remplazado la aceleración normal tenemos

t na a a

vxa vx a a

vxa vxa vxa

vxa vxavxa vxa

vxa vxa va sen va

vvxa v

Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del bote en t = 3 s.

Un avión viaja a lo largo de una trayectoria parabólica vertical . En el punto A el avión tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementa a razón de 0,8 m/s2. Determine la magnitud de la aceleración del avión cuando pase por A.

20,4y x

El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad de tiempo.

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo.

Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia.

Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano.

En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica.

Consideremos dos partículas A y B moviéndose en las trayectorias mostradas

Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ serán

El observador B sólo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de referencia móvil Oxyz

La posición relativa de A con respecto al observador B , es

/A B A Br r r

Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene

/A B A Bv v v

Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene

/A B A Ba a a

Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.

La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OX’Y’,

Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de

90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )

{42.3 47.7 ) /

T A T A

i i j v

v i j km h

La magnitud de la velocidad relativa será

La dirección de la velocidad relativa es

2 2 2/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h

47.7tan42.3

Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como se indica en la figura. El avión A está volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleración de 50 km/h2. El avión B está volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y está decreciendo su rapidez a razón de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleración relativa de B medida por el piloto A

Al avión A esta moviéndose rectilíneamente y se asocia un marco de referencia móvil Ox’y’.

La velocidad relativa de B respecto de A es

El avión B tiene aceleración normal y tangencial pues se mueve en una curva.

Aplicando la ecuación para determinar la aceleración relativa se tiene

600 700

100 / 100 /

B A B A

v v vv

v km h km h

2900 /BB n

va km h

900 100 50

900 150 /

B A B A

i j j a

a i j km h

En un determinado instante los carros A y B están viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, respectivamente. Además en dicho instante la velocidad de A está disminuyendo a razón de 2m/s2 y B experimenta un incremento de su velocidad a razón de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleración de B con respecto de A

El sistema de referencia fijo está en tierra y el marco móvil en el auto A. Por tanto se tiene

La dirección de la velocidad relativa será

La aceleración relativa será

Su dirección será

12 18cos60 18sin 60

9 3.588 /

9 3.588 9.69 /

B A B A

j i j v

v i j m s

3.588tan9

21.440 /BB n

va m s

1.440 3 2cos60 2sin 60

2.440 4.732 /

B A B A

i j i j a

a i j m s

2/ 5.32 /

62.7B Aa m s

Los pasajeros que viajan en el avión A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avión B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B está señalando en la dirección en la dirección 45°noreste, el avión B se presenta a los pasajeros de A como separándose de éste bajo el ángulo de 60° representado. Halle la velocidad verdadera de B

El marco móvil está asociado al avión A donde se efectúan las observaciones relativas

La velocidad de A es conocida en módulo y dirección, el ángulo de 60° de la velocidad relativa de B respecto de A es conocido y la velocidad verdadera de B tiene una dirección de 45°. Entonces tenemos.

Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene

/B A B Av v v

ˆ(800 ) /ˆ ˆ[ cos 45 45 ]

ˆ ˆ[ cos 60 60 ]

B A B A B A

v i km h

v v i v sen j

ˆ :cos 45 800 cos60

ˆ :45 60

componente iv v

componente jv sen v sen

/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h

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