Cinematica de Una Particula

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1 CURSO: FISICA I CINEMATICA DE UNA PARTICULA FILIA L -A R EQ UIPA

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    CURSO: FISICA I

    CINEMATICA DE UNA PARTICULA

  • *MECANICAMECNICA DE FLUIDOSMECNICA DE CUERPO DEFORMABLEMECANICA DE CUERPO RIGIDOSDINAMICAESTATICACINETICACINEMATICA

  • La cinemtica (del griego, kineo, movimiento) es la rama de la mecnica clsica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitndose esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo.

    Tambin se dice que la cinemtica estudia la geometra del movimiento. En la cinemtica se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

    *

  • 1.ESPACIO ABSOLUTO.Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos.

    Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenmenos fsicos, y se supone que todas las leyes de la fsica se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.

    El espacio fsico se representa en la Mecnica Clsica mediante un espacio puntual eucldeo.*

  • 2.TIEMPO ABSOLUTO

    La Mecnica Clsica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenmenos fsicos.*

  • 2.MOVILEl mvil ms simple que podemos considerar es el punto material o partcula.La partcula es una idealizacin de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geomtrico. Entendemos por punto material o partcula a un cuerpo de dimensiones tan pequeas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posicin en el espacio quedar determinada al fijar las coordenadas de un punto geomtrico.Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estar en relacin con las condiciones especficas del problema considerado.*

  • Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posicin en el espacio en funcin del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes.a.un origen O, que es un punto del espacio fsico.b.una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio fsico.*

  • Decimos que una partcula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posicin con respecto a l cambia en el transcurso del tiempo. En caso contrario, si la posicin del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo est en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos. *

  • En la Figura hemos representado dos observadores, S y S, y una partcula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y xyz, respectivamente.Si S y S se encuentran en reposo entre s, describirn del mismo modo el movimiento de la partcula P. Pero si S y S se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partcula P sern diferentes.*

  • Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describir una rbita casi circular en torno a la TIERRA.Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una lnea ondulante.Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrn reconciliar sus observaciones *

  • Decimos que una partcula tiene un movimiento rectilneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una lnea recta

    1.POSICIN.

    * La posicin de la partcula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O.

    Si x es positiva la partcula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

  • 2.DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posicin.Se representa por el smbolo x.Si la posicin final de la partcula P est la derecha de su posicin inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda S es negativo

    *

  • 3.VELOCIDAD MEDIASi la partcula se mueve de P a P experimentando un desplazamiento x positivo durante un intervalo de tiempo t, entonces, la velocidad media ser

    *

  • 3.VELOCIDAD MEDIALa velocidad media tambin puede interpretarse geomtricamente para ello se traza una lnea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta lnea forma un tringulo de altura x y base t.

    La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la grfica posicin-tiempo

    *

  • 4.VELOCIDAD INSTANTNEAEs la velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al lmite la velocidad media es decir, se hace cada vez ms pequeo el intervalo de tiempo y por tanto valores ms pequeos de x. Por tanto:

    *

  • *4.VELOCIDAD INSTANTNEA Si una partcula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima ms y ms a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantnea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantnea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) segn se trace la pendiente correspondiente

  • 5.RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partcula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,

    *

  • 6.ACELERACIN MEDIA . Si la velocidad de la partcula al pasar por P es v y cuando pasa por P es v durante un intervalo de tiempo t, entonces:

    *La aceleracin media se define como

  • 6.ACELERACIN INSTANTANEA . La aceleracin instantnea se obtiene llevando al lmite la aceleracin media cuando t tiende a cero es decir

    *

  • La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta est definida por la relacin Determine: (a) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 0; (b) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 2 s; (c) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s; *

  • La ecuaciones de movimiento son

    Las cantidades solicitadas son *En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

  • 1.LA ACELERACIN COMO FUNCIN DEL TIEMPO a = f(t).Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir*

  • 2.LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA POSICIN a = f(x).Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir*

  • 2.LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA VELOCIDAD a = f(v).Se sabe que a = dv/dt o tambin a = vdv/ds, entonces podemos escribir*

  • 4.LA ACELERACIN ES CONSTANTE a = constanteA este caso se le denomina movimiento rectilneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

    *

  • El auto mostrado en la figura se mueve en lnea recta de tal manera que su velocidad para un perodo corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual est en segundos . Determine su posicin y aceleracin cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0*

  • POSICIN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es funcin del tiempo v = f(t). La posicin es

    Cuando t = 3 s, resultaACELERACIN. Sabiendo que v = f(t), la aceleracin se determina a partir de a = dv/dt

    Cuando t = 3 s*

  • Un proyectil pequeo es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleracin del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posicin S cuatro segundos despus de que se dispar el proyectil.*

  • Velocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuacin a = dv/dt para determinar la velocidad como funcin del tiempo esto es POSICIN: Sabiendo que v = f(t), la posicin se determina a partir de la ecuacin v = dS/dt *

  • Una partcula metlica est sujeta a la influencia de un campo magntico tal que se mueve verticalmente a travs de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partcula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleracin se mide como donde S est en metros. Determine; (a) la velocidad de la partcula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B*

  • Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como funcin de la posicin usando vdv = a dS. Consideramos adems que v = 0 cuando S = 100 mm

    La velocidad cuando S = 0,2 m es El tiempo que demora en viajar la partcula de C a B se determina en la forma

    Cuando S = 0,2 m el tiempo es*

  • Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleracin g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en funcin del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente *

  • Solucin *

  • Solucin Cuando la bola alcanza su altura mxima su velocidad es cero, entonces se tiene*

  • Solucin *

  • Sea A y B dos partculas que se mueven en lnea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O sern xA y xB. La posicin relativa de B con respecto a A ser.

    La velocidad relativa d A con respecto a B ser.

    La aceleracin relativa se expresa en la forma

    *

  • Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta est a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque*

  • *

  • *

  • La posicin de una partcula puede depender de la posicin de otra u otras partculas.En la figura la posicin de B depende de la posicin de A.Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene

    *Debido a que slo una de las coordenadas de posicin xA o xB puede elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad

  • Aqu la posicin de una partcula depende de dos posiciones ms.En la figura la posicin de B depende de la posicin de A y de CDebido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene

    *Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS grados de libertad

  • El collar A y el bloque B estn enlazados como se muestra en la figura mediante una cuerda que pasa a travs de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3 pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variacin de altura, la velocidad y la aceleracin del bloque B cuando el collar pasa por L*

  • Se analiza en primer lugar el movimiento de A.El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleracin y el tiempo*

  • *

  • *

  • La caja C est siendo levantada moviendo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de vA =4m/s a lo largo de la gua. Determine la velocidad y la aceleracin de la caja en el instante en que s = 1 m . Cuando el rodillo est en B la caja se apoya sobre el piso.*

  • La relacin de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

    Cuando s = 1 m, la posicin de la caja C ser

    Se determina ahora la posicin xA, cuando s = 1 m*

  • La velocidad se determina derivando la relacin entre las posiciones con respecto al tiempo

    La aceleracin ser

    *

  • El sistema representado parte del reposo y cada componente se mueve a aceleracin constante. Si la aceleracin relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la aceleracin relativa del bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a) la aceleracin del bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de posicin del bloque D al cabo de 5 s

    *

  • Un hombre en A est sosteniendo una caja S como se muestra en la figura, caminando hacia la derecha con una velocidad constante de 0,5 m/s. Determine la velocidad y la aceleracin cuando llega al punto E. La cuerda es de 30 m de longitud y pasa por una pequea polea D.

    *

  • La velocidad y la aceleracin en el movimiento rectilneo estn dadas por las ecuaciones,

    La primera ecuacin expresa que la velocidad instantnea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante.La segunda ecuacin expresa que la aceleracin es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante*

  • Integrando la ecuacin de la velocidad tenemos

    El rea bajo la grfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo El rea bajo la grfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo

    *

  • *

  • *

  • Un ciclista se mueve en lnea recta tal que su posicin es descrita mediante la grfica mostrada. Construir la grfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0 t 30 s*

  • Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lnea recta acelerando a razn constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razn constante hasta detenerse. Trazar las grficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que emplea en detenerse

    *

  • La grfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integracin de los segmentos de recta de la grfica a-t. Usando la condicin inicial v = 0 cuando t = 0

    Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condicin inicial para el siguiente tramo se tiene

    *Cuando t = t, la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t + 120t = 60 s

  • La grfica posicin-tiempo puede ser determinada mediante integracin de los segmentos de recta de la grfica v-t. Usando la condicin inicial s = 0 cuando t = 0

    Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condicin inicial para el siguiente tramo se tiene

    *Cuando t = t, la posicinS = 3000 m

  • La grfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en lnea recta es el mostrado en la figura. Construir el grfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posicin S = 120 m *

  • Grafico a-s.Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la grfica estn dadas, la grfica a-t puede ser determinada usando la ecuacin dv = a ds*

  • Calculo del tiempo.El tiempo se obtiene usando la grfica v-t y la ecuacin v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0

    Cuando s = 60 m, t = 8,05 s*

  • Calculo del tiempo.Para el segundo tramo de movimiento

    Cuando S = 120 m, t= 12 s

    *

  • Una partcula parte del reposo y se mueve describiendo una lnea recta, su aceleracin de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuacin la aceleracin adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleracin durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

    *

  • *En la figura se muestra el grfico velocidad-tiempo , ya que a = constante.

    La distancia total es la suma de las reas en valor absoluto

    Como la aceleracin es la pendiente de la curva v-t, tenemos

  • *El desplazamiento viene expresado por

    Sumando las ecuaciones (2) y (3), resultaLa aceleracin en el segundo intervalo tiempo es

  • *

    Se determina t3Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene El intervalo total de tiempo ser

  • Un cuerpo se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales estn separados 90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento x del cuerpo durante los dos ltimos segundos antes de llegar a B.

    *

  • 1.El movimiento de una partcula se define por la relacin donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posicin y la aceleracin cuando la velocidad es nula.

    2.El movimiento de una partcula se define mediante la relacin donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posicin y la distancia total recorrida cuando t = 8 s*

  • 3.La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin . La partcula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posicin y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partcula desde t = 0 a t = 5 s.

    4.La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partcula viajar antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partcula se reduzca al1% de su valor inicial *

  • 5.El bloque A tiene una velocidad de 3,6 m/s hacia la derecha. Determine la velocidad del cilindro B6.Los collares A y B deslizan a lo largo de las barrar fija que forman un ngulo recto y estn conectadas por un cordn de longitud L. Determine la aceleracin ax del collar B como una funcin de y si el collar A se mueve con una velocidad constante hacia arriba vA*

  • 7.Una partcula que se mueve a lo largo del eje x con aceleracin constante , tiene una velocidad de 1,5 m/s en el sentido negativo de las x para t = 0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres segundos ms tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. Hasta qu coordenada negativa se ha desplazado dicha partcula?.8. Determine la rapidez vP a la cual el punto P localizado sobre el cable debe viajar hacia el motor M para levantar la plataforma A a razn de vA = 2 m/s.

    *

  • 9.Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia arriba10. Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia arriba

    *

  • 10.Determine la velocidad con la cual el bloque asciende si el extremo del cable en A es halado hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo11.

    *

  • Para levantar el embalaje mostrado mediante el aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza con una velocidad vA. Determine una expresin para la velocidad ascendente vB del embalaje en funcin de x. Desprecie la pequea distancia entre el tractor y su polea de modo que ambos tengan la misma velocidad.*

  • Se dice que una partcula tiene un movimiento curvilneo cuando su trayectoria descrita esta es una lnea curva.*

  • *OBJETIVOSDescribir el movimiento de una partcula que viaja a lo largo de una trayectoria curva

    Expresar las cantidades cinemticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, as como radial y transversal

  • Se dice que una partcula tiene un movimiento curvilneo cuando su trayectoria descrita esta es una lnea curva.*

  • *Vector Posicin: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicacin instantnea P la partcula. Se representa por r = r(t).

  • *2.Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partcula se mueve durante un pequeo intervalo de tiempo t hasta el punto P, entonces su posicin ser r (t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P y se expresa

  • *3.Velocidad Media: Cuando la partcula se mueve de P a P experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como

    La velocidad media es un vector que tiene la misma direccin que el desplazamiento es decir es secante a la curva.

    La velocidad media depende del intervalo de tiempo.

  • *4.Velocidad Instantnea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves ms pequeo (t0), el desplazamiento tambin tiende a cero. Llevando al lmite la velocidad media se obtiene la velocidad instantnea. Es decir.

    La velocidad instantnea es un vector tangente a la trayectoria.

  • 3.Velocidad Instantnea: Multiplicando y dividiendo la expresin anterior por la longitud del arco s = acrPQ, obtenemos

    *A medida que Q se acerca a P la magnitud de r se aproxima a s, entonces se tiene

    Adems se tiene

  • 5.Aceleracin media: En la figura se observa las velocidades instantneas de la partcula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleracin media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

    *La aceleracin media es un vector paralelo a v y tambin depende de la duracin del intervalo de tiempo

  • 3.Aceleracin media: En la figura se observa las velocidades instantneas de la partcula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleracin media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

    *La aceleracin media es un vector paralelo a v y tambin depende de la duracin del intervalo de tiempo

  • 6.Aceleracin instantnea: Se obtiene llevando al lmite la aceleracin media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeos los intervalos de tiempo*La aceleracin instantnea es un vector que tiene misma direccin que el cambio instantneo de la velocidad es decir apunta hacia la concavidad de la curva

  • *

  • 1.POSICIN. La posicin instantnea de una partcula en componentes x, y, z es

    *Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t)La magnitud del vector de posicin ser

  • 2.Desplazamiento. Si una partcula se mueve de P a P en un intervalo de tiempo t. El desplazamiento est dado por: *

  • 3.Velocidad media. Si una partcula se mueve de P a P experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media ser *Es un vector secante a la trayectoria

  • 4.Velocidad instantnea. Se obtiene llevando al lmite cuando t 0, la velocidad media es decir:*Es un vector tangente a la curva y tiene una magnitud definida por

  • 5.Aceleracin media. Cuando la partcula cambia de posicin su velocidad tambien cambia. Entonces la aceleracin media ser *Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo del cambio de velocidades

  • 5.Aceleracin instantanea. Se obtiene llevando al lmite la aceleracin media. *Es un vector que se encuentra dirigido hacia la concavidad de la curva y su magnitud es

  • En cualquier instante la posicin horizontal del globo meteorolgico est definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuacin de la trayectoria es y = x/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estacin A, la magnitud y la direccin de la velocidad y de la aceleracin cuando t = 2 s*

  • Cuando t = 2 s, la posicin del globo es

    La distancia en lnea recta ser

    Las componentes de la velocidad son

    La magnitud y direccin de la velocidad para t = 2 s son*

  • Las componentes de la aceleracin ser

    La magnitud y direccin de la aceleracin son

    *

  • El movimiento de la caja B est definida por el vector de posicin

    donde t esta en segundos y el argumento para el seno y el coseno est en radianes. Determine la localizacin de la caja cuando t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y aceleracin en este instante*

  • La posicin de la partcula cuando t = 0,75 s es

    La distancia medida desde el origen ser

    La direccin es*

  • La velocidad de la partcula cuando t = 0,75 s es

    La aceleracin de la partcula cuando t = 0,75s

    a = 2 m/s2

    *

  • Los movimientos x e y de las guas A y B, cuyas ranuras forman un ngulo recto, controlan el movimiento del pasador de enlace P, que resbala por ambas ranuras. Durante un corto intervalo de tiempo esos movimientos estn regidos por

    donde x e y estn en milmetros y t en segundos. Calcular los mdulos de las velocidad y de la aceleracin a del pasador para t = 2 s. esquematizar la forma de la trayectoria e indicar su curvatura en ese instante.

    *

  • El rodillo A de la figura est restringido a deslizar sobre la trayectoria curva mientras se desplaza en la ranura vertical del miembro BC. El miembro BC se desplaza horizontalmente. (a) Obtenga las ecuaciones para la velocidad y la aceleracin de A, exprsela en trminos de

    (b) Calcule la velocidad y la aceleracin cuando *

  • Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano.*

  • Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria

    *

  • Para analizar este movimiento se usa las siguientes hiptesis(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeo como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleracin gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequea como para poder despreciar la variacin del campo gravitatorio (aceleracin de la gravedad) terrestre con la altura;(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequea como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) No tendremos en cuenta el efecto de rotacin de la Tierra que, como veremos ms adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.*

  • *

  • Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0*

  • Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2*

  • *Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos caractersticas son de especial inters.El alcance R, es la mxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil

    2.La altura mxima h alcanzada por el proyectil

  • El mximo alcance es logrado cuando el ngulo de lanzamiento es 45*

  • Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza*

  • *La mquina de picar est diseada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30 respecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qu tan alto se apilarn los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m

  • *La pista de carreras de este evento fue diseado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30, desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observ que el conductor permaneci en el aire 1,5 s. Determine la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura mxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamao de ambos.

  • Un jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto segn el ngulo de = 50 con la horizontal. Determine la rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste en el centro del aro. Con qu rapidez pasa la pelota a travs del aro?.

    *

  • Un bombero desea saber la altura mxima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. A qu ngulo, , respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo?*

  • La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ngulo de 40respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo que permanece en el aire*

  • El esquiador sale de la rampa formando un ngulo de A = 25 y aterriza en el punto B de la pendiente. Determine la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire*

  • El hombre lanza una pelota con una velocidad inicial v0 = 15 m/s . Determine el ngulo bajo el cual podra lanzar la pelota del tal manera que choque contra la valla en un punto de mxima altura posible. El gimnasio tiene una altura de 6 m.

    *

  • Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleracin de una partcula que se encuentra movindose en un trayectoria curva.

    *

  • *Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleracin, debido al cambio en la magnitud o en la direccin de la velocidad. Podra Ud. preocuparse por la aceleracin del auto?.

    Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razn constante. Cmo podra determinar su velocidad y aceleracin en la parte ms alta de su trayectoria.

  • *Cuando la trayectoria de una partcula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria.

    En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partcula.

    El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la direccin del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura

  • *En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un El radio de curvatura , es la distancia perpendicular desde curva hasta el centro de curvatura en aquel punto.

    La posicin es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo

  • *Debido a que la partcula se esta moviendo, la posicin S est cambiando con el tiempo.

    La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posicin S = f(t). Por lo tanto se tiene

  • *Consideremos el movimiento de una partcula en una trayectoria curva plana

    En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en direccin tangente y una aceleracin a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleracin puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleracin tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleracin normal)La aceleracin tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidadLa aceleracin normal es la responsable del cambio en la direccin de la velocidad

  • *Tracemos en A un vector unitario . La aceleracin ser

    Si la trayectoria es una recta, el vector sera constante en magnitud y direccin, por tanto

    Pero cuando la trayectoria es curva la direccin de cambia por lo tanto

  • *Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado cncavo de la curva. Sea el ngulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene

    La derivada del vector unitario tangente ser

  • Por otro lado se tiene que

    Donde dS es el pequeo arco a lo largo del movimiento en un dt.Las normales a la curva en A y A se intersecan en C. Entonces

    La razn de cambio del vector unitario tangencial es

    *

  • Remplazando esta ecuacin en la aceleracin se tiene

    Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben La magnitud de la aceleracin total ser*

  • 1.La partcula se mueve a lo largo de una lnea rectar => an = v2/r = 0 => a = at = vLa componente tangencial representa la razn de cambio de la magnitud de la velocidad

    2.La partcula se mueve en la curva a velocidad constante at = v = 0 => a = an = v2/r La componente normal representa la razn de cambiode la direccin de la velocidad

    *

  • 3) La componente tangencial de la aceleracn es constante, at = (at)c.

    So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0 La partcula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es

    CASOS ESPECIALES*

  • Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se est incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parablica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleracin en el instante que llega a A. Desprecie en los clculos el tamao del esquiador.*

  • Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su direccin ser

    Por lo tanto en A la velocidad forma 45 con el eje x*

  • La aceleracin se determina aplicando la ecuacin

    Para ello se determina el radio de curvatura *

  • La magnitud y la direccin de la aceleracin sern*

  • Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2. Cul es su velocidad en ese instante.*

  • Se sabe que la aceleracin tangencial es constante e igual a

    La aceleracin normal ser

    La aceleracin total ser

    La velocidad en este instante ser*

  • Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razn de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y direccin de la aceleracin cuando pasa por B*

  • La posicin de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A.

    La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleracin tangencial, esto es *

  • Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), despus obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir

    De la geometra se tiene sB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m. Entonces tenemos*

  • Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta

    En el punto B el radio de curvatura es = 2 m, entonces la aceleracin ser

    La aceleracin total serSu modulo y direccin sern*

  • *Una partcula se mueve en una trayectoria curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceracin a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuacin

  • Sabemos que la aceleracin en cualquier instante es

    Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos

    Debido a que la aceleracin tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos

    Remplazado la aceleracin normal tenemos *

  • *

  • *

  • *

  • Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.

    *

  • Un avin viaja a lo largo de una trayectoria parablica vertical . En el punto A el avin tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementa a razn de 0,8 m/s2. Determine la magnitud de la aceleracin del avin cuando pase por A.

    *

  • El jugador de bisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ngulo = 30 como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente despus del lanzamiento y (b) en el vrtice. Calcular en cada caso, la variacin de celeridad por unidad de tiempo.

    *

  • Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partcula usando un marco de referencia fijo.

    Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos de referencia.

    Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo si observamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema de referencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia mvil unido al aeroplano.*

  • En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento relativo de partculas usando marcos de referencia en rotacin se tratar en el curso de Dinmica.*

  • Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias mostradasLas posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ sern

    El observador B slo experimenta traslacin y se encuentra unidos al sistema de referencia mvil Oxyz La posicin relativa de A con respecto al observador B , es*

  • Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene*

  • Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene*

  • Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.*

  • La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OXY,Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de *

  • La magnitud de la velocidad relativa ser

    La direccin de la velocidad relativa es*

  • Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleracin de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleracin relativa de B medida por el piloto A*

  • Al avin A esta movindose rectilneamente y se asocia un marco de referencia mvil Oxy. La velocidad relativa de B respecto de A esEl avin B tiene aceleracin normal y tangencial pues se mueve en una curva.La aceleracin normal ser

    Aplicando la ecuacin para determinar la aceleracin relativa se tiene*

  • En un determinado instante los carros A y B estn viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, respectivamente. Adems en dicho instante la velocidad de A est disminuyendo a razn de 2m/s2 y B experimenta un incremento de su velocidad a razn de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleracin de B con respecto de A*

  • El sistema de referencia fijo est en tierra y el marco mvil en el auto A. Por tanto se tiene

    La direccin de la velocidad relativa serLa aceleracin normal ser

    La aceleracin relativa ser

    Su direccin ser*

  • Los pasajeros que viajan en el avin A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avin B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B est sealando en la direccin en la direccin 45noreste, el avin B se presenta a los pasajeros de A como separndose de ste bajo el ngulo de 60 representado. Halle la velocidad verdadera de B*

  • El marco mvil est asociado al avin A donde se efectan las observaciones relativas

    La velocidad de A es conocida en mdulo y direccin, el ngulo de 60 de la velocidad relativa de B respecto de A es conocido y la velocidad verdadera de B tiene una direccin de 45. Entonces tenemos.Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

    Resolviendo estas ecuaciones se obtiene*