ANÁLISIS SENOIDAL

1

Ecuaciones característicasEcuación:

v(t) = R ⋅ i(t) i(t)

v(t)

R[!]

i(t) = C ⋅dv(t)dt

i(t)

v(t)C[F]

v(t) = L ⋅ di(t)dt

i(t)

v(t)

L[H]

2

EjemploDeterminar v(t) si i(t)=Amaxsen(ωt)

v(t)

R

Li(t)

3

EjemploDeterminar v(t) si i(t)=Amaxsin(ωt)

v(t)

R

Li(t)

v(t) = vR (t) + vL (t)

vR (t) = R ⋅ i t( ) = RAmax ⋅ sin(ωt)vL (t) = L ⋅

di(t)dt

=ωLAmax ⋅ cos(ωt)

v(t) = Amax Rsin ωt( ) +ωL cos ωt( ){ }

v(t) = Amax R2 + ωL( )2 sin ωt + tg−1 ωLR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

4

REPRESENTACIÓN FASORIAL

5

FasoresOnda senoidal se representa como una vector en el plano complejo:

Módulo: valor efectivo de la señal.

∢ fase : corte con el eje horizontal en t=0.

x(t) = Amaxsin(ωt +ϕ )

Módulo:

Fase:

| x(t) |= Amax2

ϕ6

FasoresRepresentación de Fasores:

x(t) = Amaxsin(ωt +ϕ )

X•=Amax2

ϕ

Módulo-argumento

Complejo

X•=Amax2

cos ϕ( ) + j sin ϕ( ){ }Euler

X•=Amax2e jϕ

7

RELACIÓN FASORIAL

8

Funciones característicasv(t) = R ⋅ i(t)

i(t) = Ief 2 sin ωt +ϕ( )

v(t) = Vef 2 sin ωt +ϕ( )Vef = R ⋅ Ief

I•= Ief ϕ

V•= Vef ϕ

9

Funciones característicasv(t) = R ⋅ i(t)

I•= Ief ϕ V

•= Vef ϕ

v(t)i(t)

2 4 6 8 10

!6

!4

!2

2

4

6

10

Funciones características

v(t) = Vef 2 sin ωt +ϕ( )

i(t) =ωCVef 2 cos ωt +ϕ( )I•= Ief

π2+ϕ

V•= Vef ϕ

i(t) = C ⋅dv(t)dt

i(t) =ωCVef 2 sin ωt + π2+ϕ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

11

Funciones característicasi(t) = C ⋅

dv(t)dt

V•= Vef ϕI

•= Ief

π2+ϕ

v(t)

i(t)

2 4 6 8 10

!6

!4

!2

2

4

6

12

Funciones características

i(t) = Ief 2 sin ωt +ϕ( )

v(t) =ωLIef 2 cos ωt +ϕ( )V•= Vef

π2+ϕ

I•= Ief ϕ

v(t) =ωLIef 2 sin ωt + π2+ϕ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

v(t) = L ⋅ di(t)dt

13

Funciones característicasv(t) = L ⋅ di(t)

dt

I•= Ief ϕ V

•= Vef

π2+ϕ

i(t)

v(t)

2 4 6 8 10

!6

!4

!2

2

4

6

14

IMPEDANCIAS

15

ImpedanciasDefinición:

Impedancia es la relación matemática entre el fasor de Voltaje y Corriente de un Sistema Eléctrico

V•= Z ⋅ I

•

C

I

V Z

Sistema

Eléctrico

Z =| Z | ϕ

16

Impedancias

V•= Z ⋅ I

•

Las impedancias se pueden sumar en paralelo o en serie.

C

I

V Z

Sistema

Eléctrico

17

Z representa la impedancia del sistema de la figura.

Z es una propiedad del sistema eléctrico.

Indica la relación que existe entre los valores efectivos y el ángulo de desfase entre el voltaje y corriente de interés.

Impedancias Componentes BásicasResistencia:

I•= Ief ϕ V

•= Vef ϕVef = R ⋅ Ief

Reemplazando:

V•= R 0 ⋅ Ief ϕ V

•= R 0 ⋅ I

•

Finalmente:

ZR = R 018

Impedancias Componentes BásicasCondensador:

V•= Vef ϕ

Reemplazando:

Finalmente:

19

I•= Ief

π2+ϕ

Ief =ω ⋅C ⋅Vef

I•=ωCVef

π2+ϕ I

•=ωC π

2⋅V•

V•=1

ωC−π2⋅ I•

ZC =1

ωC−π2

Impedancias Componentes BásicasInductancia:

I•= Ief ϕ

Reemplazando:

Finalmente:

20

V•= Vef

π2+ϕ

Vef =ω ⋅ L ⋅ Ief

V•=ωLIef

π2+ϕ V

•=ωL π

2⋅ I•

ZL =ωLπ2

Impedancias Componentes BásicasResumen

21

ZC =1

ωC−π2= − j

1ωC

ZL =ωLπ2= jωLZR = R 0

I•,V•

j

!

I

V

j

!

I

V

j

!

I

V

Relación según la impedancia del componente:

PROCEDIMIENTO ANÁLISIS FASORIAL

22

ProcedimientoConvertir el circuito original (que depende de señales en el tiempo), en un circuito que sólo tenga Fasores e impedancias (es decir, que depende sólo de la frecuencia y el desfase entre las señales)

Utilizar técnicas conocidas de redes eléctricas vistas en el curso para determinar las variables eléctricas. La única diferencia es que se deben utilizar números complejos.

Finalmente, convertir la solución fasorial en una señal que dependa del tiempo.

23