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29/Abril/2016 – Aula 16
4 e 6/Maio/2016 – Aulas 17 e 18
Equação de Schrödinger.Aplicações:
1º – partícula numa caixa de potencial2º – partícula num poço de potencial finito3º – oscilador harmónico simples4º – barreira de potencial, probabilidade de
transmissão.
Princípio de Incerteza de Heisenberg.Probabilidade de encontrar uma partícula
numa certa região .
Posição média de uma partícula.Partícula numa caixa de potencial:
funções de onda e níveis de energia.
2
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
Aula anterior
Se uma medição da posição for feita com precisão ∆∆∆∆ x e, simultaneamente, se se medir a componente p x do momento com precisão ∆∆∆∆ p x , então o produto das duas incertezas não pode ser inferior a h / 2(2ππππ) .
com �=h
2π∆x ∆p ≥ �
2Princípio da Incerteza
Se existe uma incerteza no momento da partícula, também existirá uma incerteza na sua energia.
Esta relação impõe um limite para a medição da energia de um sistema.
∆E ∆t ≥ �2
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Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região
Aula anterior
A probabilidade de umapartícula se encontrarentre os pontos a e b é igual à área definida pelacurva entre a e b.
A probabilidade Pab de encontrar a partícula no intervalo b ≥≥≥≥ x ≥≥≥≥ a é igual a
b 2
aba
P dxΨ= ∫
Experimentalmente, existe semprealguma probabilidade de se encontrar a partícula num ponto para um dado instante, pelo que a probabilidade vaiestar entre 0 e 1.
Por exemplo, se a probabilidade de se encontrar uma partícula entre doispontos for igual a 0,3 , então há 30% de hipóteses de ela estar nesse intervalo.
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Posição média de uma partícula
Aula anterior
e é igual ao valor médio da posição da partícula representada pela função de onda ψψψψ na região delimitada por a e b.
O valor expectável é definido como
A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidadede encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar informações de outras quantidades mensuráveis, como o momento e a energia.
Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de uma partícula numa dada região: valor expectável.
b 2
a
x x dxΨ= ∫
5
Partícula numa caixa de potencial
a) funções de onda b) distribuições de probabilidade
A partir da função de onda ψψψψ(x) = A sen (n ππππ x / L) que tipo de informações será possível obter acerca da partícula?
Aula anterior
6
Partícula numa caixa (cont.)
Aula anterior
E2 = 4E1, E3 = 9 E1 , …
2
2n 2
hE n
8 m L
=
com n = 1, 2, 3
No estado com menor energia(n =1), esta tem o valor de
2
1 2
hE
8 m L=
Os estados mais energéticos (n >1) têm energias
Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula
En
erg
ia
A energia mínima é > 0
7
Equação de Schrödinger
Será possível usar o modelo da partícula numa caixa para prever os níveis de energia electrónicos num átomo?
Problema:O electrão não está confinado a uma caixa de paredes infinitas (nem as paredes são verticais).
Modelo da energia potencial em função da distância ao núcleo para um átomo.
8
Equação de Schrödinger (cont.)
Solução:
a equação de Schrödinger permite determinar as funções de onda de uma partícula num poço de potencial qualquer, de uma maneira sistemática;
a partir das funções de onda é possível determinar as densidades de probabilidade, os comprimentos de onda, os momentos, os níveis de energia, …
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A expressão geral (clássica) da equação das ondas para ondas que se deslocam ao longo do eixo x é
2 2
2 2 2
1
x v t
Ψ Ψ∂ ∂=∂ ∂
em que v é a velocidade da onda e ψψψψdepende do espaço (x) e do tempo (t )
No caso mais simples, é possível separar a dependência no espaçoda dependência no tempo:
ψψψψ (x, t ) = ψψψψ (x) cos ωωωω t
Substituindo na equação das ondas, vem
( )( )
∂=
∂
2 2
2 2
cos t ( x )- ( x )cos t
x v
ω Ψ ωΨ ω
∂=
∂
2 2
2 2
( x )- ( x )
x v
Ψ ωΨ
Equação de Schrödinger (cont.)
10
Partindo da expressão anterior e considerando as relações de deBroglie para as ondas (de matéria) ωωωω = 2ππππ f = 2ππππ v /λλλλ e p = h / λλλλ
ω2
v2=
2π
λ
2
=4π 2
h2
p2 =
p2
�2
Sendo a energia total E a soma das energias cinética e potencial
Etotal
= Ecin
+Upot
=p2
2m+U
pot
p2 =2m Etotal
-Upot( )
ω2
v2=
p2
�2
=2m
�2
Etotal
-Upot( )
Equação de Schrödinger (cont.)
=�h
2π
11
-�
2
2m
d2Ψ x( )dx2
+U pot x( )Ψ x( ) = Etotal Ψ x( )
Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de Schrödinger na sua forma mais simples, independente do tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x :
Equação de Schrödinger
( )( )=
�
2
2 2
d x 2 m- E -U
dx
ΨΨ
Equação de Schrödinger (cont.)∂
=∂
2 2
2 2-
x v
Ψ ωΨ( )=
�
2
total pot2 2
2mE -U
v
ω
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Aplicações da equação de Schrödinger1º – partícula numa caixa de potencial
A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham.
Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa:
d2Ψ x( )dx2
= -2m
�2
E-U( )Ψ
A energia potencial nas paredes da caixa é nula e as paredes são infinitas.
U (x) = 0 para 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L
U (x) = ∞∞∞∞ para x ≤≤≤≤ 0 e x ≥≥≥≥ L
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Na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L a equação de Schrödinger pode ser escrita como
1º – partícula numa caixa de potencial (cont.)
d2Ψ x( )dx2
= -2m
�2
EΨ
Para simplificar, se se fizer k =2mE
�
d2Ψ x( )dx2
= - k2 Ψ
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Agora é necessário resolver a equação de Schrödinger para determinar a função de onda ψψψψ que representa a partícula na caixa.
A solução da equação de Schrödinger que satisfaz estas condições é do tipo
Como as paredes são infinitas, ψψψψ vai ser nula fora da caixa. Neste caso, as duas condições fronteira são :
ψψψψ (x) = 0 para x = 0 e x = L
( ) ( )x Asen k xΨ =
1º – partícula numa caixa de potencial (cont.)
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução
1ª condição fronteira : ψψψψ (x) = 0 para x = 0
� É verificada (sen 0 = 0)
2ª condição fronteira : ψψψψ (x) = 0 para x = L
� É verificada se k L for um múltiplo de ππππ, ou seja, se k L = n ππππ , com n inteiro
k L =2mE
�L = nπ
Como se definiu , tem-se, a
partir desta condição
k =2mE
�
En
erg
ia
A energia mínima é > 0
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
(em função da energia)
(idêntico ao resultado obtido anteriormente)
k L =2mE
�L = nπ
2
2n 2
hE n
8 m L
=
17
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
k L =2mE
�L = nπ( ) ( )x Asen k xΨ =
Ψ x( ) = A sennπ x
L
Para determinar A vai ser necessário usar a condição de normalização:
2dx 1ψ
∞
−∞
=∫
18
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
A probabilidade da partícula estar na caixa (ou seja, em 0 < x < L) tem de ser igual a 1:
L
2
0
dx 1ψ =∫
Dado que ( )( )
2sen 2axx
sen ax dx2 4a
= −∫
( )n x
x AsenL
πΨ
=
L L2 2 2
0 0
n xdx A sen dx 1
L
πψ
= =
∫ ∫
A2 sen2 nπ x
L
dx =
0
L
∫ A2 L
2= 1 Α =
2
L
20
Uma partícula é descrita pela função de onda ψψψψ = a x entre x = 0 ex = 1 e por ψψψψ = 0 fora desta região. O seu movimento está limitado ao eixo x . Determine a probabilidade da partícula ser encontrada entre x = 0,45 e x = 0,55 .
0 0,45 0,55 1 x
ψψψψ
A função de onda pode ser representada por:
A probabilidade vai ser dada por:
1
0
0 ,55x 0 ,55 322 2 2
x 0 ,45 0 ,45
xP dx a x dx a 0,025 a
3ψ
= = = =
∫ ∫
21
Consideremos uma partícula cuja energia potencial é nula na região 0 < x < L (poço) e igual a U (valor finito) fora dessa região.
Para determinar as características desta partícula é necessário resolver a equação de Schrödinger:
No caso da partícula numa caixa de lados infinitos, a função de onda era nula nas paredes. Mas, neste caso, como as paredes representam um potencial finito, a função de onda já não vai ser nula .
2º – partícula num poço de potencial finito
d2Ψ x( )dx2
= -2m
�2
E-U( )Ψ
22
22
2
dC
dx
ΨΨ=
em que C2 = 2m(U-E)/ h 2 é uma constante positiva
Regiões I e III
U >>>> E
Soluções desta equação:
matemática
física
( )( )=
�
2
2 2
d x 2m- E-U
dx
ΨΨ
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
23
Portanto, as soluções nas regiões I e III são:
Matemática
A solução geral desta equação é do tipo ψψψψ = A eCx + B e -Cx , em que A e B são constantes.
Física
Na região I ( x < 0 ), B e-Cx aumenta exponencialmente com x < 0; esta situação não tem significado físico ⇒⇒⇒⇒ B = 0 .
Na região III ( x > L ), A eCx aumenta exponencialmente com x > L;esta situação não tem significado físico ⇒⇒⇒⇒ A = 0 .
Ψ
Ψ
=
=
C x
-C x
Ae
B e
Ι
ΙIΙ
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
24
A solução geral desta equação é do tipo ψψψψ I I = F sen (kx) + G cos (kx), em que F e G são constantes.
As funções de onda na região II são sinusoidais.
2
2
dD
dx
ΨΨ=
Região II
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
U < E
em que D é uma constante negativa
( )( )=
�
2
2 2
d x 2m- E-U
dx
ΨΨ
25
Funções de onda Densidades de probabilidade
Fora da caixa: funções de onda exponenciais ψψψψ I = A eCx , ψψψψ III = B e-Cx
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
No interior: funções de onda sinusoidais ψψψψ II = F sen (kx) + G cos (kx)
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As constantes A , B , F e G podem ser determinadas a partir das condições nas fronteiras :
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
continuidade das funções de onda nas fronteiras
As funções de onda têm que ser iguais (e as suas derivadas também) nas zonas de transição.
Ψ ΨΨ Ψ
Ψ ΨΨ Ψ
= =
=
=
= =
x 0 : e
x
d d
d x d x
d d
d d:
xL e
x
Ι ΙI
Ι ΙI
ΙI ΙII
ΙI ΙII
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3º – oscilador harmónico simples
Considere uma partícula sujeita a uma força de restituição linear dada por F = - k x .
x é o deslocamento relativamente à posição de equilíbrio (x = 0) e k é uma constante.
Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede cristalina).
28
Classicamente, a energia potencial U do sistema é igual a
2 2 21 1U k x m x
2 2ω= =
com a frequência angular de vibração ωωωω dada pork
mω =
A energia total E do sistema é a soma das energias cinética e potencial:
21E E U k A
total cinética 2= + =
em que A é a amplitude do movimento.
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
29
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Classicamente, todos os valores de energia E são permitidos
Quanticamente, é necessário resolver a eq. de Schrödinger com U = ½ ωωωω 2x 2m para determinar os níveis de energia permitidos :
d2Ψ x( )dx2
= -2m
�2
E-U( )Ψ
d2Ψ x( )dx2
= -2m
�2
E-1
2mω2 x2
Ψ
30
Uma das soluções da eq. de Schrödinger para este caso é do tipo
C =mω
2�E0 =
�ω
2
Esta solução particular corresponde ao estado de menor energia do sistema (estado fundamental - ground state ).
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
ψψψψ = B e – C x2
Os estados de maior energia (excitados) podem ser obtidos a partir do estado fundamental:
com n = 1 , 2 , …E
n= n +
1
2
�ω
31
A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a
Se a partícula estiver num certo estado e passar para o estado de energia imediatamente abaixo, vai perder um quantum de energia– exactamente a quantidade de energia de um fotão.
Diagrama de níveis de energia. Os níveis estão igualmente espaçados (com separação ����ωωωω ) e o estado fundamental tem energia E0 = ����ωωωω /2
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
En- E
n-1= �ω =h ν
32
Curvas a azul
Probabilidades clássicascorrespondentes às mesmas energias.
Classicamente, a partícula está mais tempo nas amplitudes extremas (maior probabilidade).
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Curvas a vermelho
Densidades de probabilidade para os estados com n = 0, 1 e 2.
Do ponto de vista quântico, em certas regiões sobre o eixo x , a probabilidadede encontrar a partícula é nula.
3333
En
erg
ia
4º – barreira de potencial
Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, as suas funções de onda penetram as paredes.
Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa barreira de potencial suficientemente fina.
A resolução da equação de Schrödinger permite obter as funções de onda desta partícula.
3434
En
erg
ia
4º – barreira de potencial (cont.)
A resolução da eq. de Schrödinger aplicada às regiões I, II e III, com as condições fronteira para cada região (as funções de onda têm de ser contínuas nas separações), conduz às seguintes soluções:
Regiões I e III ( E > U = 0 )
Funções de onda sinusoidais.
Região II ( E < U )
Funções de onda exponenciais (decrescentes) .
Como a probabilidade de encontrar a partícula numa dada região é proporcional a |ψψψψ |2 , então existe uma probabilidade finita, não nula, de encontrar a partícula na região III .
3535
En
erg
ia
4º – barreira de potencial (cont.)
Isto significa que a partícula tem uma probabilidade finita de penetrar a barreira, ainda que a energia da barreira seja superior à da própria partícula.
Qual será a energia da partícula após ter penetrado a barreira?
- O quadrado da função de onda indica a probabilidade da partícula atravessar a barreira, não a sua energia.
- O comprimento de onda da função de onda é que indica o momento e, portanto, a energia da partícula.
3636
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão
Nas condições deste problema, a energia é a mesma antes e depoisde atravessar a barreira.
A probabilidade da partícula passar através da parede pode ser calculada a partir da função de onda ψψψψ que, por sua vez, vai ser calculada através da equação de Schrödinger.
Essa probabilidade pode ser descrita em termos de um coeficiente de transmissão (T ) e de um coeficiente de reflexão (R ):
O coeficiente de transmissãomede a probabilidade da partícula penetrar a barreira.
|ψψψψ |2 para a região II
3737
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão (cont.)
O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula ser reflectida pela barreira.
Dado que a partícula só pode ser transmitida ou reflectida
Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por:
, com eα =2m U - E( )�
( )
( )
2
1 2
2
1 2
k - kR
k k=
+
T R 1+ =
T = e−2α L
=�
pk
38
Um electrão com uma energia de 2 eV encontra uma barreira de potencial com uma amplitude de 5 eV. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a
a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos)b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos)
A probabilidade do electrão atravessar a barreira (por efeito de túnel) é dada por
α =2m U - E( )�
-19U - E 5 - 2 3 eV 4,8 .10 J= = =
-31 -19
9 -1
-34
2 9,11.10 kg 4,8.10 J8,9.10 m
1,05.10 Jsα
× ×= =
Neste caso:
2 LT e
α−=
39
Um electrão com uma energia de 2 eV encontra uma barreira de potencial com uma amplitude de 5 eV. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a:
a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos).b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos).
Diminuindo a largura da barreira para metade, a proba-bilidade do electrão a atravessar aumenta ≈≈≈≈ 10 4 vezes.
9 -9-2 L -2 8,9.10 1.10 -8
T e e 1,86.10α × ×= = =a) L = 1,0 nm
9 -9-2 L -2 8,9.10 0,5.10 -4
T e e 1,36.10α × ×= = =b) L = 0,5 nm