DINÂMICA DA CORDA VIBRANTE - Matemática da UFSCdaniel/matap/intcorda.pdf · Qualquer solução da...
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DINÂMICA DA CORDA VIBRANTE
A equação da onda unidimensional: por que deveríamos estudar o deslocamento de uma corda
Considere uma corda de comprimento L, levemente esticada:
Na figura o deslocamento u tem sido propositalmente exagerado... α e β são próximos de zero.
dlT2
T1
αβ
x
u
L
Hipóteses simplificadoras • i) a corda tem um comprimento fixo L;• ii) a tensão é constante ao longo da corda e do
tempo;• iii) a densidade da corda é constante ao longo
da corda e do tempo;• iv) os pontos da corda movimentam-se num
plano• v) a corda só está sujeita à força de reação nos
seus extremos;• vi) a velocidade de cada ponto é perpendicular
a reta que passa pelos seus pontos extremos (eixo das abscissas),
α
β
=T2
=T2
dl
u u+ du
x
u
PQ
T1T1
T2
αβ
Δx
A equação da onda 1-DA equação da onda unidimensional envolve apenas uma
única variável espacial.Desde que assumimos que o deslocamento é vertical as
componentes horizontais são constantes e então iguais.
As componentes da tensão na direção vertical são:- T1 sen α e T2 sen β
Usando a Lei de Newton: F = m a = ( ρΔx )
.coscos 21 constTTT === βα
2
2
12 sinsintuxTT
∂∂
Δρ=α−β
2
2
tu
∂∂
Dividindo pela componente horizontal obtemos a inclinação local da corda:
2
2
2
2
1
1
2
2 tantancossin
cossin
tu
Tx
tu
Tx
TT
TT
∂∂Δ
=−=∂∂Δ
=−ραβρ
αα
ββ
2
21t
uTx
uxu
x xxx ∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
Δ Δ+
ρ
2
2
2
2
tu
Txu
∂∂
=∂∂ ρ
com 2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂ou
ρTc =2
Resolução da Equação de Onda the 1-D
Condições de Fronteira:u(0,t) = 0 e u(L,t) = 0 para todo t desde que os extremos são fixos em 0 e em L
Condições Iniciais:Deslocamento inicial,
Velocidade inicial, )()0,( xfxu =
)(0
xgtu
t
=∂∂
=
2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂ onde
ρTc =2
1: Separação de variáveis → duas EDOs.
Propomos uma solução como sendo o produto de duas funções:
)()(),( tGxFtxu =Diferenciando:
)()(2
2
tGxFtu=
∂∂
e )()(2
2
tGxFxu ′′=
∂∂
Assim de 2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
temos (substituindo) )()()()( 2 tGxFctGxF ′′=
)()()()(
)()()()(
2
2
2 xFtGctGxFc
xFtGctGxF ′′
= e kxFxF
tGctG
=′′
=)()(
)()(
2
Ambos lados devem ser igual a uma constante porque variando apenas x ou apenas t não mudam ambos lados simultaneamente.
Obtemos duas EDOs:
0)()( =−′′ xkFxF e 0)()( 2 =− tkGctG
2: Obter as soluções das EDOs que satisfaçam as condições iniciais e de fronteira:
u(0,t) = 0 e u(L,t) = 0u(0,t) = F(0)G(t) = 0 e u(L,t) = F(L)G(t) = 0
0)()( =−′′ xkFxF e 0)()( 2 =− tkGctG
As soluções triviais são ignoradas:• G(t) = 0• F(x) = 0 que é verdadeiro para k ≥ 0
para k = –ρ2: 0)()( 2 =+′′ xFpxF
cuja solução éxBxAxF ρρ sincos)( +=
Aplicando as condições de fronteira obtemos
F(0) = A = 0 e F(L) = B sin(ρL) = 0
∴ ρL = nπ e escolhemos B = 1
xL
nxFnπsin)( = para n = 1, 2, …
0)()( =−′′ xkFxF
ρ
0)()( 2 =− tkGctG
Já que k = –ρ2 = -(nπ/L)2
0)()( 2 =+ tGtG nλ Lcn
nπλ =
A solução obtida analiticamente é:
)sin()cos()( * tBtBtG nnnnn λλ +=
Assim as soluções da equação de Onda 1-D são:
)()(),( tGxFtxu nnn =
xL
ntBtBtxu nnnnnπλλ sin)sincos(),( *+= para n = 1, 2, …
Gráficos da equação de Onda 1-D
instantâneas
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Normal Modes of the Vibrating String: n = 1
x
u(x,
t)
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Normal Modes of the Vibrating String: n = 2
x
u(x,
t)
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Normal Modes of the Vibrating String: n = 3
x
u(x,
t)
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Normal Modes of the Vibrating String: n = 4
x
u(x,
t)
Modos normais de vibração, n = 4, para vários instantes de tempo
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Normal Modes of the Vibrating String: n = 4
x
u(x,
t)
L
Each sinusoidrepresents adifferent instant in time.The arrows show thedirection of motionstarting at t = 0
Para cada instante temos uma sinusóide;a seta mostra o sentido do deslocamento
3 O Princípio de Superposição
precisamos de uma soma convergente que satisfaça as condições iniciais:
∑∑∞
=
∞
=
+==1
*
1sin)sincos(),(),(
nnnnn
nn x
LntBtBtxutxu πλλ
)()0,( xfxu =
e
( ,0) ( )u x g xt∂
=∂
f(x) está dada por uma soma infinita de senos
Determinar Bn de tal forma que u(x,0) seja a Série de Fourier de f(x) (dada como a condição inicial do deslocamento)
∫=L
n dxL
xnxfL
B0
sin)(2 π
Considerando a primeira condição inicial: Deslocamento
1
( ,0) sin ( )nn
nu x B x f xLπ∞
=
= =∑
Para satisfazer a segunda condição inicial: a velocidade, derivamos
∑∑∞
=
∞
=
+==1
*
1sin)sincos(),(),(
nnnnn
nn x
LntBtBtxutxu πλλ
1( , 0) sin ( )n n
n
u n xx B g xt L
πλ∞
∗
=
∂= =
∂ ∑
( ,0)u xt
∂∂
em relação a t, e calculamos , temos
Obter os coeficientes B*n
equivale a obter as Série de Fourier de g(x)
∫=L
n dxL
xnxgcn
B0
* sin)(2 ππ
g(x) está dada por uma soma infinita de senos
Temos um bom motivo para estudar como representar funções
com séries infinitas de funções trigonométricas
As Séries de Fourier
Resolvendo a Equação de Onda Unidimensional
Consideremos primeiro a equação de onda com velocidade inicial nula, g(x) =0
0dxL
xnsin)x(gcn2B
L
0
*n =
ππ
= ∫ assim
∑∑∞
=
∞
=
πλ==
1nnn
1nn x
LnsintcosB)t,x(u)t,x(u
∫=L
n dxL
xnxfL
B0
sin)(2 πsendo
Exemplo Ache a solução da equação de onda se o deslocamento inicial tem forma triangular e a velocidade é 0:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
)(2
2
)(xL
Lk
xLk
xffor 0 < x < L/2
for L/2 < x < L
Como g(x) = 0, então Bn* = 0 e 2sin8
22
ππ
=n
nkBn
Assim, a solução tem a forma:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
ππ−
πππ
= ...3cos3sin31cossin
118),( 222 t
Lcx
Lt
Lcx
Lktxu
A solução da equação u(x,t)de onda é uma função de x e de t
Qualquer solução da equação de onda pode ser escrita como u(x,t)= f*(x-ct) que representa uma onda que se desloca para a direita com velocidade c no trasocorrerdo tempo e f*(x + ct) representa uma onda que se desloca para esquerda. Pelo Princípio de Superposição temos que u(x,t) pode ser escrita em uma forma compacta como:
[ ])ctx(f)ctx(f21)t,x(u ** ++−=
Onde f* é uma extensão periódica impar de f com período 2L
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤−≤≤−−
==otherwis
xxxx
xfxallxg0
101011
)(0)(
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
distance, x
time,
t
t = 0ct=1ct = 2ct = 3x+ctx+ctx-ctx-ct
para todo xnos outros casos
t
x
Exemplo
Solução da equação de onda: D’Alembert
2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
ρTc =2
Introduzimos novas coordenadas: v e zv = x + ctz = x - ct
Assim, u é uma função de v e z. E as derivadas são:ux = uvvx + uzzx = uv + uzuxx = (uv +uz)x = (uv + uz)vvx + (uv + uz)zzx = uvv + 2uvz + uzzeutt = c2(uvv - 2uvz + uzz)
Substituindo utt = c2uxx temos:c2(uvv - 2uvz + uzz) = c2(uvv + 2uvz + uzx)4uvz = 0 ⇒ uvz = 0 0
2
=∂∂
∂=
vzuuvz
02
=∂∂
∂=
vzuuvz
)(vhvu=
∂∂
∫ ψ+= )()( zdvvhu
Integrando em relação a z obtemos:
Integrando em relação a v temos:
logo:
)()(),( ctxctxtxu −ψ++φ=
)()( zvu ψ+φ=
que leva a solução:
)(')('),( ctxcctxctxut −ψ−+φ=e
D’Alembert’s satisfazendo as condições iniciais
Temos que: u(x,0) = f(x) e ut(x,0) = g(x)
)()(')('),(0
xgxcxctxutt =ψ−φ==
)()()(),(0
xfxxtxut
=ψ+φ==
Dividindo por c e integrando em relação a x temos:
∫+=ψ−φx
x
dssgc
xkxx0
)(1)()()( 0onde )()()( 000 xxxk ψ−φ=
)(21)(
21)(
21)( 0
0
xkdssgc
xfxx
x
++=φ ∫
∫+=ψ−φx
x
dssgc
xkxx0
)(1)()()( 0
)()()( xfxx =ψ+φ+
Dividindo por 2:
∫+=ψ−φx
x
dssgc
xkxx0
)(1)()()( 0
)()()( xfxx =ψ+φ
)(21)(
21)(
21)( 0
0
xkdssgc
xfxx
x
−−=ψ ∫
-
Dividindo por 2:
A solução de D’Alembert
)()(),( ctxctxtxu −ψ++φ=
[ ] ∫+
−
+−++=ctx
ctx
dssgc
ctxfCtxftxu )(21)()(
21),(
)(21)(
21)(
21)( 0
0
xkdssgc
ctxfctxctx
x
+++=+φ ∫+
)(21)(
21)(
21
)(21)(
21)(
21)(
0
0
0
0
xkdssgc
ctxf
xkdssgc
ctxfctx
x
ctx
ctx
x
−+−=
−−−=−ψ
∫
∫
−
− Resultadosanteriores
