1

Distribuição Normal de Probabilidade

1 Aspectos Gerais2 A Distribuição Normal Padronizada3 Determinação de Probabilidades4 Cálculo de Valores5 Teorema Central do Limite

2

Aspectos Gerais1

Variável aleatória contínuaDistribuição Normal

A curva tem forma de um sino e é simétrica

µValor

Figura 5-1

x - µ 212 σe

σ 2 π

( )y =Fórmula 5-1

3

2

Distribuição Normal Padronizada

4

DefiniçõesCurva de Densidade (ou função densidade de probabilidade) gráfico de uma distribuição contínua de probabilidade

1, A área total sob a curva deve ser 1,

2, Todo ponto da curva deve ter uma altura vertical não inferior a 0,

5

Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, há uma correspondência entre

área e probabilidade,

6

Alturas de mulheres e homens adultos

Mulheres:µ = 1,615σ = 0,0635 Homens:

µ = 1,753σ = 0,0711

1,615Alturas (m)

Figura 5-4 1,753

7

DefiniçãoDistribuição Normal Padronizada

uma distribuição normal de probabilidades que tem média 0 e desvio-padrão 1

Área lida na Tabela

0,4429

0 1 2 3-1-2-3

Área = 0,3413

z = 1,580Escore (z )

Figura 5-6Figura 5-5

8

Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão

µ = 0 σ = 1

0 x

z

9

Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão (z)

,0239,0636,1026,1406,1772,2123,2454,2764,3051,3315,3554,3770,3962,4131,4279,4406,4515,4608,4686,4750,4803,4846,4881,4909,4931,4948,4961,4971,4979,4985,4989

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,32,42,52,62,72,82,93,0

,0000,0398,0793,1179,1554,1915,2257,2580,2881,3159,3413,3643,3849,4032,4192,4332,4452,4554,4641,4713,4772,4821,4861,4893,4918,4938,4953,4965,4974,4981,4987

,0040,0438,0832,1217,1591,1950,2291,2611,2910,3186,3438,3665,3869,4049,4207,4345,4463,4564,4649,4719,4778,4826,4864,4896,4920,4940,4955,4966,4975,4982,4987

,0080,0478,0871,1255,1628,1985,2324,2642,2939,3212,3461,3686,3888,4066,4222,4357,4474,4573,4656,4726,4783,4830,4868,4898,4922,4941,4956,4967,4976,4982,4987

,0120,0517,0910,1293,1664,2019,2357,2673,2967,3238,3485,3708,3907,4082,4236,4370,4484,4582,4664,4732,4788,4834,4871,4901,4925,4943,4957,4968,4977,4983,4988

,0160,0557,0948,1331,1700,2054,2389,2704,2995,3264,3508,3729,3925,4099,4251,4382,4495,4591,4671,4738,4793,4838,4875,4904,4927,4945,4959,4969,4977,4984,4988

,0199,0596,0987,1368,1736,2088,2422,2734,3023,3289,3531,3749,3944,4115,4265,4394,4505,4599,4678,4744,4798,4842,4878,4906,4929,4946,4960,4970,4978,4984,4989

,0279,0675,1064,1443,1808,2157,2486,2794,3078,3340,3577,3790,3980,4147,4292,4418,4525,4616,4693,4756,4808,4850,4884,4911,4932,4949,4962,4972,4979,4985,4989

,0319,0714,1103,1480,1844,2190,2517,2823,3106,3365,3599,3810,3997,4162,4306,4429,4535,4625,4699,4761,4812,4854,4887,4913,4934,4951 ,4963,4973,4980,4986,4990

,0359,0753,1141,1517,1879,2224,2549,2852,3133,3389,3621,3830,4015,4177,4319,4441,4545,4633,4706,4767,4817,4857,4890,4916,4936,4952,4964,4974,4981,4986,4990

,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09z

10

Exemplo: A vida média de uma marca e de um tipo de bateria (para determinado equipamento em uso contínuo) é 20 horas, com desvio-padrão de 0,5 h, Qual a probabilidade de que essa bateria não dure mais do que 21 horas?

Area = 0,4772

P ( x > 2,00 ) = 0,0228

0 2,00

Há 2,28% de baterias que duram mais de 21 horas, logo, 97,72% que não duram mais de 21 horas,

11

Utilização da Simetria para Achar a Área à Esquerda da Média

NOTA: Embora um escore z possa ser negativo, a área sob a curva (ou a probabilidade correspondente)

nunca pode ser negativa,

(a) (b)

Pela simetria, estas áreas são iguais,

Distâncias iguais a contar de 0

0,4925 0,4925

0 0

z = 2,43z = - 2,43

Figura 5-7

12

A Regra EmpíricaDistribuição Normal Padrão: µ = 0 e σ = 1

x - 3s x - 2s x - s x x + 2s x + 3sx + s

68% estão dentro de 1 desvio-padrão

34% 34%

95% estão dentro de 2 desvios-padrão

99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios-padrão a contar da média

0,1% 0,1%2,4% 2,4%

13,5% 13,5%

13

Determinação da Área à Direita de z = 1,27

0,3980

Valor lidona Tabela A-2

Esta área é 0,5 – 0,3980 = 0,1020

z = 1,270

Figura 5-8

14

P(a < z < b) denota a probabilidade de o valor de z estar

entre a e bP(z > a)

denota a probabilidade de o valor de z sermaior do que aP (z < a)

denota a probabilidade de o valor de z ser menor do que a

Notação

15

Figura 5-10 Interpretação Correta das ÁreasAdicionar a

0,5

0,5

‘maior do que x’‘pelo menos x’‘mais do que x’‘não menos do que x’

Subtrairde 0,5

x1 x2

Somar

‘menos do que x’‘no máximo x’‘não mais do que x’‘não maior do que x’

Somar a0,5

0,5

x

Subtrairde 0,5

x

x x

A B

TomarA = C - B

x1 x2

C

‘entre x1 e x2’

16

0,450,50

5% ou 0,05

Determinação dos Escores z(Dadas as Probabilidades)

95% 5%

0 z =

FIGURA 5-11 Determinação do 95º percentil

(valor de z será positivo )1,645

17

Determinação dos Escores z(Dadas as Probabilidades)

00,40

-1,280,10

10% inferiores

(O valor de z será negativo)z =

90%10%

FIGURA 5-12 Determinação do 10º percentil

18

Outras Distribuições NormaisSe µ ≠ 0 ou σ ≠ 1 (ou ambos), os valores são convertidos para os valores padronizados através da expressão abaixo (Fórmula 5-2), Podendo utilizar então os mesmos procedimentos tomados com a distribuição normal padrão,

x - µσz =Fórmula 5-2

19

Convertendo na Distribuição Normal Padrão

x 0µ z

x - µσz =

(a) (b)

P P

Figura 5-13

20

Probabilidade de Peso entre 64,9 kg e 91,2 kg

64,9 91,2z

0 2,00

x = 64,9

Figura 5-14

Há uma probabilidade de 0,4772 de escolher ao acaso uma mulher com peso entre 64,9 e 91,2 kg, ou 47,72% das mulheres têm peso entre 64,9 e 91,2 kg

Peso

s = 13,15

0,4772Valor lido na Tabela

21

Definição

Distribuição Amostral da Média:é a distribuição de probabilidade das médias amostrais, com todas as amostras de mesmo tamanho n, da mesma população,

22

Teorema Central do LimiteDado:

1, A variável aleatória x tem distribuição (que pode ser normal, ou não) com média µ e desvio-padrão σ,

2, Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente dessa população,

23

Teorema Central do LimiteConclusões:1, Na medida que o tamanho da amostra

aumenta, a distribuição das médias amostrais x tende para uma distribuição normal,

2, A média das médias amostrais será a média populacional µ,

3, O desvio-padrão das médias amostrais será σ/ . n

24

Regras Práticas de Uso Comum:

1, Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal, A aproximação melhora na medida em que aumenta o tamanho da amostra n,

2, Se a própria distribuição original tem distribuição normal, então as médias amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho amostral qualquer tamanho amostral n(não apenas para os valores de n > 30),

25

Notaçãomédia das médias amostrais

desvio-padrão das médias amostrais

(comumente chamado erro-padrão da média)

µx = µ

σx = σn

26

Distribuição de 50 Médias Amostrais de 50 Estudantes

0

10

Freq

üênc

ia

5

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Figura 5-20

27

Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-padrão de 13,15 kg, a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg,

0,0948

0,5 – 0,0948 = 0,4052

z = 68,0 – 64,9 = 0,2413,15

68,0µ = 64,9σ = 29

0 0,24

28

Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-padrão de 13,15 kg, b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso, determine a probabilidade de seu peso médio ser maior que 68,0 kg,

0,4265

0,5 – 0,4265 = 0,0735

z = 68,0-64,9 = 1,4513,1536

µx = 64,9 68,0σx = 2,1917

0 1,45

29

Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-padrão de 13,15 kg,

a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg,

P(x > 150) = 0,4052b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso,

determine a probabilidade de seu peso médio ser maior que 68,0 kg,

P(x > 150) = 0,0735

É muito mais fácil um elemento se desviar da média que para um grupo de 36 se desviar da média,