INTEGRAL DEFINIDA

1

1. Calcula las siguientes integrales definidas:

a) ∫− −+−3

1

23 )1234( dxxxx

b) ∫ ⋅2

0

3 cosπ

dxxxsen

c) ∫−

++1

0

1

)1ln(edx

x

x

d) ∫ ⋅3

0

2

dxex x

e) ∫− +−3

1

2 )23( dxxx

f) ∫−

−+

1

4 3 dxx

g) ∫− −1

1 24 dxx

h) ∫− −1

1

2 2 dxxx

i) ∫− −4

2

2 2 dxxx

2.

a) Estudia la derivabilidad de

≥−<<

≤=

2 si 32

20 si 1

0 si

)(

xx

x

xe

xf

x

b) Representa gráficamente )(xf

c) Halla el valor de ∫−1

1 )( dxxf

3.

a) Estudia la derivabilidad de

≥+−

<<−−−

−≤

=

2 si 46

21 si 2

1 si 1

)(2 xxx

xx

xx

xf

b) Representa gráficamente )(xf

c) Halla el valor de ∫−1

1 )( dxxf

4. Calcula el área de la región del plano limitada por:

a) La curva 2xy = , el eje OX y las rectas 1=x y 3=x

b) El eje OX y la curva 24 xxy −=

c) La curva 672 +−= xxy , el eje OX y las rectas 2=x y 6=x

d) La curva xxxy 86 23 +−= y el eje OX

e) La gráfica de las funciones 26 xxy −= e xxy 22 −=

f) La gráfica de las funciones xxy 42 −= e 52 −= xy

g) La gráfica de las funciones 24 4xxy −= e 24xy = SOLUCIONES

a) 3

26 2u

b) 3

32 2u

c) 3

56 2u

d) 8 2u

e) 3

64 2u

f) 3

32 2u

g) 15

2 512 2u

INTEGRALES

2

5. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación xxy 33 −= en el punto de abscisa 1−=x . Calcula el área del recinto limitado por la recta tangente y la curva dada.

6. Por el punto de abscisa 1=x de la parábola de ecuación 2xxy −= se traza una recta r perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. Halla el área del recinto limitado por la recta r y la parábola.

7. Halla el área del recinto limitado por las parábolas 2xy = , 2

2xy = y la recta xy 2= .

8. Calcular el área del recinto limitado por las curvas 12 −= xy , xy −= 11 y el eje OX en la zona del plano donde 0≥x . Dibujar el recinto.

9. Se considera la función real de variable real definida por 3

1)(

2 +=

xxf

a) Representa gráficamente )(xf b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xf en el punto de inflexión de

abscisa positiva. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de )(xf , la recta anterior

y el eje 0=x .

10. Las gráficas de las funciones 2

1)(

xxf = ,

8)(

xxg = y xxh =)( delimitan una región acotada en

la zona del plano donde 0>x . a) Dibuja un esquema de dicha región. b) Calcula el área de la región.

11. Dada la función dcxbxaxxf +++= 23)( se sabe que tiene un máximo relativo en 1=x , un

punto de inflexión en ( )0,0 y que ∫ =1

0 4

5)( dxxf . Calcula a, b, c y d.

12. Dibujar el recinto limitado por las curvas de ecuación 24 2xxy −= e 22xy = . Calcular su área.

13. Dibujando las gráficas de las funciones xexf =)( , xexg 2)( = y 2)( exh = calcula el área del recinto limitado por las mismas.

14. Sea α+= 2xy Calcula el valor de α para el que las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno, pasan por el origen de coordenadas. Halla el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes.

15. Dibuja el recinto limitado por las curvas 2+= xey , xey −= y las rectas 0=x y 3−=x . Halla el área de dicho recinto.

16. Dada la función 25)( xxxf −⋅= , se pide: a) Dominio y puntos de corte con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de )(xf y el eje de abscisas.

17. Calcular el área de la región limitada por las curvas 2

2xy = e

1

12 +

=x

y .

18. Determine el área de la región comprendida entre las curvas 2xy = e xy = y la recta que

pasa por los puntos ( )4,2 y ( )2,4 .

19. Dibuja el recinto limitado por 4

12 +

=x

y , 16

xy = y el eje OY. Calcular el área de dicho

recinto.

INTEGRALES

3

20. Representa gráficamente la función 21

)(x

xxf

+= . Halla el área del recinto limitado por la

gráfica de )(xf y las rectas xy = , 1=x y 1−=x .

21. Determina, razonadamente, la expresión de una función )(xf tal que 2

)( xexxf −⋅=′ y

2

1)0( =f .

22. Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones 2

1)(

xxf = , xy = e xy 8= . Halla el

área de ese recinto. 23. En la figura aparece una curva que representa a una función polinómica de grado 2. los puntos

de intersección de la curva con el eje OX son el ( )0,1 y el ( )0,3 . Además, el área limitada por la

curva y los dos ejes de coordenadas vale 3

4. Hallar la expresión de la función polinómica.

3 1