ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτή πιθανότητα

Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

MYY204MYY204MYY204MYY204Διακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά Μαθηματικά

11η - 12η Eβδομάδα: ∆ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ-- Αξιώματα ΠιθανοτήτωνΘ ώ B-- Θεώρημα του Bayes

Reading: EPP, Κεφάλαιο 6 (παρ. 6.8-6.9)

ROSEN Κ άλ 7 ROSEN, Κεφάλαιο 7

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων (2015)Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων (2015)

∆ιακριτή Πιθανότητα (Ι)∆ιακριτή Πιθανότητα (Ι)

Πείραμα Π: Μια φυσική διαδικασία με ένα συγκεκριμένο (αριθμήσιμα άπειρο / πεπερασμένο) σύνολο δυνατών ( ρ μή μ ρ ρ μ )αποτελεσμάτων (ή ενδεχόμενα , ή δείγματα).

∆ ό ∆ ό Χώ Ω Ω(Π) ό ά

Άλλη χρήση στην ΕΡΡ

∆ιακριτός ∆ειγματικός Χώρος Ω = Ω(Π) ενός πειράματος Π: Το (αριθμήσιμα άπειρο / πεπερασμένο) σύνολο των ενδεχομένων τουενδεχομένων του.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.1:

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος Π1 = «ρίψη νομίσματος μια φορά»Π1 «ρίψη νομίσματος μια φορά»

είναι το σύνολο Ω(Π1) = Κ(ορώνα), Γ(ράμματα) .

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος Ο δειγματικός χώρος του πειράματοςΠ2 = «ανεξάρτητες ρίψεις νομίσματος μέχρι να έρθει Κορώνα» είναι το άπειρα αριθμήσιμο σύνολο:

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))22

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Κορώνα» είναι το άπειρα αριθμήσιμο σύνολο:Ω(Π2) = Κ , ΓΚ, ΓΓΚ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓΚ, ...

∆ιακριτή Πιθανότητα (ΙΙ)∆ιακριτή Πιθανότητα (ΙΙ)

ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.1 [ ∆ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]: ∆ιακριτή Συνάρτηση Πιθανότητας για ένα πείραμα Π: ςΟποιαδήποτε συνάρτηση ρ : Ω R0 ( Ω=Ω(Π) είναι ο διακριτόςδειγματικός χώρος του Π ) τέτοια ώστε: 1. Κάθε σημείο του Ω έχει μη αρνητική τιμή, που καλείται μάζα1. Κάθε σημείο του Ω έχει μη αρνητική τιμή, που καλείται μάζα

πιθανότητας του ω : ωΩ, ρ(ω) 0.2. Η μάζα πιθανότητας του Ω είναι μονάδα: ΣωΩ ρ(ω) = 1.

Ποιοτικά: Αν εκτελούσαμε το πείραμα ΑΠΕΙΡΕΣ φορές, τότε για κάθε δείγμα ω Ω, η μάζα πιθανότητας p(ω) θα έπρεπε να ισούται με τη συχνότητα εμφανίσεων του ω ως αποτέλεσμα του πειράματοςσυχνότητα εμφανίσεων του ω ως αποτέλεσμα του πειράματος.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.1 Για το πείραμα «ρίψη ∆ΙΚΑΙΟΥ νομίσματος», η συνάρτηση

πιθανότητας θα ήταν: ρ(K) = ρ(Γ) = ½ .

Για το πείραμα «ανεξάρτητες ρίψεις ∆ΙΚΑΙΟΥ νομίσματος μέχρι να έρθει Κορώνα» οι μάζες πιθανότητας είναι…

ρ(Κ)= 1/2 ρ(ΓΚ) = 1/4 ρ(ΓΓΚ) = 1/8

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))33

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ(Κ)= 1/2, ρ(ΓΚ) = 1/4, ρ(ΓΓΚ) = 1/8, ...

Γεγονότα και ∆ιακριτή ΠιθανότηταΓεγονότα και ∆ιακριτή Πιθανότητα

Γεγονός (στο βιβλίο της ΕΡΡ: ενδεχόμενο) ως προς πείραμα Π: Μια συλλογή αποτελεσμάτων του Π, δλδ ένα ρ μ γή μ ,υποσύνολο του Ω(Π) για το οποίο μας ενδιαφέρει να συμβεί ΚΑΠΟΙΟ από τα ενδεχόμενα που περιλαμβάνει.μβ χ μ ρ μβ

Πιθανότητα ρ(γ) γεγονότος γ Ω(Π): Το άθροισμα μαζών πιθανότητας των δειγμάτων που απαρτίζουν το γ (τα «καλά δείγματα» που μας ενδιαφέρουν): ρ(γ) = Σωγ ρ(ω).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.2: Για Π = «Ρίψη δίκαιου ζαριού» :

( ) θ θ θ ?(1) Ποια η πιθανότητα να έρθει περιττός αριθμός?

(2) Ποια η πιθανότητα να έρθει «πρώτος» αριθμός?

(3) Τι θα απαντούσατε στα (1,2), αν το ζάρι ήταν «πειραγμένο», ώστε να φέρνει με πιθανότητα 2/5 τον

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))44

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ γμ φ ρ μ ηαριθμό 6, και ισοπίθανα τα υπόλοιπα δείγματα?

Αξιώματα Αξιώματα Kolmogorov Kolmogorov για ∆ιακριτή για ∆ιακριτή ΠιθανότηταΠιθανότηταηη

ΑΞΙΩΜΑ PROB.1: Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος και Α Β Ω(Π) οποιαδήποτε γεγονότα (ενδεχόμενα) ΓιαΑ,Β Ω(Π) οποιαδήποτε γεγονότα (ενδεχόμενα). Για κάθε διακριτή πιθανότητα ρ : Ω [0,1] ισχύουν τα εξής:

1 0 ≤ (Α) ≤ 11. 0 ≤ ρ(Α) ≤ 1.

2. ρ() = 0, ρ(Ω) = 1.

3. ΑΝ ΑΒ = ΤΟΤΕ ρ(ΑΒ) = ρ(Α) + ρ(Β).

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))55

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Μερικές Ιδιότητες ΠιθανοτήτωνΜερικές Ιδιότητες Πιθανοτήτων

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.3: Ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης , για ένα οποιοδήποτε πείραμα Π, των εξής γεγονότων:

1. γ1 = .

2. γ2 = Ω(Π).

3. γ3 = AΒ Ω(Π), όπου ΑΒ = .

4. γ4 = CD Ω(Π), όπου CD ≠ .

Α ό Α Ω(Π)5. γ5 = Αc, όπου Α Ω(Π).

6. γ6 = Α – Β, όπου Β Α Ω(Π).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1 ρ() = 01. ρ() = 0.

2. ρ(Ω(Π)) = 1.

3 ρ(γ ) = ρ(A) + ρ(Β)3. ρ(γ3 ) = ρ(A) + ρ(Β).

4. ρ(γ4 ) = ρ(C) + ρ(D) – ρ(CD).

5 ρ(Αc) = 1 – ρ(Α)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))66

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

5. ρ(Α ) = 1 – ρ(Α).

6. ρ(γ6) = ρ(Α) – ρ(Β).

Εξάσκηση (Ι)Εξάσκηση (Ι)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.4: Έστω ότι από μια τράπουλα τραβάμε με εντελώς τυχαίο τρόπο (δηλαδή, ισοπίθανα) ρ β μ μ ς χ ρ ( η ή, )ένα από τα 52 φύλλα της. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε φιγούρα ή κόκκινο φύλλο?ρ βήξ μ φ γ ρ ή φ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ω = το σύνολο των 52 φύλλων.ο σύ ο ο ω 5 φύ ω

Κ = το σύνολο των 26 κόκκινων φύλλων.

Φ = το σύνολο των 12 φιγούρων Φ = το σύνολο των 12 φιγούρων.

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = ρ(Κ Φ) = ρ(Κ) + ρ(Φ) – ρ(ΚΦ).

Όλα τα φύλλα ισοπίθανα: Για κάθε ω Ω, ρ(ω) = 1/52.

ρ(Κ) = ΣωΚ ρ(ω) = 26 * 1/52 = 1/2

ρ(Φ) = ΣωΦ ρ(ω) = 12 * 1/52 = 3/13

ρ(ΚΦ) = Σω ΚΦ ρ(ω) = 6 * 1/52 = 3/26

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))77

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ(ΚΦ) ΣωΚΦ ρ(ω) 6 1/52 3/26

ρ(ΚΦ) = 13/26 + 6/26 – 3/26 = 16/26 = 8/13 ~ 61,54%

Εξάσκηση (ΙΙ)Εξάσκηση (ΙΙ)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.5: Έστω τυχών δειγματικός χώρος Ωκαι διακριτή πιθανότητα ρ: Ω [0,1]. Νδο κάθε ζεύγος ενδεχομένων Α,ΒΩ ισχύει ότι: ρ(Α – Β) = ρ(Α) – ρ(ΑΒ).

ΑΠΑΝΤΗΣΗρ(Α – Β) = ρ(ΑΒc) // Α – Β = ΑΒc

= ρ(A) – ρ(Α) + ρ(ΑΒc)= ρ(A) – [ ρ(Α) – ρ(ΑΒc)]= ρ(A) – [ ρ(Α – Βc) + ρ(ΑΒc) – ρ(ΑΒc)] // A = (Α – Bc) (ΑΒc)ρ( ) [ ρ( ) ρ( ) ρ( )]= ρ(A) – ρ(Α – Βc)= ρ(A) – ρ( Α (Βc)c ) // Α – Bc = Α(Βc)c ρ(A) ρ( Α (Β ) ) // Α B Α(Β )

= ρ(A) – ρ(Α Β)

Εναλλακτική εξήγηση: Τα σύνολα Α – Β = ΑΒc και ΑΒ απαρτίζουν μια διαμέριση του Α, άρα:

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))88

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

απαρτίζουν μια διαμέριση του Α, άρα:ρ(Α) = ρ(Α – Β) + ρ(Α Β)

Αναμενόμενη Τιμή (Ι)Αναμενόμενη Τιμή (Ι)

ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.2 [ Αναμενόμενη Τιμή ]: Έστω πείραμα Π του οποίου o διακριτός δειγματοχώρος Ω(Π) είναιΠ του οποίου o διακριτός δειγματοχώρος Ω(Π) είναι ένα αριθμήσιμο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών Για οποιαδήοποτε διακριτή συνάρτησηαριθμών. Για οποιαδήοποτε διακριτή συνάρτηση πιθανότητας ρ : Ω [0,1], η αναμενόμενη τιμή του (αποτελέσματος του) πειράματος Π ορίζεται ως εξής:

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB 6: Η αναμενόμενη τιμή του Π είναι ένας

(αποτελέσματος του) πειράματος Π ορίζεται ως εξής:Ερ(Π) = ΣωΩ ω * ρ(ω).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.6: Η αναμενόμενη τιμή του Π είναι ένας πραγματικός αριθμός, που όμως ενδέχεται να ΜΗΝ ανήκει στο Ω. Πχ, να υπολογίσετε την αναμενόμενη τιμή του πειράματος Π1 «μια ί δί ζ ύ Τ ί ί Π2 ό ζά ίρίψη δίκαιου ζαριού». Τι γίνεται για το πείραμα Π2 όπου το ζάρι είναι

«πειραγμένο» ώστε να φέρνει με πιθανότητα 2/5 τον αριθμό 6, και ισοπίθανα τα υπόλοιπα δείγματα?

ΑΠΑΝΤΗΣΗΕ(Π1) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 7/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))99

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Ε(Π2) = 1*3/25 + 2*3/25 + 3*3/25 + 4*3/25 + 5*3/25 + 6*2/5 = 21/5

Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙ)Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.7: Έστω ότι 500.000 άνθρωποι παίζουν σε μια λοταρία

λαχνούς αξίας 5 Ευρώ ο καθένας. Τα έπαθλα είναι τα εξής:

1 λ ό δίζ 1 000 000 Ε ώ 1 λαχνός κερδίζει 1.000.000 Ευρώ.

10 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 1.000 Ευρώ ο καθένας.

1 000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 500 Ευρώ ο καθένας1.000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 500 Ευρώ ο καθένας.

10.000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 10 Ευρώ ο καθένας.

Ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος για κάθε παίκτη? Της εταιρείας?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ω = 1x999 995 Ευρώ 10x995 Ευρώ 1 000x495 Εύρω 10 000x5 Ω = 1x999.995 Ευρώ, 10x995 Ευρώ, 1.000x495 Εύρω, 10.000x5

Ευρώ, 488.989x(-5) Ευρώ

ρ1 = 1/500.000 : Η πιθανότητα του ενός υπερτυχερού.ρ1 η ς ρ χ ρ

ρ2 = 10/500.000 = 1/50.000 : Η πιθανότητα των 10 τυχερών.

ρ3 = 1.000/500.000 = 1/500 : Η πιθανότητα των 1.000 τυχερών.

ρ4 = 10.000/500.000 = 1/50 : Η πιθανότητα των 10.000 τυχερών.

ρ5 = 488.989/500.000 : Η πιθανότητα των «άτυχων».

ΑΡΑ: Ε(Π) = ρ *999 995 + ρ *995 + ρ *495 + ρ *5 + ρ *( 5) = 1 78 Ευρώ

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1010

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΑΡΑ: Ε(Π) = ρ1 999.995 + ρ2 995 + ρ3 495 + ρ4 5 + ρ5 (-5) = -1,78 Ευρώ.

Η εταιρεία ΣΙΓΟΥΡΑ θα κερδίσει 890.000 ευρώ (αποδείξτε το).

Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙΙ)Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.8: Έστω ότι κάποιος πληρώνει 1 ευρώ για να

συμμετάσχει σε τυχερό παιχνίδι, όπου γίνονται 4 ανεξάρτητες ρίψεις ό δί ίενός δίκαιου νομίσματος, και :

Αν έρθουν (ακριβώς) 4xΓ, τότε πληρώνει επιπλέον 2 ευρώ.

Α έ θ 3 Γ ό λ ώ λέ 1 ώ Αν έρθουν 3xΓ, τότε πληρώνει επιπλέον 1 ευρώ.

Αν έρθουν 2xΓ, τότε δεν πληρώνει (ούτε κερδίζει) τίποτε επιπλέον.

Αν έρθει 1xΓ τότε κερδίζει 3 ευρώ Αν έρθει 1xΓ, τότε κερδίζει 3 ευρώ.

Αν έρθουν 4xΚ, τότε κερδίζει 4 ευρώ.

Ποια είναι η αναμενόμενη ωφέλεια (ή ζημιά) του παίκτη?Ποια είναι η αναμενόμενη ωφέλεια (ή ζημιά) του παίκτη?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Για κάθε αποτέλεσμα (διατ τετράδα ρίψεων) Χ ρ(Χ) = 1 / 24 = 1/16 Για κάθε αποτέλεσμα (διατ. τετράδα ρίψεων) Χ, ρ(Χ) = 1 / 2 = 1/16.

ρ(4xΓ) = ρ(0-K) = ρ(0-Γ) = ρ(4-Η) = 1/16

ρ(3xΓ) = ρ(1-K) = ρ(1-Γ) = ρ(3-Η) = C(4 1) * (1/2)^4 = 4/16 = 1/4 ρ(3xΓ) ρ(1 K) ρ(1 Γ) ρ(3 Η) C(4,1) (1/2) 4 4/16 1/4

ρ(2xΓ) = ρ(2-K) = C(4,2) * (1/6)^4 = 6 / 16

Ε(ωφέλεια) = -1 + (-2)*1/16 + (-1)*4/16 + 3*4/16 + 4*1/16

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1111

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

(ωφέ ε α) ( ) / 6 ( ) / 6 3 / 6 / 6

= -1 + [ -2 -4 + 12 + 4 ] / 16 = - 6/16

Το Παράδοξο των Γενεθλίων...Το Παράδοξο των Γενεθλίων...ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.9: Έστω ότι σε μια κοινωνία ανθρώπων, όλες οι μάζες

πιθανότητας να γεννηθεί κάποιος μια συγκεκριμένη μέρα είναι ίσες. Νδο ο ελάχιστος αριθμός ανθρώπων που πρέπει τυχαία να διαλέξουμε, έτσι ώστεελάχιστος αριθμός ανθρώπων που πρέπει τυχαία να διαλέξουμε, έτσι ώστε για το γεγονός: «υπάρχουν τουλάχιστον δυο από τους γ ανθρώπους που επιλέξαμε που γεννήθηκαν την Ι∆ΙΑ μέρα» να ισχύει ότι ρ(K) > 0.5, είναι K = 23 άνθρωποι.ρ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πείραμα = Επιλογή (ΜΕ επανάληψη) Κ (ημέρες γέννησης) από Ν = 365

διακεκριμένα αντικείμενα (ημέρες του χρόνου) |Ω| = 365K δείγματαδιακεκριμένα αντικείμενα (ημέρες του χρόνου) |Ω| = 365K δείγματα.

Όλες οι μέρες ισοπίθανες για γέννηση. ω Ω Ρ(ω) = 1 / 365K ω Ω, Ρ(ω) = 1 / 365K

«Κακά» ∆είγματα: γ ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ μέρες γέννησης. Επιλογή ΧΩΡΙΣ επανάληψη Κ από Ν = 365 διακεκριμένα αντικείμενα.επανάληψη Κ από Ν 365 διακεκριμένα αντικείμενα.

Ρ(365,K) «κακά» δείγματα.

«Καλά» ∆είγματα: Ζ = |Ω| #«κακά» δείγματα = 365K Ρ(365,K)Καλά ∆είγματα: Ζ |Ω| # κακά δείγματα 365 Ρ(365,K) ρ(K) = [365KΡ(365,γ)] * (1/365K) = 1 Ρ(365,K) / 365K // αύξουσα συνάρτηση του γ

ρ(22) = 1 – Ρ(365,22) / 36522 < 1 – 0,5243 = 0,4757.

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1212

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ( ) ( , ) , , ρ(23) = 1 – Ρ(365,23) / 36523 > 1 – 0,49271 = 0,50729.

Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (Ι)Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.10: 8 φοιτητές τετραετούς σχολής περιμένουν

στην ουρά για να πάρουν φοιτητική ταυτότητα. Ποια η πιθανότητα στην ουρά αυτή να βρίσκονται 2 φοιτητές από κάθε έτος αν σε κάθεστην ουρά αυτή να βρίσκονται 2 φοιτητές από κάθε έτος, αν σε κάθε έτος υπάρχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος φοιτητών και όλοι θέλουν να πάρουν ταυτότητα?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ∆ειγματοχώρος Ω: Περιλαμβάνει |Ω| = 48 δείγματα.

Όλα τα δείγματα είναι ισοπίθανα: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω Ω, ρ(ω) = 1/48.

Γεγονός γ : «εμφανίζεται καλό δείγμα»∆υο φοιτητές από κάθε έτος. Μετάθεση ( = τοποθέτηση στην ουρά ) 8δ έ έ ίζ 4 άδδιακεκριμένων αντικειμένων, που χωρίζονται σε 4 ομάδες:

πρ , πρ , δε , δε , τρ , τρ , τε , τε . |γ| = 8! / [2!]4 ΚΑΛΑ δείγματα.|γ| 8 / [ ] δε γμα α

ρ(γ) = Ρ(εμφανίζεται καλό δείγμα)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1313

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

= Σωγ ρ(ω) = 1/|Ω| * |γ| = (1 / 48) * 8! / [2!]4 = 0.0385

Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (ΙΙ)Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (ΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.11: 5 άνθρωποι πηγαίνουν σε ένα πάρτι και

αφήνουν στην είσοδο τα καπέλα τους. Φεύγοντας, τα καπέλα τους επιστράφηκαν με εντελώς τυχαίο τρόπο Ποια η πιθανότητα να μηνεπιστράφηκαν με εντελώς τυχαίο τρόπο. Ποια η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένας άνδρας το δικό του καπέλο?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

∆ ό ώ |Ω| 5! 120 ό ή έλ ∆ειγματικός χώρος: |Ω| = 5! = 120 τρόποι επιστροφής των καπέλων (διακεκριμένα σφαιρίδια) στους 5 ανθρώπους (διακεκριμένες υποδοχές χωρητικότητας 1).χ ς χ ρη η ς )

Πιθανότητα κάθε δείγματος: 1/|Ω| = 1 / 5! (ισοπίθανα όλα τα δ ί )δείγματα).

ΑK: Το υποσύνολο δειγμάτων (δηλαδή το γεγονός) όπου ο ΑK: Το υποσύνολο δειγμάτων (δηλαδή, το γεγονός) όπου ο άνθρωπος K παίρνει πίσω το καπέλο του.

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1414

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

«Κακά» δείγματα: Α1 A2 A3 A4 A5

∆ιακριτή Πιθανότητα (∆ιακριτή Πιθανότητα (VVΙ)Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.11 (συνέχεια):

ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ – ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ|Α1 A2 A3 A4 A5|

= |Α1| + |A2| + |A3| + |A4| + |A5| | 1| | 2| | 3| | 4| | 5|

|Α1 A2| |Α1 A3| ... |A4 A5|

+ |Α1 A2 A3| +...+ |Α3 A4 A5|| 1 2 3| | 3 4 5|

|Α1 A2 Α3 A4| ... |A2 Α3 A4 A5|

+ |Α1 A2 Α3 A4 A5|

= C(5,1)*4! C(5,2)*3! + C(5,3)*2! C(5,4)*1! + C(5,5)*0!

= 76

P(κανείς δεν παίρνει το καπέλο του)

= Σω : καλό δείγμα ρ(ω) = (#καλών δειγμάτων) * 1 / |Ω|

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1515

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

= [120 76] * (1/120) ~ 0.367

Πιθανότητα Σύγκρουσης σε Συναρτήσεις Πιθανότητα Σύγκρουσης σε Συναρτήσεις ΚατακερματισμούΚατακερματισμούρμ μρμ μ

Συνάρτηση κατακερματισμού: Αντιστοίχιση των «κλειδιών» ενός (συνήθως μεγάλου) πλήθους αντικειμένων σε (συνήθως λίγες) θέσεις

θή ( άδ )αποθήκευσης (κάδους).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ Η ά d2 N 0 1 ί ώδΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Η συνάρτηση mod2 : N 0,1 είναι μια στοιχειώδης συνάρτηση κατακερματισμού που διαχωρίζει τους φυσικούς αριθμούς σε (δυο κάδους με) άρτιους και περιττούς.αρ θμούς σε (δυο άδους με) άρ ους α ερ ούς

Τα κλειδιά Χ και Υ συγκρούονται σύμφωνα με τη συνάρτηση γ ρ μφ μ η ρ η ηκατακερματισμού Η, ΑΝΝ Η(Χ) = Η(Υ).

ΑΣΚΗΣΗ: Να υπολογιστεί η πιθανότητα να μην υπάρχει ζεύγος κλειδιών που να συγκρούονται, σε μια τυχαια και ομοιόμορφα επιλεγμένη συλλογή από Κ κλειδιά (Χ Χ Χ ) όταν η συνάρτησησυλλογή από Κ κλειδιά (Χ1,Χ2,...,ΧΚ), όταν η συνάρτηση κατακερματισμού Η αποφασίζει για καθένα από τα Ν κλειδιά τυχαία και ομοιόμορφα τη θέση του, μεταξύ Μ διαθέσιμων θέσεων.

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1616

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΑΠ.: Αν Κ Μ, τότε Ρ(Μ,Κ) / ΜΚ. Για Κ > Μ, Ρ(Κ) = 0.

Μέθοδος Μέθοδος Monte Carlo (MC)Monte Carlo (MC) Έστω Π μια ιδιότητα (πχ, διαπίστωση ύπαρξης ακατάλληλων τσιπς

σε μια παρτίδα παραγγελίας) που μπορούμε να ελέγξουμε κάνοντας ά λέ ( έ ό λ ίθ ) ύκάποιους ελέγχους (μέσω ενός αλγορίθμου) που απαντούν:

Α(λήθεια): Ισχύει η ιδιότητα Π (πχ, διαπίστωσα καμμένο τσιπ).

∆( ξέ ) ∆ ίζ ύ δ ό Π ( έλ ∆(εν ξέρω): ∆εν γνωρίζω αν ισχύει η ιδιότητα Π (ο έλεγχος που έκανα δε βρήκε καμμένο τσιπ, αλλά δεν ξέρω τι γίνεται με τα άλλα τσιπς).σ ς)

ΣΥΜΒΑΣΗ: Ένα τυχαίο δείγμα του στιγμιοτύπου (τσιπ της παρτίδας) έχει πιθανότητα γ να άποδεικτικό της Π, κι 1-γ να μην είναι.

Ρ[ ΑΛΓ(γ,Ι) = Α ] = γ, Ρ[ ΑΛΓ(γ,Ι) = ∆ ] = 1 – γ, 0 < γ < 1.

Μέθοδος Monte Carlo – MC(Κ):

Εκτέλεση Κ ανεξάρτητων ελέγχων ΑΛΓ(γ,Ι) στο ίδιο στιγμιότυπο Ι.

Η MC(Κ) απαντά

Α, αν ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας έλεγχος απαντά Α.

Ψ, αν όλοι οι έλεγχοι επιστρέφουν ∆.

θ ό C( ) ή Ο Θ ό

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1717

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Ποια η πιθανότητα η MC(Κ) να απαντήσει ΟΡΘΑ, δλδ Α αν όντως α(Π) = Α, ή Ψ αν α(Π)=Ψ?

Μέθοδος Μέθοδος Monte Carlo (MC)Monte Carlo (MC)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Ένας κατασκευαστής υπολογιστών κάνει μαζικές

παραγγελίες τσιπς, που έρχονται σε παρτίδες των Ν κομματιών, και θέλ λέ ξ ό λί (Κ) ί λ έ όθέλει να ελέγξει μόνο λίγα (Κ) τυχαία επιλεγμένα τσιπς της επόμενης Ν-άδας που στέλνει ο προμηθευτής τσιπς προκειμένου να «σιγουρευτεί» ότι η Ν-άδα δεν περιλαμβάνει ελαττωματικά τσιπς«σιγουρευτεί» ότι η Ν άδα δεν περιλαμβάνει ελαττωματικά τσιπς. Από προηγούμενες Ν-άδες διαπιστώθηκε ότι υπήρχαν 10%χαλασμένα τσιπς σε κάθε Ν-άδα. Αν βρεθεί έστω ένα κακό δείγμα,

ίδ ∆ ά ά Π θ όεπιστρεφει την παρτίδα. ∆ιαφορετικά την κρατάει. Ποια η πιθανότητα ρ να μην επιστρέψει παρτίδα με κατεστραμένα τσιπς?

ΑΠΑΝΤΗΣΗΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΑΝ μόνο καλά τσιπς στη Ν-άδα ΤΟΤΕ Ρ = 0 (γιατί?)

ΕΣΤΩ ότι δεν βελτιώθηκε η παραγωγή παρτίδων ΕΣΤΩ ότι δεν βελτιώθηκε η παραγωγή παρτίδων

10% χαλασμένα τσιπς

Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει καλό τσιπ] = 0 1 Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει καλό τσιπ] 0.1

Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει κακό τσιπ] = 0.9

Ρ[επιστρέφεται η παρτίδα]

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1818

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

[ε σ ρέφε α η αρ δα]

= Ρ[οι Κ έλεγχοι επιστρέφουν καλό τσίπ]

Μέθοδος Μέθοδος Monte Carlo (MC)Monte Carlo (MC)ΑΠΑΝΤΗΣΗ (συνέχεια)

Υπολογισμός της Ρ[οι Κ έλεγχοι επιστρέφουν καλό τσίπ] ...

ΑΝ επιλογές Κ-άδας τσιπς (για έλεγχο) με επανάληψη (δλδ, κάθε τσιπ που ελέγχεται ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ στην παρτίδα) // Αυτή είναι η MC(K)...

ΤΟΤΕ ρ1 = (0,9*Ν)Κ / ΝΚ = 0,9Κ

ΑΝ επιλογές Κ-άδας τσιπς (για έλεγχο) δίχως επανάληψη

ΤΟΤΕ P(0 9*Ν K) / Ρ(Ν Κ) 0 9 * (0 9 1)/(N 1) * (0 9 2)/(N 2) * *ΤΟΤΕ ρ2 = P(0,9*Ν,K) / Ρ(Ν,Κ) = 0,9 * (0,9–1)/(N–1) * (0,9–2)/(N–2) *…* (0,9–K+1)/(N–Κ+1)

Πχ, για Κ=10 δείγματα ελέγχου, σε μια παρτίδα Ν=100 τσιπς, έχουμε:

ρ1 = 0 910 = 0 3486784401 ~ 34 87%ρ1 0,9 0,3486784401 34,87%

ρ2 = (90/100) * (89/99) * (88/98) * (87/97)* (86/96)* (85/95)* (84/94)* (83/93)* (82/92)* (81/91)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1919

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

= 0,33047621108672515387074666126621 ~33,05%

Πιθανοτική Μέθοδος (Ι)Πιθανοτική Μέθοδος (Ι)

Αξιοποίηση της θεωρίας πιθανοτήτων για μη κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης δομώνή ξη ρξης μ

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rosen, σελ. 427): Αν η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου στοιχείου από ένα σύνολο Σ να μην έχει κάποια ιδιότητα Π ί ό ό 1 ό ( ί ) ά λά έΠ είναι μικρότερη από 1, τότε (σίγουρα) υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Σ που επαληθεύει την ιδιότητα Π.

Αριθμός Ramsey R(Κ Κ): Το ελάχιστο πλήθος Ν ανθρώπων σε μιαΑριθμός Ramsey R(Κ,Κ): Το ελάχιστο πλήθος Ν ανθρώπων σε μια κοινωνία ανθρώπων, ώστε τουλάχιστον Κ από αυτούς να είναι μεταξύ τους είτε ΟΛΟΙ φίλοι, ή ΟΛΟΙ εχθροί, αν θεωρήσουμε ότι για κάθε ζεύγος ανθρώπων στην κοινωνία αυτή ισχύει πως είτε είναι φίλοι, ή είναι εχθροί (δλδ, δεν μπορεί να είναι αδιάφοροι ο ένας για τον άλλον ούτε να είναι και τα δυο)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2020

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

τον άλλον, ούτε να είναι και τα δυο).

Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙ)Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙ)ΘΕΩΡΗΜΑ (Rosen, σελ. 427): Αν Κ >= 2 είναι φυσικός αριθμός, τότε

R(Κ,Κ) >= 2Κ/2.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Χρειάζονται πάντοτε τουλάχιστον Ν >= Κ άνθρωποι.

Κ=2: Ισχύει ότι R(2,2) = Ν >= 22/2 = 2.

Κ=3: Απαιτούνται (αλλά και επαρκούν) τουλάχιστον Ν=6 άνθρωποι.

Α δ ί Ν 3 4 Αντιπαραδείγματα για Ν = 3,4,5.

Για Ν=6, ζητείται ύπαρξη είτε μπλε τριγώνου (φιλίες) ή κόκκινου τριγώνου (εχθρότητες) στο γράφημα που αναπαριστά τη σχέσητριγώνου (εχθρότητες) στο γράφημα που αναπαριστά τη σχέση φιλιών και τη (συμπληρωματική) σχέση εχθρότητας.

Κ >= 4:

Έστω ότι για ΚΑΘΕ ζεύγος διαφορετικών ανθρώπων α,β:o Ρ[ (α,β),(β,α) ΦΙΛΙΕΣ ] = ½

o Ρ[ (α,β),(β,α) ΦΙΛΙΕΣ = ] = ½

Θδο: ΑΝ Ν < 2Κ/2 ΤΟΤΕ υπάρχει δείγμα στο Ω (δηλαδή, έ ό έ ΦΙΛΙΕΣ) δ έ ΚΑΜΙΑ

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2121

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

συγκεκριμένος ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν έχει ΚΑΜΙΑ Κ-άδα ανθρώπων που να είναι ΟΛΟΙ φίλοι ή ΟΛΟΙ εχθροί.

Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙΙ)Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙΙ)ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ (συνέχεια)

Πόσα διαφορετικά Κ-υποσύνολα ανθρώπων?

Για συγκεκριμένο Κ-υποσύνολο, έστω Α:

Ρ[όλοι φίλοι στο Α] = ?

Ρ[όλοι εχθροί στο Α] = ?

Ρ[όλοι εχθροί, ή όλοι φίλοι στο Α] = 2 / 2Κ(Κ-1)/2.

UNION BOUND:

ρ = Ρ[υπάρχει Κ-υποσύνολο όπου όλοι εχθροί, ή όλοι φίλοι]

=< C(N,K) * 2 / 2Κ(Κ-1)/2 (Πώς εξηγείται το φράγμα?)

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: C(N,K) =< NK / 2K-1. (αποδείξτε το!)

ρ =< NK / 2K-1 * 2 / 2Κ(Κ-1)/2

(2Κ/2)Κ / 2(Κ^2 Κ)/2 + Κ 1 1=< (2Κ/2)Κ / 2(Κ^2 – Κ)/2 + Κ – 1 – 1

= 1 / 2Κ/2 – 2 < 1, για Κ >= 4.

Υπάρχει δείγμα (δλδ ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν πληρεί

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2222

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Υπάρχει δείγμα (δλδ, ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν πληρείτην ιδιότητα, όταν Ν < 2Κ/2.

∆εσμευμένη Πιθανότητα (Ι)∆εσμευμένη Πιθανότητα (Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.12: Έστω ότι επιλέγουμε εντελώς τυχαία και

ανεξάρτητα δυο φοιτητές / φοιτήτριες από το 1ο και το 2ο έτος του Τ ή Πλ ή Θ ύ ό ό ώΤμήματος Πληροφορικής. Θεωρούμε ότι το ποσοστό των αγοριών είναι 1/3 στο πρώτο έτος και 1/2 στο 2ο έτος. Να υπολογιστούν:

(ι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών(ι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών.

(ιι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών, αν ξέρουμε σίγουρα ότι σε μια από τις δυο επιλογές προέκυψε αγόρι.μ α α ό ς δυο ε ογές ροέ υψε αγόρ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(ι) Ο δειγματικός χώρος είναι Ω = α1α2, α1κ2, κ1α2, κ1κ2 . ( ) γμ ς χ ρ ς 1 2, 1 2, 1 2, 1 2

Παρατηρούμε ότι: P[ επιλογή 1ου έτους = α1 ] = 1/3

P[ επιλογή 2ου έτους = α2 ] = 1/2

Υπολογίζουμε τις μάζες πιθανότητας για όλα τα δείγματα του Ω:

Ρ[ α1α2 ] = 1/3 * 1/2 = 1/6 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ

Ρ[ α1κ2 ] = 1/3 * 1/2 = 1/6

Ρ[ κ1α2 ] = 2/3 * 1/2 = 1/3

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2323

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Ρ[ κ1κ2 ] = 2/3 * 1/2 = 1/3

∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙ)∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙ)(ιι) Ποια η πιθανότητα να επιλεγούν δυο αγόρια, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ότι

επιλέγεται τουλάχιστον ένα αγόρι?

∆ειγματικός Χώρος:

Ω = α1α2, α1κ2, κ1α2, κ1κ2

1/6 1/6 1/3 1/3 // συχνότητες εμφάνισης

Ω’ = α1α2, α1κ2, κ1α2, κ1κ2

1/6 1/6 1/3 1/31/6 1/6 1/3 1/3 // συχνότητες εμφάνισης

Ζητούμενο: Ρ[ α1α2 | Ω – κ1κ2 ] = ?

ΝΕΑ συνάρτηση πιθανότητας (για το χώρο Ω’ πλέον):

ρ’(α α ) = 1/6 / Χ ρ (α1α2) = 1/6 / Χ

ρ’(α1κ2) = 1/6 / Χ

ρ’(κ α ) = 1/3 / Χ // Χ παράγοντας κανονικοποίησης ρ (κ1α2) = 1/3 / Χ // Χ = παράγοντας κανονικοποίησης

Συνάρτηση πιθανότητας : (1/6 + 1/6 + 1/3) / Χ = 1 Χ = 2/3.

ΑΡΑ: ρ’(α α ) = ρ’(α κ ) = 1/4 ρ’(κ α ) = 1/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2424

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΑΡΑ: ρ (α1α2) = ρ (α1κ2) = 1/4, ρ (κ1α2) = 1/2.

Ζητούμενο: Ρ[ α1α2 | Ω – κ1κ2 ] = ρ’(α1α2) = 1/4.

∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙΙ)∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙΙ)Πείραμα Π: «Ρίψη (δίκαιου) ζαριού»

Πιθανότητα να έχει έρθει 2? Πιθανότητα να έχει έρθει 2?

Πιθανότητα να έχει έρθει 2, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε άρτιος?

Πιθανότητα να έχει έρθει 2, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε πρώτος?

Πιθανότητα να έχει έρθει 2, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε περιττός?

ΟΡΙΣΜΟΣ PROB 3 [ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]:ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.3 [ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]: Έστω Ω ο διακριτός δειγματικός χώρος ενός πειράματος και Α Β Ω δυο οποιαδήποτε γεγονόταπειράματος και Α,Β Ω δυο οποιαδήποτε γεγονότα, όπου το Β έχει ΜΗ ΜΗ∆ΕΝΙΚΗ μάζα πιθανότητας : ρ(Β) > 0. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Αρ(Β) 0. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Αδεδομένου ότι έχει συμβεί το γεγονός Β συμβολίζεται με ρ(Α|Β) και ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2525

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ( | ) μ ζ μ μ η ηδεδομένου του Β.

∆εσμευμένη Πιθανότητα (Ι∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙVV))

ΠΡΟΤΑΣΗ PROB.1 [Υπολογισμός ∆εσμευμένης Πιθανότητας]:Έστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματος Π, ρ : Ω [0,1] μια διακριτή συνάρτηση πιθανότητας στο Ω, και Α , Β δυο τυχόντα γεγονότα τέτοια ώστε

( ) 0ρ(Β) > 0.

ρ(ω | Β) = ρ(ω) / ρ(Β), αν ωΒ,

• ωΩ, ρΒ(ω) =ρ(ω | Β) = 0 αν ωΒ. ( | )

• Α Ω, ρ(Α|Β) = ρ(ΑΒ) / ρ(Β).

, ρ( | ) ρ( ) ρ( )

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2626

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.13: Ένα πράσινο κι ένα κόκκινο ζάρι ρίχνονται, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, μια φορά. Ποια η πιθανότητα τα δυο ζά έ έλ θ ίζ 8? Τ ίζάρια να φέρουν αποτέλεσμα που αθροίζει σε 8? Τι γίνεται αν ξέρουμε ότι και τα δυο ζάρια έφεραν άρτιο αριθμό?

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB 14: Ένα δοχείο περιέχει 5 μπλε και 7 κόκκινεςΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.14: Ένα δοχείο περιέχει 5 μπλε και 7 κόκκινες μπάλες. Επιλέγουμε (χωρίς επανατοποθέτηση) δυο από αυτές τις μπάλες.

M1 = Πρώτη επιλογή μπλε. M2 = ∆εύτερη επιλογή μπλε.

Κ1 = Πρώτη επιλογή κόκκινη. Κ2 = ∆εύτερη επιλογή κόκκινη.

α. P[ M1M2 ] = ? P[ Κ1M2 ] = ?

β. P[M2 ] = ?

γ. P[ M1 ή Μ2 ] = ?

δ. Ε[ #μπλε μπάλες ] = ?

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2727

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Κανόνας του Κανόνας του BayesBayes (Ι)(Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.15: Ρίχνουμε τρία «δίκαια» , διαφορετικού

χρώματος ζάρια, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Θεωρούμε τα εξής γεγονότα:εξής γεγονότα:Α = «εμφανίστηκε ακριβώς ένας άσσος» , και Β = «εμφανίστηκαν τρεις διαφορετικοί αριθμοί».Β εμφανίστηκαν τρεις διαφορετικοί αριθμοί .

Να υπολογιστεί το ρ(Α|Β), καθώς και το ρ(Β|Α). ΑΠΑΝΤΗΣΗ |Ω| = 63 = 216

ρ(Α) = ? 3 * 52 / 63 = 25 / 72 ρ(Α) ?

ρ(Β) = ?

3 5 / 6 25 / 72

Ρ(6,3) / 63 = 5/9

ρ(ΑΒ) = ? 3*(1*5*4) / 63 = 5 / 18

ρ(Α|Β) = ? ρ(ΑΒ) / ρ(Β) = (5 / 18) / (5 / 9) = 1/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2828

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ(Β|Α) = ? ρ(ΑΒ) / ρ(Α) = (5 / 18) / (25 / 72) = 4/5

Κανόνας του Κανόνας του BayesBayes (ΙΙ)(ΙΙ)

ΠΡΟΤΑΣΗ PROB.2 [Θεώρημα του Bayes ]:Έστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματοςΈστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματος Π, ρ : ΩR0 μια διακριτή συνάρτηση πιθανότητας πάνω στο Ω και Α Β δυο γεγονότα με ΜΗ ΜΗ∆ΕΝΙΚΕΣπάνω στο Ω, και Α,Β δυο γεγονότα με ΜΗ ΜΗ∆ΕΝΙΚΕΣ μάζες πιθανότητας : ρ(A)*ρ(Β) > 0. Τότε: ρ(Α|Β) = ρ(Β|Α) * ρ(Α) / ρ(Β)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.15 (συνέχεια):

ρ(Α) / ρ(Β).

ρ(Β|Α) = ρ(Α|Β) * ρ(Β) / ρ(Α) = (1/2) * (5/9) / (25/72)= 4/5

ρ(Α|Β) = ρ(Β|Α) * ρ(Α) / ρ(Β) = (4/5) * (25/72) / (5/9) = 1/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2929

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο

Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του

εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος

«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την

Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς

πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.

Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:

• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Διακριτή πιθανότητα». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

Σημείωμα Αδειοδότησης• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative

Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση – Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο.που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο.που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο.

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.