Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος...

19
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Transcript of Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος...

Page 1: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτή πιθανότητα

Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Page 2: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

MYY204MYY204MYY204MYY204Διακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά Μαθηματικά

11η - 12η Eβδομάδα: ∆ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ-- Αξιώματα ΠιθανοτήτωνΘ ώ B-- Θεώρημα του Bayes

Reading: EPP, Κεφάλαιο 6 (παρ. 6.8-6.9)

ROSEN Κ άλ 7 ROSEN, Κεφάλαιο 7

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων (2015)Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων (2015)

∆ιακριτή Πιθανότητα (Ι)∆ιακριτή Πιθανότητα (Ι)

Πείραμα Π: Μια φυσική διαδικασία με ένα συγκεκριμένο (αριθμήσιμα άπειρο / πεπερασμένο) σύνολο δυνατών ( ρ μή μ ρ ρ μ )αποτελεσμάτων (ή ενδεχόμενα , ή δείγματα).

∆ ό ∆ ό Χώ Ω Ω(Π) ό ά

Άλλη χρήση στην ΕΡΡ

∆ιακριτός ∆ειγματικός Χώρος Ω = Ω(Π) ενός πειράματος Π: Το (αριθμήσιμα άπειρο / πεπερασμένο) σύνολο των ενδεχομένων τουενδεχομένων του.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.1:

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος Π1 = «ρίψη νομίσματος μια φορά»Π1 «ρίψη νομίσματος μια φορά»

είναι το σύνολο Ω(Π1) = Κ(ορώνα), Γ(ράμματα) .

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος Ο δειγματικός χώρος του πειράματοςΠ2 = «ανεξάρτητες ρίψεις νομίσματος μέχρι να έρθει Κορώνα» είναι το άπειρα αριθμήσιμο σύνολο:

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))22

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Κορώνα» είναι το άπειρα αριθμήσιμο σύνολο:Ω(Π2) = Κ , ΓΚ, ΓΓΚ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓΚ, ...

Page 3: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

∆ιακριτή Πιθανότητα (ΙΙ)∆ιακριτή Πιθανότητα (ΙΙ)

ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.1 [ ∆ΙΑΚΡΙΤΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]: ∆ιακριτή Συνάρτηση Πιθανότητας για ένα πείραμα Π: ςΟποιαδήποτε συνάρτηση ρ : Ω R0 ( Ω=Ω(Π) είναι ο διακριτόςδειγματικός χώρος του Π ) τέτοια ώστε: 1. Κάθε σημείο του Ω έχει μη αρνητική τιμή, που καλείται μάζα1. Κάθε σημείο του Ω έχει μη αρνητική τιμή, που καλείται μάζα

πιθανότητας του ω : ωΩ, ρ(ω) 0.2. Η μάζα πιθανότητας του Ω είναι μονάδα: ΣωΩ ρ(ω) = 1.

Ποιοτικά: Αν εκτελούσαμε το πείραμα ΑΠΕΙΡΕΣ φορές, τότε για κάθε δείγμα ω Ω, η μάζα πιθανότητας p(ω) θα έπρεπε να ισούται με τη συχνότητα εμφανίσεων του ω ως αποτέλεσμα του πειράματοςσυχνότητα εμφανίσεων του ω ως αποτέλεσμα του πειράματος.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.1 Για το πείραμα «ρίψη ∆ΙΚΑΙΟΥ νομίσματος», η συνάρτηση

πιθανότητας θα ήταν: ρ(K) = ρ(Γ) = ½ .

Για το πείραμα «ανεξάρτητες ρίψεις ∆ΙΚΑΙΟΥ νομίσματος μέχρι να έρθει Κορώνα» οι μάζες πιθανότητας είναι…

ρ(Κ)= 1/2 ρ(ΓΚ) = 1/4 ρ(ΓΓΚ) = 1/8

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))33

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ(Κ)= 1/2, ρ(ΓΚ) = 1/4, ρ(ΓΓΚ) = 1/8, ...

Γεγονότα και ∆ιακριτή ΠιθανότηταΓεγονότα και ∆ιακριτή Πιθανότητα

Γεγονός (στο βιβλίο της ΕΡΡ: ενδεχόμενο) ως προς πείραμα Π: Μια συλλογή αποτελεσμάτων του Π, δλδ ένα ρ μ γή μ ,υποσύνολο του Ω(Π) για το οποίο μας ενδιαφέρει να συμβεί ΚΑΠΟΙΟ από τα ενδεχόμενα που περιλαμβάνει.μβ χ μ ρ μβ

Πιθανότητα ρ(γ) γεγονότος γ Ω(Π): Το άθροισμα μαζών πιθανότητας των δειγμάτων που απαρτίζουν το γ (τα «καλά δείγματα» που μας ενδιαφέρουν): ρ(γ) = Σωγ ρ(ω).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.2: Για Π = «Ρίψη δίκαιου ζαριού» :

( ) θ θ θ ?(1) Ποια η πιθανότητα να έρθει περιττός αριθμός?

(2) Ποια η πιθανότητα να έρθει «πρώτος» αριθμός?

(3) Τι θα απαντούσατε στα (1,2), αν το ζάρι ήταν «πειραγμένο», ώστε να φέρνει με πιθανότητα 2/5 τον

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))44

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ γμ φ ρ μ ηαριθμό 6, και ισοπίθανα τα υπόλοιπα δείγματα?

Page 4: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Αξιώματα Αξιώματα Kolmogorov Kolmogorov για ∆ιακριτή για ∆ιακριτή ΠιθανότηταΠιθανότηταηη

ΑΞΙΩΜΑ PROB.1: Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος και Α Β Ω(Π) οποιαδήποτε γεγονότα (ενδεχόμενα) ΓιαΑ,Β Ω(Π) οποιαδήποτε γεγονότα (ενδεχόμενα). Για κάθε διακριτή πιθανότητα ρ : Ω [0,1] ισχύουν τα εξής:

1 0 ≤ (Α) ≤ 11. 0 ≤ ρ(Α) ≤ 1.

2. ρ() = 0, ρ(Ω) = 1.

3. ΑΝ ΑΒ = ΤΟΤΕ ρ(ΑΒ) = ρ(Α) + ρ(Β).

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))55

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Μερικές Ιδιότητες ΠιθανοτήτωνΜερικές Ιδιότητες Πιθανοτήτων

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.3: Ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης , για ένα οποιοδήποτε πείραμα Π, των εξής γεγονότων:

1. γ1 = .

2. γ2 = Ω(Π).

3. γ3 = AΒ Ω(Π), όπου ΑΒ = .

4. γ4 = CD Ω(Π), όπου CD ≠ .

Α ό Α Ω(Π)5. γ5 = Αc, όπου Α Ω(Π).

6. γ6 = Α – Β, όπου Β Α Ω(Π).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1 ρ() = 01. ρ() = 0.

2. ρ(Ω(Π)) = 1.

3 ρ(γ ) = ρ(A) + ρ(Β)3. ρ(γ3 ) = ρ(A) + ρ(Β).

4. ρ(γ4 ) = ρ(C) + ρ(D) – ρ(CD).

5 ρ(Αc) = 1 – ρ(Α)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))66

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

5. ρ(Α ) = 1 – ρ(Α).

6. ρ(γ6) = ρ(Α) – ρ(Β).

Page 5: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Εξάσκηση (Ι)Εξάσκηση (Ι)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.4: Έστω ότι από μια τράπουλα τραβάμε με εντελώς τυχαίο τρόπο (δηλαδή, ισοπίθανα) ρ β μ μ ς χ ρ ( η ή, )ένα από τα 52 φύλλα της. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε φιγούρα ή κόκκινο φύλλο?ρ βήξ μ φ γ ρ ή φ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ω = το σύνολο των 52 φύλλων.ο σύ ο ο ω 5 φύ ω

Κ = το σύνολο των 26 κόκκινων φύλλων.

Φ = το σύνολο των 12 φιγούρων Φ = το σύνολο των 12 φιγούρων.

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = ρ(Κ Φ) = ρ(Κ) + ρ(Φ) – ρ(ΚΦ).

Όλα τα φύλλα ισοπίθανα: Για κάθε ω Ω, ρ(ω) = 1/52.

ρ(Κ) = ΣωΚ ρ(ω) = 26 * 1/52 = 1/2

ρ(Φ) = ΣωΦ ρ(ω) = 12 * 1/52 = 3/13

ρ(ΚΦ) = Σω ΚΦ ρ(ω) = 6 * 1/52 = 3/26

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))77

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ(ΚΦ) ΣωΚΦ ρ(ω) 6 1/52 3/26

ρ(ΚΦ) = 13/26 + 6/26 – 3/26 = 16/26 = 8/13 ~ 61,54%

Εξάσκηση (ΙΙ)Εξάσκηση (ΙΙ)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.5: Έστω τυχών δειγματικός χώρος Ωκαι διακριτή πιθανότητα ρ: Ω [0,1]. Νδο κάθε ζεύγος ενδεχομένων Α,ΒΩ ισχύει ότι: ρ(Α – Β) = ρ(Α) – ρ(ΑΒ).

ΑΠΑΝΤΗΣΗρ(Α – Β) = ρ(ΑΒc) // Α – Β = ΑΒc

= ρ(A) – ρ(Α) + ρ(ΑΒc)= ρ(A) – [ ρ(Α) – ρ(ΑΒc)]= ρ(A) – [ ρ(Α – Βc) + ρ(ΑΒc) – ρ(ΑΒc)] // A = (Α – Bc) (ΑΒc)ρ( ) [ ρ( ) ρ( ) ρ( )]= ρ(A) – ρ(Α – Βc)= ρ(A) – ρ( Α (Βc)c ) // Α – Bc = Α(Βc)c ρ(A) ρ( Α (Β ) ) // Α B Α(Β )

= ρ(A) – ρ(Α Β)

Εναλλακτική εξήγηση: Τα σύνολα Α – Β = ΑΒc και ΑΒ απαρτίζουν μια διαμέριση του Α, άρα:

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))88

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

απαρτίζουν μια διαμέριση του Α, άρα:ρ(Α) = ρ(Α – Β) + ρ(Α Β)

Page 6: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Αναμενόμενη Τιμή (Ι)Αναμενόμενη Τιμή (Ι)

ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.2 [ Αναμενόμενη Τιμή ]: Έστω πείραμα Π του οποίου o διακριτός δειγματοχώρος Ω(Π) είναιΠ του οποίου o διακριτός δειγματοχώρος Ω(Π) είναι ένα αριθμήσιμο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών Για οποιαδήοποτε διακριτή συνάρτησηαριθμών. Για οποιαδήοποτε διακριτή συνάρτηση πιθανότητας ρ : Ω [0,1], η αναμενόμενη τιμή του (αποτελέσματος του) πειράματος Π ορίζεται ως εξής:

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB 6: Η αναμενόμενη τιμή του Π είναι ένας

(αποτελέσματος του) πειράματος Π ορίζεται ως εξής:Ερ(Π) = ΣωΩ ω * ρ(ω).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.6: Η αναμενόμενη τιμή του Π είναι ένας πραγματικός αριθμός, που όμως ενδέχεται να ΜΗΝ ανήκει στο Ω. Πχ, να υπολογίσετε την αναμενόμενη τιμή του πειράματος Π1 «μια ί δί ζ ύ Τ ί ί Π2 ό ζά ίρίψη δίκαιου ζαριού». Τι γίνεται για το πείραμα Π2 όπου το ζάρι είναι

«πειραγμένο» ώστε να φέρνει με πιθανότητα 2/5 τον αριθμό 6, και ισοπίθανα τα υπόλοιπα δείγματα?

ΑΠΑΝΤΗΣΗΕ(Π1) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 7/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))99

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Ε(Π2) = 1*3/25 + 2*3/25 + 3*3/25 + 4*3/25 + 5*3/25 + 6*2/5 = 21/5

Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙ)Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.7: Έστω ότι 500.000 άνθρωποι παίζουν σε μια λοταρία

λαχνούς αξίας 5 Ευρώ ο καθένας. Τα έπαθλα είναι τα εξής:

1 λ ό δίζ 1 000 000 Ε ώ 1 λαχνός κερδίζει 1.000.000 Ευρώ.

10 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 1.000 Ευρώ ο καθένας.

1 000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 500 Ευρώ ο καθένας1.000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 500 Ευρώ ο καθένας.

10.000 (διαφορετικοί) λαχνοί κερδίζουν 10 Ευρώ ο καθένας.

Ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος για κάθε παίκτη? Της εταιρείας?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ω = 1x999 995 Ευρώ 10x995 Ευρώ 1 000x495 Εύρω 10 000x5 Ω = 1x999.995 Ευρώ, 10x995 Ευρώ, 1.000x495 Εύρω, 10.000x5

Ευρώ, 488.989x(-5) Ευρώ

ρ1 = 1/500.000 : Η πιθανότητα του ενός υπερτυχερού.ρ1 η ς ρ χ ρ

ρ2 = 10/500.000 = 1/50.000 : Η πιθανότητα των 10 τυχερών.

ρ3 = 1.000/500.000 = 1/500 : Η πιθανότητα των 1.000 τυχερών.

ρ4 = 10.000/500.000 = 1/50 : Η πιθανότητα των 10.000 τυχερών.

ρ5 = 488.989/500.000 : Η πιθανότητα των «άτυχων».

ΑΡΑ: Ε(Π) = ρ *999 995 + ρ *995 + ρ *495 + ρ *5 + ρ *( 5) = 1 78 Ευρώ

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1010

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΑΡΑ: Ε(Π) = ρ1 999.995 + ρ2 995 + ρ3 495 + ρ4 5 + ρ5 (-5) = -1,78 Ευρώ.

Η εταιρεία ΣΙΓΟΥΡΑ θα κερδίσει 890.000 ευρώ (αποδείξτε το).

Page 7: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙΙ)Αναμενόμενη Τιμή (ΙΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.8: Έστω ότι κάποιος πληρώνει 1 ευρώ για να

συμμετάσχει σε τυχερό παιχνίδι, όπου γίνονται 4 ανεξάρτητες ρίψεις ό δί ίενός δίκαιου νομίσματος, και :

Αν έρθουν (ακριβώς) 4xΓ, τότε πληρώνει επιπλέον 2 ευρώ.

Α έ θ 3 Γ ό λ ώ λέ 1 ώ Αν έρθουν 3xΓ, τότε πληρώνει επιπλέον 1 ευρώ.

Αν έρθουν 2xΓ, τότε δεν πληρώνει (ούτε κερδίζει) τίποτε επιπλέον.

Αν έρθει 1xΓ τότε κερδίζει 3 ευρώ Αν έρθει 1xΓ, τότε κερδίζει 3 ευρώ.

Αν έρθουν 4xΚ, τότε κερδίζει 4 ευρώ.

Ποια είναι η αναμενόμενη ωφέλεια (ή ζημιά) του παίκτη?Ποια είναι η αναμενόμενη ωφέλεια (ή ζημιά) του παίκτη?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Για κάθε αποτέλεσμα (διατ τετράδα ρίψεων) Χ ρ(Χ) = 1 / 24 = 1/16 Για κάθε αποτέλεσμα (διατ. τετράδα ρίψεων) Χ, ρ(Χ) = 1 / 2 = 1/16.

ρ(4xΓ) = ρ(0-K) = ρ(0-Γ) = ρ(4-Η) = 1/16

ρ(3xΓ) = ρ(1-K) = ρ(1-Γ) = ρ(3-Η) = C(4 1) * (1/2)^4 = 4/16 = 1/4 ρ(3xΓ) ρ(1 K) ρ(1 Γ) ρ(3 Η) C(4,1) (1/2) 4 4/16 1/4

ρ(2xΓ) = ρ(2-K) = C(4,2) * (1/6)^4 = 6 / 16

Ε(ωφέλεια) = -1 + (-2)*1/16 + (-1)*4/16 + 3*4/16 + 4*1/16

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1111

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

(ωφέ ε α) ( ) / 6 ( ) / 6 3 / 6 / 6

= -1 + [ -2 -4 + 12 + 4 ] / 16 = - 6/16

Το Παράδοξο των Γενεθλίων...Το Παράδοξο των Γενεθλίων...ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.9: Έστω ότι σε μια κοινωνία ανθρώπων, όλες οι μάζες

πιθανότητας να γεννηθεί κάποιος μια συγκεκριμένη μέρα είναι ίσες. Νδο ο ελάχιστος αριθμός ανθρώπων που πρέπει τυχαία να διαλέξουμε, έτσι ώστεελάχιστος αριθμός ανθρώπων που πρέπει τυχαία να διαλέξουμε, έτσι ώστε για το γεγονός: «υπάρχουν τουλάχιστον δυο από τους γ ανθρώπους που επιλέξαμε που γεννήθηκαν την Ι∆ΙΑ μέρα» να ισχύει ότι ρ(K) > 0.5, είναι K = 23 άνθρωποι.ρ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πείραμα = Επιλογή (ΜΕ επανάληψη) Κ (ημέρες γέννησης) από Ν = 365

διακεκριμένα αντικείμενα (ημέρες του χρόνου) |Ω| = 365K δείγματαδιακεκριμένα αντικείμενα (ημέρες του χρόνου) |Ω| = 365K δείγματα.

Όλες οι μέρες ισοπίθανες για γέννηση. ω Ω Ρ(ω) = 1 / 365K ω Ω, Ρ(ω) = 1 / 365K

«Κακά» ∆είγματα: γ ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ μέρες γέννησης. Επιλογή ΧΩΡΙΣ επανάληψη Κ από Ν = 365 διακεκριμένα αντικείμενα.επανάληψη Κ από Ν 365 διακεκριμένα αντικείμενα.

Ρ(365,K) «κακά» δείγματα.

«Καλά» ∆είγματα: Ζ = |Ω| #«κακά» δείγματα = 365K Ρ(365,K)Καλά ∆είγματα: Ζ |Ω| # κακά δείγματα 365 Ρ(365,K) ρ(K) = [365KΡ(365,γ)] * (1/365K) = 1 Ρ(365,K) / 365K // αύξουσα συνάρτηση του γ

ρ(22) = 1 – Ρ(365,22) / 36522 < 1 – 0,5243 = 0,4757.

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1212

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ( ) ( , ) , , ρ(23) = 1 – Ρ(365,23) / 36523 > 1 – 0,49271 = 0,50729.

Page 8: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (Ι)Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.10: 8 φοιτητές τετραετούς σχολής περιμένουν

στην ουρά για να πάρουν φοιτητική ταυτότητα. Ποια η πιθανότητα στην ουρά αυτή να βρίσκονται 2 φοιτητές από κάθε έτος αν σε κάθεστην ουρά αυτή να βρίσκονται 2 φοιτητές από κάθε έτος, αν σε κάθε έτος υπάρχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος φοιτητών και όλοι θέλουν να πάρουν ταυτότητα?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ∆ειγματοχώρος Ω: Περιλαμβάνει |Ω| = 48 δείγματα.

Όλα τα δείγματα είναι ισοπίθανα: ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω Ω, ρ(ω) = 1/48.

Γεγονός γ : «εμφανίζεται καλό δείγμα»∆υο φοιτητές από κάθε έτος. Μετάθεση ( = τοποθέτηση στην ουρά ) 8δ έ έ ίζ 4 άδδιακεκριμένων αντικειμένων, που χωρίζονται σε 4 ομάδες:

πρ , πρ , δε , δε , τρ , τρ , τε , τε . |γ| = 8! / [2!]4 ΚΑΛΑ δείγματα.|γ| 8 / [ ] δε γμα α

ρ(γ) = Ρ(εμφανίζεται καλό δείγμα)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1313

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

= Σωγ ρ(ω) = 1/|Ω| * |γ| = (1 / 48) * 8! / [2!]4 = 0.0385

Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (ΙΙ)Υπολογισμός ∆ιακριτής Πιθανότητας (ΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.11: 5 άνθρωποι πηγαίνουν σε ένα πάρτι και

αφήνουν στην είσοδο τα καπέλα τους. Φεύγοντας, τα καπέλα τους επιστράφηκαν με εντελώς τυχαίο τρόπο Ποια η πιθανότητα να μηνεπιστράφηκαν με εντελώς τυχαίο τρόπο. Ποια η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένας άνδρας το δικό του καπέλο?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

∆ ό ώ |Ω| 5! 120 ό ή έλ ∆ειγματικός χώρος: |Ω| = 5! = 120 τρόποι επιστροφής των καπέλων (διακεκριμένα σφαιρίδια) στους 5 ανθρώπους (διακεκριμένες υποδοχές χωρητικότητας 1).χ ς χ ρη η ς )

Πιθανότητα κάθε δείγματος: 1/|Ω| = 1 / 5! (ισοπίθανα όλα τα δ ί )δείγματα).

ΑK: Το υποσύνολο δειγμάτων (δηλαδή το γεγονός) όπου ο ΑK: Το υποσύνολο δειγμάτων (δηλαδή, το γεγονός) όπου ο άνθρωπος K παίρνει πίσω το καπέλο του.

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1414

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

«Κακά» δείγματα: Α1 A2 A3 A4 A5

Page 9: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

∆ιακριτή Πιθανότητα (∆ιακριτή Πιθανότητα (VVΙ)Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.11 (συνέχεια):

ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ – ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ|Α1 A2 A3 A4 A5|

= |Α1| + |A2| + |A3| + |A4| + |A5| | 1| | 2| | 3| | 4| | 5|

|Α1 A2| |Α1 A3| ... |A4 A5|

+ |Α1 A2 A3| +...+ |Α3 A4 A5|| 1 2 3| | 3 4 5|

|Α1 A2 Α3 A4| ... |A2 Α3 A4 A5|

+ |Α1 A2 Α3 A4 A5|

= C(5,1)*4! C(5,2)*3! + C(5,3)*2! C(5,4)*1! + C(5,5)*0!

= 76

P(κανείς δεν παίρνει το καπέλο του)

= Σω : καλό δείγμα ρ(ω) = (#καλών δειγμάτων) * 1 / |Ω|

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1515

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

= [120 76] * (1/120) ~ 0.367

Πιθανότητα Σύγκρουσης σε Συναρτήσεις Πιθανότητα Σύγκρουσης σε Συναρτήσεις ΚατακερματισμούΚατακερματισμούρμ μρμ μ

Συνάρτηση κατακερματισμού: Αντιστοίχιση των «κλειδιών» ενός (συνήθως μεγάλου) πλήθους αντικειμένων σε (συνήθως λίγες) θέσεις

θή ( άδ )αποθήκευσης (κάδους).

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ Η ά d2 N 0 1 ί ώδΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Η συνάρτηση mod2 : N 0,1 είναι μια στοιχειώδης συνάρτηση κατακερματισμού που διαχωρίζει τους φυσικούς αριθμούς σε (δυο κάδους με) άρτιους και περιττούς.αρ θμούς σε (δυο άδους με) άρ ους α ερ ούς

Τα κλειδιά Χ και Υ συγκρούονται σύμφωνα με τη συνάρτηση γ ρ μφ μ η ρ η ηκατακερματισμού Η, ΑΝΝ Η(Χ) = Η(Υ).

ΑΣΚΗΣΗ: Να υπολογιστεί η πιθανότητα να μην υπάρχει ζεύγος κλειδιών που να συγκρούονται, σε μια τυχαια και ομοιόμορφα επιλεγμένη συλλογή από Κ κλειδιά (Χ Χ Χ ) όταν η συνάρτησησυλλογή από Κ κλειδιά (Χ1,Χ2,...,ΧΚ), όταν η συνάρτηση κατακερματισμού Η αποφασίζει για καθένα από τα Ν κλειδιά τυχαία και ομοιόμορφα τη θέση του, μεταξύ Μ διαθέσιμων θέσεων.

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1616

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΑΠ.: Αν Κ Μ, τότε Ρ(Μ,Κ) / ΜΚ. Για Κ > Μ, Ρ(Κ) = 0.

Page 10: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Μέθοδος Μέθοδος Monte Carlo (MC)Monte Carlo (MC) Έστω Π μια ιδιότητα (πχ, διαπίστωση ύπαρξης ακατάλληλων τσιπς

σε μια παρτίδα παραγγελίας) που μπορούμε να ελέγξουμε κάνοντας ά λέ ( έ ό λ ίθ ) ύκάποιους ελέγχους (μέσω ενός αλγορίθμου) που απαντούν:

Α(λήθεια): Ισχύει η ιδιότητα Π (πχ, διαπίστωσα καμμένο τσιπ).

∆( ξέ ) ∆ ίζ ύ δ ό Π ( έλ ∆(εν ξέρω): ∆εν γνωρίζω αν ισχύει η ιδιότητα Π (ο έλεγχος που έκανα δε βρήκε καμμένο τσιπ, αλλά δεν ξέρω τι γίνεται με τα άλλα τσιπς).σ ς)

ΣΥΜΒΑΣΗ: Ένα τυχαίο δείγμα του στιγμιοτύπου (τσιπ της παρτίδας) έχει πιθανότητα γ να άποδεικτικό της Π, κι 1-γ να μην είναι.

Ρ[ ΑΛΓ(γ,Ι) = Α ] = γ, Ρ[ ΑΛΓ(γ,Ι) = ∆ ] = 1 – γ, 0 < γ < 1.

Μέθοδος Monte Carlo – MC(Κ):

Εκτέλεση Κ ανεξάρτητων ελέγχων ΑΛΓ(γ,Ι) στο ίδιο στιγμιότυπο Ι.

Η MC(Κ) απαντά

Α, αν ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας έλεγχος απαντά Α.

Ψ, αν όλοι οι έλεγχοι επιστρέφουν ∆.

θ ό C( ) ή Ο Θ ό

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1717

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Ποια η πιθανότητα η MC(Κ) να απαντήσει ΟΡΘΑ, δλδ Α αν όντως α(Π) = Α, ή Ψ αν α(Π)=Ψ?

Μέθοδος Μέθοδος Monte Carlo (MC)Monte Carlo (MC)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Ένας κατασκευαστής υπολογιστών κάνει μαζικές

παραγγελίες τσιπς, που έρχονται σε παρτίδες των Ν κομματιών, και θέλ λέ ξ ό λί (Κ) ί λ έ όθέλει να ελέγξει μόνο λίγα (Κ) τυχαία επιλεγμένα τσιπς της επόμενης Ν-άδας που στέλνει ο προμηθευτής τσιπς προκειμένου να «σιγουρευτεί» ότι η Ν-άδα δεν περιλαμβάνει ελαττωματικά τσιπς«σιγουρευτεί» ότι η Ν άδα δεν περιλαμβάνει ελαττωματικά τσιπς. Από προηγούμενες Ν-άδες διαπιστώθηκε ότι υπήρχαν 10%χαλασμένα τσιπς σε κάθε Ν-άδα. Αν βρεθεί έστω ένα κακό δείγμα,

ίδ ∆ ά ά Π θ όεπιστρεφει την παρτίδα. ∆ιαφορετικά την κρατάει. Ποια η πιθανότητα ρ να μην επιστρέψει παρτίδα με κατεστραμένα τσιπς?

ΑΠΑΝΤΗΣΗΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΑΝ μόνο καλά τσιπς στη Ν-άδα ΤΟΤΕ Ρ = 0 (γιατί?)

ΕΣΤΩ ότι δεν βελτιώθηκε η παραγωγή παρτίδων ΕΣΤΩ ότι δεν βελτιώθηκε η παραγωγή παρτίδων

10% χαλασμένα τσιπς

Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει καλό τσιπ] = 0 1 Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει καλό τσιπ] 0.1

Ρ[ένας έλεγχος βρίσκει κακό τσιπ] = 0.9

Ρ[επιστρέφεται η παρτίδα]

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1818

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

[ε σ ρέφε α η αρ δα]

= Ρ[οι Κ έλεγχοι επιστρέφουν καλό τσίπ]

Page 11: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Μέθοδος Μέθοδος Monte Carlo (MC)Monte Carlo (MC)ΑΠΑΝΤΗΣΗ (συνέχεια)

Υπολογισμός της Ρ[οι Κ έλεγχοι επιστρέφουν καλό τσίπ] ...

ΑΝ επιλογές Κ-άδας τσιπς (για έλεγχο) με επανάληψη (δλδ, κάθε τσιπ που ελέγχεται ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ στην παρτίδα) // Αυτή είναι η MC(K)...

ΤΟΤΕ ρ1 = (0,9*Ν)Κ / ΝΚ = 0,9Κ

ΑΝ επιλογές Κ-άδας τσιπς (για έλεγχο) δίχως επανάληψη

ΤΟΤΕ P(0 9*Ν K) / Ρ(Ν Κ) 0 9 * (0 9 1)/(N 1) * (0 9 2)/(N 2) * *ΤΟΤΕ ρ2 = P(0,9*Ν,K) / Ρ(Ν,Κ) = 0,9 * (0,9–1)/(N–1) * (0,9–2)/(N–2) *…* (0,9–K+1)/(N–Κ+1)

Πχ, για Κ=10 δείγματα ελέγχου, σε μια παρτίδα Ν=100 τσιπς, έχουμε:

ρ1 = 0 910 = 0 3486784401 ~ 34 87%ρ1 0,9 0,3486784401 34,87%

ρ2 = (90/100) * (89/99) * (88/98) * (87/97)* (86/96)* (85/95)* (84/94)* (83/93)* (82/92)* (81/91)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))1919

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

= 0,33047621108672515387074666126621 ~33,05%

Πιθανοτική Μέθοδος (Ι)Πιθανοτική Μέθοδος (Ι)

Αξιοποίηση της θεωρίας πιθανοτήτων για μη κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης δομώνή ξη ρξης μ

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rosen, σελ. 427): Αν η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου στοιχείου από ένα σύνολο Σ να μην έχει κάποια ιδιότητα Π ί ό ό 1 ό ( ί ) ά λά έΠ είναι μικρότερη από 1, τότε (σίγουρα) υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Σ που επαληθεύει την ιδιότητα Π.

Αριθμός Ramsey R(Κ Κ): Το ελάχιστο πλήθος Ν ανθρώπων σε μιαΑριθμός Ramsey R(Κ,Κ): Το ελάχιστο πλήθος Ν ανθρώπων σε μια κοινωνία ανθρώπων, ώστε τουλάχιστον Κ από αυτούς να είναι μεταξύ τους είτε ΟΛΟΙ φίλοι, ή ΟΛΟΙ εχθροί, αν θεωρήσουμε ότι για κάθε ζεύγος ανθρώπων στην κοινωνία αυτή ισχύει πως είτε είναι φίλοι, ή είναι εχθροί (δλδ, δεν μπορεί να είναι αδιάφοροι ο ένας για τον άλλον ούτε να είναι και τα δυο)

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2020

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

τον άλλον, ούτε να είναι και τα δυο).

Page 12: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙ)Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙ)ΘΕΩΡΗΜΑ (Rosen, σελ. 427): Αν Κ >= 2 είναι φυσικός αριθμός, τότε

R(Κ,Κ) >= 2Κ/2.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Χρειάζονται πάντοτε τουλάχιστον Ν >= Κ άνθρωποι.

Κ=2: Ισχύει ότι R(2,2) = Ν >= 22/2 = 2.

Κ=3: Απαιτούνται (αλλά και επαρκούν) τουλάχιστον Ν=6 άνθρωποι.

Α δ ί Ν 3 4 Αντιπαραδείγματα για Ν = 3,4,5.

Για Ν=6, ζητείται ύπαρξη είτε μπλε τριγώνου (φιλίες) ή κόκκινου τριγώνου (εχθρότητες) στο γράφημα που αναπαριστά τη σχέσητριγώνου (εχθρότητες) στο γράφημα που αναπαριστά τη σχέση φιλιών και τη (συμπληρωματική) σχέση εχθρότητας.

Κ >= 4:

Έστω ότι για ΚΑΘΕ ζεύγος διαφορετικών ανθρώπων α,β:o Ρ[ (α,β),(β,α) ΦΙΛΙΕΣ ] = ½

o Ρ[ (α,β),(β,α) ΦΙΛΙΕΣ = ] = ½

Θδο: ΑΝ Ν < 2Κ/2 ΤΟΤΕ υπάρχει δείγμα στο Ω (δηλαδή, έ ό έ ΦΙΛΙΕΣ) δ έ ΚΑΜΙΑ

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2121

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

συγκεκριμένος ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν έχει ΚΑΜΙΑ Κ-άδα ανθρώπων που να είναι ΟΛΟΙ φίλοι ή ΟΛΟΙ εχθροί.

Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙΙ)Πιθανοτική Μέθοδος (ΙΙΙ)ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ (συνέχεια)

Πόσα διαφορετικά Κ-υποσύνολα ανθρώπων?

Για συγκεκριμένο Κ-υποσύνολο, έστω Α:

Ρ[όλοι φίλοι στο Α] = ?

Ρ[όλοι εχθροί στο Α] = ?

Ρ[όλοι εχθροί, ή όλοι φίλοι στο Α] = 2 / 2Κ(Κ-1)/2.

UNION BOUND:

ρ = Ρ[υπάρχει Κ-υποσύνολο όπου όλοι εχθροί, ή όλοι φίλοι]

=< C(N,K) * 2 / 2Κ(Κ-1)/2 (Πώς εξηγείται το φράγμα?)

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: C(N,K) =< NK / 2K-1. (αποδείξτε το!)

ρ =< NK / 2K-1 * 2 / 2Κ(Κ-1)/2

(2Κ/2)Κ / 2(Κ^2 Κ)/2 + Κ 1 1=< (2Κ/2)Κ / 2(Κ^2 – Κ)/2 + Κ – 1 – 1

= 1 / 2Κ/2 – 2 < 1, για Κ >= 4.

Υπάρχει δείγμα (δλδ ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν πληρεί

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2222

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Υπάρχει δείγμα (δλδ, ορισμός της σχέσης ΦΙΛΙΕΣ) που δεν πληρείτην ιδιότητα, όταν Ν < 2Κ/2.

Page 13: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

∆εσμευμένη Πιθανότητα (Ι)∆εσμευμένη Πιθανότητα (Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.12: Έστω ότι επιλέγουμε εντελώς τυχαία και

ανεξάρτητα δυο φοιτητές / φοιτήτριες από το 1ο και το 2ο έτος του Τ ή Πλ ή Θ ύ ό ό ώΤμήματος Πληροφορικής. Θεωρούμε ότι το ποσοστό των αγοριών είναι 1/3 στο πρώτο έτος και 1/2 στο 2ο έτος. Να υπολογιστούν:

(ι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών(ι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών.

(ιι) Η πιθανότητα επιλογής δυο αγοριών, αν ξέρουμε σίγουρα ότι σε μια από τις δυο επιλογές προέκυψε αγόρι.μ α α ό ς δυο ε ογές ροέ υψε αγόρ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(ι) Ο δειγματικός χώρος είναι Ω = α1α2, α1κ2, κ1α2, κ1κ2 . ( ) γμ ς χ ρ ς 1 2, 1 2, 1 2, 1 2

Παρατηρούμε ότι: P[ επιλογή 1ου έτους = α1 ] = 1/3

P[ επιλογή 2ου έτους = α2 ] = 1/2

Υπολογίζουμε τις μάζες πιθανότητας για όλα τα δείγματα του Ω:

Ρ[ α1α2 ] = 1/3 * 1/2 = 1/6 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ

Ρ[ α1κ2 ] = 1/3 * 1/2 = 1/6

Ρ[ κ1α2 ] = 2/3 * 1/2 = 1/3

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2323

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Ρ[ κ1κ2 ] = 2/3 * 1/2 = 1/3

∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙ)∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙ)(ιι) Ποια η πιθανότητα να επιλεγούν δυο αγόρια, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ότι

επιλέγεται τουλάχιστον ένα αγόρι?

∆ειγματικός Χώρος:

Ω = α1α2, α1κ2, κ1α2, κ1κ2

1/6 1/6 1/3 1/3 // συχνότητες εμφάνισης

Ω’ = α1α2, α1κ2, κ1α2, κ1κ2

1/6 1/6 1/3 1/31/6 1/6 1/3 1/3 // συχνότητες εμφάνισης

Ζητούμενο: Ρ[ α1α2 | Ω – κ1κ2 ] = ?

ΝΕΑ συνάρτηση πιθανότητας (για το χώρο Ω’ πλέον):

ρ’(α α ) = 1/6 / Χ ρ (α1α2) = 1/6 / Χ

ρ’(α1κ2) = 1/6 / Χ

ρ’(κ α ) = 1/3 / Χ // Χ παράγοντας κανονικοποίησης ρ (κ1α2) = 1/3 / Χ // Χ = παράγοντας κανονικοποίησης

Συνάρτηση πιθανότητας : (1/6 + 1/6 + 1/3) / Χ = 1 Χ = 2/3.

ΑΡΑ: ρ’(α α ) = ρ’(α κ ) = 1/4 ρ’(κ α ) = 1/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2424

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ΑΡΑ: ρ (α1α2) = ρ (α1κ2) = 1/4, ρ (κ1α2) = 1/2.

Ζητούμενο: Ρ[ α1α2 | Ω – κ1κ2 ] = ρ’(α1α2) = 1/4.

Page 14: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙΙ)∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙΙΙ)Πείραμα Π: «Ρίψη (δίκαιου) ζαριού»

Πιθανότητα να έχει έρθει 2? Πιθανότητα να έχει έρθει 2?

Πιθανότητα να έχει έρθει 2, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε άρτιος?

Πιθανότητα να έχει έρθει 2, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε πρώτος?

Πιθανότητα να έχει έρθει 2, ∆Ε∆ΟΜΕΝΟΥ ΟΤΙ ήρθε περιττός?

ΟΡΙΣΜΟΣ PROB 3 [ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]:ΟΡΙΣΜΟΣ PROB.3 [ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ]: Έστω Ω ο διακριτός δειγματικός χώρος ενός πειράματος και Α Β Ω δυο οποιαδήποτε γεγονόταπειράματος και Α,Β Ω δυο οποιαδήποτε γεγονότα, όπου το Β έχει ΜΗ ΜΗ∆ΕΝΙΚΗ μάζα πιθανότητας : ρ(Β) > 0. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Αρ(Β) 0. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Αδεδομένου ότι έχει συμβεί το γεγονός Β συμβολίζεται με ρ(Α|Β) και ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2525

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ( | ) μ ζ μ μ η ηδεδομένου του Β.

∆εσμευμένη Πιθανότητα (Ι∆εσμευμένη Πιθανότητα (ΙVV))

ΠΡΟΤΑΣΗ PROB.1 [Υπολογισμός ∆εσμευμένης Πιθανότητας]:Έστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματος Π, ρ : Ω [0,1] μια διακριτή συνάρτηση πιθανότητας στο Ω, και Α , Β δυο τυχόντα γεγονότα τέτοια ώστε

( ) 0ρ(Β) > 0.

ρ(ω | Β) = ρ(ω) / ρ(Β), αν ωΒ,

• ωΩ, ρΒ(ω) =ρ(ω | Β) = 0 αν ωΒ. ( | )

• Α Ω, ρ(Α|Β) = ρ(ΑΒ) / ρ(Β).

, ρ( | ) ρ( ) ρ( )

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2626

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Page 15: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.13: Ένα πράσινο κι ένα κόκκινο ζάρι ρίχνονται, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, μια φορά. Ποια η πιθανότητα τα δυο ζά έ έλ θ ίζ 8? Τ ίζάρια να φέρουν αποτέλεσμα που αθροίζει σε 8? Τι γίνεται αν ξέρουμε ότι και τα δυο ζάρια έφεραν άρτιο αριθμό?

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB 14: Ένα δοχείο περιέχει 5 μπλε και 7 κόκκινεςΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.14: Ένα δοχείο περιέχει 5 μπλε και 7 κόκκινες μπάλες. Επιλέγουμε (χωρίς επανατοποθέτηση) δυο από αυτές τις μπάλες.

M1 = Πρώτη επιλογή μπλε. M2 = ∆εύτερη επιλογή μπλε.

Κ1 = Πρώτη επιλογή κόκκινη. Κ2 = ∆εύτερη επιλογή κόκκινη.

α. P[ M1M2 ] = ? P[ Κ1M2 ] = ?

β. P[M2 ] = ?

γ. P[ M1 ή Μ2 ] = ?

δ. Ε[ #μπλε μπάλες ] = ?

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2727

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Κανόνας του Κανόνας του BayesBayes (Ι)(Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.15: Ρίχνουμε τρία «δίκαια» , διαφορετικού

χρώματος ζάρια, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Θεωρούμε τα εξής γεγονότα:εξής γεγονότα:Α = «εμφανίστηκε ακριβώς ένας άσσος» , και Β = «εμφανίστηκαν τρεις διαφορετικοί αριθμοί».Β εμφανίστηκαν τρεις διαφορετικοί αριθμοί .

Να υπολογιστεί το ρ(Α|Β), καθώς και το ρ(Β|Α). ΑΠΑΝΤΗΣΗ |Ω| = 63 = 216

ρ(Α) = ? 3 * 52 / 63 = 25 / 72 ρ(Α) ?

ρ(Β) = ?

3 5 / 6 25 / 72

Ρ(6,3) / 63 = 5/9

ρ(ΑΒ) = ? 3*(1*5*4) / 63 = 5 / 18

ρ(Α|Β) = ? ρ(ΑΒ) / ρ(Β) = (5 / 18) / (5 / 9) = 1/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2828

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

ρ(Β|Α) = ? ρ(ΑΒ) / ρ(Α) = (5 / 18) / (25 / 72) = 4/5

Page 16: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Κανόνας του Κανόνας του BayesBayes (ΙΙ)(ΙΙ)

ΠΡΟΤΑΣΗ PROB.2 [Θεώρημα του Bayes ]:Έστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματοςΈστω Ω ο διακριτός δειγματοχώρος ενός πειράματος Π, ρ : ΩR0 μια διακριτή συνάρτηση πιθανότητας πάνω στο Ω και Α Β δυο γεγονότα με ΜΗ ΜΗ∆ΕΝΙΚΕΣπάνω στο Ω, και Α,Β δυο γεγονότα με ΜΗ ΜΗ∆ΕΝΙΚΕΣ μάζες πιθανότητας : ρ(A)*ρ(Β) > 0. Τότε: ρ(Α|Β) = ρ(Β|Α) * ρ(Α) / ρ(Β)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ PROB.15 (συνέχεια):

ρ(Α) / ρ(Β).

ρ(Β|Α) = ρ(Α|Β) * ρ(Β) / ρ(Α) = (1/2) * (5/9) / (25/72)= 4/5

ρ(Α|Β) = ρ(Β|Α) * ρ(Α) / ρ(Β) = (4/5) * (25/72) / (5/9) = 1/2

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: : ∆ιακριτά Μαθηματικά ∆ιακριτά Μαθηματικά (201(20122))2929

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος ΚοντογιάννηςΤμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Π. Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: / ΜΥΥ204: ∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)∆ιακριτά Μαθηματικά (2015)

Page 17: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο

Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του

εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος

«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την

Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς

πόρους.

Page 18: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.

Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:

• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

Page 19: Διακριτή πιθανότητα Διδάσκων: Επίκουρος ...ecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95862/mod_resource/content... · 2015-11-11 · Το Παράδοξο των

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Διακριτή πιθανότητα». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

Σημείωμα Αδειοδότησης• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative

Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση – Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο.που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο.που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο.

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.