Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Τοβιβλίοαυτό,όπωςκαιτοπρώτοτεύχος,είναιεναρμονισμένομετηνπρόσφατακαθορισμένηύληκαιαπευθύνεταιστουςμαθητέςτηςΓ΄ΛυκείουπουέχουνεπιλέξειτονπροσανατολισμόΘετικώνΣπουδώνήΣπουδώνΟικονομίαςκαιΠληροφορικής. Δενείναιαπλάμιαπροσαρμογήτουεπίδέκασυναπτάέτηδοκιμασμένουκαιαπό-λυταεπιτυχημένουβιβλίουμας,πουαποτέλεσεγιαχιλιάδεςμαθητέςτοβοήθηματηςεπιτυχίαςτους,αλλάπρόκειταιγιαένανέοβιβλίο,αισθητικάαναβαθμισμένο,ριζικάαναδομημένο,συμπληρωμένοκαιεμπλουτισμένομετιςγνώσειςκαιτιςαπαιτήσειςτουσήμερα. Κάθεενότηταπεριέχει:♦ Τηβασικήθεωρία,μεσχόλια,παρατηρήσειςκαιτιςαπαραίτητεςμεθοδεύσεις.♦ Λυμένεςασκήσειςπουεπιλέχθηκανπροσεκτικά,ώστεμέσααπότημελέτητουςομαθητήςνακατακτήσειόλεςτιςέννοιεςκαιτιςτεχνικέςπουαφορούντησυγκεκριμένηπαράγραφο.♦ Προτεινόμενεςομάδεςασκήσεωνμεσκοπότηνεξάσκησηκαιτηνεμβάθυνσηστααντίστοιχαθεωρήματακαιτιςεφαρμογέςτους.♦ Ερωτήσειςκατανόησηςγιατονέλεγχοτηςθεωρίαςκαιτονεντοπισμότωνπιολεπτώνσημείωντης.♦ Θέματαπροετοιμασίας,δηλαδήασκήσειςμεσυνδυασμόερωτημάτων,στοπνεύματωνΠανελληνίωνΕξετάσεων,ώστεομαθητήςναεξοικειώνεταιαπόνωρίςμετημορφήκαιτοεπίπεδοδυσκολίαςτηςτελικήςεξέτασης.♦ Απαντήσεις,επαρκείςυποδείξειςήπλήρειςλύσειςσεόλεςτιςπροτεινόμενεςασκή-σεις,ώστεομαθητήςναελέγχειτααποτελέσματάτουκαιημελέτηναγίνεταιευχάριστηκαιαποτελεσματική. Οιδύοτελευταίεςενότητεςείναιαφιερωμένεςστηγενικήεπανάληψη.Περιέχουνδιεξοδικάτηθεωρίασεμορφήερωτήσεων–απαντήσεων,τουςορισμούςσυγκεντρωτι-κάαλλάκαιόλαταθεωρήματασταοποίαμπορείναζητηθείηαπόδειξη.Δίνονταιεπί-σηςταθέματατωνΠανελληνίωνΕξετάσεωντωνπροηγούμενωνετώνσύμφωναμετηνέαύλη.Οιεπαναληπτικέςενότητεςολοκληρώνονταιμετησυστηματοποίησητωνασκήσεωνμέσωγενικώνμεθοδεύσεων.Γιατηντελικήεξάσκησηστοτελευταίοστάδιοτηςπροετοιμασίαςδίνονταιπάνωαπό250γενικάθέματα. Θέλουμεναπιστεύουμεότιτοβιβλίοαυτό,βάσειτηςδομήςκαιτουπεριεχομένουτου, καθώς και της διδακτικής εμπειρίας των συγγραφέων του, καθίσταται χρήσιμοεργαλείοσταχέριατωναναγνωστώντουκαιθαοδηγήσειτουςυποψηφίουςστηνεπί-τευξητωνστόχωντους. ΕυχαριστούμεαπότηθέσηαυτήτιςσυναδέλφουςΦωτεινήΚαλδήκαιΑντιγόνηΛυκοτραφίτηγιατιςπαρατηρήσειςτους,καθώςκαιτονΔημήτρηΤσάκογιατηνεπιμέ-λειατουβιβλίου.

Οι συγγραφείς

Περιεχόμενα

1. Μονοτονίασυνάρτησης..........................................................................................11

2. ΤοθεώρημαFermat,Τοπικάακρότατασυνάρτησης..............................................69

3. Προβλήματαακροτάτων.......................................................................................111

4. Κυρτότητα,Σημείακαμπής..................................................................................120

5. Ασύμπτωτες..........................................................................................................156

6. ΚανόνεςdeL'Hospital.........................................................................................173

7. Μελέτησυνάρτησης.............................................................................................200

♦ 1ο κριτήριο αξιολόγησης.......................................................................................213

♦ 2ο κριτήριο αξιολόγησης.......................................................................................214

♦ 1η επανάληψη......................................................................................................216

8. Αρχικήσυνάρτηση................................................................................................224

9. Ορισμένοολοκλήρωμα.........................................................................................244

10.Θεμελιώδεςθεώρημα,Μέθοδοιολοκλήρωσης....................................................259

11.Ολοκλήρωση,Ειδικέςαντικαταστάσεις...............................................................298

12.Εμβαδόνεπιπέδουχωρίου....................................................................................334

13.Ειδικάθέματαστοολοκλήρωμα...........................................................................361

 ♦ 2η επανάληψη......................................................................................................384

14. 1η συστηματική επανάληψη..............................................................................391 • Θεωρία-Βασικέςασκήσεις..............................................................................391 • Ηθεωρίασυγκεντρωτικά..................................................................................415 • ΘέματαΠανελλαδικών......................................................................................418

15. 2η συστηματική επανάληψη..............................................................................429 • Ημεθόδευσητωνθεμάτων................................................................................429 • Γενικάθέματαεπανάληψης...............................................................................441 • Συμπληρωματικέςασκήσειςκαιθέματα...........................................................460

Υποδείξεις - Απαντήσεις...........................................................................................479

11

Βασική θεωρία και ασκήσεις

1. Εύρεση της μονοτονίας συνάρτησης

Α. ΘΕΩΡΙΑΈστω f: Δ $ R μια συνεχής συνάρτηση, όπου Δ διάστημα.α) Να διατυπώσετε το θεώρημα το οποίο συνδέει την παράγωγο της f και τη μονο-τονία της.

ΑπΑντηση

ΗμονοτονίατηςfστοΔκαιηπαράγωγόςτηςσυνδέονταιμετοεξήςθεώρημα:

♦ ΑνηfείναισυνεχήςστοΔκαιf ´(x) >0σεκάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσαστοΔ.

♦ ΑνηfείναισυνεχήςστοΔκαιf ΄(x)<0σεκάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιγνησίωςφθίνουσαστοΔ.

Χρήσιμες επισημάνσειςi) ΣταάκρατουΔδενμαςενδιαφέρειούτετοπρόσημοτηςf ΄ούτεκανηύπαρξήτης.ΤομόνοαπαραίτητοείναιησυνέχειατηςfσταάκρατουΔ,εφόσονφυσικάκάποιοαπόαυτάείναικλειστό.ii) Ανf ´(x) $0(ήf ´(x) #0)στοεσωτερικότουΔ,τότεηfείναιαύξουσα(ήφθί-νουσααντίστοιχα)στοΔ.iii)Ανηfείναιγνησίωςαύξουσα(ήγνησίωςφθίνουσα)στοδιάστημαΔ,τότεf ´(x) $ 0(ήf ´(x) # 0αντίστοιχα)στοεσωτερικότουΔ,αρκείβέβαιαηfναπαραγωγίζεταιστοεσωτερικότουΔ.iv)ΑνηfείναισυνεχήςστοδιάστημαΔκαιηf ΄μηδενίζεταισεπεπερασμένοπλήθοςσημείωντουΔχωρίςόμωςηf ΄νααλλάζειπρόσημο,τότεηfείναιγνησίωςμονότονηστοΔ.

1 Μονοτονία συνάρτησης

12 μονοτονια συναρτησησ

v) Υπενθυμίζουμεότι:♦ Ανησυνάρτησηfείναιγνησίωςμονότονη,τότεηfείναι"1 - 1".Τοαντίστροφοδεν

ισχύει.♦ Ανηfείναιγνησίωςμονότονη,τότεηεξίσωσηf (x) =0έχειτοπολύμίαρίζα.♦ ΑνηfείναιγνησίωςμονότονησταδιαστήματαΔ1 ,Δ2μετοίδιοείδοςμονοτονίας,

δενείναιυποχρεωτικόναείναιγνησίωςμονότονηκαιστοΔ1 , Δ2.

β) Τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της f, αν f ´(x) > 0 (ή αν f ´(x) < 0) για κάθε x ! Α = Δ1

, Δ2 , όπου Δ1 και Δ2 είναι διαστήματα του πεδίου ορισμού της f;ΑπΑντηση

ΑναντίγιαδιάστημαΔέχουμετοσύνολοΑ=Δ1 , Δ2,στοοποίοηfείναισυνεχήςκαι

ηf ΄έχειτοίδιοπρόσημοσταεσωτερικάτωνΔ1καιΔ2,τότεδενπροκύπτειότιηfείναιγνησίωςμονότονηστοΑ,αλλάότιείναιγνησίωςμονότονησεκαθένααπόταΔ1καιΔ2 καιφυσικάμετοίδιοείδοςμονοτονίας.Γιατονλόγοαυτόστονπίνακαμονοτονίαςτηςfβάζουμε:♦ τιςτιμέςόπουηfδενορίζεται(υποχρεωτικά),♦ τιςρίζεςτηςf ΄,ανυπάρχουν,♦ ταάκρατωνδιαστημάτωντουπεδίουορισμούτηςf.

Β. ΜΕΘΟΔΟΣ

Γιαναβρούμετημονοτονίαμιαςσυνάρτησηςf,ακολουθούμεταεξήςβήματα:

♦ ΒρίσκουμετοπεδίοορισμούDfκαιεξετάζουμεανηfείναισυνεχής.

♦ Βρίσκουμετηνf ´καιτιςρίζεςτηςf ΄,ανυπάρχουν,λύνονταςτηνεξίσωση:f ΄(x)=0

♦ Κατασκευάζουμετονπίνακαπροσήμουτης f ΄,στονοποίοβάζουμεταάκρατωνδιαστημάτωντουDfκαιτιςρίζεςτηςf

΄(x),ανυπάρχουν.Σεκαθένααπόταδιαστή-ματαπουδημιουργούνται,βρίσκουμεγιατηνf ´τοπρόσημότης.(Ανυπάρχουνκαισημείαασυνέχειας,πρέπειναμπουνκαιαυτά.)

♦ ΣεκάθεδιάστημαΔπουηfείναισυνεχήςκαιστοεσωτερικότουηf ΄είναιθετική(ήαρνητική),ηfείναιγνησίωςαύξουσα(αντίστοιχαγνησίωςφθίνουσα).Τονίζουμεότιταδιαστήματαμονοτονίαςτηςfστασημείαπουείναιρίζεςτηςf ΄είναικλειστά.

Τοπρόσημοτηςf ΄βρίσκεταιείτεμετημέθοδοτηςεπιλεγμένηςτιμής(ανηf ΄είναισυνεχής)είτελύνοντας(ανείναιδυνατόν)τιςανισώσειςf ΄(x)>0ήf ΄(x)<0. Ημέθοδοςεύρεσηςτουπροσήμουτηςf ΄πρέπεινααναφέρεται,διότιστιςεξετάσειςσυχνάβαθμολογείται.

13

1.1 Δίνονται οι συναρτήσεις:f (x) = -x3 - 3x2 + 9x + 2 και g(x) = x

x x1

3 52

-+ +

α) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι f και f ΄. β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g.

Λύση

α) ΗσυνάρτησηfείναισυνεχήςστοπεδίοορισμούτηςDf = Rμεf ´(x) = -3x2 - 6x +9.Είναι:

f ´(x) =0, -3x2 - 6x + 9 =0,, (x = -3ήx= 1)

Απότονπίνακαπροσήμουτηςf ΄προκύπτειότιηfείναι:♦ γνησίωςφθίνουσασταδιαστήματα(-3,-3]και[1,+3),♦ γνησίωςαύξουσαστοδιάστημα[-3,1].Είναιεπίσης:f ´´(x) = -6x -6καιf ´´(x) =0, x = -1Απότονπίνακαπροσήμουτηςf ΄΄προκύπτειότιηf ΄είναι:♦ γνησίωςαύξουσαστοδιάστημα(-3,-1],♦ γνησίωςφθίνουσαστοδιάστημα[-1,+3).

β) ΗσυνάρτησηgέχειπεδίοορισμούτοσύνολοDg = R -{1}καιείναισυνεχήςσεαυτό.Είναι:

♦ g´(x)= ( )

( ) ( ) ( )( )x

x x x xx

x x1

2 3 1 3 512 8

2

2

2

2

-+ - - + +

=-

- - ,x! 1

♦ g´(x)=0, x2 -2x-8=0, , (x = -2ήx=4)Απότονπίνακαπροσήμουτηςg΄προκύπτειότιηgείναι:♦ γνησίωςαύξουσαστα(-3,-2]και[4,+3),♦ γνησίωςφθίνουσαστα[-2,1)και(1,4].

ΣχόλιοΗεύρεσητουπροσήμουτηςf ´βρίσκεταιείτελύνονταςτιςανισώσειςf ´(x) >0,f ´(x) <0είτεμετημέθοδοτηςεπιλεγμένηςτιμήςσεκάθεδιάστημα(τημέθοδοαυτήσυνιστούμεκαιεμείς)είτεμετημέθοδοτουτριωνύμουκ.λπ.Προτείνουμεστουςμαθητέςνααναγράφουνστογραπτότουςτοντρόποεύρεσηςτουπροσήμουτηςf ΄,διότικατάτηδιόρθωσηαυτόβαθμολογείταιθετικά.Χωρίςαιτιολό-γηση,ορισμένοισυνάδελφοιθεωρούντογραπτόελλιπέςκαιαφαιρούνμονάδες.

14 μονοτονια συναρτησησ

1.2 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: α) f (x) = (x2 + 2x + 1)e-x β) f (x) = x2(2lnx - 1) - 8x(lnx - 1)

Λύση

α) ΗσυνάρτησηfέχειπεδίοορισμούτοDf = R,στοοποίοείναιπροφανώςσυνεχήςκαιπαραγωγίσιμη,με:

f ´(x) = ((x2 +2x+1)e-x)´ =(2x+2)e-x - (x2 +2x+1)e-x ==e-x(2x+2- x2 -2x- 1) =e-x(1 - x2)

Βρίσκουμεστησυνέχειατιςρίζεςτηςf´,λύνονταςτηνεξίσωσηf ´(x) =0:f ´(x) =0, (1 - x2)e-x =0, 1 - x2 =0, (x =1ήx= -1)

Βρίσκουμετοπρόσημοτηςf ´.Επειδήf ´(-2)<0,f ´(0)>0καιf ´(2)>0,ηf ΄είναιαρνητικήστα(-3,-1),(1,+3)καιθετικήστοδιάστημα(-1,1).Άλλωστεείναιφανερόότιτοπρόσημοτηςf ´είναιίδιομετοπρόσημοτου 1- x2, αφού e-x >0, δηλαδήαρνητικόέξωαπότοδιάστηματωνριζών1και-1καιθετικόεντόςαυτών.Τοπρόσημοτηςf ´φαίνεταιστονδιπλανόπίνακα,απʼόπουπροκύπτειότιηfείναι:♦ Γνησίωςφθίνουσασταδιαστήματα(-3,-1]και[1,+3).♦ Γνησίωςαύξουσαστοδιάστημα[-1,1].

β) ΗσυνάρτησηfέχειπεδίοορισμούτοσύνολοDf =(0,+3).Είναι:

( ) ( ) ( )ln lnf x x x x x x x x2 2 1 2 8 1 8 1' 2 $ $= - + - - - =

=4xlnx-2x+2x-8lnx=4(x-2)lnx,x>0Επομένως:

f ´(x) =0, (x =2ήx= 1)

Ηf ΄είναισυνεχής,f ´(3) >0,οπότεf ´(x) >0στο(2,+3),f 23'b l <0,οπότε

f ´(x) <0στο(1,2)καιf 21 0' 2b l ,οπότεf ´(x) >0στο(0,1).

Μετοντρόποαυτόβρίσκουμετοπρόσημοτηςf ΄,πουφαίνεταικαιστονσχετικόπίνακα.Τοπρόσημοτηςf ΄βρίσκεταικαιμεβοηθητικόπί-νακα,βρίσκονταςχωριστάτοπρόσημοτωνx-2,lnxκαιτελικάτοπρόσημοτουγινομένου:

4(x-2)lnx

15

Απότονπίνακαπροσήμουτηςf ΄προκύπτειότιηfείναι:♦ γνησίωςαύξουσαστα(0,1]και[2,+3),♦ γνησίωςφθίνουσαστο[1,2].

2. Μονοτονία και τοπικά ακρότατα

ΜΕΘΟΔΟΣ

Ανβρούμεταδιαστήματαμονοτονίαςμιαςσυνεχούςσυνάρτησηςf:Α$ R,μπορού-μεσυγχρόνωςναβρούμεκαιτατοπικάτηςακρότατα.Ηδυνατότητααυτήπηγάζειαπότηνπαρακάτωπαρατήρηση:

Έστωσυνάρτησηfπουείναιορισμένηστο(α,β)καιx0 ! (α,β).

♦ Ανηfείναιγνησίωςαύξουσαστο(α,x0]καιγνησίωςφθίνουσαστο[x0,β),τότετοf

(x0) είναιτοπικόμέγιστοτηςfκαιμάλισταολικόμέ-γιστοτηςfστο(α,β)(σχ.α).

♦ Ανηfείναιγνησίωςφθίνουσαστο(α,x0]καιγνησίωςαύξουσαστο[x0,β),τότετοf

(x0) είναιτοπικόελάχιστοτηςfκαιμάλισταολικόελάχιστοτηςfστο(α,β)(σχ.β).

♦ Τονίζουμεότιταα,βμπορείναείναιίσαμε-3ή+3,όπωςεπίσηςότιένατουλά-χιστοναπόταάκραα,βμπορείναείναικαικλειστό.

♦ Θυμίζουμεεπίσηςότιανηfείναιγνησίωςμονότονηστα(α,x0],[x0,β)καιέχειτοίδιοείδοςμονοτονίαςσταδιαστήματααυτά,τότεηfείναιγνησίωςμονότονησεολό-κληροτο(α,β).

Καιεδώταα,βμπορείναείναικλειστάάκρα,+3ή-3.Ειδικότεραισχύειηεξήςπρόταση:

Ανηfείναισυνεχήςστοx0 ! (α,β)καιηf ´

δεναλλάζειπρόσημοστα (α,x0), (x0,β),δηλαδήηf ´διατηρείτοίδιοπρόσημοεκατέ-ρωθεντουx0,τότετοf

(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατοκαιηfείναιγνησίωςμονότονησεολόκληροτο(α,β)(σχ.γκαισχ.δ).

Μετατοπικάόμωςακρόταταθαασχοληθούμεπιοσυστηματικάκαιστηνεπόμενηενό-τητα.

42 μονοτονια συναρτησησ

Είναι:g´(x)=f ´(x) -f ´(α)καιg´´(x)= (f ´(x) -f ´(α))΄=f ´´(x) <0

Επομένωςηg΄είναιγνησίωςφθίνουσακαιεπειδήισχύειg΄(α)=0,ηg΄είναιθετικήστο(-3,α)καιαρνητικήστο (α,+3). Συνεπώςηgείναιγνησίωςαύξουσαστο (-3,α]καιγνησίωςφθίνουσαστο[α,+3).Επειδήg(α)=0,θαείναι: g(x)#g(α)=0γιακάθεx ! R ,οπότε g(x)#0,f (x) #f ´(α)(x-α)+f (α)καιηαπόδειξηολοκληρώθηκε.

ΣχόλιοΑξίζεινασημειώσουμεότιτοθέμααντιμετωπίζεταικαιμετοθεώρημαμέσηςτιμής,αφούγιακάθεx!αυπάρχειξμεταξύτωνxκαιατέτοιο,ώστε:

f (x) -f (α)=f ΄(ξ)(x-α)Ηζητούμενηανισότηταείναιέτσιισοδύναμημετηνανισότητα:

(f ´(ξ)-f ´(α))(x -α)#0ηοποίαισχύει,διότιοιπαράγοντεςf ΄(ξ)-f ΄(α)καιx-αείναιετερόσημοι,μιακαιηf ´είναιγνησίωςφθίνουσα.Γιαx=α(καιμόνο)ηζητούμενηισχύειωςισότητα.

Ασκήσεις που ξεχωρίζουν

1.23 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R $ R για την οποία ισχύει:f ´(x) > 3x2 για κάθε x ! R και f (0) = 0

α) Να αποδειχθεί ότι:( )lim f x

x" 3+ = +3 και ( )lim f x

x" 3- = -3

β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f.

Λύση

Πρόκειται για χαρακτηριστικό θέμα, διότι δείχνει έναν τρόπο αξιοποίησης μιας ανισοτι-κής σχέσης που περιέχει παράγωγο. Τονίζουμε ότι οι ανισοτικές σχέσεις ούτε παραγωγί-ζονται ούτε αντιπαραγωγίζονται (ολοκληρώνονται).α) Επειδή3x2 = (x3)´,προκύπτειότι:f ´(x) > 3x2 ,f ´(x) > (x3)´ ,f ´(x) - (x3)´ >0, (f (x) - x3)´ >0(1)

43

Θεωρούμετησυνάρτησηg(x)=f (x) - x3.Λόγωτηςσχέσης(1)είναιg´(x)>0,οπότεηgείναιγνησίωςαύξουσαστοR.

♦ Μεx>0παίρνουμε:g(x)>g(0),f (x) - x3 >0,f (x) > x3 >0

Άρα ( )f x x0 1 1

31 1 καιεπειδή limx1 0

x 3 =" 3+

, απότοκριτήριοπαρεμβολήςπρο-

κύπτειότι:

( )lim f x1 0

x=

" 3+

Επειδήf (x) >0,ητελευταίασχέσηδίνει:

( )lim lim f x1x x

( )f x1

,3 3= + = +" "3 3+ +a k

♦ Μεx<0παίρνουμε:g(x)<g(0),f (x) < x3 <0

Άρα ( )f x x0 1 1

32 2 καιεπειδή limx1 0

x 3 =" 3-

, απότοκριτήριοπαρεμβολήςπρο-

κύπτειότι:

( )lim f x1 0

x=

" 3-

Επειδήf (x) <0,ητελευταίασχέσηδίνει:

( )lim lim f x1x x

( )f x1

,3 3= - = -" "3 3- -a k

β) ΗfείναισυνεχήςστοR,ωςπαραγωγίσιμη,καιισχύει ( )lim f xx" 3+

= +3, ( )lim f xx" 3-

= -3.ΕπομένωςηfέχεισύνολοτιμώντοR.

γ) Είναιf ´(x) > 3x2 $0,δηλαδήf ´(x) >0γιακάθεx ! R.Άραηfείναιγνησίωςαύξουσα.Επειδήf (0)=0,ηεξίσωσηf (x) =0έχειμοναδικήρίζατηx=0.Αφούγνωρίζουμετημονοτονίακαιτηρίζατηςf (x) =0,βρίσκουμετοπρόσημότηςωςεξής:♦ Γιαx<0είναιf (x) <f (0),f (x) <0.♦ Γιαx>0είναιf (x) >f (0),f (x) >0.Επομένωςηfείναιαρνητικήστοδιάστημα(-3,0)καιθετικήστοδιάστημα(0,+3).

1.24 Να αποδειχθεί ότι:

α) x x21 x

x1#+ +b l για κάθε x > 0

β) ex # (x + 1)x + 1 για κάθε x > -1

45

Ηfείναιγνησίωςαύξουσαστο(-1,0]καιγνη-σίωςφθίνουσαστο[0,+3).Επομένως:♦ x <0,f (x) <f (0),f (x) <0♦ x $0,f (x) #f (0),f (x) #0Άραf (x) #0γιακάθεx> -1,σχέσηπουαπο-δεικνύειτηζητούμενηανισότητα.

ΣχόλιοΜετηνίδιαακριβώςπορείαλύνουμεκαιτιςεξισώσεις:

x x21 x

x1+ =

+b l καιex = (x + 1)x + 1

οιοποίεςέχουν,όπωςδείχνουνοιπροηγούμενοιπίνακες,μοναδικήλύσητηx=1καιτηx=0αντίστοιχα.

Θεωρητικές ασκήσεις

1.25 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x3 + 3x2 - α, α ! R. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (-1), καθώς και τα όρια:

( )limA f xx

=" 3-

και ( )limB f xx

=" 3+

γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = 0 για τις διάφορες τιμές του α.

Λύση

α) ΗfέχειπεδίοορισμούτοΑ= R.Είναι:♦ f ´(x) =(2x3 + 3x2 -α)΄= 6x2 + 6x = 6x(x + 1)♦ f ´(x) =0, 6x(x + 1) =0, (x =0ήx= -1)Τοπρόσημοτηςf ´(x)προκύπτεικατάταγνωστά,οπότεημονοτονίατηςfφαίνεταιστονδιπλανόπί-νακα.Έτσι,ηfείναιγνησίωςαύξουσασταδιαστή-ματα(-3,-1],[0,+3)καιγνησίωςφθίνουσαστοδιάστημα[-1,0].

β) Είναιf (0)= -ακαιf (-1) = 1 -α.Ακόμη:♦ ( ) ( )lim limA f x x2

x x

3 3= = = -" "3 3- -

56 μονοτονια συναρτησησ

Προτεινόμενες ασκήσεις

1. Εύρεση μονοτονίας

1.30 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:α) f (x) = x3 + 3x + 1β) f (x) = x5 +2x3 + x +2γ) f (x) =lnx+ xδ) f (x) =ex + x + 3ε) f (x) =e-x - x + 1στ)f (x) = x5 + 1

1.31 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της fστιςπαρακάτωπεριπτώσεις:

α) f (x) = x1 1- β) f (x) = x 1

1 2-

+

γ) f (x) = xx

2- δ) f (x) =

xx12

-

1.32 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:

α) f (x) = x3 - 3x + 1

β) f (x) = x x x3 2 2 13 2

- - +

γ) f (x) =xlnx- x + 1δ) f (x) =ex - x

1.33 Ησυνάρτησηfείναισυνεχήςστοδιάστημα[-2,7]μεπαράγωγοτηςοποίαςηγραφικήπαρά-στασηCf ' φαίνεταιστοπαρακάτωσχήμα.

Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςf.

1.34 Δίνεταιησυνάρτηση:f (x) = x4 -12x3 +48x2 -64x+10

α) Ναβρείτετηνf ΄καιτηνf ΄΄.β) Ναλύσετετηνεξίσωσηf ´(x) =0.γ) Ναβρείτετοπρόσημοτηςf ΄.δ) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.ε) Ναμελετήσετετηνf ΄ωςπροςτημονοτονία.

1.35 Δίνεταιησυνάρτηση:

( )f x xx x

122

=-

+ +

Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυναρτή-σεις:α) f (x) β) f ΄(x)

1.36 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:α) f (x) =5-12x+ 9x2 -2x3

β) g(x)= xx1

2

+

γ) h(x)= x + 1 + x 11+

δ) φ(x)= xx2 3

22

--

1.37 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:α) f (x) = ln x

x22+

β) g(x)= ln x x xx

2 2 4+ - -

γ) h(x)= lnxx x1

1-+ -

1.38 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςεπό-μενεςσυναρτήσεις:α) f (x) =2(lnx- 1)(x2 -2x)- (x -2)2 +5β) f (x) =2xex -e(x+ 1)2

Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου.

57

γ) f (x) = (x + 1)2 -2xex - 1 +2

1.39 Δίνεταιησυνάρτηση:

( ) lnf x xx

x1 162

=+

++

α) ΝαβρείτετοπεδίοορισμούΑτηςf.

β) Νααποδείξετεότι ( )( )

f xx xx x

13 2' 2

2

=+

- + .

γ) Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςf.

1.40 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσειςπουακολουθούν:

α) ( ) ,,

f x x xx x

xx

2 46 4

22

anan >

2

2#

=- +

- + -*

β) ( ) ,,

f x x x xx x x

xx

2 15 36 103 9 15 22

11

anan <

3 2

3 2$

=- + -

- + - +*

1.41 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:

α) ( ) ,,

f x x x xx x x

xx

2 9 12 162 27 84 20

11

anan

3 2

3 21$

=+ + +- + -

*

β) ( ) ( ) ,,

g x x ex x x

xx

12 22 9 12 24

00

anan

x

3 2 2#

=- +

- + -

-

*

2. Εύρεση μονοτονίας με βοηθητική

1.42 Δίνονταιοισυναρτήσεις:f (x) = x -2-xlnxκαιg(x)= lnx

x2-

α) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.β) Νααποδείξετεότι x < 2 + xlnx γιακάθε x > 0.γ) Ναμελετήσετετηνgωςπροςτημονοτονία.

1.43 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:

α) f (x) = e x x2 1x2

- - -

β) g(x)= lnx x x212

- +

1.44 Δίνονταιοισυναρτήσεις:f (x) =lnx+ 1 -xκαιg(x)= ln

xx x

1-α) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.β) Νααποδείξετεότιx$lnx+1γιακάθεx > 0.γ) Ναμελετήσετετηνgωςπροςτημονοτονία.

1.45 Δίνονταιοισυναρτήσεις:f (x) =ημx-xσυνxκαιg(x)= x

xhm

μεx ! (0,π).α) Ναμελετήσετετησυνάρτησηfωςπροςτημο-νοτονίαστοδιάστημα[0,π].β) Νααποδείξετεότι:

f (x) >0γιακάθεx!(0,π)

γ) Νααποδείξετεότιηgείναιγνησίωςφθίνουσαστο(0,π).

1.46 Δίνεταιησυνάρτηση ( )f x xe 1x

= - .

α) Ναβρείτετοπρόσημοτης:g(x)=xex -ex +1,x ! R

β) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.

1.47 Δίνεταιησυνάρτηση:

( ) lnf xxx x= - ,x>0

α) Ναβρείτετηνπαράγωγοτηςf.β) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.

1.48 Δίνεταιησυνάρτηση ( ) lnf x xx1=

-.

α) Ναβρείτετοπεδίοορισμούτηςf.β) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.

1.49 Ναμελετήσετεωςπροςτημονοτονίατιςσυ-ναρτήσεις:

α) f (x) = ( )ln xx1+

β) g(x)= ex1x

-

1.50 Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτωνσυ-ναρτήσεων:

α) f (x) = lnxxx

2- β) f (x) = ln lnx

x x1- -

65

β) ανηfείναιγνησίωςφθίνουσαήφθίνουσα,τότε:f ´(x) #0γιακάθεx ! Δ

1.124 Δίνεταιπαραγωγίσιμησυνάρτηση f: R $

R γιατηνοποίαισχύουν:

f (x) > -1και ( )e f x1 2( )f x+ + =

γιακάθεx ! R.α) Νααποδείξετεότιηfείναισταθερή.β) Ναβρείτετοντύποτηςf.

1.125 Δίνεταιησυνάρτηση:

( )f x x xx

23

synhm

= -+

α) ΝαβρείτετοπεδίοορισμούΑτηςf.β) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.

γ) Ανx>0,νααποδείξετεότι:x(2 +συνx)>3ημx

δ) Ναβρείτεταόρια:( )limA f x

x=

" 3+και ( )limB f x

x=

" 3-

1.126 Ανx>0καια>1,ναλύσετετηνεξίσω-σηx ax x a 2

= + .

1.127 Δίνεταιησυνάρτηση:f (x) = 3x4 +4βx3 +β4,β ! R

α) Ναβρείτετοπρόσημοτηςfκαινααποδείξετεότιf (x) $0γιακάθεx ! R.β) Νααποδείξετεότι:

3α4 +4α3βγ+β4γ4 $ 0γιακάθεα,β,γ ! R.

Η κατανόηση της θεωρίας

1.128 Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτή-σεις:α) ΠότεμιασυνάρτησηfλέγεταιγνησίωςαύξουσακαιπότεγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημαΔτουπεδίουορισμούτης;β) Πώςλέγεταιμιασυνάρτησηπουείναιγνησίωςαύξουσαή γνησίωςφθίνουσασε έναδιάστημαΔτουπεδίουορισμούτης;γ) Ποιεςπροϋποθέσειςεξασφαλίζουνότιμιασυ-νάρτησηfείναιγνησίωςαύξουσακαιποιεςότιεί-ναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημαΔ;

1.129 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακά-τω προτάσεις:

α) Ανμιασυνάρτησηfείναι…………………σεένα……………………Δκαι……………………σε κάθε ……………………… σημείο x τουΔ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτοΔ.

β) Ανμιασυνάρτησηfείναι…………………σεένα……………………Δκαι……………………σεκάθε………………………σημείοxτουΔ,τότεηfείναι…………………φθίνουσασεόλοτοΔ.

1.130 Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτά-σεις ως σωστές (Σ) ή ως λανθασμένες (Λ):α) ΑνησυνάρτησηfείναισυνεχήςστοΑκαιισχύειf ΄(x)>0σεκάθεεσωτερικόσημείοτουΑ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτοΑ.

β) ΑνηfείναισυνεχήςστοδιάστημαΔ,παραγω-γίσιμηστοεσωτερικότουΔκαιγνησίωςφθίνουσαστοΔ,τότεf ΄(x)<0γιακάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ.

γ) Ανησυνάρτηση fείναιγνησίωςμονότονησεέναδιάστημαΔ,τότεηεξίσωσηf (x) =0έχειτοπολύμίαρίζαστοΔ.

δ) Ανf ´(x) >0σεκάθεσημείοxενόςδιαστήμα-τοςΔ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτοΔ.

ε) Ανησυνάρτησηfείναισυνεχήςσεέναδιάστη-μαΔκαιf ΄(x)$0σεκάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιαύξουσαστοΔ.

στ)ΑνησυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσαστοδιάστημαΔ=(α,β),τότετοσύνολοτιμώντηςfστοΔείναι:

( ) ( ), ( )lim limf f x f xDx xb a

=" "- +a k

66 μονοτονια συναρτησησ

ζ) ΑνησυνάρτησηfείναισυνεχήςστοδιάστημαΔ=(α,β)καιf ´(x) >0σεκάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ,τότε:

( ) ( ), ( )lim limf f x f xDx xa b

=" "+ -a k

η) Αν f ´´(x) < 0 σε κάθε εσωτερικόσημείο xενόςδιαστήματοςΔ,τότεηf ΄είναιγνησίωςφθί-νουσασεολόκληροτοΔ.

θ) ΑνηfείναισυνεχήςστοΑ=(α,β) , (γ,δ)καιf ´(x) >0γιακάθεx ! Α,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσαστοΑ.

ι) Ανησυνάρτηση f είναιγνησίωςμονότονησεέναδιάστημαΔ,τότεείναικαι"1 - 1"στοΔ.ια)Έστωμιασυνάρτησηf,ηοποίαείναισυνεχήςσεέναδιάστημαΔ.Ανf ΄(x)>0σεκάθεεσωτερι-κόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιγνησίωςφθίνουσασεόλοτοΔ. (Θέμα εξετάσεων)

1.131 Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:Έστωμιασυνάρτησηf,ηοποίαείναισυνεχήςσεέναδιάστημαΔ.Ανf ΄(x)>0σεκάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτοΔ. (Εξετάσεις 2012)

Θέματα για τις εξετάσειςΤα επόμενα θέματα μπορούν να αξιοποιηθούν για τη γενική επανάληψη της ενότητας ή για την προετοι-μασία του σχετικού επαναληπτικού διαγωνίσματος.

Θ1.1 Δίνεταιησυνάρτηση:

( ) lnf x xx

= ,x>0

α) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.β) Νααποδείξετεότιeπ >πe.γ) Νααποδείξετεότιex $ xeγιακάθεx>0.δ) Νααποδείξετεότι:

αα+ 1 >(α+ 1)αγιακάθεα$e

Θ1.2 Δίνεταιησυνάρτηση:

( ) ( )f xx

x e1 1x

2=- +

α) ΝαβρείτετοπεδίοορισμούΑκαιτηνπαρά-γωγοτηςf.β) Ναβρείτετοπρόσημοτηςσυνάρτησης:

g(x)= x2ex -2(x-1)ex -2,x ! R

γ) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.δ) Ναβρείτετοόριο ( )limA f x

x=

" 3-.

Θ1.3 Δίνεταιησυνάρτηση:

( ) lnf x xxx1

2= - +

α) Ναβρείτετηνπαράγωγοτηςf.β) Ναμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.γ) Νααποδείξετεότι:

lnxxx2 2$- γιακάθεx>0

δ) Ναλύσετετηνεξίσωσηf (x) =0.

Θ1.4 Έστωf:R $ Rπαραγωγίσιμησυνάρτη-σημεf (0)=3και:

( ) ( )( )f x f x xf x

' =-

γιακάθεx ! R

α) Νααποδείξετεότιησυνάρτηση:g(x)=f (x) - x

είναιθετικήστοR.β) Νααποδείξετεότι ( )f x x x 92

= + + .γ) Ναβρείτετοόριο ( )limA f x

x=

" 3-.

δ) Νααποδείξετεότιηfείναιγνησίωςμονό-τονη.

Θ1.5 Ησυνάρτησηf:(0,+3) $ Rείναιδύοφορέςπαραγωγίσιμηκαιικανοποιείτησχέση:

f (f ´(x)) +f (x) =0γιακάθεx>0